רב כיווני / מערך ניסוי רב גורמי

‫מערך ניסוי רב גורמי ‪ /‬רב כיווני‬
‫כאמור‪ ,‬קיימות שתי דרכים להרחבת הניסוי הפשוט‪ :‬הדרך הראשונה ‪ -‬מערך רב רמות‪ ,‬מרחיב את מספר‬
‫הרמות של המשתנה הבלתי תלוי ועושה שימוש במשתנה בלתי תלוי אחד‪ ,‬בעל יותר משתי רמות‪ .‬הדרך‬
‫השנייה ‪ -‬מערך רב גורמי (או רב כיווני‪ ,‬פקטוריאלי‪ ,)Factorial Experimental Design ,‬מרחיב את מספר‬
‫הגורמים ‪ -‬מספר המשתנים הבלתי תלויים‪ ,‬ועושה שימוש בשני משתנים בלתי תלויים או יותר‪ .‬במקרה של שני‬
‫משתנים בלתי תלויים נקרא המערך מערך דו גורמי‪ .‬מערך ניסוי רב גורמי משלב בניסוי אחד בדיקת השפעה‬
‫משולבת של שני משתנים בלתי תלויים או יותר על משתנה תלוי כלשהו‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬חוקר מסוים מעוניין לבדוק השפעת צריכת קפאין על כושר הריכוז‪ .‬כמו כן‪ ,‬מעוניין החוקר לבדוק את‬
‫השפעת סוג הפעילות על כושר הריכוז‪ .‬החוקר יכול לערוך שני ניסויים פשוטים נפרדים‪ ,‬או לשלב את שני‬
‫הניסויים למערך רב גורמי אחד‪ .‬מערך כזה יכיל שני משתנים בלתי תלויים‪ :‬צריכת קפאין וסוג פעילות‪ ,‬ומשתנה‬
‫תלוי אחד‪ :‬כושר הריכוז‪.‬‬
‫נהוג לציין את מספר הגורמים ורמותיהם כמכפלה‪ ,‬כך שמספר המספרים המוכפלים מסמל את מס' הגורמים‪,‬‬
‫והמספרים עצמם את רמותיהם‪ .‬לדוגמא‪ :‬אם בניסוי לעיל החוקר בודק את השפעתן של ‪ 3‬רמות קפאין שונות‪,‬‬
‫ושל ‪ 2‬סוגי פעילות גופנית שונים על כושר הריכוז‪ ,‬המערך יסומן כמערך ‪ .2X3‬מתוך סימון זה ניתן להבין כי‬
‫המערך הנו דו גורמי‪ ,‬כאשר לגורם אחד שתי רמות‪ ,‬ולשני שלוש רמות‪.‬‬
‫יתרונות השימוש במערך רב גורמי‬
‫למערך רב גורמי מס' יתרונות על פני סדרה של ניסויים פשוטים‪ :‬חסכון בנבדקים ובניסויים (יתרון כלכלי)‪,‬‬
‫הפיכת שונות מקרית לשונות שיטתית (יתרון סטטיסטי)‪ ,‬שיפור תוקף המבנה באמצעות שימוש במדדים‬
‫אופרציונליים שונים למשתנה תיאורטי‪ ,‬ובעיקר היכולת לגלות אינטראקציות בין משתנים (יתרון משמעותי‬
‫ביכולת ההבנה וההכללה של קשרים בין משתנים המשפרת את התוקף החיצוני)‪.‬‬
‫חסכון בנבדקים ובניסויים‬
‫מערך רב גורמי מאפשר לבצע בניסוי אחד בדיקות שהיו דורשות סדרה של ניסויים פשוטים (חד גורמיים)‪.‬‬
‫בנוסף‪ ,‬מאפשר המערך הרב‪-‬גורמי חסכון בנבדקים בהשוואה לסדרה של ניסויים פשוטים‪ .‬הצמצום במספר‬
‫הנבדקים מתאפשר הודות לשימוש "כפול" בנבדקים בעת השמתם לתנאיי הניסוי‪ :‬תנאיי הניסוי הרב גורמי‬
‫משלבים שני גורמים (או יותר)‪ ,‬כך שנבדק השייך לתנאי ניסוי אחד נחשף בו זמנית לשני הגורמים‪ .‬כך‪ ,‬מס'‬
‫הנבדקים הכללי הדרוש לאיוש כל התנאים מצטמצם משמעותית בהשוואה לאיושם במס' ניסויים פשוטים‬
‫נפרדים‪ .‬חסכון זה מהווה יתרון כלכלי של המערך הרב גורמי‪.‬‬
‫ניתן להדגים את החיסכון האפשרי דרך הדוגמא שהוזכרה לעיל‪:‬‬
‫כאמור‪ ,‬מעוניין החוקר לבדוק השפעת שני גורמים ‪ -‬צריכת קפאין (נמוכה‪ ,‬בינונית וגבוהה) וסוג פעילות (יוגה‪,‬‬
‫שטיפת רצפות ואירובי) על כושר הריכוז‪ .‬במקרה כזה יכול היה החוקר לערוך שני מערכים חד גורמיים‪ ,‬האחד‬
‫לבדיקת השפעת צריכת הקפאין והשני לבדיקת השפעת סוג הפעילות על כושר הריכוז‪ .‬בדוגמה ספציפית זו‪ ,‬לו‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫רצה החוקר ‪ 30‬נבדקים בכל תנאי ניסוי (מס' שרירותי לצורך הדוגמא בלבד) היה כל מערך ניסוי דורש את‬
