docלוגיקה למדעי המחשב - אוניברסיטת תל אביב
download 
Report Transcription
לוגיקה למדעי המחשב - אוניברסיטת תל אביב
לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ ∗ 25ביוני 2015 הרצאה 1־ 8.3.15 רשימות בקורס לוגיקה למדעי המחשב ,סמסטר אביב תשע"ה ,אוניברסיטת תל אביב. טעויות קורות ־ אשמח שתעדכנו אותי עליהן ושאתקנן. אמיר שפילקה [email protected] שרייבר 118 שעת קבלה :יום א' 13־12 מתרגלים :לירון כהן ,בן לי וולך. תרגילים שבועיים ־ הגשה בזוגות .חייבים להגיש לפחות 9תרגילים ,והציון יקבע לפי ה־ 9הטובים ביותר. בוחן אמצע יתבסס על התרגילים ,אינו חובה ואם מקבלים מעל 75אז יש בונוס 4נקודות לציון הסופי .תאריך: תחילת מאי. מבנה ציון 90% :בחינה ו־ 10%ש"ב )מגן(. תוכן עניינים 0.1 0.2 0.3 I גיאומטריה אוקלידית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טענות וטיעון תקף . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אינדוקצית מבנה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בניית קבוצה באינדוקציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.1 סדרת יצירה/בניה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.2 תחשיב הפסוקים 1 2 3 4 1 1 1 2 2 5 עצי יצירה )גזירה( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סדר קדימויות על קשרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 טיעון תקף . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הגדרת ערך האמת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 טבלאות האמת של הקשרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 שלמות פונקציונלית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מסקנות חשובות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.1 הצבות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 צורות נורמליות ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Normal Forms 3.2 הוכחה בתחשיב הפסוקים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הגדרות וסימונים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 תכונות פשוטות של מערכת הוכחה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים ). . . . . (Hilbert Propositional Calculus- HPC 4.2 משפט הדדוקציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 משפט הנאותות ל־. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HP C 4.4 משפט השלמות ל־. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HP C 4.5 קבוצה עקבית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 משפט הקומפקטיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 שימושים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 גדירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 ∗www.cs.tau.ac.il/~pomerantz 1 6 7 7 8 8 9 9 10 10 12 12 12 13 13 14 15 17 18 21 21 22 II תחשיב היחסים /לוגיקה מסדר ראשון 1 2 3 4 5 6 הגדרות ומשפטים בסיסיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נוסחאות מעל מילון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . σ 1.1 משתנים חופשיים וקשורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 מבנה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 ערך של שם עצם תחת השמה vבמבנה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M 1.3.1 הגדרת ערך האמת בלוגיקה מסדר ראשון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 מושגי יסוד סמנטיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הצבה של שם עצם למשתנה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 צורות קנוניות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 גדירות יחסים במבנה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 בדיקת ספיקות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תכונות של מבנה הרברנד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 בדיקת תקפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משפט הקומפקטיות בתחשיב היחסים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 דוגמה לשימוש במשפט הקומפקטיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 לוגיקה מסדר ראשון עם סימן = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 בעיית התקפות אינה כריעה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 מילון עבורו ניתן להכריע את בעיית התקפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משפטי השלמות והנאותות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 משפט הדדוקציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 משפט הדיכוטומיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 המבחן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 26 27 28 28 29 31 33 33 35 37 39 39 39 40 42 43 44 44 45 46 48 0.1 0.1 תוכן עניינים גיאומטריה אוקלידית גיאומטריה אוקלידית אקסיומות אוקלידס • דרך כל שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד. • 2ישרים נחתכים לכל היותר בנק' אחת. • בהינתן ישר ונק' מחוצה לו ,ניתן להעביר מקביל לישר דרך הנק'. .. • . בעזרת האקסיומות ניתן להוכיח ,בין היתר: • סכום הזוויות במשולש ◦.180 • במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. .. • . אחת השאלות שנשארה פתוחה )ללא תשובה( במשך כ־ 2000שנה היא :האם אקסיומת המקבילים "נחוצה"? והאם היא "נכונה"? נכונות :תלוי. 0.2 טענות וטיעון תקף טענה .F = m · aטענה זו תלויה בעולם. טענה :אם לכל x, yמתקיים x · y = y · xאז אם F = m · aאז מתקיים .F = a · m זו טענה שנכונותה אינה תלויה בעולם. אנחנו נרצה להבין אילו טענות תלויות בעולם ואילו טענות מהוות "טיעונים תקפים". הגדרה 0.1טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. דוגמאות: • כל החייזרים בכיתה לובשים שחור. • אם היום יום שני אז מחר יום רביעי. • כל עורב הוא שחור .שחור הוא צבע .לכן עורב הוא צבע .יש כפל משמעות. דוגמה לטיעון לא תקף :אין אדם בלי חסרונות .לדני למיצי יש חסרונות ,לכן דני מיצי בן אדם. בקורס נלמד לזהות טיעונים תקפים ונלמד איך להוכיח תקפות של טיעונים. 0.3 אינדוקצית מבנה דוגמה :איך מתארים קבוצה? למשל ע"י רשימת איבריה. איך נתאר את קב' קרובי המשפחה שלנו? תיאור ע"י רשימת איברי הקבוצה ,קצת מסובך. שיטה אחרת :משפחה גרעינית :אני ,אחיי ,אחיותי ,הוריי ,ילדיי ,אשתי. כלל :אם פלוני/ת הורה ,ילד ,אח ,אחות ,בן/בת זוג של מישהו בקבוצה אז הוא גם בקבוצה. קבוצת קרובי המשפחה שלי היא קבוצת האנשים המינימלית שמכילה את המשפחה הגרעינית )בסיס( וסגורה להפעלת הכלל. B־ קבוצת בסיס F .