null

‫שיווי משקל תחרותי במשק עם ייצור‬
‫משפטי הרווחה‬
‫‪1‬‬
‫התנהגות תחרותית בכלכלת חליפין‪-‬ייצור‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫בכלכלת חליפין‪-‬ייצור עם בעלות פרטית יש פרטים ופירמות‪ .‬לכל‬
‫פרט יש העדפות‪ ,‬סל תחילי של מוצרים )בדרך כלל גורמי ייצור(‬
‫ואחוזי בעלות על הפירמות השונות‪ .‬לכל פירמה יש פונקציית ייצור‪.‬‬
‫וקטור מחירים נזרק לחלל העולם‪.‬‬
‫פירמה תחרותית מתייחסת למחירים כנתונים וממקסמת את‬
‫רווחיה‪ ,‬כתוצאה מתקבלים ביקושים לגורמי ייצור‪ ,‬היצעים למוצרים‬
‫ורמות רווח‪.‬‬
‫פרט תחרותי מתייחס למחירים כנתונים‪ ,‬יוצר אמונות לגבי הרווחים‬
‫הצפויים מהפירמות השונות‪ ,‬וממקסם את רווחתו בהינתן מגבלת‬
‫התקציב הנגזרת מהמחירים‪ ,‬הרווחים בהם הוא מאמין‪ ,‬הסל‬
‫התחילי שלו ואחוזי הבעלות שלו‪.‬‬
‫וקטור מחירים מהווה שיווי משקל תחרותי אם אמונות הפרטים לגבי‬
‫‪2‬‬
‫הרווחים מתגשמות‪ ,‬וכל השווקים מתנקים‪.‬‬
‫שיווי משקל תחרותי עם ייצור‬
‫• שיווי משקל תחרותי הינו הקצאה אפשרית ו‪-‬וקטור מחירים‬
‫עבורם‪:‬‬
‫– תכנית הייצור של כל יצרן ממקסמת את רווחיו בהינתן‬
‫המחירים‪.‬‬
‫– הסל אותו מקבל כל פרט ממקסם את תועלתו בהינתן קו‬
‫התקציב הנובע מהסל התחילי‪ ,‬הרווחים המחולקים )על פי‬
‫אחוזי הבעלות( ווקטור המחירים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫שיווי משקל תחרותי עם ייצור‬
‫הערות‪:‬‬
‫• הקצאה אפשרית מבטאת ניקוי שווקים‪.‬‬
‫• המקסום בהינתן המחירים מבטא התנהגות תחרותית‪.‬‬
‫• חוק וולראס ממשיך להתקיים‪.‬‬
‫• הפרטים לא מתערבים בניהול הפירמות‪ ,‬ולא חושבים איך מכירות להן‬
‫או קניות מהן משפיעים על הרווחים‪ .‬כולם מעוניינים במקסום רווחים‪.‬‬
‫• מקסום רווחים אינו חזות הכול כשיש תחרות לא משוכללת‪ ,‬או אי‬
‫וודאות‪.‬‬
‫• אין כאן מסחר במניות‪ .‬אם היה מסחר‪ ,‬מחיר המניה היה שווה לרווחי‬
‫הפירמה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫כיצד מחשבים ש"מ תחרותי עם ייצור‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫נתונים פונקציות הייצור של הפירמות‪ ,‬העדפות‪ ,‬סלים תחיליים ותיקי מניות‬
‫של הפרטים‪.‬‬
‫מחשבים את פונקציות הביקוש )לגורמי ייצור(‪ ,‬פונקציות ההיצע )של‬
‫מוצרים( ופונקציות הרווח של כל פירמה‪.‬‬
‫מציבים את רווחי הפירמות לתוך מגבלות התקציב של הפרטים‪ ,‬ומחשבים‬
‫את פונקציות הביקוש )למוצרים( וההיצע )של גורמי ייצור( של הפרטים‪.‬‬
‫מנקים את השווקים על ידי פתרון מערכת משוואות )‪ n‬משוואות‪ n ,‬מספר‬
‫המוצרים וגורמי הייצור‪ ,‬עם ‪ n‬נעלמים שהם המחירים( המתקבלת‬
‫מהשוואת הביקוש המצרפי לכל מוצר וגורם ייצור לכמות המוצעת שלו‪ .‬כמו‬
‫מקודם משוואות אילו אינן בלתי תלויות‪.‬‬