‫גיוסם של ‪ 90‬נבדקים ‪ -‬סה"כ ‪ 180‬נבדקים‪.‬‬
‫מערך א‪ :‬בדיקת השפעת צריכת קפאין על‬
‫מערך ב‪ :‬בדיקת השפעת סוג הפעילות על‬
‫כושר ריכוז‬
‫כושר ריכוז‬
‫קב' ‪ - 1‬צריכת קפאין נמוכה‬
‫‪ 30‬נבדקים‬
‫קב' ‪ – 1‬יוגה‬
‫‪ 30‬נבדקים‬
‫קב' ‪ – 2‬צריכת קפאין בינונית‬
‫‪ 30‬נבדקים‬
‫קב' ‪ – 2‬שטיפת רצפות‬
‫‪ 30‬נבדקים‬
‫קב' ‪ – 3‬צריכת קפאין גבוהה‬
‫‪ 30‬נבדקים‬
‫קב' ‪ – 3‬אירובי‬
‫‪ 30‬נבדקים‬
‫סה"כ‬
‫‪ 03‬נבדקים‬
‫סה"כ‬
‫‪ 03‬נבדקים‬
‫סה"כ‪ 813 -‬נבדקים‬
‫אם‪ ,‬לעומת זאת‪ ,‬היה החוקר משלב את בדיקת שני המשתנים הבלתי תלויים במערך רב גורמי (דו גורמי‪,‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬עם שלוש רמות לכל משתנה)‪ ,‬היה מתאפשר לו שימוש "כפול" באותו מאגר נבדקים‪ ,‬כפי‬
‫שמתארת הטבלה‪:‬‬
‫פעילות גופנית‬
‫צריכת‬
‫אירובי‬
‫שטיפת רצפות‬
‫יוגה‬
‫קפאין‬
‫גבוהה‬
‫‪ 10‬נב'‬
‫‪ 10‬נב'‬
‫‪ 10‬נב'‬
‫סה"כ – ‪ 03‬נבדקים‬
‫בינונית‬
‫‪ 10‬נב'‬
‫‪ 10‬נב'‬
‫‪ 10‬נב'‬
‫סה"כ – ‪ 03‬נבדקים‬
‫נמוכה‬
‫‪ 10‬נב'‬
‫‪ 10‬נב'‬
‫‪ 10‬נב'‬
‫סה"כ – ‪ 03‬נבדקים‬
‫סה"כ – ‪ 03‬נב'‬
‫סה"כ – ‪ 03‬נב'‬
‫סה"כ–‪ 03‬נב'‬
‫סה"כ – ‪ 03‬נבדקים‬
‫שימוש במערך מחקר כזה היה מאפשר לחוקר לשמור על ‪ 30‬נבדקים העוברים כל תנאי ניסוי חד גורמי (‪30‬‬
‫נבדקים בתנאי צריכת קפאין גבוהה‪ 30 ,‬נבדקים בתנאי צריכת קפאין בינונית‪ 30 ,‬נבדקים בתנאי שטיפת רצפות‬
‫וכך הלאה) ועדיין לצמצם לחצי את מס' הנבדקים הכללי (‪ 90‬במקום ‪.)180‬‬
‫הפיכת שונות מקרית לשונות שיטתית‬
‫הוספת משתנה בלתי תלוי למערך הופכת משתנה שהשפעתו מקרית למשתנה שהשפעתו שיטתית‪ ,‬ובכך‬
‫מצמצמת את גורם הטעות במערך‪ :‬משתנה שמשפיע על המשתנה התלוי אך אינו נשלט‪ ,‬עשוי להגביר הבדלים‬
‫בתוך הקבוצות בין נבדקים שונים‪ .‬במקרה כזה גדלה השונות המקרית במערך‪ ,‬וקטנה עוצמת המבחן‪ .‬הוספת‬
‫משתנה כזה למערך באופן מבוקר מאפשרת למדוד את השפעתו‪ ,‬ולהפוך אותה משונות מקרית לשונות‬
‫השיטתית‪ .‬תרומה לשונות השיטתית מגדילה את יכולת הניבוי‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬בניסוי חד גורמי הבודק השפעת סוג פעילות על כושר הריכוז‪ ,‬משתנה צריכת הקפאין אינו נשלט‪ .‬עם‬
‫זאת‪ ,‬ייתכן כי צריכת קפאין משפיעה על כושר הריכוז‪ ,‬ולכן תורמת לשונות בניסוי‪ .‬הפיכת משתנה צריכת‬
‫הקפאין למשתנה בלתי תלוי נוסף בניסוי‪ ,‬תאפשר שליטה במשתנה זה וכך‪ ,‬אם לקפאין יש השפעה על רמת‬
‫הריכוז‪ ,‬השפעה זו תהיה מבוקרת ונשלטת‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬הפיכת הניסוי לדו גורמי הופכת את משתנה צריכת‬
‫הקפאין ממשתנה שהשפעתו מקרית למשתנה שהשפעתו שיטתית‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫בדיקת אינטראקציות בין משתנים‬
‫בנוסף לבדיקת ההשפעה של כל אחד מהמשתנים הבלתי תלויים בפני עצמו‪ ,‬מאפשר המערך הרב גורמי לבדוק‬
‫את השפעתם המשולבת של המשתנים‪ ,‬כלומר את האינטראקציה ביניהם‪ .‬אינטראקציה היא השפעה משולבת‬
‫של שני משתנים בלתי תלויים או יותר על המשתנה התלוי‪ .‬ניתן לומר כי קיימת אינטראקציה במידה והשפעתו‬
‫של משתנה בלתי תלוי אחד משתנה בהתאם לרמה של משתנה בלתי תלוי אחר‪ .‬לדוגמא‪ ,‬נהוג לחשוב‪ ,‬כי‬
‫טיפול אנטיביוטי מסייע‪ .‬עם זאת‪ ,‬יש לקחת בחשבון כי טיפול אנטיביוטי מסייע רק לאנשים חולים‪ ,‬ועלול להזיק‬
