Naloge za seminar - ANALIZA 1.vaje: Linearna in kvadratna funkcija

Transcription

Naloge za seminar - ANALIZA
VS – 2013/2014
1.vaje: Linearna in kvadratna funkcija
1.1.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dane so točke A(1, 2), B(2, −1) in C(4, 3). Zapišite enačbo premice skozi točko C, ki je
vzporedna premici skozi A in B, v vseh treh oblikah. Obe premici narišite.
1.2.
število točk:
5
Dani sta točki A(3, 5 in B(7.5, 12). Narište ju v koordinatni sistem.
a) Ali točke A, B in izhodišče ležijo na isti premici? Odgovor utemeljite.
b) Določite y tako, da bo točka C(−6, y) ležala na premici skozi izhodišče in točko A.
c) Določite x tako, da bo D(x, −6) ležala na premici skozi izhodišče in točko B.
d) Ali točke C, D in A ležijo na isti premici? Odgovor utemeljite.
1.3.
število točk:
5
Premica odreže na abscisni osi odsek 3, na ordinatni osi pa odsek -2. Premico narišite.
a) Zapišite enačbo premice v segmentni obliki in eksplicitni.
b) zapišite enačbo pravokotnice k dani premici, ki poteka skozi točko T (1, 1). Premico
narišite v isti koordinatni sistem.
c) Določite a tako, da bo premica 2ax − y + 12a = 0 vzporedna prvi premici. Dobljeno
premico narišite.
1.4.
število točk:
5
Poiščite inverzno funkcijo funkcije y = 3x − 1. Obe funkciji narišite v istem koordinatnem
sistemu, izračunajte presečišča obeh funkcij s koordinatnima osema. Poiščite še presečiše
obeh funkcij.
1.5.
število točk:
5
Družba Mobilček ponuja naročniški paket za 19.99e. Paket vključuje 350 brezplačnih
minut, vsaka nadaljna minuta pa se zaračuna 0.1e.
a) Zapišite funkcijo, ki podaja mesečne stroške naročnika (funkcija bo sestavljena iz
dveh delov).
b) Dobljeno funkcijo narišite.
c) Izračunajte mesečni strošek naročnika, če na mesec kliče 200, 351 ali 365 minut.
Koliko minut na mesec je klical naročnik, če je dobil račun 24.99e?
1
1.6.
število točk:
5
V istem koordinatnem sistemu narišite grafe funkcij f (x) = x2 , f1 (x) = x2 + 3, f2 (x) =
(x + 1)2 , f3 (x) = −3x2 in f4 (x) = −(x − 2)2 + 3.
Izračunajte še presečišča funkcij f1 in f2 .
1.7.
število točk:
5
Zapišite temensko obliko kvadratne funkcije, ki ima teme v točki T (4, −5), njen graf pa
gre skozi točko (2, −1). Narišite njen graf. V kateri točki seka graf funkcije ordinatno
os? Poiščite tudi presečišča z x osjo.
1.8.
število točk:
5
Poiščite vrednosti parametra m, za katerega teme parabole y = 4x2 − 2mx + 1 leži na
premici −3x + y + 6 = 0. Dobljeno parabolo in premico narišite.
1.9.
število točk:
5
Dani sta kvadratni funkciji f (x) = −x2 + 2x + 3 in g(x) = 12 x2 − 4x +
narišite v istem koordinatnem sistemu.
15
.
2
Obe funkciji
a) Zapišite presečišča obeh funkcij.
b) Za katere x je f (x) > g(x)?
1.10.
število točk:
5
Cena p je podana kot funkcija p = − 61 x + 100 (e), kjer je x količina prodanih izdelkov za
katere velja 0 ≤ x ≤ 600.
a) Izrazite prihodke R kot funkcijo x-a. Narišite funkcijo prihodka. (Namig: prihodek=cena
· število prodanih izdelkov)
b) Kakšen je prihodek, če je prodanih 200 izdelkov?
c) Katera količina prodanih izdelkov x maksimizira prihodek? Kakšen je maksimalen
prihodek?
2. e-vaje: Polinomi in racionalne funkcije
Glej navodila v spletni učilnici!
3. vaje: Eksponentna in logaritemska funkcija
3.1.
število točk:
5
V isti koordinatni sistem narišite grafe funkcij f1 (x) = 3x , f2 (x) = 3−x , f3 (x) = 3x+2 ,
f4 (x) = 3x−3 ter f5 (x) = |3x − 2|.
2
3.2.
število točk:
5
Narišite graf funkcije

x

 e ;
x≤0
0<x<2
f (x) =  x + 1;

