קומבינטוריקה למדעי המחשב (234141)

‫סמסטר אביב תשע"ד‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫מרצים‪:‬‬
‫מתרגלים‪:‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
‫הפקולטה למדעי המחשב‬
‫פרדי ברוקשטיין‪ ,‬רן אל‪-‬יניב‬
‫שרית בוזגלו‪ ,‬עמית גרוס‪ ,‬סער‬
‫זהבי‪ ,‬אוהד טלמון‪ ,‬גל ללוש‬
‫( אחראי)‪ ,‬עמי פז‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב (‪)143232‬‬
‫סמסטר אביב תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫סקיצת פיתרון וטעויות נפוצות‬
‫מס' סטודנט‪:‬‬
‫מתוך‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫‪30‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫משך המבחן‪ 211 :‬דקות‪.‬‬
‫בדקו כי ברשותכם ‪ 9‬דפים (שני דפי שער ו‪ 7-‬דפים לגוף המבחן)‪ ,‬ו‪ 5-‬עמודי נוסחאות‪ .‬הפרדת דפים אסורה!‬
‫במבחן ‪ 6‬שאלות‪ .‬יש לענות על כל שאלה‪/‬סעיף במקום המיועד‪ .‬אם המקום אינו מספיק ‪ -‬ניתן לכתוב את המשך‬
‫הפתרון בגב הדף‪.‬‬
‫עליכם לנמק את תשובותיכם‪ .‬תשובות לא מנומקות לא יקבלו ניקוד‪.‬‬
‫מותר להסתמך ללא הוכחה רק על תוצאות שהוכחו בהרצאות או בתרגולים‪.‬‬
‫כל חומר עזר אחר‪ ,‬כולל מכשירים אלקטרוניים‪ ,‬אסור‪.‬‬
‫אין להחזיק טלפונים סלולריים בזמן ה בחינה‪ .‬סטודנט שיחזיק טלפון סלולרי‪ ,‬בחינתו תיפסל ויועמד לדין‬
‫משמעתי‪.‬‬
‫בכל שאלה‪/‬סעיף מנוקדים תוכלו לציין "לא יודע‪/‬ת"‪ .‬במקרה זה תזוכו אוטומטית ב‪ 11%-‬מהניקוד לשאלה‪/‬סעיף‪,‬‬
‫ו שאר הטקסט שכתבתם לשאלה‪/‬סעיף לא יקרא‪.‬‬
‫אלא אם מצוין אחרת‪ ,‬תשובה פשוטה יותר (ללא סכימה‪ ,‬רקורסיה וכו') עדיפה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 41( 1‬נקודות)‪:‬‬
‫בשנת ‪ 1127‬פתח הטכניון סניף ראשון בסין‪ .‬במחזור הראשון של מדמ"ח השתתפו בקורס "קומבי" 𝑘‪20‬‬
‫סטודנטים סינים וכמו כן‪ 𝑘 ,‬עתודאים שנשלחו מישראל לתגבורת‪ ,‬באשר ‪ 𝑘 > 0‬שלם זוגי כלשהו‪ .‬ידוע‬
‫כי בדיוק מחצית (𝑘‪ )10‬מהסטודנטים הסינים הן בנות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ 7‬נקודות) בכמה אופנים ניתן לחלק את כיתת קומבי‪-‬סין ל‪ 𝑘-‬קבוצות תרגול ממוספרות כך שבכל‬
‫קבוצה יש בדיוק ‪ 21‬בנים סיניים‪ 21 ,‬בנות סיניות ועתודאי אחד ויש חשיבות לסדר בתוך כל קבוצת‬
‫תרגול‪.‬‬
‫ישנן מספר דרכים לפתור את השאלה הזו‪ .‬פיתרון אפשרי‪ :‬נסדר את הסטודנטים בשורת בנים‪ ,‬שורת בנות‪ ,‬ושורת‬
‫עתודאים‪.‬‬
‫! ‪10k !10k !k‬‬
‫‪ .‬כעת‪ ,‬העשיריה הראשונה של הבנים‪ ,‬תלך לכיתה הראשונה‪ ,‬העשיריה השנייה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לכיתה השניה וכן הלאה‪ .‬על מנת לחשב את הסדר בכיתה כלשהי ‪ ,‬נשתמש במקדם המולטינומי‪ :‬‬
‫‪10 10 1‬‬