‫לאנשים שאינם חולים‪ .‬קיימת‪ ,‬אם כן‪ ,‬אינטראקציה בין הטיפול האנטיביוטי לבין מצבו הבריאותי של האדם‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬רוב המשתנים במציאות אינם פועלים באופן בלתי תלוי‪ ,‬והשפעתם תלויה בהשפעתה של גורמים‬
‫נוספים‪ .‬לכן‪ ,‬ניסוח חוקים גורפים וחד משמעיים לגבי השפעתם של משתנים בודדים‪ ,‬הוא בעייתי ולעיתים‬
‫קרובות שגוי‪ .‬גילוי אינטראקציות מאפשר מציאת קשרים מורכבים יותר בין משתנים‪ ,‬הקרובים ככל האפשר‬
‫למתרחש במציאות‪.‬‬
‫משמעות מציאת אינטראקציות‬
‫מציאת אינטראקציות מאפשרת הבנה טובה יותר של הקשר בין המשתנים‪ ,‬ומשפרת את התוקף החיצוני של‬
‫הניסוי על ידי שיפור יכולת ההכללה‪ .‬כאמור‪ ,‬אינטראקציות מגלות קשרים מורכבים‪ ,‬בהם השפעת משתנה אחד‬
‫מותנית בקיומו או ברמתו של משתנה אחר‪ .‬כך מתאפשרת יכולת ניבוי טובה יותר לגבי התנאים בהם תהיה‬
‫השפעה למשתנה הבלתי תלוי על המשתנה התלוי‪ ,‬ויכולת ההכללה הופכת מדויקת יותר ‪ -‬ניתן לנבא טוב יותר‬
‫באילו תנאים ועבור אילו אוכלוסיות יהיו תוצאות הניסוי תקפות‪ .‬באופן זה גדל התוקף החיצוני של הניסוי‪ .‬כך‬
‫למשל‪ ,‬הכנסת המשתנה 'מין' למערך מאפשרת לבדוק האם ניתן להכליל את הקשר על גברים ונשים באותה‬
‫מידה‪ .‬גם במקרה ויימצא כי השפעת המשתנה הבלתי תלוי מתקיימת רק עבור נשים‪ ,‬יגדל התוקף החיצוני של‬
‫הניסוי ‪ -‬יכולת ההכללה אמנם קטנה‪ ,‬אך התוקף החיצוני גדל‪ ,‬משום שגדל הידע לגבי התנאים והמגבלות‬
‫להכללה‪.‬‬
‫שיפור תוקף המבנה‬
‫במקרים בהם קיים ספק לגבי תוקף המבנה של משתנה מסוים‪ ,‬ניתן‪ ,‬באמצעות שימוש במערך רב גורמי‪,‬‬
‫לת פעל מדדים אופרציונליים שונים לאותו משתנה תיאורטי‪ ,‬אשר ישמשו בעצמם כמשתנים בלתי תלויים‪ .‬אם‬
‫השפעתם של משתנים אלה על המשתנה התלוי זהה‪ ,‬מתקבלת תמיכה בתוקף המבנה של הניסוי‪ :‬כל‬
‫המשתנים שיקפו כנראה את אותו משתנה תיאורטי‪ .‬אם לעומת זאת‪ ,‬משתנים אלו ישפיעו באופן שונה על‬
‫המשתנה התלוי (מצב של אינטראקציה)‪ ,‬סביר שהם משקפים משתנים תיאורטיים שונים‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬תיאוריה מסוימת מנבאת כי חרדה תקטין יכולת ביצוע משימות‪ .‬מערך חד גורמי יאפשר בדיקת‬
‫מניפולציה אחת הגורמת חרדה‪ ,‬למשל‪ :‬בוחן פתע‪ .‬במקרה כזה יכול להתעורר ספק‪ :‬אולי בוחן הפתע לא תפעל‬
‫חרדה‪ ,‬או אולי תפעל יותר מחרדה? מערך רב גורמי מאפשר הוספת מניפולציות נוספות שיתפעלו אף הן‬
‫חרדה‪ ,‬כגון השמעת רעש פתאומי או איום בשוקים חשמליים‪ .‬אם האפקט שיתקבל בתנאי בוחן הפתע יהיה‬
‫זהה לאפקטים שיתקבלו בתנאיי הרעש והשוקים החשמליים‪ ,‬ניתן יהיה לומר כי התקבלה תמיכה לתוקף‬
‫המבנה של הניסוי‪ ,‬מכיוון שסביר יותר להניח שכל המשתנים אכן שיקפו חרדה‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫סוגי אפקטים במערך פקטוריאלי‬
‫במערך רב גורמי קיימים שלושה סוגי אפקטים‪ :‬אפקט פשוט‪ ,‬אפקט עיקרי ואפקט אינטראקציה‪.‬‬
‫המחשת סוגי האפקטים באמצעות דוגמא‬
‫על מנת להמחיש את שלושת סוגי האפקטים המתקבלים במערך רב גורמי‪ ,‬יעשה שימוש בדוגמא בה מתואר‬
‫מערך ניסוי דו גורמי‪ .‬מערך זה ישמש בהמשך גם להמחשת מושג האינטראקציה ולהצגת סוגי אינטראקציות‪.‬‬
‫למרות שדוגמא זו מתייחסת למערך של שני משתנים בלתי תלויים עם שתי רמות כל אחד‪ ,‬תקף כל הנאמר‬