2
(x − 1) + 2; x ≥ 2
Zapišite definicijsko območje in zalogo vrednosti.
3.3.
število točk:
5
Rešite naslednje enačbe:
a) 0.25x−1 · 82x+1 = 2
b) 4x−4 = 64−x
c) 2x
2 −x−6
=1
3
d) 53x+1 − 125x − 25 2 x−1 = 495
3.4.
število točk:
5
Narišite graf funkcije

−1

 −x ;
x ≤ −1
−1 < x < 1
f (x) =  e ;

2
(x − 2) ; x ≥ 1
x
Zapišite presečišča funkcije f s premico y = 1.
3.5.
število točk:
5
Dana je funkcija f (x) = 3−x+1 − 1.
a) Izračunajte presečišča funkcije f s koordinatnima osema.
b) Narišite graf funkcije f . Določite definicijsko območje in zalogo vrednosti.
c) Rešite neenačbo f (x) < 2.
3.6.
število točk:
5
Rešite naslednje enačbe:
a) log(x + 1) − 2 log x = log 6
b) ln(1 − 4x) − ln x = 1
c) log(x − 1) − log x = log(x + 3) − log(x − 4)
√
d) log4 x − log2 x − log8 x = 2
3.7.
število točk:
5
V istem koordinatnem sistemu narišite funkciji f (x) = log3 (x) in g(x) = log3 (x + 2).
Določite definicijsko območje in ničle obeh funkcij.
3
3.8.
5
število točk:
V istem koordinatnem sistemu narišite funkcije f (x) = ln(x) in g(x) = ln(x − 2) in
h(x) = ln(x) − 1. Določite definicijsko območje in ničle vseh funkcij.
3.9.
5
število točk:
Določite definicijsko območje funkcij
a) f (x) = ln (−x2 − 4x − 3)
√
b) g(x) = x2 − 4x + 3
3.10.
5
število točk:
Dana je funkcija f (x) = log2 (2 +
√
x + 4).
a) Kje seka graf funkcije ordinatno in kje abscisno os?
b) Določite presečišča grafa funkcije f s premico y = 3.
c) Določite funkciji f inverzno funkcijo.
4. vaje: Sumacijski simbol, lastnosti zaporedij, stekališča
in limita zaporedja ter aritmetično in geometrijsko zaporedje
4.1.
5
število točk:
a) Za
5
X
x = (−3, 2, −5, 7,!−2) in!
xi yi
i=1
5
X
ter
xi
i=1
5
X
y = (1, −2, 3, −4, 5) izračunajte vsoti
yi .
i=1
b) Za y = (3, 2, 5, 6, 1) izračunajte vsoti
5
X
(2yi + 2) ter
število točk:
Če je
80
X
5
xi = 20 in
4.3.
število točk:
Izračunajte
80
X
x2i = 105, izračunajte vsoto
5
n
X
80
X
i=1
i=1
i=1
2yi + 2 .
i=1
i=1
4.2.
5
X
(3xi − 2)2 .
(3k 2 − 3k + 1).
k=1
4
4.4.
število točk:
5
Zapišite splošni člen zaporedja
2 5 8
, , ···
2 4 6
in raziščite njegove lastnosti (naraščanje/padanje, omejenost). Ugotovitve ustrezno utemeljite.
4.5.
število točk:
5
Dano je zaporedje an = 2 · 3n−1 .
a) Narišite prvih pet členov zaporedja.
b) Ali je zaporedje monotono. Odgovor utemeljite.
c) Ali je zaporedje omejeno? Odgovor utemeljite.
4.6.
število točk:
5
Poiščite stekališča zaporedja an =
n2 + 3
, za n ≥ 2. Pomagajte si s predstavitvijo členov
n2 − 1
zaporedja na številski premici.
Ali ima zaporedje limito? Odgovor utemeljite.
4.7.
število točk:
5
Poiščite stekališča zaporedja an =
(2 + (−1)n ) · n
. Pomagajte si s predstavitvijo členov
3n + 2
zaporedja na številski premici.
Ali ima zaporedje limito? Odgovor utemeljite.
4.8.
število točk:
5
Raziščite konvergenco oz. divergenco zaporedij:
a) an =
4.9.
b) an =
1−3n
,
1+2n
1−3n
,
1+2n2
c) an =
1−3n3
,
1+2n3
d) an =
1−3n3
.
1+2n2
število točk:
5
Izračunajte limito zaporedja an =
1
za več kot ε = 66
.
n+1
.
2n+3
Koliko členov se od limitne vrednosti razlikuje
5
4.10.
število točk:
5
Drugi člen aritmetičnega zaporedja je 5, četrti člen pa 9.
a) Poiščite splošni člen zaporedja.
b) Nariši prvih pet členov zaporedja.
c) Izračunajte 12 člen zaporedja.
d) Ali je 98 člen zaporedja? Odgovor utemeljite.
4.11.
število točk:
5
Četrti člen geometrijskega zaporedja je 3, šesti člen pa
1
.
27
a) Poiščite splošni člen zaporedja.
b) Nariši prvih pet členov zaporedja.
c) Izračunajte 2 člen zaporedja.
5. vaje: Številske vrste, obrestno-obrestni račun
5.1.
število točk:
5
Dano je zaporedje 4, 2, 1, 21 .
a) Iz zaporedja sestavite vrsto.
b) Zapišite prvih pet delnih vsot vrste.
c) Ali je vrsta geometrijska? Odgovor utemeljite.
d) Ali je vrsta konvergentna? Odgovor utemeljite.
5.2.
število točk:
5
V neskončni geometrijski vrsti je a1 = 1 in a3 = 19 . Vrsta je alternirajoča. Ali je konvergentna? Odgovor utemeljite in če je, izračunajte njeno vsoto.
5.3.
število točk:
5
Za katere vrednosti x vrsta 2 + 4x + 8x2 + 16x3 + . . .
konvergira in kolikšna je njena vsota? Določite tak x, pri katerem je vsota enaka 4.
5.4.
število točk:
5
Raziščite konvergenco vrste s splošnim členom
an =
2n2 + 3n + 5
.
3n
6
5.5.
število točk:
5
S kvocientnim kriterijem raziščite konvergenco vrste podane s splošnim členom
an =
5.6.
število točk:
5
n!
(2n − 1)!
Preučite konvergenco (divergenco) vrst
1 2 3 4
+ + + + . . . in
2 3 4 5
6
8
2 4
+
+ . . ..
b) + +
3 9 27 81
a)
5.7.
število točk:
5
a) Na kolikšno vrednost naraste vloga 60000 epo petih letih pri letni obrestni meri 3%?
Primerjajte navadne in obrestne obresti.
b) Neka glavnica se obrestuje obrestno obrestno pri 3% letni obrestni meri in letni
kapitalizaciji. V koliko letih se vrednost glavnice potroji?
5.8.
število točk:
5
V začetku leta 2011 smo vložili na banko 10.000 e.
a) Kolikšna bodo privarčevana sredstva ob koncu leta 2015, če je kapitalizacija letna in
se vloga obrestuje s 2.3% letno obrestno mero?
b) Po koliko letih bo vrednost glavnice narasla na 14065 e, če se vloga obrestuje s 2.3%
letno obrestno mero?
5.9.
število točk:
5
Po devetih letih varčevanja imamo na banki 31222e. Kolikšna je bila vložena glavnica,
če se je vloga obrestovala obrestno s 2.5% letno obrestno mero? Koliko časa bi morali
varčevati pri dani obrestni meri, da bi se vrednost glavnice podvojila?
6. e-vaje: Pravila za odvajanje, odvod sestavljene funkcije,
tangenta
Glej navodila v spletni učilnici!
7
7.
7.1.
vaje: Analiza funkcij s pomočjo odvoda (naraščanje,
ukrivljenost, ekstremi)
število točk:
5
Določi točke nezveznosti in nariši funkcijo