־ אוסף פונקציות .רצינו לבנות קבוצה המכילה את Bוסגורה לפעולות ב־ .F דוגמה F = {+1} ,B = {0} :ו־ Nסגורה ל־ Fשמכילה את .B 1 0.3 אינדוקצית מבנה 0.3.1 תוכן עניינים בניית קבוצה באינדוקציה Ωקבוצה )עולם( B ⊆ Ωקבוצת בסיס Fקבוצת פונקציות כך שכל fn,i ∈ Fהיא פונקציה fn,i : Ωn → Ω נסמן ב־ XB,Fאת הקבוצה המוגדרת באינדוקציה ע"ׁי Bו XB,F .Fההיא הקבוצה המקיימת את הדרישות הבאות: B ⊆ XB,F .1 .2לכל fn,i ∈ Fולכל x1 , ..., xn ∈ XB,Fגם fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ XB,F XB,F .3מינימלית משפט 0.2קיימת קבוצה XB,Fהמקיימת 1,2ו־.3 .Y = {A | A ⊆ Ω and satisesלמשל .Ω ∈ Y הוכחה :תהי }1,2 T נגדיר כעת.X = A∈Y A : נטען ש־ Xמקיימת את .1,2כיוון שלכל A ∈ Yמתקיים B ⊆ Aהרי B ⊆ Xלכן Xמקיימת את .1 לגבי :2תהי fn,i ∈ Fפונקציה כלשהי .יהיו ,x1 , ..., xn ∈ Xנרצה להוכיח ש־.fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ X A ∈ Y Tחייב להתקיים x1 , ..., xn ∈ Aו־ Aמקיימת את .2לכן fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ Aואז מההגדרה ,לכל .fn,i (x1 , .., xn ) ∈ A∈Y A = X ראינו כי Xמקיימת את .1,2מינימליות :נובע מההגדרה כי אם Tמקיימת את דרישות 1,2אז .X ⊂ T )יחידות :אותו הדבר( אם X 0מקיים 1,2,3אזי מהגדרה X ⊂ X 0ולכן או )X ( X 0בסתירה למינימליות (X 0או .X = X 0 הערה XB,F 0.3יקרא הסגור של Bתחת הפעולות ב־ .F משפט 0.4משפט ההוכחה באינדוקציה אם Aקבוצה המקיימת: B ⊂ A .1 .2לכל fn,i ∈ Fולכל x1 , ..., xn ∈ Aמתקיים fn,i (x1 , .., xn ) ∈ A אזי .XB,F ⊂ A הערה 0.5בתיכון ,רוצים להראות שאיזושהי טענה מתקיימת למספרים הטבעיים. }N ⊂ A = {all elements that the claim is true for בהוכחה באינדוקציה אנו מראים: 0) 0 ∈ A .1מקיים את הטענה( .2שאם nמקיים את הטענה אז כך גם .n + 1 ומכאן מסיקים שהסגור }.A ⊃ X{0},{+1 0.3.2 סדרת יצירה/בניה דוגמה .F = {+1} ,B = {0} :סדרה יצירה עבור .0, 0 + 1, 0 + 2 :2 הגדרה 0.6סדרת יצירה עבור a ∈ XB,Fהיא סדרה סופית a1 , .., akכך שמתקיים: a = ak .1 .2כל aiמקיים ai ∈ Bאו התקבל מהפעלת פונקציה ב־ Fעל איברים קודמים בסדרה. הערה 0.7סדרת יצירה תמיד סופית. 2 0.3 תוכן עניינים אינדוקצית מבנה משפט a ∈ XB,F 0.8אם ורק אם יש ל־ aסדרת יצירה. הוכחה :⇐ :נגדיר }Y = {a | a has a creation series נראה כי XB,F ⊂ Yע"י אינדוקצית מבנה. צ"ל ש־ .B ⊂ Yיהי ;b ∈ Bסדרת היצירה של bהיא .b כעת צריך להראות סגירות Yתחת .F אז צ"ל אם fn,i ∈ Fו־ x1 , ..., xn ∈ Yאזי .fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ Y אכן ,יהיו x1 , ..., xn ∈ Yו־ ;fn,i ∈ Fנבנה את סדרת היצירה .כיוון ש־ ,x1 , .., xn ∈ Yיש להם סדרות יצירה: ) x11 , .., x1m1 , ..., xn1 , .., xnmn , fn,i (x1 , ..., xn כש־ x11 , .., x1m1סדרת יצירה של .x1קל לוודא שזוהי סדרת יצירה ל־) .fn,i (x1 , ..., xn ממשפט ההוכחה באינדוקציה נובע כי־ .XB,F ⊂ Yלכן ,לכל איבר ב־ XB,Fיש סדרת יצירה. ⇒ :נסמן ב־ Xnאת קבוצת האיברים להם יש סדרת יצירה באורך .nנראה כי [ Xn ⊂ XB,F n∈N נוכיח זאת באינדוקציה על הטבעיים .ואז =X1 :קבוצת האיברים להם יש סדרת יצירה באורך .1דהיינו, .X1 = B נניח שהראינו כי X1 , ..., Xn ⊂ XB,Fונראה זאת ל־ .Xn+1 יהי .a ∈ Xn+1ל־ aסדרת יצירה באורך . x1 , ..., xn , a :n + 1נובע ש־ xn ∈ Xnובאופן כללי.xi ∈ Xi , בפרט ,מהנחת האינדוקציה .x1 , ..., xn ∈ XB,F ,כעת אם a ∈ Bאז בוודאי .a ∈ XB,F אחרת a ,התקבל מהפעלת f ∈ Fעל איברים קודמים בסדרה .כיוון שכל איברי הסדרה הקודמים ל־a ב־ XB,Fו־ XB,Fסגורה להפעלת ;fנקבל כי a ∈ XB,Fכנדרש. דוגמה :שפת ה־Ω = {a, b}∗ .aba עבור קבוצה Σנסמן }Σ∗ = {Finite words created by Σ }{a, b}∗ = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, ... ∗ }{a} = {ε, a, aa, aaa, ... אז עבור Ωכנ"ל ו־} B = {abנגדיר פעולות: • f1 (w) = waba • )=f2 (wמחיקת רצף aaימני ביותר וכתיבת bבמקומו. f2 (aaaa) = aab אם אין רצף כזה אז .f2 (w) = w • )=f3 (wמחיקת רצף ימני ביותר של .bbb דוגמה :נראה כי abbנמצאת בשפה: }, |{z abb |abaa } {z ab, |ababa {z }, |ababaaba {z }, |ababbba {z } , )f2 (ababaaba) f3 (ababbba) f2 (abaa 3 )f1 (ababa )f1 (ab למשל 0.3 תוכן עניינים אינדוקצית מבנה דוגמה :הראו כי abaלא בשפה .איך מראים שאיבר אינו ב־ ?XB,F רעיון :מוצאים תכונה שמפרידה את האיבר מאברי .XB,F תכונה :ב־ wמספר אי זוגי של .aטענה ברורה :ל־ abaאין את התכונה. תהי }Y = {w | There is an odd number of as in w ∈ .aba ברור כי / Y טענה .XB,F ⊂ Y 0.9 הוכחה B ⊂ Y :כי .ab ∈ Y תהי .w ∈ Yצריך להראות ש־ .f1 (w), f2 (w), f3 (w) ∈ Y .f1 (w) = wabaבגלל ש־ אי זוגי= 2+אי זוגי נקבל ש־ .f1 (w) ∈ Yבאופן דומה עבור f2 , f3 לכן לפי משפט האינדוקציה .XB,F ⊂ Y 4 חלק I תחשיב הפסוקים תאור לא פורמלי: אותיות: P0 , P1 , ... קשרים: ↔ ∧, ∨, ¬, →, הרצאה 15.3.15 2 ־ מהם נבנה ביטויים מורכבים. ביטוי :סדרה סופית של סימנים .Σ = {(, ), ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔} ∪ {Pi | i ∈ N} :קבוצת הביטויים תהיה.Σ∗ : נגדיר כעת את אוסף הביטויים החוקיים ,בהגדרה אידוקטיבית. בסיס :פסוקים /נוסחאות אטומיותB = {Pi | i ∈ N} : פעולות ,F = {F∧ , F∨ , F¬ , F⇒ , F⇔ } :כאשר: )(a ∧ b = )F∧ (a, b )(a ∨ b = )F∨ (a, b )(¬a = .. . )F¬ (a קבוצת הביטויים החוקיים ) :(WFF - Well Formed Formulasהסגור של Bביחס ל־ .F דוגמאות: • ) (P1 ∧ P2ביטוי חוקי .הסבר P1 , P2 ∈ Bואז הסדרה היא ) P1 , P2 , F∧ (P1 , P2 • P1 (⇒ P2אינו ביטוי חוקי • P1 ⇒⇒ P2אינו ביטוי חוקי טענה 0.10כל ביטוי חוקי ) (WFFהוא פסוק אטומי או מתחיל ב־( ונגמר ב־). הוכחה :תהי ∗ Y ⊂ Σהקב' המכילה את Bואת כל הביטויים שמתחילים ב־( ונגמרים ב־) .נרצה להראות ש־ .XB,F ⊂ Yברור כי ) B ⊂ Yלפי ההגדרה(. נשאר להראות סגירות תחת :Fבודקים כל אחת מהפונקציות ורואים שכן. ממשפט ההוכחה באינדוקציה .W F F = XB,F ⊂ Y לפי הטענה נוכל להסיק ששתי הדוגמאות הנ"ל אכן אינן ביטויים חוקיים .נוכיח טענה פשוטה נוספת שתשמש אותנו בהמשך: טענה 0.11בכל ביטוי חוקי ).#( = # הוכחה =Y :קבוצת כל הביטויים eכך ש־) .#( (e) = #) (eברור ש־ .B ⊂ Y סגירות תחת :Fיהיו .α, β ∈ Yלמשל אם ב־ αיש nסוגריים מכל סוג וב־ βיש kסוגריים מכל סוג ,אז ב־) (α ∧ βיש n + k + 1סוגריים מכל סוג. באותו אופן לכל יתר הפונקציות. הערה (P1 ∧ P2 ) 0.12ו־) (P2 ∧ P1הם ביטויים שונים. 5 1 1 עצי יצירה )גזירה( עצי יצירה )גזירה( )) ((¬P1 ) ⇒ (P2 ∧ P1 עבור פסוק זה עץ הגזירה יהיה: ⇒ ∧ P1 ¬P1 P2 op הגדרה 1.1לפסוק אטומי Piנתאים את העץ .