docUvod. Zaporedja
download 
Report Transcription
Uvod. Zaporedja
UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Plan dela 1 Zaporedja in številske vrste: zaporedja: de…nicija, lastnosti, stekališµce, limita, aritmetiµcno in geometrijsko zaporedje, številske vrste: de…nicija, geometrijska vrsta, konvergenµcni kriteriji. ZAPOREDJA Matematika VS - izredni 2 Realne funkcije ene spremenljivke de…nicija realne funkcije, de…nicijsko obmoµcje in zaloga vrednosti realne funkcije, funkcijski predpis funkcije, niµcla funkcije, funkcijska vrednost funkcije, graf funkcije, osnovne elementarne funkcije, zveznost in limita funkcije. izr. prof. dr. Petra Šparl Kranj 2013/14 3 Odvod de…nicija in geometrijski pomen odvoda (tangenta), pravila za odvajanje, Uporaba odvoda (monotonost, ukrivljenost, ekstremi). izr. prof. dr. Petra Šparl UVOD ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJA izr. prof. dr. Petra Šparl ŠTEVILSKE VRSTE Plan dela (2. del) UVOD ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Literatura Osnovna literatura 4. Integral doloµceni in nedoloµceni integral, zveza med doloµcenim in nedoloµcenim integralom, pravila za integriranje, uporaba doloµcenega integrala (plošµcine krivoµcrtnih likov, volumen vrtenine). M. Bren, J. Gaber: Matematika, Naloge iz linearne algebre, Moderna organizacija, Kranj Dodatna literatura 5. Linearna algebra Geometrijski vektorji, matrike, determinante, reševanje sistemov lineranih enaµcb. izr. prof. dr. Petra Šparl µ M. Bren, S. Kapus, A. Znidarš iµc: Matematika, Naloge iz Analize I, Moderna organizacija, Kranj ZAPOREDJAMatematika VS - izredni M.Mencinger, P.Šparl, S.Gaboroviµc: Uvajalni teµcaj iz matematike, Tehniške fakultete Maribor Spletno gradivo E-um: http://www.e-um.si/ izr. prof. dr. Petra Šparl ZAPOREDJAMatematika VS - izredni UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE De…nicija UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Primeri zaporedij Zaporedje s predpisom an = n sestavljajo µcleni: 1, 2, 3, 4, 5, ... Zaporedje s predpisom bn = n1 sestavljajo µcleni: 1, 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , ... V zaporedju cn = ( 1)n se µcleni ponavljajo: 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... V zaporedju dn = 1 so vsi µcleni enaki 1 De…nicija Zaporedje je predpis f : N ! R, ki vsakemu naravnemu številu n 2 N priredi natanko doloµceno realno število an 2 R. Ko n preteµce celotno mnoµzico N dobimo zaporedje realnih števil a1 , a2 , ..., an , ..., Vµcasih zaporedje podamo z rekurzivno formulo ki jih imenujemo µcleni zaporedja (an ). a1 = 1, a2 = 1, an +2 = an + an +1 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Fibonaccijevo zaporedje izr. prof. dr. Petra Šparl UVOD ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJA izr. prof. dr. Petra Šparl ŠTEVILSKE VRSTE Monotonost (narašµcanje oz. padanje) zaporedij UVOD ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Omejenost De…nicija Število z je zgornja meja zap. (an ), µce so vsi µcleni manjši ali enaki z : an z za vsak n 2 N. De…nicija µ za zaporedje (an ) velja: Ce an + 1 an (oz. an +1 > an ) za vsak n 2 N, potem je (an ) narašµcajoµce (oz. strogo narašµcajoµce) zaporedje. µ za zaporedje (an ) velja: Ce an + 1 Število s je spodnja meja zap. (an ), µce so vsi µcleni veµcji ali kveµcjemu enaki s : an s an (oz. an +1 < an ) za vsak n 2 N, potem je (an ) padajoµce (oz. strogo padajoµce) zaporedje. izr. prof. dr. Petra Šparl ZAPOREDJAMatematika VS - izredni za vsak n 2 N. De…nicija Zaporedje, ki je omejeno navzdol in navzgor imenujemo omejeno zaporedje. izr. prof. dr. Petra Šparl ZAPOREDJAMatematika VS - izredni UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Stekališµce in limita zaporedja Natanµcna spodnja in natanµcna zgornja meja De…nicija Interval (x µ ima zaporedje spodnjo ali zgornjo mejo, jih ima ∞. Opomba: Ce Zato je smiselno poiskati najmanjšo zgornjo mejo in najveµcjo spodnjo mejo. e, x + e) imenujemo e-okolica števila x je. De…nicija Stekališµce zaporedja (an ) je tako število s, da je v vsaki njegovi okolici (s e, s + e) za e > 0 De…nicija Najmanjšo zgornjo mejo imenujemo natanµcna zgornja meja M. Najveµcjo spodnjo mejo imenujemo natanµcna spodnja meja m. neskonµcno mnogo µclenov. De…nicija Število L je limita zaporedja (an ), µce je v vsaki e-okolici neskonµcno mnogo µclenov, zunaj nje pa le konµcno mnogo µclenov. izr. prof. dr. Petra Šparl UVOD izr. prof. dr. Petra Šparl ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Velja UVOD ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Lastnosti limit Izrek Vsako omejeno zaporedje ima stekališµce. Naj bo A = lim an in B = lim bn . Potem velja: n !