ZLATI REZ in FIBONACCIJEVO ZAPOREDJE

Slide 1
Vse oblike lepote temeljijo na
urejenosti in matematika je
svet skorajda popolne
urejenosti.
Slide 2
“Mnoge lepote narave izpričujejo
matematično urejenost in izjemno
logičnost našega sveta.”
Galileo Galilei je že pred več kot
300 leti zapisal, da so “zakoni
narave zapisani v jeziku
matematike”.
Slide 3
ZLATI REZ
in
FIBONACCIJEVO
ZAPOREDJE
Slide 4
Eno pomembnih značilnosti narave je ZLATI
REZ, ki je tako kot Fibonaccijevo zaporedje v
naravi pogosto prisoten.
Ideja zlatega reza izvira iz estetskega problema:
če postavimo kvadratno garažo poleg kvadratne
hiše, v kakšnem razmerju naj bosta stranici
garaže in hiše, da bo celota izgledala najlepše.
Odgovor, ki ga poda zahodna umetnost je:
dinamična simetrija, ki je odsev naravnega
ravnovesja med simetrijo in asimetrijo.
Slide 5
Zlati rez
Zlati rez (sectio aurea) je razmerje med večjim
in manjšim delom daljice, ki je enako razmerju
med celo daljico in večjim delom daljice:
A : B = (A+B): A =

Slide 6

1 5
 1,61803398874
2
in je pozitivna rešitev kvadratne enačbe
2   1  0
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Zlati rez v pravilnem petkotniku:
Konstrukcija zlate točke
Slide 10
Nekaj o Fibonacciju
Leonardo Pisano Fibonacci
(1170 – 1250), italijanski
matematik, je leta 1202 pri
študiju razmnoževanja
zajcev prišel do zanimivega
zaporedja števil, ki se prav v
naravi pogosto pojavlja.
Slide 11
Slide 12
Fibonaccijevo zaporedje je podano z
rekurzivno formulo:
f1  1, f 2  1, f n2  f n  f n1, n 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233, 377, 610, 987, ...
Slide 13
Fibonaccijevo zaporedje je povezano z
razmerjem zlatega reza:
f n1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
: , , , , , , , , ,  
f n 1 1 2 3 5 8 13 21 34
Fibonaccijeva števila se izražajo kot lepe potence
zlatega reza:
fn 
Slide 14
Slide 15
1
1
  n
n 
5
5
Čebelje družinsko drevo
je sestavljeno iz
Fibonaccijevih števil.
Samec ima le enega
starša - samico. Samice
imajo dva starša - samca
in samico. Torej ima
samec enega starša, ki
ima dva starša, ta imata
tri starše, ti imajo pet
staršev - Fibonaccijevo
zaporedje.
Podobno je s samico, ki
ima dva starša, ta imata
tri starše, ti pa imajo pet
staršev
Marjetice, ivanjščice, gerbere in
krizanteme imajo običajno 34, 55 ali
89 cvetnih listov.
Slide 16
Luske na olupku
ananasa so razporejene v
8 “linij” v eni in 13 v
drugi smeri.
Število ananasovih lusk,
ki rastejo v isti smeri je
vedno Fibonaccijevo
število
Slide 17
Zlati pravokotnik in logaritemska
spirala (spira mirabilis)
Slide 18
Polžje hišice imajo
spiralno
konstrukcijo, ki
predstavlja zlati
rez
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Ni naključje, da so semena sončnice razporejena v
34 spiralnih krivulj v smeri urinega kazalca in v 21
spiralnih krivulj v obratni smeri.
Število semen je vedno Fibonaccijevo število.
Slide 22
Svetloba je tako najbolj
izkoriščena in so listi od zgoraj
optimalno osvetljeni. Ta pojav se v
botaniki imenuje filotaksija
Slide 23
Struktura DNK – dvojna vijačnica
Slide 24
ČLOVEK
Tudi človeško
telo je
sestavljeno po
principu
zlatega reza, to
je vedel že
Leonardo Da
Vinci kar je
uporabil pri
Kanonu
proporcev
.
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Zlati kot
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Zlati trikotnik in pentagram
Slide 31
Fraktalnost v naravi
Tako zlati rez kot logaritemska spirala nosita v
sebi fraktalno vsebino, saj se oblikovno enak, a
pomanjšan motiv ponavlja v neskončnost.
Fraktalni motiv je sestavljen s ponavljanjem
istega motiva v vse manjšem razmerju.
Slide 32
Slide 33
Fraktalna vsebina zlatega števila je lepo
prikazana z mističnim zapisom neskončnega
ulomka:
2   1  0  2    1    1 
1

1
  1
1
1
1
1
1
Slide 34
Zlati rez v likovni umetnosti in
fotografiji velja za simbol
urejenosti ter pomeni skladnost
merske kompozicije likovne
stvaritve.
Zlati rez pomeni proporcijski ključ
zasnove kompozicije.
Slide 35
Likovna umetnost in
fotografija
Leonardo da Vinci
– Mona Liza
Stradivarijeva violina
Slide 36
Slide 37
Slide 38
Slide 39
Kljub temu, da glasba temelji na racionalnem
številskem sistemu, je bistven estetski moment zlatega
reza. Obstaja namreč povezava med lestvicami in
Fibonaccijevim zaporedjem. Tudi vrhunec se
navadno pojavi na 61,8% skladbe.
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Popoln obraz
naj bi bil v
razmerjih
zlatega reza
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Zlati rez v vsakdanjem življenju
iPod izdelan v razmerju zlatega reza
Nogometna žoga
20 šestkotnikov : 12 petkotnikov =
1.67:1
Slide 46
Spiralna galaksija
Predstavitev pripravila Jasmina Veselinović in Vlado Pirc