‫לעיל גם למערכים בני יותר משתנים בלתי תלויים או יותר רמות‪.‬‬
‫ניסוי בדק את השפעתם של שני משתנים בלתי תלויים על הישגיהם של סטודנטים בבחינות בחוג לפסיכולוגיה‪:‬‬
‫משתנה בלתי תלוי א'‪ :‬הזמן שמקדישים הסטודנטים להכנה לבחינה‪.‬‬
‫‪ 2‬רמות המשתנה ‪ :‬זמן ארוך ‪ /‬קצר‪.‬‬
‫משתנה בלתי תלוי ב'‪ :‬סוג החומר ממנו לומדים הסטודנטים לבחינה‪.‬‬
‫‪ 2‬רמות המשתנה ‪ :‬תקצירים (תקצירי החומר‪ ,‬בעברית) ‪ /‬ספרים (ספרי הלימוד המקוריים‪ ,‬באנגלית)‬
‫הנבדקים הוקצו באופן רנדומלי במערך דו גורמי ‪( 2x2‬שתי רמות לכל משתנה בלתי תלוי)‪ ,‬לארבע קבוצות‬
‫הניסוי‪ ,‬כמתואר בטבלה‪:‬‬
‫זמן הכנה‬
‫סוג‬
‫החומר‬
‫תקצירים‬
‫ספרים‬
‫זמן הכנה קצר‬
‫זמן הכנה ארוך‬
‫קבוצה ‪1‬‬
‫זמן קצר ‪ ,‬תקצירים‬
‫קבוצה ‪3‬‬
‫זמן ארוך‪ ,‬תקצירים‬
‫קבוצה ‪2‬‬
‫זמן קצר‪ ,‬ספרים‬
‫קבוצה ‪4‬‬
‫זמן ארוך‪ ,‬ספרים‬
‫המשתנה התלוי האופרציונלי‪ :‬הציון שקיבלו הסטודנטים במבחן בקורס 'מבוא לפסיכולוגיה'‪.‬‬
‫להלן שלושת סוגי האפקטים האפשריים במערך שכזה‪:‬‬
‫אפקט פשוט‬
‫אפקט פשוט (‪ )Simple Effect‬מתייחס להשפעה של משתנה בלתי תלוי אחד על המשתנה התלוי‪ ,‬במסגרת‬
‫(או בתוך) רמה ספציפית של המשתנה הבלתי תלוי השני‪ .‬אפקט זה דומה לאפקט המתקבל בניסוי פשוט‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬לבדיקת אפקט פשוט של סוג החומר בתוך התנאי של זמן הכנה קצר יש להשוות בין ממוצע הציונים של‬
‫קבוצה ‪( 1‬זמן קצר‪ ,‬תקצירים) לממוצע קבוצה ‪( 2‬זמן קצר‪ ,‬ספרים)‪ .‬אם ההבדלים בין הקבוצות מובהקים‪ ,‬ניתן‬
‫להסיק כי בזמן הכנה קצר יש לסוג החומר השפעה על הציון במבחן‪ .‬באופן דומה‪ ,‬ניתן לבדוק את האפקט‬
‫הפשוט של סוג החומר בתוך התנאי של זמן הכנה ארוך על ידי השוואה בין ממוצע קבוצה ‪ 3‬וממוצע קבוצה ‪.4‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫גרף אפקטים פשוטים‬
‫אחת הדרכים הנפוצות להצגת תוצאות ניסויים היא הדרך הגראפית‪ .‬גרף אפקטים פשוטים מציג את הנתונים‬
‫במלואם וניתן לחלץ ממנו את כל האפקטים הקיימים‪ .‬במערך דו גורמי (בו שני משתנים בלתי תלויים) מיוצגים‬
‫ערכי אחד המשתנים הבלתי תלויים על ציר ה ‪ X -‬בגרף והאחר "בתוך הגרף" ע"י קוים המתארים את רמותיו‬
‫השונות‪ .‬על ציר ה‪ Y -‬מיוצגים ערכי המשתנה התלוי‪.‬‬
‫חשוב לציין שהצגה גרפית כשלעצמה אינה מעידה על מובהקות האפקטים‪ ,‬אשר צריכה להיבדק בנפרד‪,‬‬
‫בבחינה סטטיסטית‪ .‬ההתייחסות להבדלים הנראים בגרפים שיוצגו להלן תהיה ככאלה שנמצאו מובהקים‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬את הנתונים הבאים ניתן לייצג באמצעות שני גרפים של אפקטים פשוטים‪:‬‬
‫זמן הכנה קצר‬
‫זמן הכנה ארוך‬
‫הפרש‬
‫(קצר – ארוך)‬
‫תקצירים‬
‫‪50‬‬
‫‪80‬‬
‫‪+30‬‬
‫ספרים‬
‫‪70‬‬
‫‪90‬‬
‫‪+20‬‬
‫‪+20‬‬
‫‪+10‬‬
‫הפרש‬
‫(=תקצירים – ספרים)‬
‫‪ .1‬גרף אפקטים פשוטים של זמן ההכנה‪ :‬רמות זמן ההכנה יופיעו על ציר ה‪ ,X -‬רמות המשתנה התלוי‬
‫(ציון במבחן) על ציר ה‪ Y -‬ורמות סוג החומר יופיעו בקווים נפרדים בתוך הגרף‪.‬‬
‫מקרא‪:‬‬
‫ציון‬
‫במבחן‬
‫ספרים‬
‫תקצירים‬
‫זמן‬
‫הכנה‬
‫ארוך‬
‫קצר‬
‫‪ .2‬גרף אפקטים פשוטים של סוג החומר‪ :‬רמות סוג החומר יופיעו על ציר ה‪ ,X -‬רמות המשתנה התלוי‬
‫על ציר ה‪ ,Y -‬ורמות זמן ההכנה יופיעו בקווים נפרדים בגרף‪.‬‬
‫מקרא‪:‬‬
‫ציון‬
‫במבחן‬
‫זמן ארוך‬
‫זמן קצר‬
‫סוג‬
‫החומר‬