‫הקצאת שיווי המשקל מתקבלת מחישוב תכניות הייצור של הפירמות‬
‫והביקושים של הפרטים‪ ,‬עבור יחסי המחירים שחושבו‪.‬‬
‫הסיבה ל "דרגת החופש" בקביעת המחירים היא ההומוגניות מדרגה אפס‬
‫של הביקושים וההיצעים‪ ,‬וההומוגניות מדרגה אחד של הרווחים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫דוגמה ‪ -‬רובינזון קרוזו‬
‫•‬
‫בכלכלה יש פרט אחד )רובינזון(‪ ,‬פירמה אחת )קרוזו בע"מ(‪ ,‬ושני מוצרים‪ ,‬פנאי‬
‫)‪ (L‬ותצרוכת )‪ .(Y‬הפנאי הינו מוצר צריכה עבור הפרט וגורם ייצור עבור הפירמה‪.‬‬
‫•‬
‫לרובינזון יש ‪ 24‬שעות פנאי ו ‪ 100% -‬ממניות הפירמה‪ .‬העדפותיו ניתנות על ידי‬
‫פונקציית תועלת )‪.U(L,Y‬‬
‫•‬
‫לקרוזו יש פונקצית ייצור )‪) y=f(LP‬נסמן את הפנאי איתו מייצרים ב – ‪(LP‬‬
‫•‬
‫בהינתן מחירי השוק )‪ (pL,pY‬הפירמה ממקסמת את רווחיה‪.π ,‬‬
‫•‬
‫רובינזון הצרכן מצפה לקבל את כל רווחי הפירמה‪ ,‬ובוחר את כמות הפנאי )כלומר‬
‫כמה שעות לעבוד( והתצרוכת שימקסמו את תועלתו‪ .‬ניתן לומר שהסל התחילי לו‬
‫מצפה רובינזון הינו )‪(24,expec. profit/PY‬‬
‫‪6‬‬
‫בעיית היצרן ‪1-‬‬
‫היצרן רוצה למקסם את רווחיו ופותר לכן את הבעיה הבאה‪:‬‬
‫‪Max PY·F(LP)-PL·LP‬‬
‫כך מתקבל תנאי הסדר הראשון הבא‪PY·MPL=PL :‬‬
‫כעת‪ ,‬נציג זאת במישור )‪.(L,Y‬‬
‫אנו רוצים לתאר במישור זה את מיקום נקודת הייצור‪ .‬כדי לעשות זאת‬
‫בצורה מדוייקת‪ ,‬שגם תעזור לנו לאחד את שרטוט בעיית היצרן ובעיית‬
‫הצרכן לשרטוט אחד‪ ,‬נשרטט תחילה את עקומת התמורה במישור זה‪.‬‬
‫שימו לב שהיצרן והצרכן אינם מודעים לקיומה של עקומת התמורה‬
‫)היצרן למשל‪ ,‬לא יודע שלפרט יש ‪ 24‬שעות פנאי או למעשה כמה‬
‫פרטים יש בכלכלה‪ ,‬והצרכן לא מכיר את פונקצית הייצור‪.(.‬‬
‫‪7‬‬
‫בעיית היצרן ‪2 -‬‬
‫נקודת הייצור בכלכלה זו היא על עקומת התמורה מכיוון שיש רק גורם‬
‫ייצור אחד לכן כל הקצאה שלו הינה בדרך כלל על עקומת התמורה‪.‬‬
‫בהמשך נראה שנקודת הייצור התחרותית‪ ,‬גם כשיש יותר גורמי ייצור‬
‫ויצרנים תהיה על עקומת התמורה‪.‬‬
‫עקומת התמורה ניתנת על ידי המשוואה )‪ .Y=f(24-L‬היא מתחילה‬
‫מהנקודה )‪ (24,0‬ומסתיימת בנקודה ))‪.(0,f(24‬‬
‫על מנת לתאר את תכנית הייצור בה בחר היצרן נמדוד את ‪ LP‬על ידי‬
‫תנועה ימינה מ ‪ L=24‬ואז את ‪ YP‬נראה על עקומת התמורה‪.‬‬
‫וניתן להציג את הפתרון גראפית באופן הבא‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫קרוזו בע"מ‬
y
‫עקומת התמורה‬
y = f (24− L)
f ' ( LP ) =
YP*
pL
pY
P/pY
9
L*
LP*
24
‫הסבר לתיאור הרווח בשקף הקודם‬
‫הרווח הינו‪:‬‬
‫)*‪P=pYYP*-pLLP*=pYYP*-pL(24-L‬‬
‫לכן נקודת הייצור )*‪ (LP*,YP‬או למעשה )*‪(L*,Y‬‬
‫מקיימת‪pLL* +pYY* =24pL+ P :‬‬