∞ lim (an De…nicija µ ima zaporedje (an ) limito, reµcemo, da je konvergentno, sicer Ce je divergentno. n !∞ bn ) = A n !∞ B, lim (an bn ) = A B, n !∞ µce je bn 6= 0 za vsak n 2 N in B 6= 0, potem je lim ( bann ) = BA . n !∞ Za poljubno zaporedje (an ) velja: lahko ima veµc stekališµc, lahko ima le eno limito, limita zaporedja je tudi stekališµce zaporedja, obratno pa ni nujno, µce ima zaporedje veµc stekališµc je divergentno. izr. prof. dr. Petra Šparl ZAPOREDJAMatematika VS - izredni Izrek Vsako monotono in omejeno zaporedje je konvergentno. Limita narašµcajoµcega in navzgor omejenega zaporedja je L = M. Limita padajoµcega in navzdol omejenega zaporedja je L = m. izr. prof. dr. Petra Šparl ZAPOREDJAMatematika VS - izredni UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Zaporedje z limito e UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Številske vrste Poglejmo si zaporedje an = (1 + Vsoti µclenov neskonµcnega zaporedja (an ) = fa1 , a2 , ..., an , ...g: 1 n n) . a1 + a2 + a3 + ... + an + ... µ Cleni zaporedja: 2, 2.25, 2.37, 2.44, 2.49, ... reµcemo številska vrsta. Števila a1 , a2 , ..., an , ... so µcleni vrste. Pokaµzemo lahko, da je zaporedje an = (1 + n1 )n : Tvorimo novo zaporedje: strogo narašµcajoµce: an +1 > an , s1 = a1 , omejeno navzgor: (1 + n1 )n < 3 s2 = a1 + a2 , .. . Torej je konvergentno. Njegova limita je sn = a1 + a2 + ... + an = .. . 1 lim (1 + )n = 2.71828... = e. n !∞ n ∑ k = 1 ak n Dobljeno zaporedje fs1 , s2 , ..., sn , ...g imenujemo zaporedje delnih vsot. izr. prof. dr. Petra Šparl UVOD izr. prof. dr. Petra Šparl ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Vsota vrste UVOD ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Geometrijska vrsta Geometrijska vrsta je vsota µclenov geometrijskega zaporedja: µ obstaja limita zaporedja delnih vsot Ce a1 + a1 q + a1 q 2 + ... + a1 q n 1 + ... = a1 (1 + q + q 2 + ... + q n Za delno vsoto Sn velja S = lim sn , n !∞ reµcemo, da je vrsta a1 + a2 + ... + an + ... konvergentna, število S pa imenujemo vsota vrste. µ limn !∞ sn NE obstaja, reµcemo, da je vrsta divergentna. Ce Opomba. Vsoto neskonµcne geometrijske vrste dobimo kot limito delnih vsot. Sn = Torej je vsota neskonµcne vrste enaka: a1 ( q n 1 ) a = ( lim q n n !∞ q 1 q 1 n !∞ S = lim Sn = lim n !∞ Upoštevaje implikacijo jq j < 1 ) lim q n = 0, velja n !∞ S= izr. prof. dr. Petra Šparl ZAPOREDJAMatematika VS - izredni a1 ( q n 1 ) . q 1 a1 1 q izr. prof. dr. Petra Šparl za jq j < 1. ZAPOREDJAMatematika VS - izredni 1). 1 + ...). UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Konvergenca vrste UVOD ZAPOREDJA ŠTEVILSKE VRSTE Zgled Preverjanje ali je številska vrsta konvergentna je zapleteno. Potreben pogoj: µ je vrsta a1 + a2 + ... + an + ... konvergentna (jo lahko Ce seštejemo), potem velja lim an = 0. n !∞ ∞ Harmoniµcna vrsta ∑ n =1 ∞ 1 n. ∞ Oziroma, µce lim an 6= 0, potem je vrsta ∑ an divergentna (je ne µ naj vrsta ∑ an konvergira, morajo njeni µcleni Opomba. Ce moremo sešteti). “dovolj hitro” padati proti 0. n !∞ n =1 n =1 Zgornji pogoj NI zadosten! Obstajajo namreµc zaporedja, za katera velja lim an = 0, pa vrsta n !∞ ∞ ∑ an NI konvergentna. n =1 izr. prof. dr. Petra Šparl UVOD ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJA izr. prof. dr. Petra Šparl ŠTEVILSKE VRSTE Konvergenµcni kriteriji Obstaja veµc kriterijev, ki povedo kdaj je dana vrsta konvergentna (uµcbenik). Kvocientni kriterij ∞ µ za vrsto ∑ an obstaja lim Ce n =1 n !∞ a n +1 an = k, potem velja: - µce je k < 1, je vrsta konvergentna, - µce je k > 1, potem je vrsta divergentna, - µce je k = 1, o konvergenci ne moremo soditi (kriterij ne ustreza) izr. prof. dr. Petra Šparl ZAPOREDJAMatematika VS - izredni ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