x

 e
7.2.
število točk:
5
Dokažite, da za funkcijo y =
7.3.
število točk:
5
;x ≤ 0
f (x) =  x − 1 ; 0 < x ≤ 1

ln x
;x > 1
e5x + 2
velja: 12y + 13y ′ = y ′′′ .
ex
Poiščite ekstreme funkcije f (x) = x − ln(1 + x) .
7.4.
število točk:
5
Določite definicijsko območje, lokalne ekstreme in asimptote funkcije y =
cirajte njen graf.
7.5.
število točk:
5
x2
ter skix−1
Določite lokalne ekstreme funkcije f (x) = x4 − x2 . Funkcijo natančno narišite. Opomba:
Nalogo rešite na dva načina in sicer utemeljite naravo ekstremov najprej samo s pomočjo
prvega odvoda funkcije, nato še z drugim odvodom.
7.6.
število točk:
5
Določite lokalne ekstreme funkcije f (x) = x6 + x4 . Funkcijo natančno narišite.
7.7.
število točk:
5
Določite definicijsko območje, zalogo vrednosti ter lokalne ekstreme funkcije
y = x2 · e−x in skicirajte njen graf.
7.8.
število točk:
5
Določite definicijsko območje ter lokalne ekstreme funkcije
8
y = 2x2 − 24 ln(1 − x).
8.
8.1.
vaje: Analiza funkcij s pomočjo odvoda (naraščanje,
ukrivljenost, ekstremi), ekstremalni problemi
število točk:
5
Dana je funkcija f (x) = 21 x4 − 2x3 . Poiščite njene prevojne točke in intevale konveksnosti
in konkavnosti. Natančno narišite graf funkcije f (x).
8.2.
število točk:
5
Dana je funkcija f (x) = x3 + 2x2 − 1.
• Poiščite intervale naraščanja in padanja funkcije f (x).
• Poiščite intervale na katerih je funkcija f (x) konveksna oz. konkavna.
c) Natančno narišite graf funkcije f (x).
8.3.
število točk:
5
Z žično ograjo nameravamo omejiti pravokotno zemljišče površine 450m2 , ki naj na eni
strani meji na že obsoječ raven zid. Kolikšni morata biti dolžina in širina ograjenega
zemljišča, da bo poraba žične ograje najmanjša? Naravo ekstrema utemeljite.
8.4.
število točk:
5
Iz kartona izdelujemo škatle (brez pokrova) s kvadratnim dnom in predpisano prostornino
4 dm3 . Kolikšna naj bosta rob dna in višina škatle, da bomo porabili čim manj kartona?
Naravo ekstrema utemeljite!
8.5.
število točk:
5
Rezervoar ima obliko kvadra s kvadratnim dnom. Poiščite dimenzije najcenejšega rezervoarja s prostornino 3 m3 , če stane kvadratni meter stranske ploskve 30 e, kvadratni
meter dna 50 ein kvadratni meter pokrova 10 e.
9
9. vaje: Nedoločeni integral, pravila za integriranje, uvedba
nove spremenljivke v nedoločeni integral. Določeni integral.
9.1.
število točk:
5
Izračunajte naslednje integrale:
a)
b)
Z
Z
(x3 + x2 + x) dx
(4x3 + 7x2 + 8) dx
8
(5x3 + 7 + ) dx
x
Z
√
d) (6x2 + 2 x + 5) dx
9.2.
c)
Z
e)
Z √
3
( x + x2/3 + 2x−1 ) dx
število točk:
5
a)
b)
c)
9.3.
Z
Z
Z
(2ex + 3) dx
(4x1 1 + x−4 + 3x ) dx