‫לאור זאת משוואת המשיק בנקודה זו )במונחי ‪ L‬ו – ‪ (Y‬הינה‪:‬‬
‫‪pLL+pYY=24pL+ P‬‬
‫)שיפוע המשיק הינו ‪(pL/pY‬‬
‫הצבת ‪ L=24‬גוררת שה – ‪ Y‬בנקודה זו הינו ‪.P/pY‬‬
‫‪10‬‬
‫בעיית הצרכן‬
‫קו התקציב שהצרכן רואה הינו )נסמן ב ‪ Πe -‬את הרווח אותו מצפה‬
‫לקבל הצרכן(‪:‬‬
‫‪PLL+PYY=PL·24+Πe‬‬
‫שימו לב שהצרכן מתייחס ל ‪ Πe -‬כנתון‪ ,‬כלומר הוא מאמין שזה הרווח‬
‫שיקבל ללא תלות בבחירת הפנאי והתצרוכת שלו‪.‬‬
‫הצרכן פותר‪:‬‬
‫)‪Max U(L,Y‬‬
‫‪S.T.‬‬
‫‪PLL+PYY=PL·24+Πe‬‬
‫כך מתקבל תנאי הסדר הראשון‪MUL/MUY=PL/PY :‬‬
‫וניתן להציג את הפתרון גראפית באופן הבא‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫רובינזון הצרכן‬
‫‪y‬‬
‫קו תקציב‬
‫שיפוע ‪pL/pY‬‬
‫*‪YC‬‬
‫סל תחילי‬
‫‪πe/PY‬‬
‫‪24‬‬
‫‪12‬‬
‫*‪LC‬‬
‫שיווי משקל תחרותי‬
‫בשיווי משקל השווקים חייבים להתנקות כלומר צריך‬
‫להתקיים כי‪ 24-L*C=L*P ,YC*=Y*P :‬וכן כי הרווחים‬
‫להם מצפה הצרכן הם אכן הרווחים בפועל‪ ,‬כלומר‬
‫‪..Π‬‬
‫‪Πe=PY·Y*P-PL·L*P‬‬
‫לאור זאת ניתן לראות כי משוואת ה"משיק" משקף‬
‫היצרן זהה למשוואת קו התקציב משקף הצרכן‪,‬‬
‫ו"איחוד" של שני השקפים נותן את התמונה הבאה‪:‬‬
‫‪13‬‬
‫שווי משקל תחרותי בכלכלת רובינזון קרוזו‬
‫‪y‬‬
‫*‪YC‬‬
‫*‪YP‬‬
‫סל תחילי‬
‫‪π/PY‬‬
‫*‪LP‬‬
‫*‪LC‬‬
‫‪14‬‬
‫רובינזון קרוזו – דוגמה מספרית‬
‫פונקצית היצור של הפירמה הינה‪Y=LP0.5 :‬‬
‫לצרכן יש ‪ 24‬שעות פנאי ו – ‪ 100%‬ממניות הפירמה‪.‬‬
‫העדפותיו ניתנות על ידי‪U(L,Y)=L·Y :‬‬
‫נסמן את מחיר ‪) L‬כלומר את שכר העבודה( ב – ‪PL‬‬
‫ואת מחיר התצרוכת ב – ‪.PY‬‬
‫‪15‬‬
‫בעיית היצרן‬
‫‪ × 0.5‬‬
‫היצר ממקס
את רווחיו ופותר‪ − × :‬‬
‫מכא מתקבל‪= :‬‬
‫‪0.5 × × −0.5‬‬
‫‬
‫לכ פונקצית הביקוש לעבודה של היצר הינה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( , ) = 2‬‬
‫‪4‬‬
‫פונקצית ההיצע לתצרוכת הינה‪:‬‬
‫‬
‫= ) ‪ ( ,‬‬
‫‪2‬‬
‫הרווח הינו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪ 4 2‬‬
‫‬
‫‪−‬‬
‫‬
‫‪ 2‬‬
‫‬
‫= ) ‪( ,‬‬
‫‪16‬‬
‫הצרכ פותר‪:‬‬
‫בעיית הצרכן‬
‫‪Max LY‬‬
‫‪S.T.‬‬
‫‪Πe‬‬
‫‪PLL+PYY=PL·24+Π‬‬
‫לכ פונקצית הביקוש לפנאי של הצרכ הינה‪:‬‬
‫ ‪24 +‬‬
‫= ) ‪ ( ,‬‬
‫‪2‬‬
‫פונקצית הביקוש לתצרוכת של הצרכ הינה‪:‬‬
‫ ‪24 +‬‬
‫= ) ‪ ( ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪17‬‬
‫שיווי משקל תחרותי‬
‫המשוואה שמנקה את שוק ה – ‪ L‬הינה‪:‬‬
‫‪ ( , ) + ( , ) = 24‬‬
‫הצבת הביטויי
שמצאנו )כולל הביטוי עבור הרווח( גוררת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫( ‪24 +‬‬
‫‪) 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪+ 2 = 24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‬