Ṗiלפסוק ) (α op βנתאים את העץ btree atree ¬ לפסוק ) (¬αיתאים העץ atree משפט 1.2משפט הקריאה היחידה לכל α ∈ W F Fמתקיים בדיוק אחד מהבאים: α .1פסוק אטומי .2קיימים פסוקים יחידים β, γ ∈ W F Fכך ש־)α = (β ∧ γ .3קיימים פסוקים יחידים β, γ ∈ W F Fכך ש־)α = (β ∨ γ .4קיימים פסוקים יחידים β, γ ∈ W F Fכך ש־)α = (β ⇒ γ .5קיימים פסוקים יחידים β, γ ∈ W F Fכך ש־)α = (β ⇔ γ .6קיים פסוק יחיד β ∈ W F Fכך ש־)α = (¬β משפט 1.3ניסוח שקול של משפט הקריאה היחידה לכל פסוק α ∈ W F Fמתקיים שני הבאים: .1אם יש פסוקים β, γ ∈ W F Fו־}↔ op ∈ {∧, ∨, ¬, →,כך ש־)α = (β op γאז לכל זוג פסוקים β 0 , γ 0 ו־}↔ op0 ∈ {∧, ∨, ¬, →,אם ) α = (β 0 op0 γ 0אז בהכרח .γ = γ 0 , op = op0 , β = β 0 .2אם יש פסוק β ∈ W F Fכך ש־ α = ¬βאין פסוקים γ, δ ∈ W F Fו־}↔ op ∈ {∧, ∨, ¬, →,כך ש־) α = (γ op δוגם אם ϕ ∈ W F Fמקיים ) α = (¬ϕאז .ϕ = β אלגוריתם לבדיקה האם ∗ α ∈ Σהוא ב־ ?W F F .1אם αפסוק אטומי אז נאמר .α ∈ W F Fאם לא ,ממשיכים. .2אם αמתחיל ב־( ונגמר ב־) אז נמחק אותם ונמשיך ל־ .3אחרת נאמר ש־ αאינו ב־ .W F F .3אם הסימן הראשון הוא ¬נמשיך ל־ .4אחרת ל־.5 .4נמחק את ¬ ונחזור ל־.1 .5נעבור על הפסוק משמאל לימין עד שמספר הסוגריים השמאליים יהיה שווה למספר הימניים )נמצא את "האיבר השמאלי"( .נקודת השוויון היא מיד לאחר הסוגר הימני שמשיג את השוויון: ...)|·... אם הגענו לקשר דו מקומי )↔ (∧, ∨, ¬, →,נמחק אותו ונריץ שוב את האלגוריתם עבור סדרת הסימנים משמאל לקשר וסדרת הסימנים מימין לקשר. אם לא הגענו לקשר דו מקומי או שאין נקודת שוויון נאמר ש־ αאינו ב־ .W F Fאם הביטוי הימני או השמאלי לא ב־ W F Fנאמר ש־ αאינו ב־ .W F Fלבסוף נודיע ש־ .α ∈ W F F הוכחה :תרגיל .אפשר באינדוקציה על מספר הסימנים ולהראות שלפסוק שמתקבל באלגוריתם יש סדרת יצירה. 6 1.1 2 סדר קדימויות על קשרים טיעון תקף דוגמה :הפסוק 1 .(P1 ∧ P2 ) :לא מתקיים ,עוברים ל־ .2אז P1 ∧ P2ונעבור ל־ .3נעבור ישר ל־ .5שולחים את P1 , P2ל־.1 סדר קדימויות על קשרים 1.1 • ¬ • ∨ ∧, • ⇔ ⇒, דוגמה: הביטוי ¬P1 ⇒ P2 ∧ P3 מתאים לביטוי )) ((¬P1 ) ⇒ (P2 ∧ P3 הערה 1.4צריך לנהוג בזהירות! (P1 ⇒ P2 ) ⇒ P3 =6 ) P1 ⇒ (P2 ⇒ P3 P1 ∧ P2 ∧ P3 =6 ) ((P1 ∧ P2 ) ∧ P3 =6 )) (P1 ∧ (P2 ∧ P3 1 הגדרה W F F{¬,⇒} 1.5 בסיסB = {Pi | i ∈ N} : פעולותF = {F¬ , F⇒ } : }⇒ W F F{¬,הוא הסגור. 2 טיעון תקף הגדרה ) 2.1תזכורת( טיעון תקף: טענה שמסקנתה נכונה בכל פעם שההנחות נכונות. דוגמה )אינטואיציה( ) ((P1 ∧ P2 ) ⇒ P1 מה שיעניין אותנו כדי לדעת האם ביטוי "נכון" או לא ,זה רק האם ה"הנחות" ) " (P1 , ..., Pjנכונות" או לא .דהיינו, האם Piנכון או לא נכון. בהגדרת הסמנטיקה בתחשיב הפסוקים נשתמש בסימון הבא: t : true f : f alse נרצה ליצור קשר בין "ערך האמת" של פסוק αלערכי האמת של המשתנים. 1באותו אופן מוגדרות }∧ W F F{¬,או }∨W F F{∧, 7 2.1 הגדרת ערך האמת 2.1 2 טיעון תקף הגדרת ערך האמת אינטואיציה((¬P1 ) ⇒ (P2 ∧ P1 )) : )⇒ (t ) ∧(f ) ¬(f )P1 (t) P2 (f ) P3 (t ערכי האמת יחלחלו במעלה עץ היצירה ,בהתאם לאופן בו הקשרים פועלים. 2.1.1 טבלאות האמת של הקשרים ) (¬P1 t ) α = (¬P1 f ) (P1 ∧ P2 f P1 f α = (P1 ∧ P2 ) , fאז f t t P2 f t f t P1 f ... f t t הגדרה 2.2השמה 2היא פונקציה } v : {Pi | i ∈ N} → {t, f הגדרה 2.3בהינתן השמה } ,v : {Pi | i ∈ N} → {f, tנגדיר את ערך האמת 3 } v̄ : W F F → {t, f יהי α ∈ W F F • אם αפסוק אטומי ,נגדיר )v̄(α) = v(α • אם ) α = (β op γאז )עבור T Topטבלת האמת של (op ))v̄(α) = T Top (v̄(β), v̄(γ • אם ) α = (¬βאז ))v̄(α) = T T¬ (v̄(β משפט 2.4משפט הגדרת ערך האמת: ערך האמת )כמו שהגדרנו אותו( מוגדר היטב ,ובפרט יחיד. טענה 2.5אם כל המשתנים המופיעים ב־ αהם מהקבוצה } {P1 , ..., Pnו־ v, zהשמות המסכימות על משתנים אלו )דהיינו ,(∀1 ≤ i ≤ n, v(Pi ) = z(Pi ) ,אזי )v̄(α) = z̄(α הוכחה :באינדוקציה. n עכשיו אפשר להגדיר את טבלת האמת של כל פסוק .αאם ב־ αמופיעים המשתנים P1 , ..., Pnאז בטבלה יש 2 שורות. α f .. . ... Pn ... f .. . t ... t P1 f t אפשר לשאול ,האם כל טבלת אמת ניתנת למימוש ע"י פסוק ב־ ?W F F 2אלכס )מרצה אחר( קורא להשמה סביבה 3אלכס מסמן [|α|]vוארנון מסמן ) v(αולא מבדיל בין השמה לערך האמת 8 3 סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים 2.2 2.2 שלמות פונקציונלית שלמות פונקציונלית קבוצת קשרים היא שלמה )פונקציונלית( 4אם ניתן להביע בעזרתה כל טבלת אמת. טענה {¬, ∧, ∨} 2.6שלמה פונקציונלית. הוכחה) :סקיצה( למשל אם בטבלה יש 3עמודות ,ובשורה מסוימת מופיע P1 = t, P2 = t, P3 = fו־ α = tנתאים לשורה את הביטוי )) ((P1 ∧ P2 ) ∧ (¬P3 לכל שורה בטבלה בה הערך הוא tנגדיר את הפסוק המתאים המקבל את הערך tעל השורה הזאת בלבד )הנ"ל(. ניקח ∨ )בסדר כלשהו( על כל הפסוקים האלו. טענה {¬, ∧} 2.7ו־}⇒ {¬,שלמות פונקציונלית. הוכחה :בתרגיל. דוגמה: 3 }∨ {∧,לא שלמה פונקציונלית ־ אי אפשר להביע את ¬. סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים • אם v̄(α) = tנסמן v |= αונאמר כי vמספקת את .α • נאמר כי αספיקה ,אם יש השמה vכך ש־.v |= α • נאמר כי αטאוטולוגיה אם לכל השמה vמתקיים .v |= αלמשל: – ) ((P1 ∧ P2 ) ⇒ P1 – )) (P1 ∨ (¬P1 • αיקרא סתירה אם לא קיימת השמה vכך ש־ ¬α) v |= αטאוטולוגיה( • נאמר כי פסוק αשקול לפסוק βאם לכל השמה vמתקיים )v̄(α) = v̄(β ונסמן .a ≡ β • קבוצת נוסחאות Γהיא ספיקה אם יש השמה vכך שלכל v̄(α) = t ,α ∈ Γונסמן .v |= Γ לדוגמה ,הקבוצה } Γ = {P1 , P2 , P3היא ספיקה אם v(P1 ) = v(P2 ) = v(P3 ) = tולכן ,v |= Γמצד שני הקבוצה }) Γ = {P1 , (¬P1אינה ספיקה ,נוכיח זאת: תהי vהשמה כלשהי ,מהגדרת ערך האמת ) v(¬P1 ) = T T¬ (v(P1 )) 6= v(P1כאשר אי השיוויון נובע מהתבוננות בטבלת האמת של ¬ ,ולכן לא ייתכן ששני ערכי האמת הם tולכן .v 6|= Γ • αנובעת סמנטית מ־ Γאם לכל vמתקים :אם v |= Γאזי v |= αומסמנים .Γ |= α 3 הרצאה 22.3.15 כתב נדב קרן ־ נשים לב כי ישנן שקילויות שהוכחנו במתמטיקה בדידה אשר יש צורך להוכיח אותם מחדש בעולם מונחים זה, לדוגמא נתבונן במקרה הבינארי של כלל דה־מורגן: )¬(α ∧ β) ≡ (¬α) ∨ (¬β ))≡ T T¬ (v̄(α ∧ β ))v̄(¬(α ∧ β )))v̄(¬(α ∧ β)) ≡ T T¬ (T T∧ (v(α), v(β 4קיצור ש"פ 9 3 סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים 3.0.1 3.1 הצבות מסקנות חשובות .1טאוטולוגיה: )))((α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ .2שקילויות: ≡ (α ∧ β) ∧ γ )α ∧ (β ∧ γ )≡ (α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ (α ∧ β) ∨ γ )(β ∧ α ≡ )(α ∧ β )(β ∨ α ≡ )(α ∨ β α ≡ )¬(¬α .3אם Γ ∪ {α} |= βוגם Γ ∪ {¬α} |= βאזי .Γ |= β .4אם Γ ∪ {¬α) |= βוגם Γ ∪ {¬α) |= ¬βאזי ׂ .Γ |= αנוכיח: תהי ,vאם v |= Γאזי לא ייתכן v |= ¬αכי אחרת ,מההנחה נקבל כי ) ,v |= β, (¬βלכן אם v |= Γאזי .v |= α .5אם Γ ∪ {¬α} |= αאזי .