(ln 3 · 3x + 2ex + 8) dx
število točk:
Izračunajte
9.4.
Z
5
1q √
(2 − 3 x x) dx.
x
število točk:
5
a)
Z
(2x − 7)9 dx
dx
2x − 9
Z
6
c)
dx
−3x + 5
b)
Z
10
9.5.
število točk:
5
a)
b)
c)
9.6.
Z
4(x5 + 8)7 x4 dx
Z
(5xe3x
Z
x−8
dx
x2 − 16x
2 +7
) dx
število točk:
5
a)
Z
5(x3 + x)(x4 + 2x2 − 11)9 dx
15x4 + 8x3 + 18x2 − 2x
dx
b)
3x5 + 2x4 + 6x3 − x2
Z
√
c) 3x 2x2 + 3 dx
Z
9.7.
število točk:
Izračunajte
Z
2
0
5
(x − 2)2 dx na tri različne načine:
a) s poenostavljenim izrazom pod integralom,
b) z vpeljavo nove spremenljivke in ohranjenimi mejami integrala,
c) z vpeljavo nove spremenljivke in spremenjenimi mejami integrala.
Kaj predstavlja izračunani integral? Narišite skico.
9.8.
število točk:
5
Izračunajte
Z
0
−2
x(x2 − 4)3 dx .
a) Narišite skico in označite ploščino lika, ki jo predstalja zgornji integral.
b) Izračunajte ploščino lika, ki ga omejuje podana funkcija z x-osjo v IV. kvadrantu.
11
10. vaje: Določeni integral, ploščine likov
10.1.
število točk:
V integralu
10.2.
Z
a
5
√
x + 1 dx določite zgornjo mejo tako, da bo njegova vrednost
−1
število točk:
5
16
.
3
Izračunajte ploščino lika med abscisno osjo, krivuljo y = x−1 ln x ter premicama x = 1
ter x = e.
10.3.
število točk:
5
Izračunajte ploščino lika, ki ga oklepajo krivulja y = (x − 3)2 , tangenta nanjo v točki z
absciso x = 5 ter abscisna os.
10.4.
število točk:
5
Na spodnjih slikah (Slika 1 na strani 13) je prikazanih 12 likov, ki jih omejujejo različne
kombinacije funkcij f (x) = −x2 + 9, g(x) = x + 7, h(x) = −1 in koordinatnih osi. Za
vsakega izmed likov zapiši ustrezno navodilo naloge, ki opisuje narisani lik ter izračunaj
oznaćeno ploščino.
12
y
y
y
−9
−9
−9
−8
−8
−8
−7
−7
f(x) = − x2 + 9
−6
−5
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
−2
−1
−1
|
1
|
2
|
3
|
4
x
−−1
h(x) = − 1
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
(a) Lik 1
|
−3
|
−2
−2
−1
−1
|
2
|
3
|
4
x
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
|
1
−5
−2
−1
−1
x
|
−7
|
−6
|
−5
−4
g (x ) = x + 7
−3
−2
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
−3
−2
−1
|
1
|
2
|
3
|
4
x
−−1
h(x) = − 1
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
(h) Lik 8
|
1
y
y
−9
−9
−8
−1
|
1
−−2
(j) Lik 10
|
2
|
3
|
4
x
|
−7
|
−6
|
−5
h(x) = − 1
−4
g (x ) = x + 7
−3
−2
−−1
−5
−4
−1
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
−−2
(k) Lik 11
−3
−2
−1
|
1
−−1
f(x) = − x2 + 9
−6
−5
−2
|
−1
−7
f(x) = − x + 9
2
−6
g(x) = x + 7
x
−8
−7
−3
|
4
(i) Lik 9
y
−4
|
3
−−2
−9
f(x) = − x + 9
|
2
−−1
h(x) = − 1
−−2
2
f(x) = − x2 + 9
−6
−4
|
4
x
−7
f(x) = − x2 + 9
−6
−5
|
3