‫‪= √32‬‬
‫‬
‫לכ שיווי משקל תחרותי נית על ידי יחס מחירי
זה וההקצאה‬
‫)מתקבלת מחישוב ערכי כל הביקושי
וההיצעי
שמצאנו עבור‬
‫יחס מחירי
זה(‪LP=8,YP=80.5,LC=16,YC=80.5 :‬‬
‫‪18‬‬
‫דוגמה נוספת של שיווי משקל תחרותי עם ייצור‬
‫במשק ישנ
שני צרכני
‪:‬‬
‫צרכ ‪1‬‬
‫‪U1(x1, y1) = x10.25y10.75 ; w1 = (10,0) ; θ1 = 0.4‬‬
‫צרכ ‪2‬‬
‫‪U2 (x2 , y2 ) = ln(x2 ) + y2; w2 = (15,0); θ2 = 0.6‬‬
‫הפירמה‪:‬‬
‫מייצרת ‪ y‬באמצעות ‪ x‬על ידי‪. yp =10x0p.5 :‬‬
‫‪19‬‬
‫שיווי משקל תחרותי עם ייצור ‪1 -‬‬
‫שיווי משקל תחרותי ‪ :‬מחירי
) ‪ ( p x , p y‬ו הקצאה‬
‫אפשרית )כמויות מיוצרות ומועסקותעל ידי הפירמה‪,‬‬
‫כמויות הנצרכות על ידי שני הצרכני
( כ"‬
‫שמתקיימי
התנאי
הבאי
‪:‬‬
‫‪ (1‬בהקצאה זו הפירמה ממקסמת את רווחיה‬
‫שלה‬
‫והטכנולוגיה‬
‫בהינת המחירי
‬
‫)פונקציית הייצור שלה(‪.‬‬
‫‪ (2‬בהקצאה זו‬
‫שני הפרטי
ממקסמי
את‬
‫תועלת
בהינת‬
‫מגבלת התקציב הנגזרת‬
‫מהמחירי
ורווחי הפירמה‪.‬‬
‫שימו לב שהדרישה שההקצאה אפשרית גוררת‬
‫למעשה כי השווקי
מתנקי
‪.‬‬
‫מכיוו שבעיות הפרטי
והפירמה אינ משתנות‬
‫כאשר כל המחירי
מוכפלי
בקבוע חיובי נבחר‬
‫בלי הגבלת הכלליות ‪= 1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ , p‬ונסמ ‪. p x = p‬‬
‫‪20‬‬
‫שיווי משקל תחרותי עם ייצור ‪2 -‬‬
‫בעיית הפירמה‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪π = max 10 x 0p . 5 − px‬‬
‫‪p‬‬
‫‪x‬‬
‫תנאי סדר ראשו‪:‬‬
‫‪= p‬‬
‫‪− 0 .5‬‬
‫‪p‬‬
‫‪dπ‬‬
‫‪= 0 ⇒ 5x‬‬
‫‪dx p‬‬
‫כלומר הפירמה משווה את ער" התפוקה השולית של‬
‫גור
היצור‪ ,‬למחירו‪ .‬מתנאי סדר ראשו הנ"ל נקבל‪:‬‬
‫‪25‬‬
‫‪p2‬‬
‫= ) ‪( p ,1‬‬
‫נציב את‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ , x‬זהו ביקוש הפירמה לגור
יצור‬
‫‪.x‬‬
‫‪ x‬שמצאנו בפונקציית היצור‪ ,‬ונקבל את‬
‫פונקציית ההיצע של הפירמה לתפוקה ‪:y‬‬
‫‪50‬‬
‫‪p‬‬
‫= ) ‪( p ,1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪.y‬‬
‫נציב חזרה את הגדלי
‪ x p , y p‬בפונקציית המטרה‪,‬‬
‫ונקבל את פונקציית הרווח של‬
‫‪25‬‬
‫= ) ‪.π ( p ,1‬‬
‫הפירמה‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪21‬‬
‫שיווי משקל תחרותי עם ייצור ‪3 -‬‬
‫בעיית צרכ ‪:1‬‬
‫‪max x10.25 y10.75‬‬
‫‪x1 , y1‬‬
‫בכפו‪ $‬למגבלה‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪p‬‬
‫‪px1 + y1 = 10 p +‬‬
‫כאשר המחובר השני באג‪ $‬ימי הינו חלקו של צרכ ‪1‬‬
‫ברווחי הפירמה‪.‬‬
‫מבעיית צרכ זו נגזרת מערכת הביקושי
הבאה‪:‬‬
‫) ‪3(10 p + 10p‬‬
‫‪4‬‬
‫= )‪y1 ( p,1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪10 p + 10p‬‬
‫‪4p‬‬
‫= )‪x1 ( p,1‬‬
‫‪22‬‬
