מבחן מתכונת מס` 1 פרק ראשון: אלגברה והסתברות

‫מבחן מתכונת מס' ‪1‬‬
‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה והסתברות‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫הולך רגל א יצא מביתו לעבר תחנת הרכבת המרוחקת ‪ 18‬ק”מ מביתו‪ 50 .‬דקות אחרי כן יצא הולך רגל ב‬
‫מאותו מקום ולאותו כיוון במהירות הגדולה ב‪ 2-‬קמ”ש ממהירותו של הולך רגל א‪ .‬הולך רגל ב עקף את הולך‬
‫רגל א והגיע לתחנת הרכבת ‪ 40‬דקות לפני הולך רגל א‪.‬‬
‫מצא‪:‬‬
‫א‪ .‬מהירות הולכי הרגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיזה מרחק עקף הולך רגל ב את הולך רגל א‪.‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬הוכח באינדוקציה‪ ,‬או בדרך אחרת‪ ,‬כי לכל ‪ n‬טבעי זוגי מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 + .... + (n − 1)n − n (n + 1) = − n (n + 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9 ⋅10 − 10 ⋅11 + 11 ⋅12 − 12 ⋅13 + .... + 37 ⋅ 38 − 38 ⋅ 39‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫ב‪ .‬חשב את הסכום‪:‬‬
‫‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫הסתברות‬
‫מועצת התלמידים בבית ספר מסוים מונה ‪ 8‬נציגים‪.‬‬
‫בישיבת המועצה הוחלט להצביע בעד או נגד הנהגת תלבושת אחידה בבית הספר‪.‬‬
‫כל אחד מ‪ 8-‬הנציגים נדרש להצביע בעד או נגד באופן הבא‪:‬‬
‫כל נציג בוחר באופן מקרי מספר מן המספרים ‪ 1, 2, 3, ...., 10‬ורושם אותו על פתק‪.‬‬
‫בחירה במספר אי‪-‬זוגי – אם הנציג בעד תלבושת אחידה‪ ,‬ובחירה במספר זוגי – אם הנציג נגד תלבושת אחידה‪.‬‬
‫תלבושת אחידה תונהג בבית הספר אם לפחות שלושה נציגים בחרו מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות ש‪ 7-‬נציגים בדיוק בחרו מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות ‪ 7‬נציגים בחרו מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהי ההסתברות שההצעה לא תתקבל ובבית הספר לא תונהג תלבושת אחידה‪.‬‬
‫פרק שני‪ :‬גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 6-4‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪B‬‬
‫טרפז שווה שוקיים (‪ (AB||CD , AD=BC‬‬
‫חוסם מעגל שרדיוסו ‪ R‬ומרכזו בנקודה ‪.O‬‬
‫‪E‬‬
‫השוק ‪ BC‬משיקה למעגל בנקודה ‪.E‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪10‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪DC = b , AB = a‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪.∆BEO ∼ ∆OEC :‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬רבע מכפלת בסיסי הטרפז‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫שווה לריבוע רדיוס המעגל‪ .‬כלומר‪= R 2 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫צילום ו‪/‬או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית‪.‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫בטרפז ‪ ,(AB||DC) ABCD‬האלכסונים נחתכים בנקודה ‪.O‬‬
‫דרך ‪ O‬מעבירים מקביל לבסיסים שחותך את השוקיים‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫בנקודות ‪ E‬ו‪( F-‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ G‬היא נקודה על ‪ BE‬כך שמתקיים ‪.OG||BC‬‬
‫‪G‬‬
‫א‪ .‬הוכח ‪EO = OF‬‬
‫ב‪ .‬הוכח ‪EG = BG‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪.DC = a , AB = 2DC :‬‬
‫‬
‫‪A‬‬
‫בטא באמצעות ‪ a‬את הקטע ‪. EF‬‬
‫‪A‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫‪N‬‬
‫בתוך מעוין ‪ ABCD‬חסום ריבוע ‪ ,MNPQ‬צלעות הריבוע‬
‫מקבילות לאלכסוני המעוין‪.‬‬
‫נתון כי הזווית החדה של המעוין היא ‪. α‬‬
‫הבע באמצעות ‪ α‬את היחס בין שטח המעוין‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫לשטח הריבוע‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪11‬‬
‫פרק שלישי‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬של פונקצית‬
‫שורש‪ ,‬של פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 9-7‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫‪x−a‬‬
‫‪y = 2− 2‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x − bx − 3‬‬
