1.del - Analiza

Transcription

1.del - Analiza

Naloge za seminar - ANALIZA
1
VS – 2010/2011
Sumacijski simbol
1.
število točk:
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x = (−3, 2, −5, 7,!−2) in!
a) Za
5
X
xi y i
5
X
ter
i=1
xi
i=1
5
X
y = (1, −2, 3, −4, 5) izračunajte vsoti
yi .
i=1
b) Za y = (3, 2, 5, 6, 1) izračunajte vsoti
2.
število točk:
5
X
5
X
i=1
i=1
(2yi + 2) ter
2yi + 2 .
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Če je
80
X
xi = 20 in
število točk:
x2i = 105, izračunajte vsoto
5
80
X
(3xi − 2)2 .
i=1
i=1
i=1
3.
80
X
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte
n
X
(3k 2 − 3k + 1).
k=1
4.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vsoto
2 · 3 + 4 · 5 + 6 · 7 + . . . + 100 · 101
zapišite s sumacijskim znakom in jo izračunajte.
1
2
5.
Zaporedja
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zaporedje je dano z rekurzivno zvezo a1 = 5, an = an−1 − 3 za n ≥ 2. Zapišite prvih
pet členov tega zaporedja in splošni člen. Kako imenujemo tako zaporedje?
6.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zapišite splošni člen zaporedja
2 5 8
, , ···
2 4 6
in raziščite njegove lastnosti (naraščanje/padanje, omejenost, stekališča, limita).
Ugotovitve ustrezno utemeljite.
7.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite stekališča danega zaporedja. Pomagajte si s predstavitvijo členov zaporedja
na številski premici.
n2 + 1
, za n ≥ 2
a) an = 2
n −1
(2 + (−1)n )n
b)
2n + 1
8.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n2 −1
Izračunajte limito zaporedja an = 4 n2 . Koliko členov tega zaporedja se od limitne
vrednosti razlikuje za več kot ε = 10−2 ?
2
9.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte limiti zaporedja
a) an =
b) an =
10.
1−2n
,
1+3n
1−2n
.
1+3n2
število točk:
Izračunajte limito n→∞
lim
11.
število točk:
5
√
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n2 + 3n − n.
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte limiti
2 n
a) lim 1 +
in
n→∞
5n
n + 3 n−2
.
b) n→∞
lim
n+1
12.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte limito zaporedja an =
1
kot ε = 66
?
13.
število točk:
5
n+1
.
2n+3
Koliko členov se od limite razlikuje za več
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) Na kolikšno vrednost naraste vloga 60000 EUR po petih letih pri letni obrestni
meri 7%? Primerjajte navadne in obrestne obresti.
b) Neka glavnica se obrestuje obrestno obrestno pri 7% letni obrestni meri in letni
kapitalizaciji. V koliko letih se vrednost glavnice potroji?
3
3
14.
Vrste
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V neskončni geometrijski vrsti je a1 = 1 in a3 = 19 . Vrsta je alternirajoča. Ali je
konvergentna? Odgovor utemeljite in če je, izračunajte njeno vsoto.
15.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Za katere vrednosti x vrsta
2 + 4x + 8x2 + 16x3 + . . .
konvergira in kolikšna je njena vsota? Določite tak x, pri katerem je vsota enaka 4.
16.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raziščite konvergenco vrste s splošnim členom
2n2 + 3n + 5
.
an =
3n
17.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S kvocientnim kriterijem raziščite konvergenco vrste podane s splošnim členom
an =
4
n!
(2n − 1)!
število točk:
18.
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preučite konvergenco (divergenco) vrst
1 2 3 4
+ + + + . . . in
2 3 4 5
2 4
6
8
b) + +
+
+ . . ..
3 9 27 81
a)
4
19.
Funkcije
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dane so točke A(1, 2), B(2, −1) in C(4, 3). Zapišite enačbo premice skozi točko C,
ki je vzporedna premici skozi A in B, v vseh treh oblikah. Obe premici narišite.
20.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dani sta točki A(3, 5 in B(7.5, 12). Narište ju v koordinatni sistem.
a) Ali točke A, B in izhodišče ležijo na isti premici? Odgovor utemeljite.
b) Določite y tako, da bo točka C(−6, y) ležala na premici skozi izhodišče in točko
A.
