NEKAJ O NESKONČNI LIMITI

NEKAJ O NESKONČNI LIMITI
Pri brskanju po spletu sem naletel na to sliko:
Oglejmo si definicijo neskončne limite.
Funkija f ima v točki a limito ∞, če za vsako pozitivno realno število M
obstaja tako pozitivno število δ, da za vsak x 6= a velja
x ∈ (a − δ, a + δ) ⇒ f (x) > M .
Oznaka:
lim f (x) = ∞
x→a
Četudi definicije kdo ne razume, si za reševanje nalog zadošča zapomniti
naslednje. Tesno blizu števila a z leve in desne morajo vrednosti
funkcije iti čez vse pozitivne meje. Torej v ∞.
Če ima funkcija f v točki a limito ∞, potem je premica x = a navpična
asimptota grafa funkcije f . Graf se navpični asimptoti daleč stran od koordinatnega izhodišča v smeri ordinatni osi tesno prilega.
Podobno je z lim f (x) = −∞. Več o tem pri pouku v 4. letniku.
x→a
Oglejmo si dva preprosta primera.
1
Na prvi sliki je narisan graf funkcije f (x) =
1
x
.
Ko gre x proti 0 z desne, gredo vrednosti funkcije proti ∞. Ko pa gre x
1
proti 0 z leve, gredo vrednosti funkcije proti −∞. Da bi veljalo lim = ∞,
x→0 x
bi morale vrednosti funkcije z obeh strani iti proti ∞. Ker temu ni tako,
1
lim 6= ∞. Pravimo, da ta limita ne obstaja.
x→0 x
Na drugi sliki je narisan graf funkcije f (x) = x12 .
Ko gre x proti 0 z desne, gredo vrednosti funkcije proti ∞. Ko pa gre x
1
proti 0 z leve, gredo vrednosti funkcije proti ∞. Sledi lim 2 = ∞.
x→0 x
2
NAZAJ K ZAČETNI SLIKI
1. Odpravimo prvo napako na začetni sliki:
1
6= ∞
x→8 x − 8
To lahko vidimo na spodnji sliki, kjer je narisan graf
1
funkcije f (x) = x−8
.
lim
Da bi bilo vse v redu, bi morali na primer zapisati:
lim
x→8
1
=∞
(x − 8)2
Da je temu tako, se prepričajmo na spodnji sliki, kjer je narisan graf
1
funkcije f (x) = (x−8)
2 .
2. Druga napaka na začetni sliki:
Glejte drugo limito na začetni sliki.
3
3. Prvo limito na začetni sliki označimo z izjavo A, drugo pa z izjavo B in
si oglejmo izjavo A ⇒ B . Izjava je pravilna, saj je implikacija dveh izjav
nepravilna le tedaj, ko je prva izjava pravilna, druga pa nepravilna.
Torej, smejimo se pravilni izjavi.
Morda je dijak prepoznal učiteljevo "napako"in nalašč napisal tak rezultat, saj se je zavedal, da bo pravilno, če iz nepravilne izjave sledi
nepravilna izjava. Komu bi se lahko smejali tedaj?
Ne vemo, kako je dijak razmišljal, zato gre kritika izključno učitelju.
Težko verjamemo, da se je učitelj zmotil, saj bi se pri pripravi te slike
gotovo popravil.
Napisal: Gregor Kopinč
4