‫ספרים‬
‫תקצירים‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫סוגי הגרפים השונים של האפקטים הפשוטים מציגים את אותם נתונים‪ ,‬מנקודת מבט אחרת‪ .‬ניתן ללמוד על‬
‫מהות הקשר והאפקטים הנוספים (עיקריים או אינטראקציות) מתוך כל אחד מגרפים אלה‪.‬‬
‫אפקט עיקרי‬
‫אפקט עיקרי (‪ )Main Effect‬מייצג את ההשפעה של משתנה בלתי תלוי אחד על המשתנה התלוי‪ ,‬מעבר‬
‫לרמות משתנים בלתי תלויים אחרים‪.‬‬
‫בבדיקת אפקט עיקרי מתייחסים לרמות משתנה בלתי תלוי אחד‪ ,‬ו'מתעלמים' מרמות המשתנה הבלתי תלוי‬
‫השני‪ ,‬על ידי כך שמתייחסים לרמות השונות של המשתנה הבלתי תלוי השני כאל קבוצה אחת‪ .‬כדי לעשות‬
‫זאת מחשבים את ממוצעי רמות משתנה בלתי תלוי אחד‪ ,‬מעבר לרמות המשתנה הבלתי תלוי השני (בטבלה‬
‫נקראים ממוצעים אלה ממוצעים שוליים)‪ .‬השוואה בין מ מוצעים אלה תגלה האם קיים אפקט עיקרי‪ :‬הבדל‬
‫מובהק בין ממוצעי רמה אחת של משתנה בלתי תלוי לממוצעי רמה אחרת שלו (מעבר לרמות המשתנה הבלתי‬
‫תלוי האחר) אשר משמעותו הוא קיומו של אפקט עיקרי מובהק למשתנה זה‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫תקצירים‬
‫זמן הכנה קצר‬
‫זמן הכנה ארוך‬
‫קב' ‪ :1‬זמן קצר‪ ,‬תקצירים‬
‫קב' ‪ :3‬זמן ארוך‪ ,‬תקצירים‬
‫ממוצע ‪ 1‬ו‪3 -‬‬
‫(‪)50‬‬
‫(‪)80‬‬
‫(‪)65‬‬
‫קב' ‪ :2‬זמן קצר‪ ,‬ספרים‬
‫קב' ‪ :4‬זמן ארוך‪ ,‬ספרים‬
‫ממוצע ‪ 2‬ו‪4 -‬‬
‫(‪)70‬‬
‫(‪)90‬‬
‫(‪)80‬‬
‫ממוצע ‪ 1‬ו‪2 -‬‬
‫ממוצע ‪ 3‬ו‪4 -‬‬
‫(‪)60‬‬
‫(‪)85‬‬
‫ספרים‬
‫על מנת לבדוק את האפקט העיקרי של סוג החומר‪ ,‬יש להשוות בין ממוצע קבוצות ‪ 1‬ו‪( ,3 -‬ממוצע השפעת‬
‫תקצירים) לממוצע קבוצות ‪ 2‬ו‪( 4 -‬ממוצע השפעת ספרים)‪ .‬אם ההבדלים בין הממוצעים ימצאו מובהקים ניתן‬
‫להסיק כי קיים אפקט עיקרי לסוג החומר‪ .‬אפקט עיקרי לזמן ההכנה יש לבדוק ע"י השוואת ממוצעי קבוצות ‪ 1‬ו‪-‬‬
‫‪( 2‬ממוצע זמן הכנה קצר) לממוצעי קבוצות ‪ 3‬ו‪( 4 -‬ממוצע זמן הכנה ארוך)‪.‬‬
‫אפקט אינטראקציה‬
‫אפקט אינטראקציה מתייחס להבדלים בהשפעת משתנה בלתי תלוי אחד על המשתנה התלוי‪ ,‬ברמות השונות‬
‫של המשתנה הבלתי תלוי השני‪.‬‬
‫אינטראקציות‬
‫אינטראקציה (‪ )Interaction‬קיימת כאשר משתנה בלתי תלוי אחד משפיע באופן שונה על המשתנה התלוי‪,‬‬
‫בהתאם לרמות השונות של המשתנה הבלתי תלוי השני‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬אם יתגלה כי בתנאי של זמן הכנה קצר‪ ,‬הישגי הנבחנים טובים יותר בשימוש בתקצירים‪ ,‬ואילו בתנאי‬
‫של זמן הכנה ארוך הישגי הנבחנים טובים יותר בשימוש בספרים‪ ,‬ניתן יהיה להסיק כי קיימת אינטראקציה בין‬
‫זמן ההכנה וסוג החומר‪ :‬סוג החומר (משתנה בלתי תלוי אחד) משפיע באופן שונה על הישגי הנבחנים (משתנה‬
‫תלוי) בהתאם לרמות השונות של זמן ההכנה (משתנה בלתי תלוי שני)‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫אם‪ ,‬לעומת זאת‪ ,‬יתגלה כי ההבדל בין ממוצע הישגי הנבחנים בזמני הכנה ארוך וקצר בעת שימוש בתקצירים‪,‬‬
‫זהה להבדל בין ממוצע הישגי הנבחנים בזמני הכנה ארוך וקצר בעת שימוש בספרים‪ ,‬לא ניתן יהיה להסיק על‬
‫קיומה של אינטראקציה‪ .‬במקרה זה השפעת סוג החומר נשארת זהה‪ ,‬ללא קשר לזמן ההכנה‪.‬‬
‫כאשר קיימת אינטראקציה‪ ,‬תיאור האפקט העיקרי של משתנה מסוים אינו מספיק‪ ,‬משום שהאפקט העיקרי אינו‬