c) Določite x tako, da bo D(x, −6) ležala na premici skozi izhodišče in točko B.
d) Ali točke C, D in A ležijo na isti premici? Odgovor utemeljite.
21.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Premica odreže na abscisni osi odsek 3, na ordinatni osi pa odsek -2. Premico
narišite.
a) Zapišite enačbo premice v segmentni obliki in eksplicitni.
b) zapišite enačbo pravokotnice k dani premici, ki poteka skozi točko T (1, 1).
Premico narišite v isti koordinatni sistem.
c) Določite a tako, da bo premica 2ax − y + 12a = 0 vzporedna prvi premici.
Dobljeno premico narišite.
5
22.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite inverzno funkcijo funkcije y = 2x − 3. Obe funkciji narišite v istem koordinatnem sistemu, izračunajte presečišča obeh funkcij s koordinatnima osema.
Poiščite še presečiše obeh funkcij.
23.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Družba Mobilček ponuja naročniški paket za 39.99e. Paket vključuje 350 brezplačnih minut, vsaka nadaljna minuta pa se zaračuna 0.25e.
Zapišite funkcijo, ki podaja mesečne stroške naročnika (funkcija bo sestavljena iz
dveh delov).
Dobljeno funkcijo narišite. Izračunajte mesečni strošek naročnika, če na mesec kliče
200, 351 ali 365 minut. Koliko minut na mesec je klical naročnik, če je dobil račun
52.49e?
24.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V istem koordinatnem sistemu narišite grafe funkcij f (x) = x2 , f1 (x) = x2 + 3,
f2 (x) = (x + 1)2 , f3 (x) = 3x2 . Izračunajte še presečišča funkcij f1 in f2 .
25.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zapišite temensko obliko kvadratne funkcije, ki ima teme v točki T (4, −5), njen
graf pa gre skozi točko (2, −1). Narišite njen graf. V kateri točki seka graf funkcije
ordinatno os? Poiščite tudi presečišča z x osjo.
26.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite vrednosti parametra m, za katerega teme parabole y = 4x2 − 2mx + 1 leži
na premici −3x + y + 6 = 0. Dobljeno parabolo in premico narišite.
6
27.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dani sta kvadratni funkciji f (x) = −x2 + 2x + 3 in g(x) = 21 x2 − 4x +
funkciji narišite v istem koordinatnem sistemu.
15
.
2
Obe
a) Zapišite presečišča obeh funkcij.
b) Za katere x je f (x) > g(x)?
28.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cena p je podana kot funkcija p = − 16 x + 100 (e), kjer je x količina prodanih
izdelkov za katere velja 0 ≤ x ≤ 600.
a) Izrazite prihodke R kot funkcijo x-a. Narišite funkcijo prihodka. (Namig:
prihodek=cena · število prodanih izdelkov)
b) Kakšen je prihodek, če je prodanih 200 izdelkov?
c) Katera količina prodanih izdelkov x maksimizira prihodek? Kakšen je maksimalen prihodek?
d) Kakšno ceno naj podjetje zaračuna, da bo prihodek maksimalen?
29.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V isti koordinatni sistem narišite polinom p(x) = x3 + 2x2 − 4x − 8 in kvadratno
funkcijo f (x) = x2 − 4. Določite presecišca grafov kvadratne funkcije in polinoma.
30.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite vse ničle polinoma p(x) = 3x3 − 2x2 − 7x − 2 in ga narišite.
31.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Narišite graf racionalne funkcije f (x) =
vrednost in asimptoto.)
7
2x2 −8
x2 −2x+1
(Izračunajte ničle, pole, začetno
32.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Narišite graf racionalne funkcije f (x) =
vrednost in asimptoto.)
33.
število točk:
x3 −4x2 +4x
x2 −9
(Izračunajte ničle, pole, začetno
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2x+3
sama sebi inverzna. Za
Določite parameter a tako, da bo funkcija f (x) = 2x+a
izračunano vrednost parametra skicirajte graf funkcije.
34.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V isti koordinatni sistem narišite grafe funkcij f1 (x) = 2x , f2 (x) = 2−x , f3 (x) = 2x+2 ,
f4 (x) = 2x−3 ter f5 (x) = |2x | − 3.
35.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Narišite graf funkcije
ex ;
x≤0
0<x<2
f (x) = x + 1;


