Föreläsning 8 Frekvensanalys Exempel: experiment på ögats pupill
Transcription
Föreläsning 8 Frekvensanalys Exempel: experiment på ögats pupill
Frekvensanalys Föreläsning 8 Frekvensanalys • Frekvenssvar Studera hur system reagerar på signaler i olika frekvensområden Exempel: • Bode- och Nyquistdiagram • Laststörningar – mest låga frekvenser • Stabilitet och stabilitetsmarginaler • Mätbrus – höga frekvenser Om systemet är linjärt så kan man studera svaret för varje frekvens separat • Sinus in [ sinus ut • Kan t.ex. användas för att ta fram överföringsfunktioner experimentellt (systemidentifiering) Rekommenderad läsning: Process Control: 3.8, 4.5 Exempel: experiment på ögats pupill Upprepade experiment för olika frekvenser: Experimental data Linear model Gain 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 2 5 10 20 2 5 10 Frequency 20 Phase 0 −200 −400 [L. Stark, 1959] Linjär modell G (s) = 0.17 e−0.2s (1+0.08s)3 anpassad till data 1 Frekvenssvar u(t) y(t) G (s) u(t) = sin ω t, Exempel: G (s) = 2 1 ω = 1: t > −∞ y 0 u −1 −2 0 5 10 15 20 15 20 15 20 t y(t) = a sin(ω t + ϕ ) 2 1 ω = 2: a = p G (iω )p 2 s+1 ϕ = arg G (iω ) y 0 u −1 −2 0 5 10 t 2 G (iω ) – frekvensfunktion 1 p G (iω )p – förstärkning (gain), amplitud, magnitud arg G (iω ) – fasförskjutning (phase shift), fas Räkneregler för komplexa tal ω = 3: y 0 u −1 −2 0 p Exempel: G (s) = arg z = arctan z1 p z1 p = z2 p z2 p arg z1 z2 = arg z1 + arg z2 , y x (om x > 0) arg 2 s+1 2 iω + 1 2 p G (iω )p = √ 2 ω +1 G (iω ) = x2 + y2 p z1 z2 p = p z1 pp z2 p, 10 t z = x + iy p zp = 5 z1 = arg z1 − arg z2 z2 arg G (iω ) = − arctan ω ω 0 1 ∞ p G (iω )p arg G (iω ) 1.41 −45○ 1 0 0○ −90○ 2 Bodediagram Exempel: G (s) = Rita p G (iω )p och arg G (iω ) som funktioner av ω • Faskurvan arg G (iω ) ritas i log-lin-skala (MATLAB-kommando: bode) 1 10 Magnitude (abs) • Amplitudkurvan p G (iω )p ritas i log-log-skala Bode Diagram 2 s+1 0 10 −1 10 −2 10 0 Phase (deg) −15 −30 −45 −60 −75 −90 −2 10 Miniproblem −1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10 2 10 Typsystem i formelsamlingen Avläs i Bodediagrammet: • Hur mycket förstärks och fasförskjuts insignaler med frekvensen 10 rad/s? 1 , 1 + sT 1 + sT e−sL reell pol, reellt nollställe tidsfördröjning • Hur mycket förstärks och fasförskjuts konstanta insignaler? ω 02 s2 + 2ζ ω 0 s + ω 02 komplext polpar (Ni behöver ej kunna rita Bodediagram för hand, s. 85–91 i Process Control.) 3 G G G(s)=(1+sT), 20 G G 1 1+sT G(s)=e-sL 20 T=1 10 L=1 10 90 5 2 1 90 5 2 . 01 2 5 1 2 5 10 0 1 . 01 2 1 5 2 5 10 0.5 0.5 0.2 0.2 90 90 0.1 0.1 0.05 0.05 0.02 0.02 180 0.01 180 0.01 • En pol i s = − T1 böjer ner amplitudkurvan och sänker faskurvan med 90○ vid ω = T1 ; omvänt för ett nollställe G • En tidsfördröjning sänker faskurvan exponentiellt men påverkar inte amplitudkurvan G ω20 s2 + 2ζω0s + ω02 ω0=1 Nyquistdiagram G(s)= 20 10 5 ζ ζ ζ 2 ζ 1 0 Radianer/s Radianer/s . 