Γ |= α .6אם α ≡ βאזי .{α} |= β |= (α → β) .7אם"ם .{α} |= β {α1 , . . . , αn } .8ספיקה אם"ם α1 ∧ · · · ∧ αnספיק. .9אם Γ1 ⊆ Γ2ו־ Γ1 |= αאזי .Γ2 |= α 3.1 הצבות נשים לב שישנם ביטויים ,כגון ) (α ∧ βו־) (P1 ∧ P2שיש ביניהם דימיון ,בדוגמא זו ,אם נחשוב על αכ־ ,P1ו־β כ־ P2אז זהו אותו הביטוי .החלפת פסוק אטומי בנוסחא נקראת הצבה. הגדרה 3.1תהיינה ϕ, αנוסחאות ו־ P1פסוק אטומי ,נגדיר כעת את ) ϕ(α/P1על ידי :אם ϕהוא פסוק אטומי, אזי ( α ϕ = P1 = ) ϕ(a/P1 ϕ ϕ 6= P1 אם ) ϕ = (¬ψאזי )) ϕ(α/P1 ) = (¬ψ(α/P1 ואם ) ϕ = (ψ op γאזי )) ϕ(α/P1 ) = (ψ(α/P1 ) op γ(α/P1 טענה 3.2לכל ϕ, α ∈ W F Fמתקיים כי ϕ(α/P1 ) ∈ W F F 10 3.1 3 הצבות סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים הגדרה ) 3.3לא פורמלית( ) ,ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pnבסיס :פסוק אטומי ,נגדיר באופן דומה להגדרה הקודמת ):(3.1 ϕ = P1 ϕ = P2 .. . ϕ = Pn otherwise α1 α 2 . ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) = .. α n ϕ נשים לב כי נחוצה לנו הגדרה שונה עבור הצבה סימולטנית של מספר פסוקים שונים .לדוגמא ,אם ϕ = P1 , α 1 = P2 , α 2 = P3 אז לפי ההצבה ב־ 3.3נקבל: ϕ(α1 /P1 , α2 /P2 ) = α1 = P2 ואילו ϕ(α1 /P1 ) (α2 /P2 ) = α2 = P3 וקיבלנו תוצאות שונות ,מכאן שאין שקילות בין ההצבה שהגדרנו ב־ 3.3להצבות חוזרות כפי שהוגדרו ב־!3.1 בהצבות מרובות נשתמש רק בהגדרה 3.3 כעת ,נשאל את עצמנו מה הקשר בין ערך האמת של ) ϕ(α1 /P1לזה של ?ϕ בהנתן השמה vנגדיר השמה חדשה v 0על ידי: ( v(α1 ) i = 1 0 = ) v (P1 v(Pi ) i 6= 1 טענה 3.4עבור השמה vוההשמה שהגדרנו ,v 0מתקיים כי )) .v̄ 0 (ϕ) = v(ϕ(α1 /P1 הוכחה :נוכיח באינדוקציית מבנה .נגדיר }) ;Y = {ψ v 0 (ψ) = v(ψ(α1 /P1 בסיס ψ :הוא פסוק אטומי ,וישנם שני מקרים אפשריים: אם ,ψ = P1אז: ) v 0 (ψ) = v 0 (P1 ) = v 0 (P1 ) = v(α1 כאשר השיוויון הראשון נובע מכך ש־ ,ψ = P1השני מהגדרת v 0והשלישי מהגדרת .v 0ונשים לב כי = )) v(ψ(α1 /P1 ) .v(α1 אם ψ 6= P1אז: )v 0 (ψ) = v 0 (ψ) = v(ψ ומכוון ש־).ψ(α1 /P1 ) = ψ ⇒ v(ψ(α1 /P1 )) = v(ψ) = v(ψ נוכיח סגירות: יהיו ,γ, δ ∈ Yאז נוכיח כי (¬γ) ∈ Yו־ .(γ op δ) ∈ Y ))T Top (v 0 (γ), v 0 (δ = )v 0 (γ op δ )) (γ(α/P1 ) op δ(α/P1 = ) (γ op δ)(α/P1 ⇓ = )) v(γ(α/P1 ) op δ(α/P1 = )) T Top v(γ(α/P1 ), v(δ(α/P1 = )) v((γ op δ)(α/P1 מסקנה 3.5אם ϕהוא טאוטולוגיה ,אז כך גם ) ϕ(α1 /P1 , . . . , αn /Pnלכל .α1 . . . , αn ∈ W F F 11 צורות נורמליות 3.2 3.2 )Forms צורות נורמליות (Normal )Forms 4 הוכחה בתחשיב הפסוקים (Normal הגדרה 3.6נגדיר את הצורה הנורמלית (Negation Normal Form) NNFבאופן אינדוקטיבי כסגור של הבסיס } ,B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ Nוהפעולות } ∨.F = {f∧ , f טענה 3.7לכל α ∈ W F Fקיים α0 ∈ N N Fכך ש־ .α ≡ α0 הוכחה :את טענה זו הוכחנו כאשר הוכחנו כי }¬ {∧, ∨,היא קבוצת קשרים שלמה ,כלומר קיים βהמכיל רק את W2n הקשרים ∨ ¬, ∧,כך ש־ ,β ≡ αוראינו שניתן לקחת βמהצורה i=1 ϕiכאשר ϕiמהצורה p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3 ...־ בפרט βבצורת .N N F הגדרה 3.8נגדיר את Conjלהיות הסגור של הבסיס } B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ Nעם הפעולה ∧.F = f הגדרה 3.9נגדיר את הצורה הנורמלית (Disjunctive Normal Form) DNFלהיות הסגור של הבסיס Conjעם הפעולה } ∨.F = {f טענה 3.10לכל α ∈ W F Fקיים β ∈ DN Fכך ש־ .α ≡ β הגדרה 3.11נגדיר את Disjלהיות הסגור של הבסיס } B = {Pi |i ∈ N}∪{(¬Pi )i ∈ Nעם הפעולה } ∨.F = {f הגדרה 3.12נגדיר את הצורה נורמלית (Conjunctive Normal Form) CNFכסגור של הבסיס Disjעם הפעולה } ∧.F = {f טענה 3.13לכל α ∈ W F Fקיים β ∈ CN Fכך ש־ .α ≡ β הוכחה :לפי משפט ה־ ,DN Fקיים פסוק γכך ש־ γ ∈ DN Fו־ .γ ≡ ¬αכיוון ש־ ,γ ∈ DN Fיש פסוקים ,ϕ1 , ..., ϕk ∈ Conjכך ש־ γ ≡ ϕ1 ∨ ... ∨ ϕk לפי חוקי דה־מורגן ושקילות לוגית ¬γ ≡ ¬ϕ1 ∧ ... ∧ ¬ϕk וגם ¬ϕi ∈ Disj־ אז נקבל את הדרוש. הערה 3.14ניתן לשאול מספר שאלות אלגוריתמיות על ביטויים אלו: בהנתן פסוק αבעל nמשתנים ,האם הוא ספיק? ניתן לעבור על 2nההצבות הקיימות ולבדוק אותן ,השאלה הנשאלת האם יש אפשרות יותר טובה? ) (?N P = P כמו כן ,בהנתן פסוק ,αאיך מוצאים פסוק שקול לו α0ב־ ?N N F/DN F/CN F מה הסיבוכיות של מציאת DN Fמינימלי לפסוק ?α הוכחה בתחשיב הפסוקים 4 4.1 הגדרות וסימונים באופן אבסטרקטי מערכת הוכחה מורכבת מהבאים: .1אלפבית )אצלנו הפסוקים } {Pi i ∈ Nוהפעולות }↔ .({∧ , ∨ , ¬ , → , .2נוסחאות מעל האלפבית )אצלנו ה־.(WFF .3קבוצת נוסחאות הנקראות אקסיומות .A .4כללי היסק .F פסוק ϕהוא יכיח מקבוצת הנחות ,Γאם הוא שייך לסגור של הקבוצה Γ ∪ Aעם הפעולות ב־ .F הוכחה של פסוק ϕמהנחות :Γהצגת סדרת יצירה של ϕבשביל להראות שהוא בסגור הנ"ל. 12 הוכחה בתחשיב הפסוקים 4.2 4 מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים )Propositional Calculus- HPC (Hilbert סימונים :עבור מערכת הוכחה ,Sנסמן Γ ` ϕאם ϕיכיח )ניתן להוכחה( מ־ Γבמערכת .S s כמו כן נאמר כי ϕמשפט של Sאם ) ` ϕכלומר לא נדרשות הנחות נוספות .(Γ s תכונות פשוטות של מערכת הוכחה 4.1.1 .1מונוטוניות :אם ∆ ` ϕו־ ∆ ⊆ Γאזי .Γ ` ϕ s s .2קומפקטיות :אם Γ ` ϕאז יש ∆ ,∆ ⊆ Γסופית כך ש־.∆ ` ϕ s s .3טרנזיטיביות :אם ∆ ` ϕולכל ∆ ∈ αמתקיים כי Γ ` αאזי .Γ ` ϕ s s s רעיון ההוכחה :בסדרת היצירה של ϕמ־∆ נחליף כל הנחה מ־∆ בסידרת היצירה שלה מ־.Γ מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים 4.2 )Propositional Calculus- HPC )מערכת זו היא ואריציה על המערכת של מנדלסון־פרגה( נגדיר את מערכת זו על ידי: .1אלפבית :הסגור של הבסיס } {Pi i ∈ Nעם הפעולות }) {¬ , → , ( , .2נוסחאות }→W F F{¬, .3אקסיומות :A α → (β → α) :A1 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2 (¬β → ¬α) → (α → β) :A3 .4כללי היסק :Fכוללים את ) Modus Ponensכלל הניתוק( = β (α → β) , α already proven = : β formula from MP )M P ((α → β), α MP כלומר אם ידוע כי ) (α → βוגם αנכון ,אזי ניתן להסיק כי βנכון. הרצאה 29.3.15 4 ־ מהי הוכחה? כל נוסחה בהוכחה :אקסיומה ,הנחה או מתקבלת מאחד מכללי ההיסק. הגדרה 4.1משפט ב־ :HP Cכל פסוק αכך ש־ ` α HP C באופן אחר :בסיס :אקסיומות ,פעולה ,M P :סגור :משפטים של .HP C דוגמא: 5 )` (α → α HP C )(1 )A1 :α → ((α → α) → α )(2 ))A2 : (α → ((α → α) → α)) → ((α → (α → α)) → (α → α )(3 ))M P (1, 2) : ((α → (α → α)) → (α → α )(4 )A1 :α → (α → α )(5 M P :α → α 5נסמן ) M P (i, jביצוע הפעולה M Pעל שורות iו־j 13 (Hilbert 4 4.3 הוכחה בתחשיב הפסוקים משפט הדדוקציה לכל ,α, β דוגמא: ))` ((¬α) → (α → β HP C )(1 )A3 : (¬β → ¬α) → (α → β | {z } )(2 )A1 :E → (¬α → E E )M P (1, 2) : (¬α → E )(3 E |} { z }A2 : |{z )¬α → (¬β → ¬α) → (α → β) → (¬α → (¬β → ¬α)) → (¬α → (α → β)) (4 | {z } | {z } | {z } )(x→z )(x→y x )(y→z )(5 ))M P (3, 4) : (¬α → (¬β → ¬α)) → (¬α → (α → β )(6 )A1 :¬α → (¬β → ¬α )(7 )M P (5, 6) :¬α → (α → β דוגמא: 6 ){¬α} ` (α → β הוכחה :הוכחה ) 1לעצלנים(: ראינו )) . ` (¬α → (α → βנכתוב את ההוכחה שוב .