2
(x − 1) + 2; x ≥ 2



Zapišite definicijsko območje in zalogo vrednosti.
36.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rešite naslednje enačbe:
a) 0.25x−1 · 82x+1 = 2
b) 4x−4 = 64−x
c) 2x
2 −x−6
=1
3
d) 53x+1 − 125x − 25 2 x−1 = 495
8
37.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Narišite graf funkcije
−x−1 ;
x ≤ −1
x
−1 < x < 1
f (x) = e ;


2
(x − 2) ; x ≥ 1



Zapišite presečišča funkcije f s premico y = 1.
38.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dana je funkcija f (x) = 3−x+1 − 1.
a) Izračunajte presečišča funkcije f s koordinatnima osema.
b) Narišite graf funkcije f . Določite definicijsko območje in zalogo vrednosti.
c) Rešite neenačbo f (x) < 2.
39.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rešite naslednje enačbe:
a) log(x + 1) − 2 log x = log 6
b) ln(1 − 4x) − ln x = 1
c) log(x − 1) − log x = log(x + 3) − log(x − 4)
√
d) log4 x − log2 x − log8 x = 2
40.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V istem koordinatnem sistemu narišite funkciji f (x) = log2 (x) in g(x) = log2 (x + 3).
Določite definicijsko območje in ničle obeh funkcij.
41.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V istem koordinatnem sistemu narišite funkcije f (x) = ln(x) in g(x) = ln(x − 2) in
h(x) = ln(x) − 1. Določite definicijsko območje in ničle vseh funkcij.
9
število točk:
42.
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite definicijsko območje funkcij
a) f (x) = ln −x2 − 4x − 3
√
b) g(x) = x2 − 4x + 3
število točk:
43.
5
√
Dana je funkcija f (x) = log2 (2 + x + 4).
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) Kje seka graf funkcije ordinatno in kje abscisno os?
b) Določite presečišča grafa funkcije f s premico y = 3.
c) Določite funkciji f inverzno funkcijo.
število točk:
44.
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določi točke nezveznosti in nariši funkcijo
ex
;x ≤ 0
f (x) =  x − 1 ; 0 < x ≤ 1