‫‪21‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫סה"כ‪ :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 21‬‬
‫‪. 10k  !10k  !k !‬‬
‫‪10 10‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הטעות הנפוצה ביותר הייתה לעצור את הפיתרון ב‪10k !10k !k ! -‬‬
‫‪ .‬פיתרון זה קובע את הסדר בין‬
‫הבנים ובין הבנות בנפרד‪ ,‬אך לא את הסדר ביניהם‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪ 7‬נקודות) מורה הקורס קומבי‪-‬סין‪ ,‬מר צ'אן צ'ן‪-‬צ'ניב‪ ,‬דרש ש כל התלמידים יכנסו לאולם ההרצאה‬
‫(צ'אוב ‪ )2‬בתור מסודר‪ ,‬כך שבכל רישא של התור‪ ,‬מספר הבנות הסיניות לא יעלה על מספר הבנים‬
‫הסיניים (לא היו לו שום דרישות מיוחדות לגבי העתודאים ח וץ מזה שכולם יהיו נוכחים בתור)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ברור שמספר הדרכים לסדר את הסטודנטים הסיניים היא‪( C10 k 10k ! :‬סידור רישא חוקי‪ ,‬וסידור הסיניים‬
‫המקומות בתור‪,‬‬
‫בתור)‪ .‬נותר לשלב את העתודאיים בתור‪ .‬דרך קלה לעשות זאת‪ ,‬היא לבחור מתוך ‪21k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫מקומות לסטודנטים‪ ,‬ללא חזרות ועם סדר (כי העתודאיים שונים)‪ .‬סה"כ נקבל‪. C10 k 10k ! P21k :‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫‪ ‬התעלמות מכך שאנשים הם שונים‪ ,‬וצריך לבחור להם מקומות‪.‬‬
‫‪ ‬אי ספירת מהדרכים השונות לסדר את העתודאים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫(‪ 8‬נקודות) לצורך הגשת שעורי הבית‪ ,‬נדרשו תלמידי כיתת קומבי‪-‬סין להתחלק לזוגות‪ .‬בכמה‬
‫אופנים ניתן לחלק את תלמידי הכיתה לזוגות כך שבכל זוג יש או בן ובת סיניים או שני עתודאים?‬
‫שימו לב כי אין חשיבות לסדר הפנימי בתו ך זוגות ולסדר בין הזוגות השונים‪.‬‬
‫שידוך של‬
‫!‪k‬‬
‫ב‪-‬‬
‫!‪2 2  k2 ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ 10k‬בנים ל‪ 10k -‬ניתן לעשות ב‪10k !-‬‬
‫כפי שנראה בתרגול‪ .‬את העתודאים ניתן לחלק לזוגות‬
‫‪ ,‬גם כפי שנראה בתרגול‪.‬‬
‫סה"כ נקבל‪10k ! :‬‬
‫!‪k‬‬
‫!‪ k2 ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫שימו לב שאת שני החלקים של הפיתרון ראיתם כלשונם בתרגול הראשון‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10k !‬‬
‫‪‬‬
‫היו שסידרו את הבנים והבנות ב‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪k ‬‬
‫היו לא מעט שסידרו את העתודאים בזוגות ב‪ -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,‬או אפילו‬
‫!‪10k ‬‬
‫‪10 k‬‬
‫‪2‬‬
‫(וזה בכלל לא שלם)‪.‬‬
‫‪ . ‬זה כמובן סופר את מספר האפשרויות לבחור זוג יחיד‪,‬‬
‫ולא את מספר האפשרויות לחלק את כל העתודאים לזוגות‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫(‪ 8‬נקודות) עקב בעיות העתקה בשעורי הבית בקרב הסטודנטים הסיניים‪ ,‬החליט המתרגל האחראי‪,‬‬