‫שיווי משקל תחרותי עם ייצור ‪4 -‬‬
‫בעיית צרכ ‪:2‬‬
‫‪max ln(x2 ) + y2‬‬
‫‪x2 , y 2‬‬
‫בכפו‪ $‬למגבלה‪:‬‬
‫‪15‬‬
‫‪px2 + y2 = 15 p +‬‬
‫‪p‬‬
‫כאשר המחובר השני באג‪ $‬ימי הינו חלקו של צרכ ‪2‬‬
‫ברווחי הפירמה‪.‬‬
‫מבעיית צרכ זו נגזרת מערכת הביקושי
הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪x2 ( p,1) = , y2 ( p,1) = 15 p + − 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪23‬‬
‫שיווי משקל תחרותי עם ייצור ‪5 -‬‬
‫עד כה ראינו כיצד כל יחידה כלכלית מקסמה את‬
‫פונקציית המטרה שלה בהינת המחירי
‪ .‬השלב הבא‬
‫יהיה לפתור עבור המחיר ‪ p‬שינקה את השווקי
‪.‬‬
‫תנאי שיווי משקל בשוק ‪:x‬‬
‫⇒ ‪x1 ( p ,1) + x 2 ( p ,1) + x p ( p ,1) = 25‬‬
‫‪p = 1 . 128‬‬
‫⇒ ‪22 . 5 p 2 − p − 27 . 5 = 0‬‬
‫כלומר מחירי שיווי משקל הינ
‪:‬‬
‫) ‪. ( p x , p y ) = (1 . 128 ,1‬‬
‫והקצאת שיווי משקל הינה‪:‬‬
‫‪y 1 = 15 . 109‬‬
‫‪y 2 = 29 . 218‬‬
‫‪y p = 44 . 327‬‬
‫‪x1 = 4 . 4649 ,‬‬
‫‪x 2 = 0 . 88653 ,‬‬
‫‪x p = 19 . 649 ,‬‬
‫רווחי הפירמה הינ
‪.π = 22 . 164 :‬‬
‫‪24‬‬
‫שיווי משקל תחרותי עם ייצור ‪6 -‬‬
‫ראינו כי המחיר ש ניקה את שוק ה ‪ ,x %‬מנקה ג
את‬
‫שוק ‪ %y‬זהו חוק וולראס‪.‬‬
‫כמוב שהיינו יכולי
באופ חילופי לרשו
את‬
‫משוואת שיווי המשקל בשוק ‪ ,y‬וממנה לפתור עבור‬
‫‪ .P‬במקרה זה‪:‬‬
‫⇒ )‪y1 ( p,1) + y2 ( p,1) = y p ( p,1‬‬
‫‪7.5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪50‬‬
‫‪7.5 p +‬‬
‫⇒ = ‪+ 15 p + − 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪22.5 p 2 − p − 27.5 = 0 ⇒ p = 1.128‬‬
‫‪25‬‬
‫אי‪-‬קיום שיווי משקל תחרותי – דוגמא‬
‫הכלכלה‪:‬‬
‫• פרט ‪ ,U1(X1,Y1)=X12+Y12 :1‬סל תחילי )‪(10,10‬‬
‫• פרט ‪ , U2(X2,Y2)=X2Y2 :2‬סל תחילי )‪(5,5‬‬
‫• נחשב את הביקושים של כל פרט ונראה שאין יחס מחירים‬
‫עבורו מתנקים השווקים‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫אי‪-‬קיום שיווי משקל תחרותי – דוגמא‬
‫פתרון בעייתו של פרט ‪:1‬‬
‫‪27‬‬
‫אי קיום שיווי משקל ‪ -‬דוגמה‬
‫הניתוח הגראפי של בעיית הפרט הראשון הראה כי פונקציית‬
‫הביקוש ל – ‪ X‬שלו הינה )אנו בוחרים ב – ‪ X‬כנומרר(‪:‬‬
‫‪X1(1,P)=0 if P<1‬‬
‫‪X1(1,P)=10+10P if P>1‬‬
‫‪X1(1,P)= 20 or 0 if P=1‬‬
‫פונקציית הביקוש ל – ‪ X‬של הפרט השני ניתנת על ידי‪:‬‬
‫)‪X2(1,P)=0.5(5+5P‬‬
‫‪28‬‬
‫אי קיום שיווי משקל ‪ -‬דוגמה‬
‫כעת נחפש מחיר שיווי משקל‪.‬‬
‫אם מחיר שיווי משקל קטן מ – ‪ ,1‬חייב להתקיים‪:‬‬
‫‪ 0.5(5+5P)=15‬או ‪.P=5‬‬
‫כלומר אין ש"מ עם ‪.P<1‬‬
‫אם מחיר ש"מ גדול מ – ‪ ,1‬חייב להתקיים‪:‬‬
‫‪ 10+10P+2.5+2.5P=15‬או ‪.P=0.2‬‬
‫כלומר אין ש"מ עם ‪.P>1‬‬
‫אם ‪P=1‬‬