ln x
;x > 1



5
45.
Odvod
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dokažite, da za funkcijo y =
46.
število točk:
5
e5x + 2
velja: 12y + 13y 0 = y 000 .
ex
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite enačbo tangente in normale na krivuljo y = 2 +
x = 0.
10
x
2
− x2 v točki z absciso
47.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zapišite enačbe tangent na krivuljo y = x2 − 5x + 6 v njenih presečiščih s koordinatima osema. Narišite dano krivuljo in pripadajoče tangente.
48.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte limiti
√
x+5−2
a) lim
x→−1
x2 + 1
tgx − sin x
.
b) lim
x→0 x − sin x
49.
število točk:
in
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte limiti
ln(sin 2x)
x→0 ln(sin x)
a) lim
in
3 · 2x−3 − 3
.
x
x→3
−1
3
b) lim
50.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite ekstreme funkcije f (x) = x − ln(1 + x) .
51.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite definicijsko območje, lokalne ekstreme in asimptote funkcije y =
ter skicirajte njen graf.
11
x2
x−1
52.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite lokalne ekstreme funkcije f (x) = x4 − x2 . Funkcijo natančno narišite.
53.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite definicijsko območje, zalogo vrednosti ter lokalne ekstreme funkcije
y = x2 · e−x in skicirajte njen graf.
54.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite definicijsko območje ter lokalne ekstreme funkcije
55.
število točk:
5
y = 2x2 − 24 ln(1 − x).
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite intervale naraščanja in padanja funkcije f (x) = x3 + 2x2 − 1.
56.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite intervale na katerih je funkcija f (x) = x3 + 2x2 − 1 konveksna oz. konkavna.
57.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z žično ograjo nameravamo omejiti pravokotno zemljišče površine 450m2 , ki naj na
eni strani meji na že obsoječ raven zid. Kolikšni morata biti dolžina in širina ograjenega zemljišča, da bo poraba žične ograje najmanjša? Naravo ekstrema utemeljite.
12
število točk:
58.
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Iz kartona izdelujemo škatle (brez pokrova) s kvadratnim dnom in predpisano prostornino 4 dm3 . Kolikšna naj bosta rob dna in višina škatle, da bomo porabili čim
manj kartona? Naravo ekstrema utemeljite!
6
59.
Nedoločeni integral
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte nedoločeni integral:
Z
60.
število točk:
5
1 q √
(1 − 2 ) x x dx.
x
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte nedoločeni integral
Z
61.
število točk:
5
ln x + 2
√
dx
x ln x
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62.
število točk:
5
Z
ex sin(ex ) dx.
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z
1
√
dx.
4 − x2
13
63.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64.
število točk:
5
Z
2x + 3
dx.
(x − 2)(x + 5)
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z
65.
število točk:
5
dx
.
x2 − 6x + 10
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z
6.1
66.
x+1
dx.
x2 + x − 6
Določeni integral
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V integralu
Z a
√
x + 1 dx določite zgornjo mejo tako, da bo njegova vrednost
−1
14
16
.
3
67.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte povprečni vrednosti funkcij na danih intervalih
(a) f (x) = 3x − 2,
(b) f (x) = xe−x ,
68.
število točk:
[1, 4]
[3, 5]
5
in
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte ploščino lika med abscisno osjo, krivuljo y = x−1 ln x ter premicama
x = 1 ter x = e.
69.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte ploščino lika, ki ga oklepajo krivulja y = (x − 3)2 , tangenta nanjo v
točki z absciso x = 5 ter abscisna os.
70.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte ploščino lika med krivuljama y = 14 x2 in y = 3x − 21 x2 .
71.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Izračunajte ploščino lika med krivuljama f (x) = x in g(x) = x3 . Narišite skico in
iz skice s pomočjo kvadratne mreže še ocenite ploščino lika P 0 . Izračunajte relativno
napako ocene.
72.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lik, ki ga oklepata graf funkcije f (x) = x3 in graf njej inverzne funkcije v prvem
kvadrantu, zavrtimo okrog osi x. Izračunajte prostornino nastale vrtenine.
15
73.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lik omejen s krivuljami y = sin x, x = 0 in x =
najte prostornino nastale vrtenine.
74.
število točk:
5
3π
4
vrtimo okrog abscisne osi. Izraču-
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lik omejen s krivuljami y = (x − 2)2 , y = x in y = 0 vrtimo okrog abscisne osi.
Izračunajte prostornino nastale vrtenine.
75.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Lik omejen s krivuljama y = x in y = x2 vrtimo okrog abscisne osi. Izračunajte
prostornino nastale vrtenine.
76.
število točk:
5
Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z določenim integralom izračunajte prostornino prisekanega stožca s polmeroma 3m
in 5m ter višino 6m.
16

1.del - Analiza

Transcription

Similar documents

Naloge za seminar - ANALIZA 1.vaje: Linearna in kvadratna funkcija

izpitna pola 1 - Državni izpitni center

izpitna pola 1 - Državni izpitni center

860 Moldable Polymer Gasketing Cartridge

Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Inštitut za biostatistiko in

1. Računski del izdelka oz.

Izbrane naloge za predmeta Gradbena fizika Uvod v gradbeno fiziko

Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Inštitut za biostatistiko in

naloge 2.letnik.pdf

elektrika - GZ VOJNIK DOBRNA

Kratek stik v omrež ju ž ižoliranim žveždis č em

MAT - Resi, saj znas.pdf