‫מר יאן צ'לוש‪ ,‬לחלק מחדש את הסינים לזוגות‪ .‬בין הזוגות החדשים אין אף זוג ישן ואין שום‬
‫מגבלות נוספות (ובפ רט מותרים שני בנים או שתי בנות בזוג)‪ .‬השתמשו בעקרון ההכלה‪/‬הפרדה‬
‫לחשב את מספר החלוקות מחדש של 𝑘‪ 𝑚 = 20‬הסינים לזוגות כנדרש‪.‬‬
‫פיתרון בהכלה בהפרדה‬
‫!‪ 20k ‬‬
‫‪ ‬‬
‫!‪2  202k ‬‬
‫‪20 k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪ : w‬כל האפשריות לחלק את הסינים לזוגות (שימו לב‪ ,‬זה לא סעיף ג'; אין מחויבות לחלק‬
‫אותם לפי מין)‪.‬‬
‫נגדיר ‪ p1i 10 k‬תכונות‪ :‬הגבר ה‪i -‬‬
‫נמצא באותו זוג‪.‬‬
‫נחפש את ‪ 0 ‬‬
‫!‪10k   20k  2r ‬‬
‫‪ : w  r   ‬כל האפשרויות לחלק את שאר הסטודנטים לזוגות‪.‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 20 k  2 r‬‬
‫‪ r  2‬‬
‫!‪ 2 ‬‬
‫‪.E‬‬
‫‪20 k 2 r‬‬
‫‪2‬‬
‫טעות עקרונית ‪ :‬רובכם הגדרת את התכונה ה‪ i -‬כך‪" :‬הזוג ה‪ i -‬לא השתנה" ‪ .‬זיכרו שאין סדר בין הזוגות‪ ,‬ולכן אין‬
‫משמעות לדבר על הזוג ה‪ , i -‬אלא יש לדבר על הזוג שמכיל את הגבר (או האישה) ה‪ . i -‬לא הורדו על כך נקודות‪.‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫‪ ‬התעלמות מכך שלא חייבים לסדר את הסינים בן‪-‬בת‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חוסר הסברים על ‪w  r ‬‬
‫‪3‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 2‬נקודות)‪:‬‬
‫עבור ‪ 𝑟, 𝑚 > 0‬שלמים‪ ,‬יהי )𝑚 ‪ F(𝑟,‬מספר האפשרויות לחלק 𝑟 כדורים שונים ל‪ 𝑚 -‬תאים שונים‪ ,‬כך‬
‫שבכל תא מספר הכדורים הוא לפחות ‪ 4‬ולכל היותר ‪ .5‬אין חשיבות לסדר הפנימי של ה כדורים בתאים‪.‬‬
‫פתחו עבור )𝑚 ‪ F(𝑟,‬נוסחת נסיגה‪ ,‬כולל תנאי עצירה מספיקים ולא מיותרים‪.‬‬
‫נבצע ניתוח על פי מה שקורה בתא הראשון; ישנן ‪ 3‬אפשרויות חוקיות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫יש בתא ‪ 3‬כדורים‬
‫יש בתא ‪ 4‬כדורים‬
‫יש בתא ‪ 5‬כדורים‬
‫עבור המקרה הראשון‪ ,‬עלינו לבחור ‪ 3‬כדורים להכניס לתא הראשון ובכך ביצענו רדוקציה לבעיה קטנה יותר‪ ,‬זו שבה‬
‫𝑟‬
‫צריך להכניס ‪ r-3‬כדורים לתוך ‪ m-1‬תאים‪ .‬סה"כ ישנן )‪ ( ) 𝐹(𝑟 − 3, 𝑚 − 1‬אפשרויות כאלה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑟‬
‫𝑟‬
‫עבור המקרה השני‪ ,‬בצורה דומה ישנן )‪ ( ) 𝐹(𝑟 − 4, 𝑚 − 1‬ואילו עבור המקרה האחרון ישנן )‪( ) 𝐹(𝑟 − 5, 𝑚 − 1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫אפשרויות‪ .‬מאחר ואלו ‪ 3‬מקרים זרים שיחדיו מהווים כיסוי של אוסף כל המקרים האפשריים הרי שע"פ עקרון החיבור‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫𝑟‬
‫𝑟‬
‫𝑟‬