‫לפונקציה זו יש אסימפטוטה יחידה המקבילה לציר ה‪ , y -‬והיא ‪. x = −1‬‬
‫המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ‪ x = −2‬יוצר זווית בת ‪ °45‬עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪.b‬‬
‫ב‪ .‬חקור את הפונקציה ומצא‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬נקודות קיצון‪ ,‬תחומי עלייה וירידה‪ ,‬אסימפטוטות מקבילות‬
‫לצירים ונקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫‪sin x‬‬
‫= ) ‪ f (x‬בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 2π‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪a − cos x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫המשיק בנקודה שבה ‪ x = π‬מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪12‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪ ,‬נקודות הקיצון ונקודות הפיתול‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא תחומי קעירות כלפי מעלה ‪ U‬ותחומי קעירות כלפי מטה ‪. I‬‬
‫ד‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫צילום ו‪/‬או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית‪.‬‬
‫שאלה ‪9‬‬
‫הגרפים של הפונקציות ‪g (x ) = x + a‬‬
‫‪y‬‬
‫ו‪ f (x ) = (x + a ) -‬נפגשים בשתי נקודות (ראה ציור)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫נסמן ב‪ K-‬את הנקודה הקרובה לראשית הצירים‪.‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של שתי הפונקציות‬
‫(השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪ S2‬הוא השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של שתי הפונקציות‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫וציר ה‪( y -‬השטח המנוקד בציור)‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודה ‪.K‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ‪ S1‬והראה כי אינו תלוי ב‪. a -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הערך של ‪ a‬שעבורו ‪ S2‬הוא מינימלי‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪13‬‬
‫מבחן מתכונת מס' ‪2‬‬
‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה והסתברות‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫מכל מים מתמלא על‪-‬ידי שני ברזים‪ .‬הזמן הדרוש לברז א למלא את המכל לכדי מהווה‬
‫‪5‬‬
‫מהזמן הדרוש‬
‫לברז ב‪ .‬בתחילת היום‪ ,‬כאשר המכל היה ריק‪ ,‬פתחו את שני הברזים‪ .‬לאחר ‪ 5‬שעות נסגר ברז א עקב תקלה‪,‬‬
‫תוקן‪ ,‬ונפתח שוב שעה אחת לפני שהמכל התמלא‪ .‬בשל התקלה התמלא המכל שעתיים וחצי לאחר הזמן‬
‫שתוכנן מראש‪.‬‬
‫א‪ .‬בכמה שעות ממלא כל אחד מהברזים לבדו את המכל?‬
‫ב‪ .‬בכמה שעות ממלאים שני הברזים את המכל כאשר אין תקלות?‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נתונות שתי סדרות‪ :‬סדרה חשבונית וסדרה הנדסית‪ .‬האיבר הראשון בסדרה ההנדסית שווה לאיבר הראשון‬
‫בסדרה החשבונית‪.‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪14‬‬
‫האיבר השני בסדרה ההנדסית שווה לאיבר השלישי בסדרה החשבונית‪.‬‬
‫האיבר השלישי בסדרה ההנדסית שווה לאיבר השבעה־עשר בסדרה החשבונית‪ .‬סכום שלושת האיברים‬
‫הראשונים בסדרה ההנדסית הוא ‪ .114‬מצא את מנת הסדרה ההנדסית‪.‬‬
‫צילום ו‪/‬או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית‪.‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫הסתברות‬
‫בכד יש ‪ 3‬כדורים אדומים‪ ,‬כדור אחד צהוב והשאר שחורים‪.‬‬
‫אם מוציאים מהכד כדור אדום זוכים ב‪ 100-‬ש"ח‪.‬‬
‫אם מוציאים כדור שחור זוכים ב‪ 50-‬ש"ח‪.‬‬
‫ואם מוציאים כדור צהוב לא זוכים כלל‪.‬‬
‫נדב משחק פעמיים‪ ,‬לאחר כל הוצאה הוא מחזיר את הכדור לכד‪.‬‬
‫ההסתברות של נדב לזכות ב‪ 50-‬ש"ח בדיוק היא‪. 3 :‬‬
‫‪25‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה כדורים בכד‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות של נדב לזכות לפחות ב‪ 150-‬ש"ח‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם ידוע כי נדב זכה ב‪ 150-‬ש"ח לפחות‪.‬‬
‫‬
‫מה ההסתברות שבהוצאה ראשונה זכה ב‪ 50-‬ש"ח?‬