‫מייצג בהכרח בצורה נאמנה את האפקטים הפשוטים‪ .‬לכן‪ ,‬במקרה של אינטראקציה בין משתנים‪ ,‬יש לפרט גם‬
‫את האפקטים הפשוטים של כל משתנה‪.‬‬
‫אינטראקציה היא תופעה סימטרית‪ :‬אם קיימת אינטראקציה מכיוון משתנה בלתי תלוי אחד (למשל‪ :‬השפעת‬
‫סוג החומר שונה ברמות השונות של זמן ההכנה)‪ ,‬היא תתקיים בהכרח גם מכיוון המשתנה הבלתי תלוי השני‬
‫(גם זמן ההכנה משפיע באופן שונה ברמות השונות של סוג החומר)‪ .‬עם זאת‪ ,‬סוג האינטראקציה (ראה פירוט‬
‫על סוגי אינטראקציות להלן) מכיוון משתנה בלתי תלוי אחד‪ ,‬אינו בהכרח זהה לסוג האינטראקציה מכיוון‬
‫המשתנה הבלתי תלוי השני‪.‬‬
‫סוגי אינטראקציות‬
‫קיימים שני סוגי אינטראקציות‪ :‬אינטראקציה מהותית ואינטראקציה לא מהותית‪.‬‬
‫אינטראקציה מהותית‪/‬דיסאורדינלית‬
‫אינטראקציה מהותית (או אינטראקציה דיסאורדינלית‪ ,‬לא שומרת סדר) היא אינטראקציה בה אין לאף אחד‬
‫מהמשתנים אפקט עיקרי המתבטא בכל הרמות של המשתנה השני‪ .‬כלומר‪ ,‬לא מתקיים מצב בו רמה מסוימת‬
‫של משתנה תמיד גבוהה יותר מרמה אחרת שלו ו כיוון האפקטים הפשוטים של משתנה בלתי תלוי אחד אינו‬
‫נשמר ברמות השונות של המשתנה הבלתי תלוי השני‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫זמן הכנה קצר‬
‫זמן הכנה ארוך‬
‫הפרש‬
‫(קצר – ארוך)‬
‫תקצירים‬
‫‪70‬‬
‫‪50‬‬
‫‪-20‬‬
‫ספרים‬
‫‪60‬‬
‫‪90‬‬
‫‪+30‬‬
‫הפרש‬
‫(=תקצירים – ספרים)‬
‫‪-10‬‬
‫‪+40‬‬
‫מקרא‪:‬‬
‫ציון‬
‫במבחן‬
‫ספרים‬
‫תקצירים‬
‫זמן‬
‫הכנה‬
‫ארוך‬
‫קצר‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫בדוגמא זו‪ ,‬זמן הכנה ארוך מניב תוצאות טובות יותר מזמן הכנה קצר בתנאי הספרים‪ ,‬אך לא בתנאי התקצירים‬
‫בו זמן הכנה קצר מניב תוצאות טובות יותר‪ .‬בדוגמא זו האינטראקציה היא מהותית גם מכיוון המשתנה השני ‪-‬‬
‫סוג החומר‪.‬‬
‫אינטראקציה לא מהותית‪/‬אורדינלית‬
‫אינטראקציה לא מהותית (או אינטראקציה אורדינלית‪ ,‬שומרת סדר) היא אינטראקציה בה האפקטים‬
‫הפשוטים של כל אחד מהמשתנים נשמר גם ברמות השונות של המשתנה האחר‪ ,‬אך גודלם משתנה‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫זמן הכנה קצר‬
‫זמן הכנה ארוך‬
‫הפרש‬
‫(קצר – ארוך)‬
‫תקצירים‬
‫‪50‬‬
‫‪80‬‬
‫‪+30‬‬
‫ספרים‬
‫‪70‬‬
‫‪90‬‬
‫‪+20‬‬
‫‪+20‬‬
‫‪+10‬‬
‫הפרש‬
‫(=תקצירים – ספרים)‬
‫מקרא‪:‬‬
‫ציון‬
‫במבחן‬
‫ספרים‬
‫תקצירים‬
‫ארוך‬
‫זמן‬
‫הכנה‬
‫קצר‬
‫בדוגמא זו‪ ,‬זמן הכנה ארוך מניב תמיד תוצאות טובות יותר מזמן הכנה קצר (בהנחה שכל ההבדלים מובהקים)‪,‬‬
‫אולם‪ ,‬ההפרש בין הממוצעים בתנאי התקצירים‪ ,‬גדול יותר מההפרש בתנאי הספרים‪ .‬כיוון האפקטים הפשוטים‬
‫נשמר (עלייה בשני המקרים)‪ ,‬אך גודל ההפרשים שונה (‪ 30‬בתנאי התקצירים מול ‪ 20‬בתנאי הספרים)‪.‬‬
‫בדוגמא זו האינטראקציה היא לא מהותית גם מכיוון המשתנה השני ‪ -‬סוג החומר‪.‬‬
‫באינטראקציה לא מהותית עוצמת האפקט משתנה בהתאם לרמות המשתנה הבלתי תלוי השני‪ ,‬אך כיוונו‬
‫נשמר‪.‬‬
‫אפקט תקרה‪ ,‬אפקט רצפה ואינטראקציה מדומה‬
‫אפקט תקרה (‪ )Ceiling Effect‬ואפקט רצפה (‪ )Floor Effect‬מתייחסים למצב בו מתרחש אומדן חסר‬
‫(‪ )Underestimation‬של השפעת המניפולציה‪ .‬אומדן חסר עלול להתרחש כאשר מדידת המשתנה התלוי אינה‬
‫רגישה מספיק‪ .‬כלומר‪ ,‬המדד ה אופרציונלי למשתנה התלוי לא מכסה את כל טווח הערכים האפשרי‪ .‬במצב של‬
‫אפקט תקרה נגרם אמדן החסר בשל חוסר בטווח הערכים הגבוה של המשתנה התלוי ובאפקט רצפה מתרחש‬