‫)‪.𝐹(𝑟, 𝑚) = ( ) 𝐹(𝑟 − 3, 𝑚 − 1) + ( ) 𝐹(𝑟 − 4, 𝑚 − 1) + ( ) 𝐹(𝑟 − 5, 𝑚 − 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫לבסוף‪ ,‬נותר לנו להגדיר את תנאי העצירה ואלו יהיו‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F  0, 0   1‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪F  r, 0  0‬‬
‫תנאי העצירה נכונים כיוון שלא ניתן לחלק כמות כדורים שלילית לשום מספר תאים ולא ניתן לחלק כמות כדורים‬
‫חיובית בפרט ל‪ 0-‬תאים כ ך שבכל תא יהיו בין ‪ 3‬ל‪ 5-‬כדורים‪ ,‬בעוד שיש דרך אחת לחלק ‪ 0‬כדורים לתוך ‪ 0‬תאים‬
‫(זו היא החלוקה הריקה)‪.‬‬
‫ניתן היה להגדיר בצורה אולי יותר אינטואיטיבית‪:‬‬
‫‪F  3,1  F  4,1  F  5,1  1‬‬
‫‪r  3, 4, 5‬‬
‫‪F  r ,1  0‬‬
‫‪.‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫‪ ‬חלוקה למקרים לפי מספר הכדורים שניתן להוסיף לתא כלשהו כאשר מאפשרים לחזור לתאים שלא מולאו ב‪5‬‬
‫כדורים‪ .‬הטעות המרכזית בשיטה הזו היתה עצם העובדה שבעיה רקורסיבית לא נושאת זכרון מעבר לאוסף‬
‫הפרמטרים של הפונקציה שלה‪ ,‬כלומר – לא ניתן לוודא להבטיח שבתא יהיו כמות כדורים כנדרש‪.‬‬
‫‪ ‬תנאי עצירה לא מספיקים‪ ,‬קצרה היריעה מלתאר את אוסף כל תנאי העצירה הלא מספיקים שנתקלנו בהם‬
‫בבדיקה אבל היו עוד לא מעט דרכים שונות לתאר את אוסף תנאי העצירה בצורה נכונה‪ .‬חשוב לבדוק שתנאי‬
‫העצירה מספיקים ובדרך כלל קל לבדוק זאת באמצעות גרף כפי שראינו בכיתה‪.‬‬
‫‪ ‬אי ביצוע בדיקות שפיות‪ :‬רבים מכם הגדירו תנאי עצירה שכולם מתאפסים‪ ,‬חלקכם קבע תנאי עצירה נכונים‬
‫שכולם מתאפסים ולכן הטעות שלו היתה אי קביעת תנאים מספיקים וחלקכם קבע תנאים מספיקים אמנם טעה‬
‫בניתוח אחד או יותר מהמצבים‪ ,‬כך או כך אותם סטודנטים יכלו לדעת שמדובר בטעות בעת שקיימים קלטים‬
‫עליהם התשובה אינה ‪ , 0‬אמנם בהנתן משוואת רקורסיה מהצורה לעיל שכל תנאי העצירה שלה מחזירים אפס‬
‫הרי שרקורסיה זו מוגדרת זהותית ‪ 0‬ולכן יש להבין שמדובר בטעות ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 3‬נקודות)‪:‬‬
‫כזכור‪ 𝐷𝑛 ,‬הוא מספר התמורות של }𝑛 ‪ {1,2, … ,‬שאין להן אף נקודת שבת (הפרות סדר)‪ ,‬ו‪.𝐷0 = 1 -‬‬
‫הו כיחו קומבינטורית כי‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫𝑛‬
‫( ‪𝑛! = ( ) 𝐷𝑛 + ( ) 𝐷𝑛−1 + ( ) 𝐷𝑛−2 + ⋯ +‬‬
‫‪) 𝐷1 + ( ) 𝐷0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑛−1‬‬
‫𝑛‬
‫בעיה ‪ :‬מספר התמורות על ‪ n‬מספרים‪.‬‬
‫אגף שמאל‪ :‬מספר פרמוטציות כרגיל‪.‬‬
‫אגף ימין ‪ :‬נפריד למקרים זרים – על פי מספר המספרים שממופים לעצמם בתמורה (מספר נקודות השבת של התמורה)‪.‬‬
‫‪ : Ai‬בדיוק ‪i‬‬
‫איברים ממופים‬
‫לעצמם ( ‪0  i  n‬‬
‫)‪.‬‬
‫‪ Ai‬זרים‪ ,‬שכן לא ייתכן שגם בדיוק ‪ i‬וגם בדיוק ‪ j‬איברים ממופים לעצמם אם ‪ , i  j‬כמו כן לכל תמורה על ‪n‬‬
