Odvod

ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
OSNOVE ODVODA - utrjevanje
e-gradivo
izr. prof. dr. Petra Šparl
Kranj 2013/14
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
1. Zveznost realnih funkcij
x
Prouµcimo zveznost funkcije f (x) =
2
2x
; x<1
.
; x 1
Graf funkcije f (x) je enak
y
10
5
-4
-2
2
4
x
-5
Kot vidimo graf v toµcki x = 1 NI sklenjen, temveµc ima skok.
Namreµc, f (1) = 1 po prvem predpisu in f (1) = 2 po drugem predpisu.
Torej, funkcija f (x) v toµcki x = 1 NI zvezna.
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zveznost realnih funkcij II
Prouµcimo zveznost funkcije g(x) = x3
2x2 + 5.
Graf funkcije f (x) je enak
y
40
20
-2
2
-20
4
x
-40
Kot vidimo, je v tem primeru graf neprekinjena gladka krivulja, kar
pomeni, da je zvezna v vsaki toµcki svojega de…nicijskega obmoµcja.
Funkcija g(x) je torej zvezna funkcija.
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Naloge - zveznost
1. Doloµcite toµcke nezveznosti funkcije f (x) =
Odgovor utemeljite!
8
< 1
x2
;
2. Dana je funkcija y =
a
;
:
1+x ;
parameter a, da bo funkcija zvezna
Odgovor utemeljite!
8
>
>
<
1
x
1
x
>
>
:
3
;
x<0
; 06x61
.
; 1<x62
; 2<x63
x<0
x = 0 . Kakšen mora biti
x>0
v toµcki 0 ?
3. Doloµcite parameter λ tako, da bo funkcija
e x+1 ; x 0
y=
zvezna za vsak x.
x+λ ; x < 0
Narišite graf dobljene funkcije.
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
2. Limita funkcije
Intuitivno je limita funkcije f : D ! R v toµcki x0 2 D enaka številu L, od
katerega se poljubno malo razlikujejo funkcijske vrednosti f (x) v vseh
toµckah x, ki so dovolj blizu x0 .
Formalno se de…nicija limite glasi:
De…nicija
Število L je limita funkcije f (x) v toµcki x0 , µce za vsako število e > 0
obstaja takšno število δ > 0, da za vsak x 6= x0 velja:
µce je jx
x0 j < δ, potem je jf (x)
Lj < e.
Oznaka L = lim f (x).
x ! x0
Opomba. Limita funkcije lahko obstaja tudi v toµckah, kjer funkcija NI
de…nirana.
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x) =
x2 +2x 1
,
2x2 x+1
v toµcki x0 = 0.
Rešitev. Najprej vstavimo vrednost x = 0 v funkcijski predpis.
V našem primeru dobimo:
x2 +2x 1
2
x!0 2x x+1
lim
Torej, lim f (x) =
x!0
1
2
= 02 0+2 2 00+11 =
1
1
= 1.
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g(x) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x ! x0
g(x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0, 0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
Zgled 2. Izraµcunajmo limito funkcije g(x) =
1
x 2
12
,
x3 8
v toµcki x0 = 2.
Rešitev. Najprej izraµcunajmo g(2):
lim
x!2
1
x 2
12
x3 8
1
2 2
= lim
x!2
12
23 8
= lim
x!2
1
0
12
0
=∞
∞.
Dobili smo nedoloµcen izraz, torej moramo funkcijski predpis preoblikovati.
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
lim
x!2
1
x 2
12
x3
8
(x2 +2x+4) 12
x3 23
x!2
= lim
x2 +2x 8
3
3 .
x!2 x 2
= lim
Ker je funkcijska vrednost imenovalca v toµcki x = 2 še vedno enaka 0,
poskusimo števec in imenovalec razstaviti:
(x 2)(x+4)
(
x
2)(x2 +2x+4)
x!2
= lim
x+4
2 +2x+4 .
x
x!2
= lim
Po krajšanju dobimo ulomek, katerega funkcijska vrednost imenovalca v
toµcki x = 2 ni enaka 0. Zato v zadnjem koraku le še izraµcunamo
funkcijsko vrednost dobljenega izraza v toµcki x = 2.
=
Torej lim g(x) = 12 .
x!2
2+4
22 + 2 2 + 4
= 12 .
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi IIII
p
p
x
3
x 3
Zgled 3. Izraµcunajmo limito funkcije h(x) =
v toµcki x0 = 3.