‫פרק שני‪ :‬גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 6-4‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫המשולשים ‪ ADE, ABC‬ו‪ BDF-‬הם ישרי־זווית ושווי־שוקיים (ראה ציור)‪.‬‬
‫א‪AB = EF .‬‬
‫ב‪BFE = 180° .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪CBF +‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫ג‪ .‬המרובע ‪ BCEF‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪15‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫הנקודות ‪ A,D,C,E‬על המעגל‪.‬‬
‫המשך הצלע ‪ AB‬חותך את המיתר ‪ EC‬בנקודה ‪.G‬‬
‫‪G‬‬
‫המשך ‪ BC‬חותך את המיתר ‪ AE‬בנקודה ‪.F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪:‬‬
‫‪. ∆CBG ~ ∆CEF‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי‪:‬‬
‫‪AB = BG‬‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪CB 2‬‬
‫=‬
‫‪CE 3‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫חשב את היחס בין שטח המרובע ‪FEGB‬‬
‫ובין שטח המקבילית ‪.ABCD‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫מעגל שמרכזו ‪ O‬חוסם משולש שווה‪-‬שוקיים ‪.)AB=AC( ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫דרך קודקוד ‪ B‬ומרכז המעגל החוסם ‪∆ABC‬‬
‫העבירו ישר החותך את השוק ‪ AC‬בנקודה ‪.F‬‬
‫‪F‬‬
‫נתון‪. AF = a , SBCA = α :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ a -‬את‪:‬‬
‫אורך השוק ‪ ,AB‬בסיס המשולש ‪BC‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪16‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫ורדיוס המעגל החסום ב‪. ∆ABC -‬‬
‫צילום ו‪/‬או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית‪.‬‬
‫פרק שלישי‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬של פונקצית‬
‫שורש‪ ,‬של פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 9-7‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪f (x ) = cos 4 x − sin 4 x − x 2‬‬
‫בתחום ‪. −2 ≤ x ≤ 2‬‬
‫בציור שלפניך מוצגים הגרפים של ) ‪ f (x‬ו‪ f ′ (x )-‬בתחום ‪. −2 ≤ x ≤ 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬איזה גרף ‪ I‬או ‪ II‬הוא של הפונקציה ) ‪ f (x‬ואיזה גרף הוא של ) ‪ ? f ′ (x‬נמק!‬
‫ב‪ .‬חשב את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪ C -‬וקבע מה הוא המקסימום המוחלט של גרף הפונקציה ) ‪f (x‬‬
‫ושל ) ‪ f ′ (x‬בתחום ‪. −2 ≤ x ≤ 2‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח בעזרת גרף הפונקציה ‪ II‬וציר ה‪( x -‬השטח הצבוע בציור)‪.‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫היעזר בציור ובנתונים הרשומים עליו וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫‪17‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫‪ax − b‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪x − cx − b 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ y‬לא מוגדרת כאשר ‪x = b‬‬
‫) ‪(b ≠ 0‬‬
‫אך הישר ‪ x = b‬לא אסימפטוטה לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ו‪. c -‬‬
‫ב‪ .‬דרך נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪ y -‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫‬
‫הבע את משוואת המשיק באמצעות ‪. b‬‬
‫ג‪ .‬המשיק שמצאת בסעיף ב יוצר עם הצירים משולש‪ .‬חשב את שטח המשולש והראה שאינו תלוי בערכו‬
‫של ‪. b‬‬
‫ד‪ .‬נתון כי ‪ b > 0‬מצא תחומי עלייה ותחומי ירידה ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫שאלה ‪9‬‬
‫נתונה הפונקציה‪f (x ) = 2sin x + 2 :‬‬
‫בנקודה ‪ x = 0‬ובנקודה ‪ , x = π‬שעל גרף הפונקציה‪ ,‬העבירו משיקים לפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך שבין שני משיקים אלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה ועל‪-‬ידי שני המשיקים שמצאת בסעיף א‪.‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪18‬‬
‫בהצלחה!‬
‫צילום ו‪/‬או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית‪.‬‬
‫מבחן מתכונת מס' ‪3‬‬
‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה והסתברות‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫המרחק מנתניה לתל‪-‬אביב הוא ‪ 40‬ק”מ‪ .‬בבוקר יצאה מכונית א עם דברי דואר מנתניה לכיוון תל‪-‬אביב‪.‬‬
