Tidskontinuerliga vs. Tidsdiskreta signaler & system Signaler

TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
1
Tidskontinuerliga vs. Tidsdiskreta
signaler & system
Insignal
Utsignal
SYSTEM
x(t)
y(t) = {y(t)}

x[n]
y[n] = {x[n]}
 = systemoperatorn
 Tidskontinuerliga signaler x(t), y(t)
 De kan fourierserieutvecklas,
fourierserieutvecklas fouriertransformeras & laplacetransformeras
 Tidsdiskreta signaler x[n], y[n]
 De kan fourierserieutvecklas, fouriertransformeras & z-transformeras
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
2
Signaler
x(t)
Tidskontinuerligt
system
t
x[n]
y(t) = H {x(t)}
H
y[n] = H {x[n]}
Tidsdiskret
system
Tidskontinuerliga signaler x(t), y(t)
t
Tidsdiskreta signaler x[n], y[n]
= en ordnad sekvens av tal,
indexerad av variabeln n
2
-2 -1
1
3
n
6
4
5
7
8
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
3
Tidsdiskreta signaler
E
Exempel
l på
å tidsdiskreta
tid di k t signaler:
i
l
• Mätvärden (sampel) med jämna mellanrum av
g storhet ‒ t.ex. temperaturen
p
en tidskontinuerlig
• Saldot på mitt bankkonto
Likformig sampling:
x(t)
x[n] = x(nT)
t = nT
x(t)
x[n]
–T
t
4T
T
2T
3T
–1
5T
n
4
1 2 3
5
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
4
Tidsdiskreta signalmodeller
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
5
Tidsdiskreta signalmodeller
x(t)
Likformig
sampling
x[n] = x(nT)
T = sampelperioden
n ;   
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
6
Tidsdiskreta signalmodeller
x(t)
Likformig
sampling
x[n] = x(nT)
Boken:  = ”frequency”
T = sampelperioden
(Olämplig benämning…)
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
z-transformen ‒ härledning
x t 
7
(kap. 5.8)
x  n   x  nT 
Likformig
f
sampling
x t   x t  T t 
x t 
Ideal sampling  multiplicera
x(t)
( ) med dirac-pulståget
p
g T((t))
 x  t   tidskontinuerlig
representation av x  t  :
 T t  
x t 

   t  nT 
n 
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
z-transformen ‒ härledning
x t 
8
(kap. 5.8)
x  n   x  nT 
Likformig
f
sampling
x t   x t  T t  


 x  nT    t  nT 
n 

 x n   t  nT 
n 

X II  s     x  t  

 x t  e
 st
dt




 
 st
    x  n    t  nT   e dt   x  n     t  nT  e st dt
n 

  n 



 e  snT


 x n  e
n 
 snT
 ze
sT


 x n  z n   II x n 
n 
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
9
z-transformen
• Dubbelsidig ((”bilateral”)) zz-transform:
transform:
(Kap. 5.9)
Om kausal funktion/signal 
• Enkelsidig
E k l idi (”unilateral
il t l”) z-transform:
t
f
(Kap. 5.1‒5.7)
X II  z   II  x  n  
X I  z   I  x  n  

 x n  z n
n 

 x n  z n
n 0
• z-transformen
t
f
ä b
är
bara entydigt
t di t d
definierad
fi i d till
tillsammans med
d
angivet konvergensområde (”ROC, Region Of Convergence”):
x[n] dvs.
dvs x[n < 0] = 0:
• Kausal x[n],
z  R0
• Antikausal x[n], dvs. x[n  0] = 0: z  R1
Konvergensområdena
visas/härleds på tavlan
och 2 separata A4-sidor!
• Generellt x[n], dvs. x[n]  0 för minst något n  0 och n < 0: R0  z  R1
• Beteckning, transformpar: x  n   X  z 
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 Signaler & System
Lasse Alfredsson
Konvergensområden för X(s) & X[z]
Sampling: x  n   x  t  t nT  x  nT 

Avbildning, s-planet  z-planet:
z  esT  e
  j  T
 eT e jT  R  e j 
där R  e T &   T
 Betrakta kausala signaler, dvs. då x  t  0   0
 Konvergensområdet för X(s) är Re s     0
(dvs. då |X(s)| <  )
Sampling  x  n  0  0
 Konvergensområdet för X[z] är z  R0 :
(dvs. då |X[z]| <  )
Vid minst en punkt på konv.områdets rand är X(s), X[z]
TSDT84 Signaler & System
Lasse Alfredsson
 Betrakta antikausala signaler, dvs. då x  t  0   0
 Konvergensområdet för X(s) är Re s     1
Sampling  x  n  0  0
 Konvergensområdet för X[z] är z  R1 :
t , n  0 och
 Allmän x  t  , x  n   0 för något 
:
 t, n  0
 0    1
R0  z  R1
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
10
Invers z-transform
x  n    1  X  z  
1
X z z
2 j 
n 1
dz
C
Integrera moturs längs den slutna kurvan C i z-planet, omslutande origo
i konvergensområdet för X[z]  3 olika fall:
z  R0
 0  0 
 xn 0
z  R1
 0  0 
 xn 0
Im{z}
Im{z}
C
R0  z  R1
 xn 0, xn 00 
Im{z}
C
C
Re{z}
Re{z}
Re{z}
R0
R0
R1
R1
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
11
Invers z-transform
x  n    1  X  z  
1
X z z
2 j 
n 1
dz
C
Inverstransformering sker på något av följande sätt:
1. Direkt beräkning av kurvintegralen (m.h.a. residueberäkningar)
2 Potensserieutveckling av X[z] till en serie av termer z‒nn
2.
3. Partialbråksuppdelning av X[z] (eller hellre X[z]/z)
följt av tabellslagning
t b ll l
i (identifiera
(id tifi
t
transformpar
f
X[ ]  x[n]
X[z]
[ ])
I kursen använder vi oss i första hand av metod 3!
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
12
Några centrala z-transformpar
  n   1;
 z  0 om k  0

 z   om k  0
 n  k   z k ;
u n 
z

;
z 1
u  n  1  
 nu  n  
z
z
;
z 1
 nu  n  1  
n   n  u n  
z 1
z  z   cos  0  
n
 sin  0n  u  n  
z 2   2  cos  0   z  
2
z  sin  0 
n
z   2  cos  0   z  
2
2
z  
z
;
z 
z
z   
n   n  u  n  1  
z 1
 cos  0n  u  n  
z
;
z 
2
z  
z
 z   2
;
z  
;
z  
z  
;
;
z  
Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH
TSDT84 SigSys
Kap 4 ‒ z-transformanalys av tidsdiskreta signaler
13
Några centrala z-transformegenskaper
Högerskift:
x n  k  u n  k   z k X I  z 
x n  m u n   z
Spegling:
p g g
m
m

k 
 X I  z    x  k  z 
k 1


1
X II  z 
z
 1
x  n   X II  
z
z
Mult med n:  n x  n   X  
Mult.
 
Initialvärdet:
x n  k  
x 0   lim X I  z 
z 
Mult med n: n  x  n    z
Mult.
dX  z 
dz
Slutvärdet: lim x  n   lim  z  1 X I  z 
n 
z 1
(Konv.omr.radien < 1) Copyright  Lasse Alfredsson, LiTH