אז נוסיף ) ¬αהנחה( ולפי (α → β) M P הוכחה :הוכחה :2 )(1 )¬α → (¬β → ¬a )(2 ¬α assumption )(3 )(¬β → ¬α M P (1, 2) : )(4 )(¬β → ¬α) → (α → β )(5 α→β A1 : A3 : M P (3, 4) : מסקנה 4.2אם ,` ¬αאזי לכל {α} ` β :β הוכחה :ראינו ש־) ` ¬α → (α → βונתון ,` ¬αאז לפי ` (α → β) M Pכלומר .{α} ` β 4.3 משפט הדדוקציה משפט 4.3לכל קבוצת פסוקים }→ ,Γ ⊂ W F F{¬,ולכל זוג פסוקים }→ ,α, β ∈ W F F{¬,מתקיים: ) Γ ` (α → βאם ורק אם Γ ∪ {α} ` β HP C HP C הוכחה :⇐ :נניח ) .Γ ` (α → βממונוטוניות ) α .Γ ∪ {α} ` (α → βהנחה מתוך } Γ ∪ {αולפי .β :M P ⇒ :ההוכחה באינדוקצית מבנה. )Y = ϕ ∈ W F F{¬,→} | Γ ` (α → ϕ 6נשתמש ב־` ,ואם לא נאמר אחרת אז מתכוונים ל־ ` HP C 14 4 4.4 הוכחה בתחשיב הפסוקים משפט הנאותות ל־HP C סימון :עבור קבוצת נוסחאות ,Σנסמן } .Ded (Σ) = {ψ | Σ ` ψנרצה להוכיח ש־ .Ded (Γ ∪ {α}) ⊂ Y כזכור ) Ded (Σהיא קבוצה סגורה; בסיס :אקסיומות ,הנחות .פעולה .M P :נראה כי האקסיומות וכן }Γ ∪ {α נמצאים ב־ .Yתהי ψאקסיומה או נוסחה מ־ .Γצ"ל:Γ ` (α → ψ) : )ψ → (α → ψ ψ )(α → ψ A1 : axiom or assumption MP : סגירות ל־ :M Pנניח .(γ → δ) , γ ∈ Yצ"ל.δ ∈ Y : ידוע ש־) Γ ` α → (γ → δ) ,Γ ` (α → γוצ"לΓ ` (α → δ) : )(1 ))(α → (γ → δ)) → ((α → γ) → (α → δ )(2 )Γ ` α → (γ → δ )(3 )(α → γ) → (α → δ )(4 )Γ ` (α → γ )(5 )(α → δ A2 : known M P (1, 2) : known M P (3, 4) : לכן ממשפט האינדוקציה נקבל Ded (Γ ∪ {α}) ⊂ Yכדרוש. דוגמא :לכל פסוק }→ α ∈ W F F{¬,מתקיים )` (¬¬α → α הוכחה :לפי משפט הדדוקציה ,די להוכיח .{¬¬α} ` αהראינו כבר שלכל γ, δמתקיים )` ¬γ → (γ → δ ובפרט, )(1 )` ¬ (¬α) → (¬α → ¬¬¬α )(2 ¬¬α )(3 ¬α → ¬¬¬α )(4 )(¬α → ¬¬¬α) → (¬¬α → α )(5 ¬¬α → α )(6 Γ ` ¬¬α → α assumption M P (1, 2) : A3 : M P (3, 4) : דוגמא ` (β → ¬¬β) :לכל .β הוכחה :תרגיל. משפט הנאותות ל־HP C 4.4 משפט 4.4משפט הנאותות ל־ :HP Cלכל קבוצת פסוקים }→ Γ ⊂ W F F{¬,ולכל }→ ,α ∈ W F F{¬,אם Γ`α אז Γα מסקנה 4.5אם Γספיקה ,אז לא ניתן להוכיח סתירות מ־.Γ 15 4 4.4 הוכחה בתחשיב הפסוקים משפט הנאותות ל־HP C הוכחה :באינדוקציית מבנה; }Y = {ϕ | Γ ϕ רוצים להראות כי: Ded (Γ) ⊂ Y בסיס :תהי ϕאקסיומה .צ"ל ,ϕ ∈ Y :דהיינו .Γ ϕ טענה 4.6כל האקסיומות הן טאוטולוגיות) .בוודאי( נניח .ϕ → ψ ,ϕ ∈ Yנראה ש־ .ψ ∈ Yנתון .Γ ϕ ,Γ (ϕ → ψ) :תהי vהשמה כך ש־ ;v Γמהנתון ) v (ϕ → ψו־ v ϕאז לפי → T Tחייב להתקיים .v ψ משפט 4.7משפט הדיכוטומיה )הוכחה לפי מקרים(: לכל קבוצת פסוקים }→ Γ ⊂ W F F{¬,ולכל }→ , α, β ∈ W F F{¬,אם Γ ∪ {α} ` β וגם Γ ∪ {¬α} ` β אזי Γ`β למה 4.8לכל ,x, y, z, Γאם ) Γ ` (y → zוגם ) ,Γ ` (x → yאזי )Γ ` (x → z הוכחה) :של הלמה( בלי משפט הדדוקציה: )(1 ))(x → (y → z)) → ((x → y) → (x → z A2 : )(2 ))(y → z) → (x → (y → z A1 : )(3 )Γ ` (y → z )(4 )x → (y → z )(5 )(x → y) → (x → z )(6 )Γ ` (x → y )(7 )(x → z הוכחה נוספת לפי משפט הדדוקציה :די להוכיח , Γ ∪ {x} ` zאז: x→y ` Γ assumptions x y y→z z ` Γ MP : הוכחה :הוכחת משפט הדיכוטומיה :לפי משפט הדדוקציה הנתון שקול ל־ )Γ ` (α → β וגם )Γ ` (¬α → β 16 MP : MP : MP : 4.5 משפט השלמות ל־HP C 4 הוכחה בתחשיב הפסוקים הראינו )כתרגיל ,בדוגמה למשפט (4.3 )` (β → ¬¬β לפי הלמה )Γ ` (¬α → ¬¬β ולפי A3ו־ M Pנקבל )Γ ` (¬β → α לפי הלמה עם x = ¬β, y = α, z = βנקבל )Γ ` (¬β → β ואז: )(1 )))` (¬β → (β → ¬ (¬β → β )(2 )))(¬β → (β → ¬ (¬β → β))) → ((¬β → β) → (¬β → ¬ (¬β → β )(3 ))(¬β → β) → (¬β → ¬ (¬β → β )(4 )¬β → ¬ (¬β → β )(5 )(¬β → ¬ (¬β → β)) → ((¬β → β) → β )(6 (¬β → β) → β MP : )(7 β MP : 4.5 ex. above A2 : M P (1, 2) : MP : A3 : משפט השלמות ל־HP C משפט 4.9לכל }→ Γ ⊂ W F F{¬,ולכל }→ ,α ∈ W F F{¬,אם Γα אזי Γ ` α HP C ניתן לנסח את שני המשפטים יחד: משפט 4.10משפט השלמות והנאותות Γ α :אם ורק אם .Γ ` α HP C משפט 4.11ניסוח שקול למשפט השלמות: אם Γ`αאז Γα במילים :אם לא ניתן להוכיח את αמתוך Γאז יש השמה vכך ש־) v Γמספקת( אבל vα אסטרטגיית ההוכחה :נתחיל מהעובדה Γ`αונבנה vכנ"ל .אנחנו רוצים להגיע למצב בו ל־ Γיש "בעיה" על כל פסוק אטומי. 17 4.6 4.6 4 קבוצה עקבית הוכחה בתחשיב הפסוקים קבוצה עקבית הגדרה 4.12קבוצת פסוקים Γנקראת עקבית אם יש פסוק ϕכך ש־Γ`ϕ טענה Γ 4.13לא עקבית אם ורק אם קיים פסוק ϕכך ש־ Γ ` ϕוגם .Γ ` ¬ϕ הוכחה: )(1 הרצאה 12.4.15 5 ־ )` ¬ϕ → (ϕ → β )(2 Γ ` ¬ϕ )(3 Γ `β ex. above )M P (1, 2 כלומר לכל βמתקיים .Γ ` β הערה 4.14מה הקשר בין עקביות למשפט השלמות: • נניח כי Γ 6` α • נקבל כי } Γ ∪ {¬αעקבית ,כי אם Γ ∪ {¬α} ` αאז כיוון ש־ Γ ∪ {α} ` αונקבל מדיכוטומיה .Γ ` α משפט 4.15כל קבוצה עקבית היא ספיקה בפרט יש השמה vשמקיימת) v ¬α ,v Γ :או (v̄(α) = fובפרט Γ 6 α אנחנו רוצים של־ Γתהיה "דעה" על כל פסוק אטומי )האם לתת לו ערך tאו .(?fאם לכל פסוק אטומי Pהיה מתקיים P ∈ Γאו ¬P ∈ Γואז בוודאי ל־ Pהייתה "דעה" עליו. רעיון ההוכחה" :ננפח" את Γכך שנישאר עם קבוצה עקבית וגם לכל ,Pאו P ∈ Γאו .¬P ∈ Γ הגדרה 4.16קבוצה עקבית מקסימלית היא קבוצת פסוקים ,Xעקבית ולא קיימת קבוצה עקבית Yכך ש־ .X ( Y טענה Γ 4.17עקבית אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של Γגם עקבית. הוכחה :⇐ :ברור .אם Γ 6` αאז αאינו יכיח מאף תת קבוצה סופית .Γ ⇒ :נניח כי Γאינה עקבית ונראה שיש תת קבוצה סופית Γ0 ⊂ Γשאינה עקבית .כיוון ש־ Γאינה עקבית יש βכך ש־ Γ ` βוגם .Γ ` ¬β כיוון שהוכחה היא סופית ,בהוכחה של βובהוכחה של ¬βהשתמשנו במספר סופי של הנחות מתוך .Γתהי Γ0 ⊂ Γתת קבוצה סופית המכילה את ההנחות הנ"ל .אזי Γ0 ` β וגם Γ0 ` ¬β )אותה הוכחה כמו Γ ` ¬β ,Γ ` βמקודם( לכן ,לפי טענה שהוכחנו Γ0 ,אינה עקבית. טענה 4.18אם Xעקבית מקסימלית ו־ ,X ` ϕאזי .ϕ ∈ X הוכחה :נביט בקבוצה } .Y = X ∪ {ϕבוודאי .X ⊂ Yלכן ,אם Yעקבית אז ממקסימליות של Xמתקיים X = Yובפרט .ϕ ∈ Xאכן ,נראה כי .Y 6` ¬ϕ אם X ∪ {ϕ} = Y ` ¬ϕ כיוון ש־ X ∪ {¬ϕ} ` ¬ϕ ממשפט הדיכוטומיה X ` ¬ϕבגלל שהנחנו ,X ` ϕלכן Xלא עקבית ־ בסתירה. 18 4.6 4 קבוצה עקבית הוכחה בתחשיב הפסוקים טענה 4.19לכל קבוצה עקבית מקסימלית Xולכל פסוק ϕמתקיים ϕ ∈ Xאו .