‫כעבור ‪ 20‬דקות יצאה אחריה מכונית ב מנתניה במהירות ‪ 45‬קמ”ש‪ ,‬כדי להוסיף חבילה עם דברי דואר‬
‫שנשכחה‪ .‬היא הדביקה את מכונית א וחזרה מיד לנתניה‪ .‬ברגע שעברה את מחצית הדרך ממקום הפגישה‬
‫עם מכונית א לנתניה‪ ,‬הגיעה מכונית א לתל‪-‬אביב‪ .‬מהירות המכוניות לא השתנתה במהלך הנסיעה‪.‬‬
‫מצא את מהירות מכונית א‪.‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫‪ an‬מסמל את האיבר במקום ה‪ n -‬בסדרה חשבונית‪3 ,5 ,7,.....:‬‬
‫הוכח באינדוקציה כי הביטוי ‪ 8n+1 + 12 ⋅ 5a‬מתחלק ב‪ 68-‬לכל ‪ n‬טבעי ללא שארית‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫הסתברות‬
‫כדי להתקבל לאוניברסיטה מסוימת יש להיבחן ב‪ 5-‬בחינות כניסה‪ .‬מועמד שמצליח לפחות ב‪ 4-‬בחינות‬
‫מתוך ה‪ 5-‬מתקבל לאוניברסיטה‪.‬‬
‫ההסתברות של נועם להצליח בכל אחת מהבחינות היא ‪ ,0.9‬וההסתברות של יובל להצליח בכל‬
‫אחת מהבחינות היא ‪ .0.8‬נועם וגם יובל ניגשו לבחינות‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שנועם לא יתקבל לאוניברסיטה ויובל יתקבל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שנועם יתקבל ויובל לא יתקבל‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע שרק אחד משני הנבחנים התקבל לאוניברסיטה‪ .‬מה ההסתברות שזה נועם‪.‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‪19‬‬
‫פרק שני‪ :‬גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 6-4‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫בטרפז ‪ (AB||DC) ABCD‬חסום מעגל שמרכזו בנקודה ‪.O‬‬
‫‪H‬‬
‫הקטע ‪ ED‬חותך את המעגל בנקודה ‪.G‬‬
‫הנקודות ‪ F, H, E‬הן נקודות השקה‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכח‪EF = EG ⋅ DH :‬‬
‫‪GF‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים (‪.)AB=AC‬‬
‫הנקודות ‪ K‬ו‪ P-‬נמצאות על הצלעות ‪ AB‬ו‪ AC-‬כך ש‪. KB = 1 AK , AP = PC :‬‬
‫‪2‬‬
‫המשך הקטע ‪ PK‬חותך את המשך הבסיס ‪ BC‬בנקודה ‪( N‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪ Q‬נקודה על ‪.PC‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪PK||QB‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪AQ .‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪PQ = QC .‬‬
‫= ‪AP‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪20‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪BC = BN‬‬
‫‪P‬‬
‫‪K‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫צילום ו‪/‬או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית‪.‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש ישר זווית‪. SC = 90o ,‬‬
‫נתון כי הניצב ‪ BC‬משיק למעגל בנקודה ‪ ,D‬והיתר ‪ AB‬עובר‬
‫דרך מרכז המעגל‪.‬‬
‫הניצב ‪ AC‬חותך את המעגל בנקודה ‪.E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪BD = m‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪O‬‬
‫‪SB = β‬‬
‫‬
‫הבע באמצעות ‪ m‬ו‪ β -‬את ‪ AB‬ואת ‪.AE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫פרק שלישי‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬של פונקצית‬
‫שורש‪ ,‬של פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 9-7‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫‪π‬‬
‫נתונה הפונקציה‪ f (x ) = sin 2 x cos x − 4.75cos x :‬בתחום‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪.0 ≤ x‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪π‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הפיתול של הפונקציה בתחום‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה ) ‪ , f (x‬הצירים‪ ,‬והישר המאונך לציר ה‪ x -‬והעובר דרך‬
‫‪π‬‬
‫נקודת הפיתול של הפונקציה בתחום < ‪. 0 < x‬‬
‫‪2‬‬
‫< ‪. 0 < x‬‬
‫‪21‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫‪yy‬‬
‫לגרף הפונקציה ‪ y = x 2 − 4‬מעבירים משיקים‬