‫איברים יש לכל הפחות‬
‫האפשרויות‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫איברים‪ ,‬ולכל היותר ‪ n‬איברים הממופים לעצמם‪ ,‬ולכן המקרים אכן מכסים את כל‬
‫‪n‬‬
‫נחשב ‪ Ai‬לכל ‪ i‬ונשתמש בעקרון החיבור – נבחר את ‪ i‬האיברים שממופים לעצמם ‪‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪ , ‬לכל בחירה כזאת‪ ,‬נמפה‬
‫את האיברים האלו באופן יחיד (כל איבר ממופה לעצמו)‪ ,‬ונמפה את האיברים האחרים כך שאף אחד לא ממופה לעצמו‪,‬‬
‫‪n‬‬
‫הפרת סדר על ‪ n  i‬איברים‪ , Dn i ,‬ולכן לפי עקרון הכפל נקבל ‪Ai    Dn i‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫כעת מעקרון הסכום נקבל כי מספר התמורות על ‪ n‬איברים הוא‬
‫‪A‬‬
‫‪i‬‬
‫‪.‬‬
‫‪i 0‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר משתמשים בעקרון החיבור‪ ,‬יש להראות שאכן המקרים הם חלוקה ממצה לקבוצות זרות‬
‫בהוכחה קומבינטורית נדרש להסביר דרך פתרון שתוביל לאגף ימין ולא לתאר את אגף ימין ולהסביר למה זה מסתדר‬
‫הסבר של שני גורמים מלווים בדברים כמו "וכו'" הם לא הוכחה‪ ,‬יש להציג מקרה כללי ולהסביר אותו‪ ,‬ולא להניח‬
‫שהבודק יבין את הכוונה‬
‫‪5‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 4‬נקודות)‪:‬‬
‫טורניר הוא גרף מכוון אשר גרף התשתית שלו הוא קליקה‪ .‬הוכיחו כי לכל טורניר סופי יש שורש‪.‬‬
‫שאלת ש"ב‪.‬‬
‫יהי ‪ G‬גרף טורניר סופי עם ‪ n‬צמתים‪ ,‬נניח בשלילה שאין לו שורש‪ .‬נגדיר לכל צומת דרגה ‪r  v ‬‬
‫הישיגים ממנו במסלול מכוון (כולל מסלול באורך‬
‫כמספר הצמתים‬
‫‪ ,) 0‬אז מהנחת השלילה לכל צומת מתקיים ‪ v   n  1‬‬
‫‪,r‬‬
‫ומהסופיות של הגרף קיים צומת ‪ u‬שעבורו מתקבל המקסימום (לכל קבוצה של מספרים בגודל סופי קיים מקסימום)‪.‬‬
‫‪r u   n 1‬‬
‫ולכן קיים צומת ‪ v‬כך שאין מסלול מכוון מ‪ u -‬ל‪ , v -‬ולכן בפרט לא קיימת הקשת ‪ , u  v‬ומכיוון‬
‫שהגרף הוא גרף טורניר קיימת הקשת ‪. v  u‬‬
‫כעת‪ ,‬כל צומת שישיג מ‪ u -‬ישיג מ‪ v -‬ע"י שרשור המסלול והקשת ‪ , v  u‬ובנוסף ‪ v‬ישיג מעצמו‪ ,‬ולכן‬
‫מתקיים‬
‫‪ v   r u   1  r u ‬‬
‫‪ , r‬בסתירה למקסימליות של‬
‫‪u ‬‬
‫‪.r‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫בכמה מקרים היה שימוש בדברים בפונקצית דרגה שמציינת "מסלול ארוך ביותר היוצא מצומת ‪ ." v‬במקרה זה‬
‫עצם העובדה ש‪ u -‬אינו על המסלול הזה‪ ,‬לא פוסלת את העובדה ש‪ u  v -‬אינה קיימת‪ ,‬אלא רק שהיא אינה על‬
‫המסלול הארוך ביותר‪ ,‬כמו כן בגרף טורניר מכוון אין מסלול ארוך ביותר‪ ,‬שכן למשל עבור משולש בגודל‬
‫כמעגל קיים מסלול מכל אורך היוצא מכל צומת‪ ,‬ולכן בפרט לא קיים מקסימום כזה‪.‬‬