‫אמדן החסר בשל חוסר בטווח הערכים הנמוך‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫מצבים של אפקט תקרה או אפקט רצפה עלולים לג רום להסקה מוטעית על קיומה של אינטראקציה‪ ,‬כאשר‬
‫אחד מהגורמים נמצא בקצה הסקאלה‪ ,‬ולכן נפגע מאפקט הרצפה ‪ /‬תקרה‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫זמן הכנה קצר‬
‫זמן הכנה ארוך‬
‫הפרש‬
‫(קצר – ארוך)‬
‫תקצירים‬
‫‪50‬‬
‫‪90‬‬
‫‪+40‬‬
‫ספרים‬
‫‪80‬‬
‫‪100‬‬
‫‪+20‬‬
‫‪+30‬‬
‫‪+10‬‬
‫הפרש‬
‫(=תקצירים – ספרים)‬
‫מקרא‪:‬‬
‫ציון‬
‫במבחן‬
‫ספרים‬
‫תקצירים‬
‫זמן‬
‫הכנה‬
‫ארוך‬
‫קצר‬
‫בדוגמא זו ניתן לראות כי בתנאי התקצירים ישנו שיפור של ‪ 40‬נקודות במעבר מזמן הכנה קצר לזמן הכנה‬
‫ארוך‪ ,‬בעוד שבתנאי הספרים השיפור במעבר בין זמני ההכנה הוא של ‪ 20‬נקודות בלבד‪ .‬תוצאות אלה מעידות‬
‫על קיום אינטראקציה ‪ -‬לזמן ההכנה השפעה שונה ברמות השונות של סוג החומר‪ .‬עם זאת‪ ,‬במידה ויתברר כי‬
‫המבחן (כלי המדידה במקרה זה) היה קל מדי ולא כלל שאלות ברמות הקושי הגבוהות‪ ,‬ייתכן הסבר אחר‬
‫לתוצאות‪ :‬ייתכן כי התוצאות מעידות על אפקט תקרה‪ ,‬הנגרם בשל סיומה של סקאלת המדידה בציון ‪100‬‬
‫שאינו משקף את רמות ההישג הגבוהות ביותר האפשריות‪ .‬כך‪ ,‬ייתכן שבמעבר מזמן הכנה קצר לארוך‪ ,‬שיפרו‬
‫גם הנבדקים בתנאי הספרים את הישגיהם במידה שוות ערך ל ‪ 40 -‬נקודות‪ ,‬אלא שכלי המדידה מוגבל בציון‬
‫‪ 100‬ולכן שיקף שיפור של ‪ 20‬נקודות בלבד‪.‬‬
‫סימטריות האינטראקציה‬
‫כאמור‪ ,‬עצם קיום האינטראקציה הוא סימטרי ‪ -‬אינטראקציה בין משתנה א' למשתנה ב' משמעותה‬
‫אינטראקציה בין משתנה ב' למשתנה א'‪ .‬סוג האינטראקציה‪ ,‬לעומת זאת‪ ,‬עשוי להיות שונה עבור המשתנים‬
‫השונים‪ ,‬כך שסוג האינטראקציה מכיוון אחד לא יהיה זהה בהכרח לסוג האינטראקציה מהכיוון השני‪ .‬ייתכן‬
‫שעבור משתנה א' תמצא אינטראקציה מהותית ועבור משתנה ב' אינטראקציה לא מהותית‪ .‬ככלל‪ ,‬ברגע שעבור‬
‫אחד המשתנים האינטראקציה היא מהותית‪ ,‬נהוג להתייחס לאינטראקציה במחקר כאינטראקציה מהותית‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫ניתוחים סטטיסטיים ובדיקת מובהקות במערך רב גורמי‬
‫ככל שמערך הופך מורכב יותר‪ ,‬הופך הניתוח הסטטיסטי המלווה אותו למורכב יותר‪ .‬במערך רב גורמי‪ ,‬כמו‬
‫במערך רב רמות‪ ,‬הניתוח הסטטיסטי הוא ניתוח ‪ ,F‬אולם דרך חישוב יחס ‪ F‬שונה במקצת‪.‬‬
‫בדיקת מובהקות במערך חד גורמי (רב רמות) מול מערך פקטוריאלי‬
‫כמו במערך החד גורמי‪ ,‬גם במערך הרב גורמי נעשה שימוש בניתוח שונות ‪ ,ANOVA -‬כלומר‪ ,‬מחושב יחס ‪.F‬‬
‫במערך רב גורמי מתבצעת בדיקת מובהקות ומחושב יחס ‪ F‬בנפרד עבור כל אחד מהמשתנים הבלתי תלויים‬
‫ועבור האינטראקציה‪.‬‬
‫במערך חד גורמי נבדק היחס בין השונות הבין קבוצתית (‪ )SSB‬והשונות התוך קבוצתית ( ‪.)SSW‬‬
‫במקרה של מערך רב גורמי ובו שני גורמים‪ -‬מערך דו‪-‬גורמי‪ -‬חישוב השונות התוך קבוצתית אינו משתנה‬
‫( ‪ SSW‬זהה משמשת לכל הבדיקות) אולם חל שינוי בחישוב השונות הבין קבוצתית‪ .‬השונות הבין קבוצתית‬
‫נובעת במקרה זה משלושה מקורות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫השונות הנובעת מהאפקט העיקרי של המשתנה הבלתי תלוי הראשון‪ ,‬נהוג לסמנה כ ‪ SSA -‬או ‪c( SSC‬‬
‫מהמילה ‪ ,columns‬טורים)‪.‬‬