‫אזי כאשר הפרט הראשון מבקש ‪ 20‬יש עודף ביקוש ל – ‪,X‬‬
‫ואם הוא מבקש ‪ 0‬יש עודף היצע ל – ‪ X‬כי פרט שני מבקש‬
‫‪ 5‬יחידות ‪.X‬‬
‫כלומר בכלכלה זו לא קיים שיווי משקל תחרותי‪.‬‬
‫מה ה"סיבה"? העדפותיו של פרט ראשון אינן קמורות‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫ש"מ – סיכום‬
‫• למדנו לחשב את ההקצאה שמושגת ע"י מנגנון‬
‫השוק‪.‬‬
‫• יתרון מרכזי של מנגנון זה )על פני תכנון מרכזי(‬
‫הוא ביזור ההחלטות )כל פרט זקוק ל"מעט"‬
‫אינפורמציה חיצונית )מחירי השוק( לצורך קבלת‬
‫ההחלטות‪.‬‬
‫– פשטות באיסוף האינפורמציה‬
‫– אין צורך בתמריצים לגילוי אמיתי של המידע הפרטי‪.‬‬
‫• האם התוצאה שמשיג השוק טובה באותה מידה?‬
‫)האם יש "יד נעלמה"(‬
‫‪30‬‬
‫משפטי הרווחה‬
‫‪31‬‬
‫משפטי הרווחה‬
‫• משפטי הרווחה מקשרים בין הגישה הנורמטיבית )הגדרה‬
‫ואפיון של הקצאות יעילות פרטו( והגישה הפוזיטיבית‬
‫)הגדרה ואפיון של שיווי משקל תחרותי(‪.‬‬
‫• משפט הרווחה הראשון מראה תחת תנאים חלשים מאוד‬
‫)למעשה מספיקה מונוטוניות של ההעדפות( כי כל‬
‫הקצאת שיווי משקל תחרותי הינה הקצאה פארטו יעילה‪.‬‬
‫• משפט הרווחה השני )אותו לא נוכיח( מראה תחת תנאים‬
‫מגבילים יותר )בעיקר העדפות וטכנולוגיות שמתנהגות‬
‫יפה( כי כל הקצאה פארטו יעילה ניתנת לקבלה כשיווי‬
‫משקל תחרותי לאחר חלוקה מתאימה של הרכוש התחילי‬
‫והבעלות על הפירמות‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫משפטי הרווחה‬
‫• משפט הרווחה הראשון מהווה "צידוק" לשימוש במנגנון‬
‫התחרותי )ראו את ה"אזהרה" בהמשך(‪.‬‬
‫• משפט הרווחה השני מראה כי אם אנו מוטרדים מחלוקת‬
‫הרכוש הנובעת משיווי משקל תחרותי ומעוניינים להגיע‬
‫לחלוקה יעילה אחרת )אולי יותר "שיוויונית"( ניתן לעשות‬
‫זאת על ידי "מיסי גולגולת" )מסים אחרים עשויים "לעוות"‬
‫כפי שנראה בנושא הבא(‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫משפטי הרווחה ‪ -‬מגבלות‬
‫• משפטי הרווחה בדרך כלל מופרים כאשר יש "כשלי שוק"‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫כוח שוק‬
‫אינפורמציה אסימטרית‬
‫השפעות חיצוניות‬
‫מוצרים ציבוריים‬
‫• לאור זאת ברור כי יש להתייחס בזהירות רבה לטענה כי משפטי‬
‫הרווחה מראים ששיווי משקל תחרותי מביא להקצאה יעילה פרטו‬
‫ואין שום מקום להתערבות במנגנון השוק החופשי‪.‬‬
‫•‬
‫בנוסף‪:‬‬
‫משפט הרווחה הראשון אינו אומר דבר לגבי עצם קיומו של שיווי משקל תחרותי‪ ,‬כלומר‬
‫יתכן ויש כלכלות עבורן המשפט מתקיים מהסיבה הפשוטה שאין בהן שום הקצאת שיווי‬
‫משקל תחרותי‪.‬‬
‫)כדי להבטיח קיום של ש"מ תחרותי צריך להניח בין השאר כי ההעדפות מתנהגות יפה כך‬
‫שלמעשה הכלכלות עבורן מובטח כי משפט הרווחה הראשון מתקיים באופן "לא ריק" הן‬