0
Rešitev. Ker je h(3) = 0 , kar je nedoloµcen izraz, moramo predpis
ponovno oblikovati. Tokrat bomo razstavili imenovalec z uporabo formule
a2 b2 = (a b)(a + b).
lim
x!3
Kot vidimo, lahko izraz
dobimo limito:
p
p
x
3
x 3
p
x
=
p
p p
lim p px p3 p
3)( x+ 3)
x!3 ( x
3 v števcu in imenovalcu pokrajšamo in
p 1p .
x!3 x+ 3
= lim
V dobljeni izraz lahko vstavimo vrednosti x = 3 in dobimo:
=
p 1p
3+ 3
=
1
p
2 3
=
p
3
6 .
Opomba. Zadnjo enakost
p smo dobili z racionalizacijo (mnoµzenjem
števca in imenovalca s 3).
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
3. De…nicija in geometrijski pomen odvoda
De…nicija
Odvod zvezne funkcije y = f (x) je funkcija f 0 (x), ki je enaka limiti
diferenµcnega kvocienta
f (x + h)
h
h!0
f 0 (x) = lim
f (x)
.
Geometrijski pomen odvoda
Na graf zvezne funkcije y = f (x) µzelimo postaviti tangento v toµcki
x = x0 .
Velja, da je smerni koe…cient tangente kT enak funkcijski vrednosti
odvoda v toµcki x = x0 :
kT = f 0 (x0 ).
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
3.1 Osnovna tabela odvodov in pravila
Funkcije odvajamo s pomoµcjo osnovne tabele odvodov
xn
f (x)
f 0 (x)
nxn-1
ex
ln x
ex
1
x
sin x
cos x
cos x
-sin x
ax
loga x
tan x
cot x
ax ln a
1
x ln a
1
cos2 x
1
sin2 x
in osnovnih pravil za odvajanje:
1. (k f (x))0 = k f 0 (x),
2. (f (x)
g(x))0 = f (x)0
g(x) 0 ,
3. (f (x) g(x))0 = f (x)0 g(x) + f (x) g0 (x),
4.
f (x)
g(x)
0
f (x) 0 g(x) f (x) g(x) 0
=
g(x)2
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Naloge
1. S pomoµcjo osnovne tabele odvodov in osnovnih pravil za odvode
izraµcunajte odvode naslednjih funkcij:
1.1 f (x) = 5x2
7x3 + 8x
p
x + 3,
1.2 g(x) = x2 ex ,
1.3 h(x) =
x2 1
5x+2 ,
1.4 i(x) = x ln x
x.
2. Doloµcite enaµcbo tangente na krivuljo y = x3
x0 = 1.
3x2 + 2 v toµcki
3. V kateri toµcki parabole y = x2 2x + 5 je potrebno postaviti
tangento, da bo vzporedna premici y = x? Parabolo in dobljeno
tangento narišite v isti koordinatni sistem.
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Rešitve - zveznost
1. Toµcki nezveznosti sta:
x1 = 0, ker je f (0) = 1 in f (x) = ∞, ko x raste proti 0
(lim f (x) = ∞),
x"0
x2 = 2, ker je f (2) = 2 in f (x) = 3, ko se x pribliµzuje vrednosti 2 z
leve (lim f (x) = 3).
x#2
2. a = 1.
Utemeljitev: µce naj bo f (x) zvezna v toµcki x = 0, potem mora
veljati: 1 02 = a in a = 1 + 0 ) a = 1
3. λ = 2 :
Utemeljitev: ker sta funkciji e x + 1 in x + λ zvezni na celotni realni
osi, je edina toµcka, ki je lahko problematiµcna, toµcka x = 0.
V tej toµcki mora veljati: e 0 + 1 = 0 + λ ) λ = 2
2
y
-5 -2
-4
5
x
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Rešitve - odvod
1. Odvodi funkcij
a) f 0 (x) = 10x
21x2
b) g0 (x) = x2 ex + 2xex
5
c) h0 (x) = 2 5xx+2
1
p
2 x
(5x+2)
2
+8
x2
1
d) i0 (x) = ln x
2. kT = f 0 (1) = 3 in T (1, 0):
enaµcbe tangente: y y0 = kT (x x0 ) ) y = 3x + 3.
3. Tangenta in premica y = x morata imeti enak smerni koe…cient:
kT = 1
f 0 (x) = 2x 2 = 1 ) x0 = 32 in y0 = 17
4
17
3
11
Enaµcba tangente: y
4 = 1 (x
2) ) y = x + 4
y
15
-2
0
2
4
x