‫בנקודות ‪ M‬ו‪ ,N-‬שהן סימטריות ביחס לציר ה‪. y -‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫המשיקים נפגשים בנקודה ‪.P‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫מה צריכים להיות שיעורי הנקודה ‪ M) M‬ברביע הראשון)‬
‫‪x‬‬
‫שעבורה שטח ‪ ∆MNP‬הוא מינימלי?‬
‫‪P‬‬
‫שאלה ‪9‬‬
‫‪yy‬‬
‫בציור מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪4 x 4 − 16 x 3 + 15 x 2 + 2 x − 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫≠‬
‫‪−‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫(‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x +1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫מהנקודה ‪ A  ,1‬שמחוץ לגרף מעבירים משיקים‬
‫‪2 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪xx‬‬
‫לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות ההשקה ואת משוואות המשיקים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה למשיקים‪.‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪22‬‬
‫בהצלחה!‬
‫צילום ו‪/‬או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית‪.‬‬
‫מבחן מתכונת מס' ‪4‬‬
‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה והסתברות‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫בשני כלים‪ ,‬שהקיבול של כל אחד מהם ‪ 40‬ליטרים‪ ,‬יש בסך הכול ‪ 40‬ליטרים כוהל נקי‪ .‬ממלאים את כלי‬
‫א במים מזוקקים עד שהכלי מתמלא‪ .‬מעבירים חלק מהתערובת שהתקבלה בכלי א לכלי ב‪ ,‬עד שכלי ב‬
‫מתמלא‪ .‬לבסוף מעבירים ‪ 16‬ליטרים מהתערובת שהתקבלה בכלי ב לכלי א‪ ,‬ואחרי כן כמות הכוהל הנקי בכלי‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ב גדולה ב‪ 2 -‬ליטרים מכמות הכוהל הנקי בכלי א‪.‬‬
‫מצא את כמות הכוהל הנקי שהייתה בהתחלה בכלי א‪.‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫נתונה הסדרה ‪,.... :‬‬
‫‪1 ⋅ 6 6 ⋅11 11 ⋅16‬‬
‫א‪ .‬בהנחה שהחוקיות נמשכת‪ ,‬מצא את האיבר הכללי ‪. an‬‬
‫ב‪ .‬הוכח באינדוקציה‪ ,‬או בדרך אחרת‪ ,‬כי סכום הסדרה מקיים לכל ‪ n‬טבעי‪:‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫הסתברות‬
‫בכד א' יש ‪ 6‬כדורים אדומים‪ .‬בכד ב' יש ‪ 2‬כדורים שחורים ו‪ 4-‬כדורים אדומים‪ .‬בכד ג' יש ‪ 6‬כדורים שחורים‪.‬‬
‫בוחרים באקראי כד מבין הכדים א' ו‪-‬ג' ומעבירים את תכולתו לתוך כד ב'‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים באקראי כדור מתוך כד ב'‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות שהכדור שהוצא מכד ב' הוא אדום אם ידוע שנבחר כד א'‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות שהכדור שהוצא מכד ב' הוא אדום אם ידוע שנבחר כד ג'‪.‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪2n‬‬
‫‪5n + 1‬‬
‫< ‪a1 + a2 + a3 + ....an‬‬
‫‪23‬‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות שהכדור שהוצא מכד ב' הוא אדום‪.‬‬
‫ד‪ .‬לאחר הוצאת הכדור מכד ב'‪ ,‬רואים מה צבעו‪ ,‬ומשאירים אותו בחוץ‪.‬‬
‫לאחר מכן מוציאים באקראי כדור נוסף מכד ב'‪.‬‬
‫מה ההסתברות שהכדור הוא אדום אם ידוע שנבחר כד א'‪.‬‬
‫‬
‫פרק שני‪ :‬גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫פתור שתיים מהשאלות ‪( 6-4‬לכל שאלה ‪ 16 2 -‬נקודות)‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪ D‬היא נקודה כלשהי על הבסיס ‪BC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫של משולש שווה‪-‬שוקיים ‪.(AB = AC) ABC‬‬
‫המקבילים לשוקיים העוברים דרך ‪ D‬חותכים‬
‫את השוקיים בנקודות ‪ E‬ו‪.F-‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫הוכח כי ‪ DF + DE‬הוא גודל קבוע ושווה לאורך שוק המשולש‪.‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫‪ AB‬משיק בנקודה ‪ B‬למעגל שמרכזו בנקודה ‪.M‬‬
‫‪ AD‬חותך את המעגל בנקודה ‪.C‬‬
‫פוקוס במתמטיקה קיץ ‪ — 2011‬שאלון ‪ — 806‬אפוטה‬
‫‪24‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫נקודה ‪ E‬היא אמצע המיתר ‪.CD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אפשר לחסום את המרובע ‪ ABME‬במעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. AEB = AMB‬‬
‫‪B‬‬
‫צילום ו‪/‬או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית‪.‬‬