‫הכלכלות ה"קמורות"‪(.‬‬
‫‪34‬‬
‫משפט הרווחה הראשון ‪ -‬הוכחה‬
‫הקצאת שיווי משקל תחרותי היא פארטו יעילה‪.‬‬
‫)הנחה יחידה‪ :‬העדפות הפרטים מונוטוניות עולות(‬
‫את משפט הרווחה הראשון ניתן להוכיח באופן חלקי או באופן מלא‪.‬‬
‫• ההוכחה המלאה מראה שש"מ הינו פארטו יעיל מעצם הגדרתו‪ :‬כל‬
‫מקבל החלטות ממקסם בהנתן המחירים והמגבלות ‪ +‬השווקים‬
‫מתנקים‪.‬‬
‫• ההוכחה החלקית משתמשת בתנאים המאפיינים את הש"מ‬
‫)התאמת שעורי תחלופה שוליים למחירים( ומראה שהם זהים‬
‫לתנאים המאפיינים פארטו יעילות )התאמת שעורי התחלופה זה‬
‫לזה(‪.‬‬
‫• חסרון ההוכחה החלקית הוא בכך שהיא מתעלמת מתנאי סדר שני‪,‬‬
‫ומחייבת קיום נגזרות‪ .‬היתרון הוא שהיא מקבילה לדרך החישוב‬
‫של ש"מ ושל הקצאה פארטו יעילה‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫משפט הרווחה הראשון – הוכחה "מלאה"‬
‫• משתמשים בשתי העובדות הבאות‪:‬‬
‫– אם קיים סל העדיף ממש על הסל בו בחר הפרט בשיווי המשקל התחרותי‬
‫אזי סל זה חייב לעלות ממש יותר מהסל בו בחר הפרט‪.‬‬
‫– אם קיים סל העדיף‪/‬אדיש על הסל בו בחר הפרט בשיווי המשקל התחרותי‬
‫אזי סל זה חייב לעלות לא פחות מהסל בו בחר הפרט‪.‬‬
‫• נוכיח את המשפט עבור כלכלת חליפין עם שני פרטים בעלי‬
‫העדפות מונוטוניות עולות ממש‪) .‬ההכללה ל ‪ n -‬פרטים מיידית‪,‬‬
‫וההכללה לכלכלות עם ייצור פשוטה אף היא‪(.‬‬
‫‪36‬‬
‫משפט הרווחה הראשון – הוכחה "מלאה"‬
‫תיאור הסביבה‪ :‬נתונה כלכלה עם שני פרטים‪.‬‬
‫לפרט הראשון העדפות הניתנות על ידי )‪ u1(x1,y1‬וסל תחילי )‪.(wx1,wy1‬‬
‫לפרט השני העדפות הניתנות על ידי )‪ u2(x2,y2‬וסל תחילי )‪.(wx2,wy2‬‬
‫הניחו כי הקצאת שיווי משקל תחרותי בכלכלה זו נתונה על ידי )‪ (x*1,y*1‬לפרט ‪(x*2,y*2),1‬‬
‫לפרט ‪ ,2‬ווקטור המחירים )‪.(p*x,p*y‬‬
‫נניח על דרך השלילה כי קיימת הקצאה אפשרית השולטת פארטו על הקצאת שיווי משקל‬
‫תחרותי זו‪:‬‬
‫כלומר קיימת הקצאה )‪ (x’1,y’1‬לפרט ‪ (x’2,y’2) , 1‬לפרט ‪ 2‬כך ש‪:‬‬
‫‪y’1+y’2=wy1+wy2 x’1+x’2=wx1+wx2‬‬
‫ובלי הגבלת הכלליות נניח כי‪:‬‬
‫)‪u2(x’2,y’2)≥u2(x*2,y*2‬‬
‫)‪u1(x’1,y’1)>u1(x*1,y*1‬‬
‫אי השיוויון הראשון גורר כי‪:‬‬
‫‪p*xx’1+p*yy’1>p*xwx1+p*ywy1‬‬
‫אי השיוויון השני גורר כי‪:‬‬
‫‪p*xx’2+p*yy’2≥p*xwx2+p*ywy‬‬
‫)אם הסל )‪ (x’2,y’2‬היה עולה ממש פחות‪ ,‬ניתן היה לקנות סל הגדול יותר בכל רכיב‪ ,‬ולכן עדיף‬
‫ממש על הסל )‪ (x’2,y’2‬ובגלל טרנזיטיביות של העדפות עדיף גם על הסל )‪ ,(x*2,y*2‬וזו‬
‫סתירה לכך שהקצאת )*( מהווה שיווי משקל תחרותי‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫משפט הרווחה הראשון – הוכחה "מלאה"‬
‫חיבור של שני האי שוויונים גורר כי‪:‬‬