¬ϕ ∈ X הוכחה :אם } X ∪ {ϕעקבית אז ממקסימליות Xמתקיים ) ϕ ∈ Xכמו שכבר הראינו( .אם } X ∪ {ϕלא עקבית אז בפרט X ∪ {ϕ} ` ¬ϕומכאן נובע )הראינו כבר בעזרת משפט הדיכוטומיה( ש־ .X ` ¬ϕמהטענה הקודמת נובע ש־.¬ϕ ∈ X טענה 4.20תהי Xעקבית מקסימלית .אזי לכל α, βפסוקים מתקיים ) X ` (α → βאם ורק אם ¬α ∈ Xאו .β ∈ X הוכחה :⇐ :לפי טענה 4.19קודמת α ∈ Xאו .¬α ∈ Xאם ¬α ∈ Xאז סיימנו. אם α ∈ Xאזי ` )(α → β X assumption α מ־ M Pנקבל: X`β ולפי טענה 4.18קודמת .β ∈ X ⇒ :מקרה ראשון .¬α ∈ X :ראינו ` )¬α → (α → β HP C assumption ¬α וע"י M Pנקבל )X ` (α → β מקרה שניβ ∈ X : )β → (α → β A1 : assumption β )(α → β MP : וקיבלנו )X ` (α → β טענה 4.21כל קבוצה עקבית מוכלת בקבוצה עקבית מקסימלית. הוכחה :כיוון ש־ W F Fבת מניה ,ניתן למנות את פסוקי :W F F }W F F = {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ... נניח כי Xקבוצה עקבית .נסמן .X0 = Xנגדיר באופן אינדוקטיבי: } Xn−1 ∪ {ϕn Xn−1 ∪ {ϕn } is consistent Xn−1 ∪ {¬ϕn } else ( = Xn נגדיר כעת Xn [ = Y n∈N ברור כי .X = X0 ⊂ Yנראה כי Yעקבית מקסימלית .אם Yאינה עקבית ,אז יש Y 0 ⊂ Yסופית שאינה עקבית .בפרט יש Xnשאינה עקבית )כי כל Y 0 ⊂ Yסופית מוכלת באיזשהו .(Xn 19 4.6 4 קבוצה עקבית הוכחה בתחשיב הפסוקים למה 4.22נראה ש־ Xnעקבית לכל ,nבאינדוקציה על n = 0 .nנתון ,נניח ש־ Xn−1עקבית. הוכחה) :של הלמה( מקרה ראשון Xn = Xn−1 ∪ {ϕn } :מהגדרת Xnנקבל כי Xnעקבית. מקרה שני Xn−1 ∪ {ϕn } :אינה עקבית .אם גם } Xn−1 ∪ {¬ϕnאינה עקבית אז ממשפט הדיכוטומיה נקבל ש־ Xn−1אינה עקבית בסתירה .לכן גם במקרה השני Xn−1 ∪ {¬ϕn } = Xnעקבית. הראינו כי Yעקבית ונראה כי היא עקבית מקסימלית .מההגדרה ברור שלכל ϕמתקיים ϕ ∈ Yאו ¬ϕ ∈ Yוכפי שכבר ראינו זה גורר ש־ Yעקבית מקסימלית. ∈ ϕאז ¬ϕ ∈ Yבפרט ¬ϕ ∈ Z הערה 4.23טיעון שחזר במשך היום :אם Z ,Y ⊂ Zעקבית .יהי .ϕ ∈ Zאם / Y לכן Z ` ϕ, ¬ϕואז Zלא עקבית בסתירה .לכן ϕ ∈ Yו־ .Z ⊂ Y טענה 4.24כל קבוצה עקבית מקסימלית ספיקה. הוכחה :תהי Xקבוצה עקבית מקסימלית .נגדיר השמה vבאופן הבא: ( t Pi ∈ X = ) v (Pi f ¬Pi ∈ X ונראה כי v) .v Xמוגדרת היטב כי Xעקבית מקסימלית( נגדיר קבוצת פסוקים :T ∈ T = {ϕ | (ϕ ∈ X and v̄(ϕ) = t) or (ϕ }) / X and v̄(ϕ) = f נוכיח באינדוקציית מבנה כי .W F F ⊂ T ∈ Pi בסיס :פסוקים אטומיים ־ יהי Piכלשהו .אם Pi ∈ Xאז v̄(Pi ) = v(Pi ) = tולכן .Pi ∈ Tאם / X אז ¬Pi ∈ Xונקבל כי v̄(Pi ) = fולכן ,שוב .Pi ∈ T נראה כי Tסגורה .יהיו .α, β ∈ Tצ"ל ¬α ∈ T :וגם .(α → β) ∈ Tנראה כי .¬α ∈ Tנפריד למקרים: ∈ ¬α ∈ X) ¬αעקבית( v̄(α) = t .ייתן ש־ .v̄ (¬α) = fלכן קיבלנו ש־/ X .1אם .v̄(α) = t ,α ∈ Xאז / X וגם v̄ (¬α) = fומהגדרת .¬α ∈ T ,T ∈ X .v̄(α) = f ,αמקסימלית ולכן ¬α ∈ Xוגם .v̄ (¬α) = tמהגדרת .¬α ∈ T ,T .2אם / X כעת נראה ש־ .(α → β) ∈ Tנפריד למקרים: .1אם α ∈ X )א( אם . v̄(β) = t ,β ∈ Xמהטענה שהוכחנו v̄ (α → β) = t .(α → β) ∈ Xכי v̄(α) = v̄(β) = t ולכן .(α → β) ∈ T ∈ ) v̄(α → β) = f ,(α → βכי = )v̄(α ∈ . v̄(β) = f ,βמהטענה שהוכחנו נקבל / X )ב( אם / X t, v̄(β) = fוגם כאן .α → β ∈ T ∈ .αלכן .¬α ∈ Xמהטענה שהוכחנו (α → β) ∈ X ,ו־ v̄ (α → β) = tכיוון ש־ .v̄(α) = tלכן .2אם / X .α → β ∈ T ואז W F F ⊂ Tכדרוש. מסקנה 4.25מטענות 4.21ו־ ,4.24כל קבוצה עקבית היא ספיקה. הוכחה :של משפט השלמות )(Γ α ⇒ Γ ` α נניח Γ 0 αאז } Γ ∪ {¬αעקבית לכן היא ספיקה .בפרט ,אם } v Γ ∪ {¬αאז v Γוגם v 2 αולכן .Γ 2 α מסקנה X 4.26עקבית אם ורק אם Xספיקה. הוכחה :⇐ :הראינו. ⇒ :אם ,v Xיהי αעם .v̄(α) = fממשפט השלמות נקבל כי X 0 αולכן Xעקבית. משפט 4.27השלמות והנאותות X ` αאם ורק אם .X α 20 4 הוכחה בתחשיב הפסוקים 4.7 4.7 משפט הקומפקטיות משפט הקומפקטיות משפט 4.28הקומפקטיות )תחשיב הפסוקים(: Xספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של Xספיקה. הוכחה X :ספיקה אם ורק אם Xעקבית )הוכחנו( אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של Xעקבית )הוכחנו( אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של Xספיקה. לכל קבוצת פסוקים Xנגדיר }Ass (X) = {v | v X אלו הקבוצות הסגורות שלנו. \ )Ass(ϕ = )Ass(X ϕ∈X T אם Xאינה ספיקה ∅ = ) ,Ass(Xאז ∅ = ) . ϕ∈X Ass(ϕיש תת קבוצה X 0 ⊂ Xסופית שאינה עקבית. \ ∅ = )Ass(ϕ ϕ∈X 0 4.7.1 שימושים הגדרה 4.29גרף ) G = (V, Eהוא k־צביע אם יש פונקציה } χ : V → {1, ..., kכך שאם יש קשת בין vל־ uאז ).χ(v) 6= χ(u משפט 4.30יהי ) G = (V, Eגרף אינסופי .אזי 2 G־צביע 7אם ורק אם כל תת גרף סופי שלו הוא 2־צביע .נניח Gבן מניה. הוכחה :נתרגם את השאלה לשאלה בתחשיב הפסוקים .נתאים פסוק אטומי לכל קודקוד ב־.G }V ⇔ {P1 , P2 , ... נחשוב על הצבעים כעל הערכים .t, fלכל e ∈ Eנתאים: ) ϕe = (Pi → ¬Pj ) ∧ (¬Pi → Pj כש־) .e = (Pi , Pj v ϕeרק אם " vצובעת היטב" את Piו־ .Pjנסמן כעת }.X = {ϕe | e ∈ E נניח שכל תת גרף סופי הוא 2־צביע ונראה שכל תת קבוצה X 0 ⊂ Xסופית היא ספיקה. תהא X 0 ⊂ Xסופית; ניקח } V 0 = {Pi | Pi appears in some α ∈ X 0 הגרף המושרה על 8 V 0הוא 2־צביע .לכן לכל ϕששני קדקודיו ב־ V 0מתקיים ש־ ϕצבועה היטב .נהפוך את הצביעה להשמה ) (1 → t, 2 → fונשים לב שההשמה מספקת כל ϕeכנ"ל ולכן את .X 0 Semantics ⇔ X satisfyable ⇔ Xα ⇔ α Syntax X consistent X`α `α הערה 4.31ראינו כי Xעקבית מקסימלית מסתפקת על ידי השמה יחידה. מאידך ,בהינתן השמה vנגדיר }Xv = {ϕ | v ϕ הרצאה 19.4.15 6 ־ טענה Xv 4.32עקבית מקסימלית. 7הטענה נכונה עבור כל k 8שימו לב לאי ההבדלה בין Vל־} :{Piהעתקה חח"ׂע ועל בין שתי הקבוצות תעביר תת קבוצה ב־ Vלתת קבוצה מתאימה ב־} {Pi 21 4.8 גדירות 4.8 4 הוכחה בתחשיב הפסוקים גדירות נאמר שקבוצת פסוקים Xמגדירה את קבוצת ההשמות המספקות אותה }Ass(X) = {v | v X נאמר שקבוצת השמות Kהיא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים Xכך ש־ )K = Ass(X דוגמאות: הקבוצות הבאות גדירות ∅ .1 .2קבוצת כל ההשמות .3השמות הנותנות ערך tלמשתנה אחד לכל היותר K = {v} .4 הוכחה: X = {p ∧ ¬p} .1סתירות X = {p ∨ ¬p} .2טאוטולוגיות {Pi → ¬Pj | i 6= j} ,{¬ (Pi ∧ Pj ) | i 6= j} .3 {Pi or ¬Pi according to v(Pi ) | i} .4 מה עצמת הקבוצות הגדירות? כל Kגדירה היא ) .X ⊂ W F F ,K = Ass(Xאז עצמת הקבוצות הגדירות ≥ .2ℵ0עצמת קבוצת ההשמות היא .2ℵ0עצמת )קבוצת החזקה( קבוצת כל תת הקבוצות של קבוצת ההשמות ℵ0 היא .22 סימון = Ass :קבוצת כל ההשמות; ∀Pi , vt (Pi ) = t טענה 4.33הקבוצה }Kf in = {v | v sets t for a nite number of Pi s אינה גדירה. הוכחה :תהי Xקבוצת פסוקים כך ש־) .Kf in ⊂ Ass(Xנראה שלכל Xכנ"ל .vt X תהי } ,Σ = {Pi | i ∈ Nנראה כי Σ ∪ Xספיקה .