‫‪ .2‬השונות הנובעת מהאפקט העיקרי של המשתנה הבלתי תלוי השני‪ ,‬נהוג לסמנה כ ‪ SSB -‬או ‪R( SSR‬‬
‫מהמילה ‪ ,rows‬שורות)‪.‬‬
‫‪ .3‬השונות הנובעת מהאינטראקציה בין ‪ A‬ל ‪ ,B‬נהוג לסמנה כ ‪ SS* -‬או ‪ I( SSI‬מהמילה ‪,Interaction‬‬
‫אינטראקציה)‪.‬‬
‫השונות הבין קבוצתית הכללית במערך דו גורמי שווה אם כך ל ‪SSA+SSB+SSA*B -‬‬
‫( את השונות הנובעת מהאינטראקציה לא ניתן לחשב ישירות ולכן )‪)SS* = SST-( SSA + SSB + SSW‬‬
‫חישוב יחס ‪ F‬ובדיקת מובהקות‬
‫על מנת לבדוק את מובהקות האפקט של כל אחד מהגורמים שהוזכרו‪ ,‬מתבצעת בנפרד בדיקת יחס ‪ F‬עבור ‪A‬‬
‫‪ ,B‬ו‪: A*B -‬‬
‫להלן שלבי בדיקת האפקטים השונים‪:‬‬
‫‪ .1‬חישוב ‪ :MSW‬היחס בין השונות התוך קבוצתית ‪ SSW‬ובין אומדן דרגות החופש המתאימות‪ ,‬כפי‬
‫שנעשה בניתוח שונות חד גורמי‪ .‬יש לשים לב כי בדרך כלל במעבר מניתוח שונות חד‪-‬גורמי לניתוח שונות‬
‫רב‪-‬גורמי משתנה (לרוב קטן) אומדן השונות התוך‪-‬קבוצתית ‪.SSW‬‬
‫‪ .2‬חישוב ממוצע השונות ‪ MS‬עבור כל גורם בנפרד (‪ MSA, MSB‬וכד')‪ :‬היחס בין השונות הנובעת מכל‬
‫גורם‪ ,‬לבין אומדן דרגות החופש (‪ )df‬המתאימות‪.‬‬
‫‪ .3‬חישוב יחס ‪ F‬עבור כל גורם בנפרד‪ :‬היחס בין ממוצע השונות של כל גורם (‪ MSA, MSB‬וכד') לבין ממוצע‬
‫השונות התוך קבוצתית ( ‪.)MSW‬‬
‫‪ .4‬השוואת ה ‪ F -‬המחושב של כל גורם בנפרד עם ה ‪ F -‬הקריטי הנקבע על פי אלפא ומספר דרגות החופש‪,‬‬
‫(כפי שנעשה בניתוח שונות חד גורמי)‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫טבלה מסכמת של ניתוח שונות רב גורמי‪:‬‬
‫מקור השונות‬
‫‪SS‬‬
‫‪Df‬‬
‫יחס ‪F‬‬
‫‪MS‬‬
‫‪A Factor‬‬
‫‪SSA‬‬
‫‪K(A) -1‬‬
‫‪SS A‬‬
‫‪df A‬‬
‫‪MS A ‬‬
‫‪B Factor‬‬
‫‪SSB‬‬
‫‪K(B) -1‬‬
‫‪SS B‬‬
‫‪df B‬‬
‫‪MS B ‬‬
‫‪A*B Factor‬‬
‫‪SSA*B‬‬
‫)‪(K(A) –1)*(K(B) –1‬‬
‫‪SS A*B‬‬
‫‪df A*B‬‬
‫)‪W (within‬‬
‫‪SSW‬‬
‫‪N-K‬‬
‫‪SS w‬‬
‫‪df w‬‬
‫)‪T (total‬‬
‫‪SST‬‬
‫‪N-1‬‬
‫‪MSA‬‬
‫‪MSW‬‬
‫‪MSB‬‬
‫‪MSW‬‬
‫‪MS A*B ‬‬
‫‪MSA*B‬‬
‫‪MSW‬‬
‫‪MSW ‬‬
‫‪ -K‬מס' הקבוצות הכללי במערך‬
‫ניתוחי המשך במערך פקטוריאלי‬
‫בדומה למערך חד גורמי רב רמות‪ ,‬גם במערך רב גורמי יש לברר מה מקור המובהקות לאחר שהתקבל יחס ‪F‬‬
‫מובהק עבור אחד האפקטים (‪ A, B‬ו‪/‬או האינטראקציה ‪:)A*B‬‬
‫במקרה בו התקבל אפקט מובהק עבור אחד הגורמים העיקריים של המשתנים הבלתי תלויים‪ ,‬המכיל שתי‬
‫רמות בלבד‪ ,‬אין צורך לבצע ניתוח המשך‪ ,‬מאחר וניתן להשוות את ממוצעי שתי הקבוצות‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬במקרה‬
‫בו התקבל אפקט מובהק עבור גורם המכיל שלוש רמות או יותר‪ ,‬יש צורך לבצע ניתוח המשך על מנת לגלות בין‬
‫אילו מהקבוצות (או הרמות) קיימים הבדלים מובהקים‪ .‬הניתוחים הנם אותם ניתוחים המשמשים במערך חד‬
‫גורמי רב רמות‪.‬‬
‫בכל מקרה בו יחס ‪ F‬נמצא מובהק עבור האינטראקציה‪ ,‬יש לבצע ניתוח המשך‪ :‬ניתוח ה ‪ F -‬מאשר את קיומה‬
‫של האינטראקציה‪ ,‬אך אין הוא מספק מידע לגבי טיבה ‪ -‬לכן יש לבצע ניתוח אפקטים פשוטים לבדיקת השפעת‬
‫כל משתנה בלתי תלוי על המשתנה התלוי‪ ,‬ברמות השונות של המשתנה הבלתי תלוי השני‪ ,‬ובדיקת טיב‬
‫האינטראקציה (מהותית‪ ,‬לא מהותית)‪.‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה המוביל בישראל לבחינת המתא"ם‬
‫‪www.pitronot.org‬‬