‫)‪p*x(x’1+x’2)+p*y(y’1+y’2)>p*x(wx1+wx2)+p*y(wy1+wy2‬‬
‫וזו סתירה מאחר ושתי ההקצאות אפשריות‪.‬‬
‫לכן לא ניתן למצוא הקצאה אפשרית השולטת פארטו על ההקצאה של שיווי משקל‬
‫תחרותי‪ ,‬כלומר הקצאת שיווי משקל תחרותי הינה יעילה פרטו‪.‬‬
‫במעבר לכלכלות עם ייצור שיטת ההוכחה דומה‪ .‬הסתירה מגיעה מכך שאם הקצאת‬
‫שיווי משקל תחרותי אינה יעילה אזי ניתן למצוא תוכניות ייצור אפשריות שהינן‬
‫רווחיות יותר עבור היצרנים‪ ,‬בסתירה לכך שיצרנים ממקסמים את רווחיהם בשיווי‬
‫משקל תחרותי‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫משפט הרווחה הראשון – הוכחה "חלקית"‬
‫נתונה כלכלה עם שני מוצרים‪ ,‬שני גורמי ייצור‪ ,‬שני יצרנים ושני צרכנים‪.‬‬
‫התנאים מסדר ראשון המאפיינים הקצאה תחרותית הינם‪:‬‬
‫)מקסום רווחים של יצרן ‪(x‬‬
‫‪PXFK =PK‬‬
‫‪PXFL=PL‬‬
‫)מקסום רווחים של יצרן ‪(y‬‬
‫‪PYGK=PK‬‬
‫‪PYGL=PL‬‬
‫)מקסום תועלת של פרט ‪(1‬‬
‫‪MRS1=U1X/U1Y=PX/PY‬‬
‫)מקסום תועלת של פרט ‪(2‬‬
‫‪MRS2=U2x/U2Y =PX/PY‬‬
‫מארבעת המשוואות הראשונות מתקבל כי‪ ,FK/FL=GK/GL :‬כלומר ‪TRSY =TRSX‬‬
‫)יעילות בייצור(‬
‫משתי המשוואות האחרונות מתקבל כי‪ ,U1X/U1Y=U2X/U2Y :‬כלומר ‪MRS1 =MRS2‬‬
‫)יעילות בצריכה(‬
‫מהמשוואה הראשונה והשלישית מתקבל כי‪RPT=GK/FK=PX/PY :‬‬
‫ולכן מתקבל כי‪ ,U1X/U1Y=GK/FK :‬כלומר ‪) RPT=MRS‬ייצור מותאם לצריכה(‬
‫‪39‬‬
‫משפטי הרווחה ‪ -‬הערות‬
‫• נתון חשוב מאוד בו השתמשנו הינו שבשיווי משקל‬
‫תחרותי כל היחידות הכלכליות רואות בשוליים‬
‫אותם מחירים‪.‬‬
‫– התערבות ממשלה )מיסים או סובסידיות(‬
‫– התנהגות לא תחרותית )מונופול או מונופסון(‬
‫מביאים לפערים בין המחירים השוליים לפניהם‬
‫עומדות היחידות הכלכליות ולהפרת התנאים‬
‫מסדר ראשון לפארטו יעילות‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫דוגמה ‪ -‬תרחיש ה "קרקע"‬
‫הניחו כי ישנ
‪ 2‬מוצרי
‪ x‬ו – ‪ ,y‬ושני פרטי
ע
‬
‫העדפות ‪ U1‬ו – ‪ .U2‬למשק יש כמות תחילית‬
‫‪X‬‬
‫של ‪x‬‬
‫ונית לייצר את ‪ y‬באמצעות ‪ x‬לפי פונקציית הייצור‪:‬‬
‫)‪.y=g(xp‬‬
‫התנאי
מסדר ראשו המאפייני
הקצאה פארטו‬
‫יעילה הינ
‪:‬‬
‫‪u1x u 2 x‬‬
‫=‬
‫) ‪(eff . cons., equal MRS‬‬
‫‪u1 y u 2 y‬‬
‫‪u1x‬‬
‫) ‪= g ' ( prod . − cons. matchup, MRS = RPT‬‬
‫‪u1 y‬‬
‫) ‪( production is always efficient‬‬
‫‪41‬‬
‫דוגמה ‪ -‬תרחיש ה "קרקע"‬
‫התנאי
מסדר ראשו המתקיימי
בשיווי משקל‬
‫תחרותי הינ
‪:‬‬
‫‪u1x p x u2 x p x‬‬
‫=‬
‫;‬
‫=‬
‫‪u1 y p y u 2 y p y‬‬
‫‪Py g ' = p x‬‬
‫מזוג המשוואות הראשונות מתקבלת יעילות‬
‫‪u1x u 2 x‬‬
‫=‬
‫בצריכה‪:‬‬
‫‪u1 y u 2 y‬‬
‫מהמשוואה השלישית מתקבל כי‪g'=px/py :‬‬
‫‪u1x‬‬
‫לכ‪= g ' :‬‬
‫‪u1 y‬‬
‫התאמת הצריכה לייצור‪.‬‬
‫‪42‬‬