לפי משפט הקומפקטיות Σ ∪ X ,ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה. תהי Σ0 ∪ X 0תת קבוצה סופית .נניח } Σ0 ⊂ {P1 , ..., Pnונגדיר את vnבאופן הבא: ( t 1≤i≤n = ) vn (Pi f n<i נראה כי vn X 0 ∪Σ0נראה אפילו כי .vn X ∪Σ0אכן ;vn ∈ Kf in ,מהגדרת ,Xמתקיים ש־)Kf in ⊂ Ass(X ובפרט .vn X מהגדרת vnברור גם vn Σ0ולכן .vn X ∪ Σ0 הראנו שכל תת קבוצה של Σ ∪ Xספיקה ,ולכן היא בעצמה ספיקה .ההשמה היחידה המספקת את Σהיא vt ולכן vt Xובפרט )Kf in ( Ass(X לכן Kf inאינה גדירה. 22 4.8 4 גדירות הוכחה בתחשיב הפסוקים הגדרה 4.34קבוצת השמות Kגדירה באופן סופי אם יש Xסופית כך ש־)K = Ass(X משפט 4.35התנאים הבאים שקולים: K .1גדירה וגם K cגדירה K .2גדירה באופן סופי K .3גדירה על ידי פסוק יחיד הוכחה :2 ⇐ 1 :תהיינה X, Yכך ש־ )= Ass(X K ) = Ass(Y Kc ותהא Σ=X ∪Y ∈ (v ∈ vוכנ"ל v ∈ K cאז )/ Ass(X Σאינה ספיקה )כי אם v ∈ Kאז ) / Ass(Y לפי משפט הקומפקטיות קיימת Σ0 = X 0 ∪ Y 0סופית ,שאינה ספיקה .נראה כי Ass(X ) = Kוגם .Ass(Y 0 ) = K c 0 0 c 0 c ברור כי ) .K ⊂ Ass(X 0נראה כי אין v ∈ Kכך ש־ .v Xכיוון ש־ .v Y ,v ∈ Kאם גם v Xאזי 0 v X 0 ∪ Y 0 = Σ0 בסתירה. לכן Ass(X 0 ) ⊂ Kובפרט Ass(X 0 ) = Kלכן Kגדירה באופן סופי. הוכחה :3 ⇐ 2 :תהי ) K = Ass(Xכך ש־} X = {ϕ1 , .., ϕnויהי ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ ... ∧ ϕn קל לראות ש־ Ass ({ϕ}) = Ass(X) = K הוכחה K = Ass ({ϕ}) :1 ⇐ 3 :אזי )}.K c = Ass ({¬ϕ תחשיב הפסוקים • פסוקים אטומים יכולים לקבל tאו f • בנינו נוסחאות מורכבות בעזרת קשרים והפסוקים האטומיים )סינטקס(W F F , • הגדרנו סמנטיקה )השמות לפסוקים אטומים והרחבה לערך אמת לכל (ϕ ∈ W F F • מושג ההוכחה :מערכת הוכחה ) (HP Cלתחשיב הפסוקים • תכונות של מערכת ההוכחה :HP Cנאותות ,דדוקציה ,דיכוטומיה ,שלמות • אנלוגיה בין סינטקטי לסמנטי X ` α ⇔ X α • קופמקטיות • גדירות אבל עדיין תחשיב הפסוקים מאוד מוגבל .מה אי אפשר לעשות בתחשיב הפסוקים? 23 4.8 4 גדירות דוגמה: סוקרטס בן אדם ־ תכונה שסוקרטס מקיים אותה כל בן אדם הוא בן תמותה ־ כל מי שמקיים את התכונה מקיים תכונה אחרת לכן סוקרטס בן תמותה דוגמה: כל מספר טבעי גדול מ־0 הוא עוקב של מספר טבעי אחר נרצה לתאר יחסים כאלה ,ואנחנו לא יכולים לעשות זאת בתחשיב הפסוקים הרגיל. 24 הוכחה בתחשיב הפסוקים חלק II תחשיב היחסים /לוגיקה מסדר ראשון באנגלית Predicate Calculus / First Order Logic הגדרות ומשפטים בסיסיים 1 אלפבית :סימנים לוגיים המשותפים לכל השפות .1משתנים }{xi | i ∈ N .2סימני עזר :סוגריים (), .3קשרים בוליאניים ↔ ¬, ∧, ∨, →, .4כמתים ∃ ∀, מילון) :סיגנטורה (Signature המילון מכיל פרמטרים המיוחדים לשפה; תת קבוצה של: .1סימני קבוע }{ci | i ∈ N .2סימני יחס } ,{Rn,i | n, i ∈ Nכש־ Rn,iהוא סימן יחס n־מקומי .3סימני פונקציה } {fn,i | i, n ∈ Nו־ fn,iמסמן פונקציה n־מקומית נאמר כי מילון הוא סופי ,אם יש בו מספר סופי של סימונים .נאמר שמילון הוא יחסי אם אם אינו מכיל סימני פונקציה. האלפבית של השפה איתה עובדים מורכב מהסימונים הלוגיים המשותפים לכל השפות ומהסימנים במילון .בד"כ נסמן מילון באותיות τ, σוכו'. הגדרה 1.1שם עצם ) (termמעל מילון .σ ההגדרה ברקורסיה :בסיס :כל xiהוא שם עצם .כל c ∈ σגם שם עצם. פעולות :לכל f ∈ σאם fפונקציה nמקומית ו־ t1 , .., tnשמות עצם גם ) f (t1 , ..., tnשם עצם. משפט 1.2הקריאה היחידה לשמות עצם: אם tהוא שם עצם מעל מילון σאז מתקיים בדיוק אחד מהבאים: t = xi .1לאיזשהו משתנה xi t = c .2לאיזשהו c ∈ σ .3קיימת פונקציה יחידה f ∈ σוקיימים t1 , .., tkשמות עצם יחידים כך ש־ fעל kמשתנים ו־ ) t = f (t1 , ..., tk 1.1 נוסחאות מעל מילון σ הגדרה 1.3נוסחאות אטומיות: לכל R ∈ σסימן יחס n־מקומי ולכל t1 , ..., tnשמות עצם ) R(t1 , ..., tnהוא נוסחה אטומי. הגדרה 1.4פעולות: .1הפעלת קשרים של תחשיב הפסוקים :אם α, βנוסחאות אז גם • )(¬α • )(α ∨ β) ,(α ∧ β • )(α → β) ,(α ↔ β 25 1 1.2 הגדרות ומשפטים בסיסיים .2כמתים :אם αנוסחה ו־ xמשתנה ,אז ) (∀x αו־) (∃x αנוסחאות. הסגור של הנוסחאות האטומיות תחת הפעולות האלה הוא הנוסחאות מעל .σ משפט 1.5משפט הקריאה היחידה לנוסחאות מעל :σ אם αנוסחה אז מתקיים בדיוק אחד מהבאים: • αנוסחה אטומית :קיים R ∈ σיחיד וכו' • ) β α = (¬βיחיד • ) a = (β op γכש־}↔ β, γ ,op ∈ {∧, ∨, →,יחידים ו־ opיחיד. • a = ∃x βכש־ x, βיחידים • α = ∀x βכש־ x, βיחידים דוגמאות • }) x, y ,σ = {c, f (), R1 (), R2 (,משתנים. • f (c), f (x), x, cשמות עצם • )) :R1 (f (xנוסחה אטומית • )) :R2 (x, f (cנוסחה אטומית • נוסחה: )))((∃y R1 (f (y))) → (∀x R2 (f (x), c מאידך: • )) (R1 (f (x)) ∧ f (c־ לא נוסחה )) f (cאינו נוסחה אטומי( • ))) (∀c R1 (f (c־ לא נוסחה כי cאינו משתנה )מכמתים רק משתנים( • ) ∀x R1 (x־ חסרים סוגריים הערה 1.6לשם הנוחות נשמיט סוגריים .סדר קדימויות: .1כמתים .2קשרים לפי סדר קדימויות בתחשיב הפסוקים 1.2 משתנים חופשיים וקשורים נגדיר את המושגים משתנה חופשי ) (freeומשתנה קשור ).(bound הגדרה 1.7עבור שם עצם F V (t) ,tמוגדר באופן הבא: • אם t = cאז ∅ = )F V (t • אם x) t = xמשתנה( אז }F V (t) = {x • אם ) t = f (t1 , ..., tnאז ) F V (t) = F V (t1 ) ∪ F V (t2 ) ∪ ... ∪ F V (tn הגדרה 1.8עבור נוסחה F V (ϕ) ,ϕמוגדר באופן הבא: • אם ) ϕ = R(t1 , ..., tnאז ) F V (ϕ) = F V (t1 ) ∪ ... ∪ F V (tn • אם ) ϕ = (¬αאז )F V (ϕ) = F V (α • אם ) ϕ = (α op βאז )F V (ϕ) = F V (α) ∪ F V (β • אם ϕ = Qx αכש־}∃ F V (ϕ) = F V (α)\ {x} ,Q ∈ {∀, 26 משתנים חופשיים וקשורים 1.3 1 מבנה הגדרות ומשפטים בסיסיים דוגמה: }F V ((∀x R(x)) → R2 (x)) = F V (∀x R(x)) ∪ F V (R2 (x)) = ∅ ∪ {x} = {x כי ∅ = }F V (∀x R(x)) = F V (R(x)) \ {x} = F V (x) \ {x } | {z }{x F V (R2 (x)) = F V (x) = x הערה 1.9כיוון שביטויים מהצורה ))((∀x ϕ(x)) → α(x "מבלבלים" ,נראה שלנוסחה ))((∀y ϕ(y)) → α(x יש אותה משמעות סמנטית .