‫נעשה שימוש במספר מקרים בטרמינולוגיה "מסלול ארוך ביותר שעובר דרך הכי הרבה צמתים"‪ -‬זה ממש לא מוגדר‬
‫היטב (למשל‪ ,‬יש מסלולים אינסופיים) ‪ ,‬ואין לזה כל משמעות‪.‬‬
‫הרבה לא הסבירו מדוע קיים מקסימום על פונקצית הדרגה‪.‬‬
‫בסתירת ל הנחת השלילה‪ ,‬נעשה שימוש נרחב בטענה ש‪ v -‬ישיג מ‪ u -‬ולכן ניתן להגיע ליותר צמתים מ‪ , u -‬אך גם‬
‫‪ v‬ישיג מעצמו (ע"י מסלול באורך ‪.)0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מכוון‬
‫הוכחות נוספות אפשריות‪:‬‬
‫למת המתווך – רוב האנשים שהשתמשו בדרך זאת קיבלו את מלוא הנקודות‪.‬‬
‫‬‫‪-‬‬
‫‪n 1‬‬
‫אינדוקציה – הבעיה הקריטית המרכזית בהוכחות באינדוקציה היו מעבר מגרף בגודל ‪ n‬לגרף בגודל‬
‫ע"י הוספת צומת‪ ,‬במקרה כזה צריך להוכיח שאכן ניתן להגיע לכל האפשרויות של גרף טורניר‪ ,‬וזוהי לא טענה‬
‫טריוויאלית כלל‪ .‬ככלל אצבע‪ ,‬תמיד יש להתחיל מגרף‬
‫בגודל ‪n  1‬‬
‫ולהסתכל על תת גרף מושרה שלו מהגרף‬
‫המקורי בגודל ‪ n‬ועליו להשתמש בהנחת האינדוקציה (אם וכאשר היא מתקיימת)‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 5‬נקודות)‪:‬‬
‫יהי ‪ 𝑘 > 1‬טבעי‪ .‬נתון מלאי ובו 𝑘‪ 3‬כדורים אדומים‪ 3𝑘 ,‬כדורים כחולים‪ ,‬ו‪ 3𝑘-‬כדורים ירוקים‪ .‬כל‬
‫הכדורים מאותו הצבע זהים‪ .‬יהי )𝑘(‪ G‬מספר הבחירות השונות של 𝑘‪ 4‬כדורים מתוך המלאי הנ"ל‪.‬‬
‫א‪ 6( .‬נקודות) השלימו את המשפט הבא ואח"כ הסבירו את תשובתכם‪:‬‬
‫)𝑘(‪ G‬הוא המקדם של ‪ x 4k‬בפונקציה היוצרת‬
‫‪g  x   1  x  x 2  ...  x3k ‬‬
‫‪3‬‬
‫הסבר‪:‬‬
‫הפונקציה היוצרת לסדרה נתונה ע"י‬
‫‪ x   1  x  x2  ...  x3k ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ , g‬כאשר כל סוגריים מציינים את‬
‫מספר הכדורים שנבחרים מצבע מסויים שחסום ע"י ‪ . 3k‬והמקדם הדרוש הוא עבור ‪x 4k‬‬
‫של ‪ 4k‬כדורים לשלושת הצבעים‪.‬‬
‫‪ ,‬שכן מחפשים חלוקה‬
‫ב‪ 6( .‬נקודות) חשבו את המקדם הנדרש בסעיף א' של הפונקציה )𝑥(𝑔‪ .‬נמקו את צעדיכם‪.‬‬
‫אין להסתמך על הבעיה הקומבינטורית ממנה נגזרה הפונקציה ) 𝑥(𝑔 (ובפרט‪ ,‬אין להסתמך על‬
‫עקרון ההכלה‪/‬הפרדה)‪.‬‬
‫בסעיף ב' הפתרון הוא ע"י מכפלה של פונ' יוצרות‪ .‬עפ"י הדף נוסחאות ונוסחת הבינום‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1  x3k 1 ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪i‬‬
‫‪3k 1‬‬
‫‪i i  3 k 1 ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪g  x  ‬‬
‫‪CC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪    1 C3 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1  x   i 0‬‬
‫‪  j 0‬‬
‫‪ 1 x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כעת על מנת להגיע לחזקה ‪ , 4k‬עלינו להכפיל גורמים ולקבל את הסכום ‪ , 4k‬עבור הסוגריים הראשונים ה‪i -‬‬