|
4
(f) Lik 6
−7
|
2
|
3
−−2
y
|
1
|
2
−−1
h(x) = − 1
−8
−5
h(x) = − 1
x
−9
−6
|
−2
|
4
y
−−2
|
−3
|
3
−8
−−1
|
−4
|
2
−9
−7
|
−5
−1
|
1
y
−8
|
−6
−2
−8
(g) Lik 7
|
−7
−3
−9
|
−1
g ( x) = x + 7
−4
(e) Lik 5
g(x) = x + 7
f(x) = − x2 + 9
−6
g (x ) = x + 7
−−2
f(x) = − x2 + 9
x
−5
−−1
h(x) = − 1
|
4
−7
f(x) = − x2 + 9
−3
−2
|
1
|
3
(c) Lik 3
−4
g(x) = x + 7
|
2
−−2
−5
−3
h(x) = − 1
|
1
−−1
h(x) = − 1
−6
−4
|
−2
|
−1
−7
f(x) = − x2 + 9
−5
|
−3
|
−2
y
−−2
|
−4
|
−3
−8
−6
|
−5
|
−4
−9
−7
|
−6
|
−5
y
(d) Lik 4
|
−7
|
−6
−8
−−1
g ( x) = x + 7
|
−7
−9
|
−1
h(x) = − 1
x
y
−3
|
−4
|
4
−8
−4
|
−5
|
3
−9
−5
|
−6
|
2
(b) Lik 2
−6
|
−7
−1
|
1
−−2
−7
g ( x) = x + 7
−3
−2
−−1
h(x) = − 1
−−2
−4
g (x ) = x + 7
−3
−2
|
−1
−5
−4
g(x) = x + 7
−3
f(x) = − x2 + 9
−6
−5
−4
g ( x) = x + 7
−7
f(x) = − x2 + 9
−6
|
2
|
3
|
4
x
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
h(x) = − 1
|
−3
|
−2
|
−1
|
1
−−1
−−2
(l) Lik 12
Slika 1: Funkcije f , g in h omejujejo več različnih likov
|
2
|
3
|
4
x
11. vaje: Uporaba določenega integrala: povprečna vrednost funkcije, ploščina med krivuljama, prostornina vrtenine
11.1.
število točk:
5
Izračunajte povprečni vrednosti funkcij na danih intervalih
(a) f (x) = 3x − 2,
(b) f (x) = (x − 4)2 ,
11.2.
število točk:
5
[1, 4]
[3, 5]
in
Izračunajte ploščino lika med krivuljama y = 41 x2 in y = 3x − 12 x2 .
11.3.
število točk:
5
√
Izračunajte ploščino lika med krivuljama f (x) = x in g(x) = x3 . Narišite skico in iz
skice s pomočjo kvadratne mreže še ocenite ploščino lika P ′ . Izračunajte relativno napako
ocene.
11.4.
število točk:
5
Lik, ki ga oklepata graf funkcije f (x) = x3 in graf njej inverzne funkcije v prvem kvadrantu, zavrtimo okrog osi x. Izračunajte prostornino nastale vrtenine.
11.5.
število točk:
5
Lik omejen s krivuljami y = (x − 2)2 , y = x in y = 0 vrtimo okrog abscisne osi. Izračunajte prostornino nastale vrtenine.
11.6.
število točk:
5
Z določenim integralom izračunajte prostornino prisekanega stožca s polmeroma 3m in
5m ter višino 6m.
14

Naloge za seminar - ANALIZA 1.vaje: Linearna in kvadratna funkcija

Transcription

Similar documents

1.del - Analiza

izpitna pola 1 - Državni izpitni center

860 Moldable Polymer Gasketing Cartridge

izpitna pola 1 - Državni izpitni center

Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Inštitut za biostatistiko in

1. Računski del izdelka oz.

Izbrane naloge za predmeta Gradbena fizika Uvod v gradbeno fiziko

SEMINARSKA MAPA PRI SPLOŠNI MATURI

MAT - Resi, saj znas.pdf

Kratek stik v omrež ju ž ižoliranim žveždis č em

6. in 7. razred šolsko