01 2 5 1 90 Rita kurvan G (iω ) i komplexa talplanet då ω går från 0 till ∞. 0.4 2 5 10 0.2 0 Radianer/s 0.5 0 ζ arg G (iω ) ζ 0.2 −0.2 p G (iω )p 90 0.1 0.05 0.02 −0.4 ζ ζ ζ ζ ζ ζ −0.6 180 0.01 • Ett oscillativt system med liten dämpning ζ har en stor resonanstopp vid egenfrekvensen ω 0 i amplitudkurvan −0.8 −1 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 (MATLAB-kommando: nyquist (ritar även spegelvända kurvan)) 4 Exempel: G (s) = 2 s+1 Stabilitet för återkopplade system u(t) Nyquist Diagram 0.5 z(t) 0 Imaginary Axis G0 (s) −1 −0.5 Antag att öppna systemet G0 (s) är stabilt −1 u(t) = sin ω t −1.5 −0.5 y(t) 0 0.5 1 Real Axis 1.5 2 2.5 [ y(t) = p G0 (iω )p sin ω t + arg G0 (iω ) z(t) = p G0 (iω )p sin ω t + arg G0 (iω ) + π Nyquists (förenklade) stabilitetssats Om z(t) = u(t) så uppstår en stabil självsvängning i kretsen när brytaren slås om. Detta händer om p G0 (iω )p = 1 arg G0 (iω ) = −π \ Nyquistkurvan för G0 (s) går genom punkten −1 u(t) Σ G0 (s) y(t) −1 Antag att öppna systemet G0 (s) saknar poler i höger halvplan. Det slutna systemet är asympotiskt stabilt om man går utefter kurvan G0 (iω ) från ω = 0 till ω = ∞ och finner att punkten −1 hamnar till vänster om kurvan. 5 Exempel Harry Nyquist (1889–1976) • Född i Nilsby, Värmland • Karriär i USA – Univ. of North Dakota – Yale University – AT&T Bell Laboratories • Tre viktiga resultat: – Nyquists stabilitetssats – Johnson–Nyquist-bruset – Nyquists samplingssats a) stabilt, b) instabilt, c) stabilt, d) instabilt Stabilitetsmarginaler Amplitudmarginalen anger hur mycket förstärkningen kan öka utan att slutna systemet blir instabilt: • Låt ω 0 vara den minsta frekvens där arg G0 (iω 0 ) = −180○ • Amplitudmarginalen ges då av Am = 1/p G0 (iω 0 )p (Typiska marginaler: Am = 2–6) Fasmarginalen anger hur mycket fasen kan minska utan att slutna systemet blir instabilt: Amplitud- och fasmarginal i Nyquistdiagrammet 1 0.8 1/ Am 0.6 0.4 0.2 G0 (ω o ) 0 ϕm −0.2 −0.4 • Låt skärfrekvensen (cross-over frequency) ω c vara den minsta frekvens där p G0 (iω c )p = 1 • Fasmarginalen ges då av ϕ m = 180○ + arg G0 (iω c ) (Typiska marginaler: ϕ m = 30○ –60○ ) −0.6 −0.8 G0 (ω c ) −1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 6 Exempel Amplitud- och fasmarginal i Bodediagrammet 1 1 (s + 3.732)(s + 1)(s + 0.2679) Förstärkning 10 G0 (s) = ωc 0 10 1/ Am 0.04 −1 10 0.02 −2 −1 0 10 Imaginary Axis 10 10 −50 Fas −100 −150 0 −0.02 ϕm −0.04 ωo −200 −250 −1 10 −0.1 0 10 Frekvens [rad/s] −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 Real Axis 0 0.02 Nästa föreläsning Avläsning av amplitudmarginal: 1 = 0.042 Am PID-reglering \ Am = 24 • Frekvenstolkning • Inställningsmetoder Tolkning: Om man reglerar systemet med en P-regulator kan förstärkningen vara max 24 utan att slutna systemet blir instabilt. • Praktiska modifieringar Rekommenderad läsning: Process Control: 5.1–5.7 7