‫‪-‬ים האפשריים הם ‪( i  0, 1‬עבור ערכים אחרים החזקה גדולה מ ‪ , 4k‬ולכן לא נוכל לקבל קומבינציה‬
‫מתאימה)‪ .‬עבור הגורם ‪ i  0‬הגורם המתאים בסוגריים השניים הוא עבור ‪ j  4k‬ולכן נקבל ‪C03  CC34 k‬‬
‫ועבור ‪ i  1‬הגורם המתאים הוא עבור ‪j  k  1‬‬
‫בסה"כ נקבל‬
‫‪ k   CC34k  3CC3k 1‬‬
‫‪ ,‬ולכן נקבל‬
‫‪k 1‬‬
‫‪. C3  CC3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.G‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בכמה מקרים היה חוסר תשומת לב לכך שערכי ‪i‬‬
‫בכמה מקרים אנשים הוציאו גורם של‬
‫חיבורית ולא כפלית‪.‬‬
‫‪3k 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪7‬‬
‫האפשריים הם ‪. 0,1‬‬
‫מהסוגריים הראשונים‪ ,‬דבר שאינו אפשרי‪ ,‬שכן חזקה היא‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שאלה ‪ 23( 6‬נקודות)‪:‬‬
‫יהי ) 𝐸 ‪ 𝐺 = (𝑉,‬גרף לא‪-‬מכוון (ולא בהכרח פשוט)‪ ,‬כך ש‪ ,𝑉 = {1,2, … ,2𝑘} -‬ו‪ 𝑘 > 0 -‬טבעי‪ .‬הגרף 𝐺‬
‫מקיים את התכונות הבאות‪:‬‬
‫(א) מחציתם של הצמתים )𝑘 ‪ (1, … ,‬כחולים ומחציתם )𝑘‪ (𝑘 + 1, … ,2‬אדומים‪.‬‬
‫( ב) קימות ב‪ 𝐺 -‬בדיוק שתי קשתות כך שהסרת שתיהן תפצל את 𝐺 לבדיוק שני עצים מונוכרומטיים‬
‫( דהיינו‪ ,‬כל הצמתים בכל עץ הם באותו צבע)‪.‬‬
‫מהו מספר הגרפים המקיימים תכונות אלו? הסבירו בבהירות את תשובתכם‪.‬‬
‫הבנת הנקרא‪ :‬הגרף ‪ G‬לא בהכרח קשיר‪.‬‬
‫נשים לב שניתן לתאר את בניית הגרף ‪ G‬באופן הבא‪:‬‬
‫נבנה עץ אחד לא מכוון מהצמתים האדומים‪ ,‬עץ שני לא מכוון מהצמתים הכחולים ונוסיף עוד ‪ 2‬קשתות כך שרק הסרת‬
‫שתיהן תפצל את ‪ G‬לשני העצים הנ"ל‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬קיימת בייקצייה בין אוסף הגרפים ‪ G‬לקבוצת המכפלה‪:‬‬
‫עצים כחולים לא מכוונים ‪ X‬עצים אדומים לא מכוונים ‪ X‬צמד קשתות כך שהוספתן לגרף שמכיל את שני העצים תהפוך‬
‫את הגרף לכזה שמקיים את הגדרה ‪. 2‬‬
‫אנו יודעים כיצד לחשב את גודל קבוצת מכפלה‪ :‬זהו מכפלת גדלי הקבוצות כמובן ‪ .‬נתחיל בחישוב‪:‬‬
‫כמות העצים הכחולים הלא מכוונים מעל ‪ k‬צמתים שונים נתונה לנו ע"פ משפט קיילי ע"י‪.𝑘 𝑘−2 :‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬כמות העצים האדומים הלא מכוונים מעל ‪ k‬צמתים יהיה גם כן‪.𝑘 𝑘−2 :‬‬
‫כעת‪ ,‬נשים לב שברצונינו למצוא את גודל קבוצת צמדי ה קשתות שהוספתן לגרף תהפוך אותו לכזה שמקיים את כלל ‪,2‬‬
‫לשם כך נמצא ראשית את גודל קבוצת הקשתות שמתוכן ניתן לבחור צמד זה‪.‬‬
‫אם כן‪ ,‬ידוע לנו מהו גודל קבוצת כל הקשתות האפשריות בגרף לא מכוון ולא בהכרח פשוט מעל ‪ 2k‬צמתים; אמנם‬
‫האם כל צמד קשתות מתוך הקבוצה הזו שנוסיף לצמד העצים יהפוך את הגרף שלנו לגרף ‪ G‬חוקי?‬
‫התשובה היא שלא‪ ,‬נראה זאת צעד אחר צעד על ידי כך שנתבונן בסוגי הקשתות השונות שמרכיבות את אוסף כל‬
‫הקשתות האפשריות‪.‬‬
‫‪ ‬קשת שמחברת בין צומת כחול לצומת אדום‪ :‬קשת כזו היא כמובן אפשרית‪ ,‬קל לראות שכל הוספה של קשת מסוג‬
‫זה תגרור שנהיה חייבים להסיר אותה בכדי להפוך את הגרף ‪ G‬ל‪ 2-‬עצים מונוכרומטיים‪.‬‬
‫‪ ‬לולאה עצמית‪ :‬גם קשת כזו היא אפשרית‪ ,‬ניתן להבחין באותו אופן בדיוק שנהיה חייבים להסיר את כל הקשתות‬
‫מסוג זה בכדי להפוך את הגרף ‪ G‬ל‪ 2-‬עצים מונוכ רומטיים כיוון שגרף שמכיל לולאות עצמיות בהכרח אינו עץ‪.‬‬
‫‪ ‬קשת שמחברת בין צומת אדום לאדום או כחול לכחול‪ :‬קשת כזו אינה אפשרית! כזכור ‪ ,‬עץ הוא גרף קשיר וחסר‬
‫מעגלים כך שכל הוספה של קשת לעץ תיצור מעגל‪ .‬נשים לב שבהוספת קשת שמחברת בין שני צמתים באותו‬
‫צבע אנו למעשה יוצרים מעגל באותו עץ‪ .‬כעת ניתן לבדוק שללא תלות בקשת הנוספת שנבחר להוסיף לגרף יהיה‬
‫יותר מצמד אחד של קשתות שהסרתן תפצל את ‪ G‬לשני עצים מונוכרומטיים‪ .‬למעשה כל שילוב של קשת‬
‫מהמעגל שיצרנו והקשת השניה שהוספנו יהיה צמד קשתות שהסרתו יפצל את ‪ G‬לשני עצים מונוכרומטיים וכמות‬
‫הצמדים האלו גדולה מאחת כיוון שכמות הקשתות במעגל שיצרנו גדולה מאחת‪.‬‬
‫נסכם‪ :‬אוסף הקשתות שאפשרי להוסיף לצמד העצים בכדי לשמר את יחידות צמד הקשתות שעלינו להסיר מ‪ G-‬בכדי‬
‫לפצלו לשני עצים מונוכרומטיים מוכל באוסף הקשתות שמחברות בין שני העצים המונוכרומטיים‪ 𝑘 2 :‬ואוסף הלולאות‬
‫העצמיות‪. 2k :‬‬
‫נשים לב שברצונינו לבחור מתוך קבוצה בגודל 𝑘‪ 𝑘 2 + 2‬שני איברים עם חזרות ובלי חשיבות לסדר ‪ ,‬ולכן כמות‬
‫האפשרויות לבחירת צמד הקשתות יהיה‪ 𝐶𝐶𝑘22+2k :‬ועל כן התשובה הסופית תהיה‪:‬‬
‫𝑘‪. 𝑘 𝑘−2 𝑘 𝑘−2 𝐶𝐶𝑘22+2𝑘 = 𝑘 2𝑘 −4 𝐶𝐶𝑘22 +2‬‬
‫טעויות נפוצות‪:‬‬
‫‪ ‬הרבה סטודנטים לא שמו לב שאסור שיהיו שתי קשתות שמחברות שני צמתים באותו צבע‬
‫‪ ‬שימוש לא נכון בעקרון המ כפלה‪ :‬סעיף זה מתחלק לתתי סעיפים‬
‫‪ ‬סטודנטים שהקנו חשיבות לסדר בבחירת צמד הקשתות על ידי שימוש לא נכון בעקרון המכפלה‪ ,‬שימו לב‬
‫שבחירת הקשתות קשת א' ואז ב' או קשת ב' ואז א' היא למעשה מייצגת את אותה בחירת צמד קשתות‪.‬‬
‫‪ ‬סטודנטים שניסו לבטל את חשיבות הסדר על ידי חלוקה בכמות הסידורים הפנימיים (חלוקה ב‪ .)2-‬שימו לב‬
‫‪8‬‬
‫קומבינטוריקה למדעי המחשב‬
‫‪134242‬‬
‫סמסטר אביב‪ ,‬תשע"ד‬
‫מבחן סופי (מועד ב')‬
‫‪ 12‬באוקטובר ‪1024‬‬
‫שהחלוקה ב‪ 2-‬מבטלת את הריבוי במצב שבו הקשתות שבחרנו הן צמד קשתות ייתכן שהן דווקא זהות (כלומר‬
‫‪ky‬‬
‫מקבילות) ‪ .‬שימו לב שבדרך השניה רבים מהסטודנטים קיבלו תוצאות מהצו רה‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫חלוקה לא מלאה למקרים‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ ,‬וזה כמובן לא שלם אם ‪k‬‬