אז נוכל לשנות שם למשתנים קשורים כדי שיהיו שונים משמות המשתנים החופשיים. הגדרה x 1.10חופשי ב־ ϕאם )x ∈ F V (ϕ הגדרה 1.11נוסחה ϕתיקרא סגורה אם ∅ = )F V (ϕ הגדרה 1.12שם עצם tיקרא סגור אם ∅ = )F V (t 1.3 מבנה הגדרה 1.13מבנה עבור מילון :σ מבנה Mמורכב מהאובייקטים הבאים: .1תחום DMקבוצה לא ריקה. .2פירוש של סימנים מ־:σ )א( לכל סימן קבוע c ∈ σמתאים איבר cM ∈ DM )ב( לכל סימן יחס n R ∈ σ־מקומי מתאים יחס n־מקומי מעל DM RM ⊂ DM × ... × DM {z } | n times )ג( לכל סימן פונקציה n f ∈ σ־מקומי מתאימים פונקציה n : DM → DM fM ומסמנים M = DM , C0M , ..., f0M , ..., Rm , ... הרצאה 26.4.15 7 ־ כדי להגדיר ערכי אמת צריך לדעת את ערכי המשתנים החופשיים הגדרה 1.14השמה: M v : {xi } → D כדי להגדיר ערכי אמת צריכים :מבנה ,Mהשמה .v לכל d ∈ DMנסמן ( v(xj ) j 6= i = ) v (d/xi ) (xj d j=i 27 1.4 הגדרת ערך האמת בלוגיקה מסדר ראשון 1.3.1 1 הגדרות ומשפטים בסיסיים ערך של שם עצם תחת השמה vבמבנה M אם ci ∈ σ v̄(s) = cM • s = ciאז i • s = xiאז ) v̄(s) = v(xi אם ) s = f (s1 , .., snכש־ ,f ∈ σאז )) v̄(s) = f M (v̄(s1 ), ..., v̄(sn דוגמה שנעבוד איתהM = (N, 0, 1, +, ×, ≤) ,σ = {c0 , c1 , f1 (, ), f2 (, ), R(, )} : אז נסמן ) v(x1 ) = 5, v(x2 ) = 7 ,s = f1 (f2 (f1 (c1 , c1 ), x1 ) x2 M = f1M (cM 1 , c1 ) = 1 + 1 = 2 = f2M (f1 (c1 , c1 ) , v̄(x1 )) = 2 × 5 = 10 10 + 7 = 17 1.4 = )) v̄ (f1 (c1 , c1 )) v̄ (f2 (f1 (c1 , c1 ), x1 )v̄(s הגדרת ערך האמת בלוגיקה מסדר ראשון יהיו Mמבנה v ,השמה. .1נוסחאות אטומיות ϕ = R (s1 , ..., sn ) :כש־ ;R ∈ σאז v̄(ϕ) = tאם ורק אם (v̄(s1 ), ..., v̄(sn )) ∈ RM נחזור לדוגמה ϕ = R (f1 (c1 , c1 ), x2 ) :במבנה שהגדרנו קודם. • אם v(x2 ) = 6אז v̄(ϕ) = t • אם v(x2 ) = 1או v(x2 ) = 0אז v̄(ϕ) = f .2קשרים לוגיים :אם ) ϕ = (α op βכש־}↔ op ∈ {∧, ∨, →,או ) ϕ = (¬αאז ערך האמת של ϕיקבע לפי טבלת האמת של הקשר הרלוונטי: ))v̄ (ϕ) = T Top (v̄(α), v̄(β .3כמתים ϕ = ∃xi α :או ϕ = ∀xi α • v̄(∃xi α) = tאם ורק אם יש d ∈ DMכך שעבור ) u = v (d/xiמתקיים .ū(α) = t • v̄ (∀xi α) = tאם ורק אם לכל d ∈ DMעבור ) u = v (d/xiמתקיים ū(α) = t משפט 1.15אם u, vהשמות כך שלכל ) v(x) = u(x) ,x ∈ F V (ϕאז )v̄(ϕ) = ū(ϕ הגדרה 1.16פסוק :נוסחה ללא משתנים חופשיים מסקנה 1.17יהי ϕפסוק .אם קיימת השמה vכך ש־ v̄(ϕ) = tאזי לכל השמה ū(ϕ) = t ,u מסקנה 1.18ערך האמת של פסוק תלוי רק במבנה דוגמה )ϕ = ∀x ∃y R (f2 (c, y), x יהי d ∈ Nכלשהו .צ"ל :אם ,v(x) = dאז v̄ (∃y R (f2 (c1 , y), x)) = t נביט בהשמה המקיימת: • ) v(x) = dקבוע כבר( 28 2 מושגי יסוד סמנטיים • ) v(y) = dנבחר ערך ל־(y v̄ R f2 (c1 , y), x = v̄ (R(d, d)) = t } | {z d דוגמה )α = (∀x R(x, x)) → R (f1 (x, c1 ), x }F V (α) = {x נשים לב ש־ xמימין ל־→ אינו מכומת .תהא vהשמה ונניח ש־.v(x) = 7 v̄(α) = f הערה 1.19באותו מילון עם המבנה )< .v̄(α) = t ,(N, 0, 1, +, ×,למה זה נכון? מהו ))) v̄ (∀x R(x, xאצלנו ” < ” = (Rצריך להביט לכל d ∈ Nעל ערך האמת של ) R(x, xתחת ההשמה )v (d/x RM (d, d) = f לכן v̄ (R(x, x)) = fלפי → T Tואז .v̄ (∀x R(x, x) → ...) = t 2 מושגי יסוד סמנטיים נדבר על שני מונחים שונים בהקשר של נביעה: • t־נביעה )(truth • v־נביעה )(valid הגדרה t 2.1־נביעה: • מבנה Mוהשמה vמספקים את ϕאם .v̄(ϕ) = tנסמן .M, v ϕ • ϕספיקה במבנה Mאם יש השמה vכך ש־ .M, v ϕבמקרה זה נאמר כי ) (M, vהוא t־מודל של .ϕ • תהי Γקבוצת נוסחאות .אז – Γמסתפקת במבנה Mתחת השמה vאם לכל ϕ ∈ Γמתקיים M, v ϕונסמן .M, v Γ – Γספיקה במבנה Mאם יש vכך ש־ ,M, v Γואומרים ש־) (M, vהוא t־מודל של .Γ • (Γ) ϕספיקה אם יש מבנה Mבו ϕספיקה. t t • נסמן Γ ϕאם כל t־מודל של Γהוא גם t־מודל של .ϕבמילים אחרות Γ ϕ ,אם לכל M, vכך ש־ ,v̄(α) = tלכל ,α ∈ Γמתקיים גם v̄(ϕ) = t M, v Γ ⇒ M, v ϕ t t • ϕהיא t־שקולה ל־ ψאם {ϕ} ψוגם {ψ} ϕ t • נאמר כי ϕהיא t־תקפה אם ∅ ϕ הגדרה v 2.2־נביעה: • (Γ) ϕנכונה במבנה Mאם לכל השמה ,M, v ϕ ,vומסמנים M . M ϕיקרא v־מודל של .ϕ 29 2 מושגי יסוד סמנטיים • (Γ) ϕהיא v־ספיקה אם יש לה v־מודל. v • ϕנקראת v־תקפה אם ϕנכונה בכל מבנה .נסמן ϕ v • Γ ϕאם כל v־מודל של Γהוא גם v־מודל של .ϕ v v • ϕהוא v־שקול ל־ ψאם {ϕ} ψוגם {ψ} ϕ דוגמאות: • ) .ϕ = R(x, xברור כי ל־ ϕיש t־מודלv(x) = 0 ,RM = {(0, 0) , (0, 1)} ,DM = {0, 1} : ל־ ϕיש גם v־מודל :כל מבנה בו Rיחס רפלקסיבי) .אמ"מ( • ) .ϕ = (∀x3 ∀x4 R(x3 , x4 )) ∨ ¬R(x1 , x2בכל מבנה Mיש vכך ש־.M, v ϕ אם ∅ = ) RMאו (RM = DM × DMאז Mהוא v־מודל של .ϕ • ))∀x, y, z ((R(x, y) ∧ R(y, z)) → R(x, z = α ))∀x, y, z, w ((R(x, y) ∧ R(y, z) ∧ R(z, w)) → R(x, w = β v מתקיים {α} β טענה 2.3 .1אם v ϕ־תקפה אז כך גם ∀x ϕ ,∃x ϕ .2אם v ∀x ϕ־תקפה אז v ϕ־תקפה ϕ .3ו־ ψהן t־שקולות אם ורק אם לכל M, vמתקיים )v̄(ϕ) = v̄(ψ הוכחה :תרגיל )"ההוכחה טריוויאלית"( הערה 2.4אם M, v ϕאז בוודאי ;M, v 2 ¬ϕמאידך ϕוגם ¬ϕיכולות להיות ספיקות ב־ .M אם M ϕאז בוודאי M 2 ¬ϕאבל אם M 2 ¬ϕלא בהכרח . M ϕ טענה 2.5 t v .1אם Γ ϕאז ) Γ ϕהכיוון השני לאו דווקא נכון( v t .2אם Γמכילה רק פסוקים אז אם Γ ϕאז Γ ϕ v t ϕ .3אם ורק אם ϕולכן נדבר רק על תקפות באופן כללי v t .4אם ב־ Γיש רק פסוקים אז Γ ϕאם ורק אם Γ ϕ t t Γ ∪ {ϕ} .5־ספיקה אם ורק אם Γ¬ϕ הוכחה: t .1נניח כי ,M Γתהי vהשמה כלשהי M, v Γ .כי M Γומהנתון )משתמשים ב־ (Γ ϕמתקיים .M, v ϕלכן ϕמסתפקת תחת כל השמה ב־ Mולכן .M ϕ .2נניח .M, v Γצ"ל .M, v ϕ :כיוון שב־ Γיש רק פסוקים ,מתקיים שערך האמת לא תלוי בהשמה ולכן לכל השמה uמתקיים .M, u Γדהיינו . M Γ ,מהנתון M ϕובפרט M, v ϕ .3נובע מ־א,ב )בקבוצה הריקה אין נוסחאות( .4נובע מ־א,ב 30 2.1 2 הצבה של שם עצם למשתנה מושגי יסוד סמנטיים t t Γ ∪ {ϕ} .5־ספיקה ,אז יש M, vכך ש־} M, v Γ ∪ {ϕבפרט M, v 2 ¬ϕוגם M, v Γולכן Γ¬ϕ הרצאה 8־ 3.5.15 תכנית השיעור: .1נדבר בקצרה על מושגים סמנטיים .2הצבה של שמות עצם במשתנים .3צורות נורמליותPrenax Normal Form : .4גדירות יחסים במבנה טענה t ϕ 2.6־שקולה ל־ ψאם ורק אם ) (ϕ ↔ ψתקפה. הוכחה :מיידית מ־ tשקילות וטבלת האמת של ↔. מה לגבי v־שקילות? נניח ϕו־v ψ־שקילות ־ האם ϕ ↔ ψתקפה? דוגמה ;ψ = ∀x R(x) ,ϕ = R(x) :נשים לב ש־ ϕו־v ψ־שקולות .מאידך R(x) ↔ ∀x R(x) ,אינה תקפה. v טענה R(x) ∀x R(x) 2.7 הוכחה :יהי Mמבנה כך ש־) .M R(xתהא vהשמה v̄ (∀x R(x)) ,v̄ (R(x)) = t .אם ורק אם לכל d v̄ (d/x) (R(x)) = tוכו'. הגדרה 2.8עבור נוסחה ϕעם משתנים חופשיים ,x1 , ..., xnהסגור האוניברסלי של ϕמסומן ∀ ϕהוא הפסוק ∀x1 ∀x2 ....∀xn ϕ טענה ϕ∀ 2.9מסתפק ב־ Mאם ורק אם v M־מודל של ϕ הוכחה :מיידי. t v v טענה Γ ϕ 2.10אם ורק אם ∀ Γ∀ ϕאם ורק אם ∀ ,Γ∀ ϕכש־ Γ∀ = α∀ | α ∈ Γ 2.1 הצבה של שם עצם למשתנה יהי xמשתנה ו־ rשם עצם. אינטואיציה :רוצים להחליף "כל" מופע של xב־ .rצריך להגדיר בזהירות בגלל האפשרות ש־ xקשור. הגדרה 2.11החלפת משתנה בשם עצם ,עבור שמות עצם יהיו r, sשמות עצם .שם העצם ] s [r/xמוגדר באופן הבא: .1 )א( אם s = cאז s [r/x] = s )ב( אם s = yאז אם = s y 6= x ]s [r/x ואם y = xאז = r ]s [r/x .2אם ) s = f (s1 , ..., snאז )]s [r/x] = f (s1 [r/x] , ..., sn [r/x לפי משפט הקריאה היחידה אפשר לראות ש־] s [r/xמוגדר היטב. הגדרה 2.12הצבת שם עצם למשתנה עבור נוסחאות יהי rשם עצם ϕ ,נוסחה .אז ] ϕ [r/xמוגדרת באופן הבא: .1אם ) ϕ = R (s1 , ..., snאז )]ϕ [r/x] = R(s1 [r/x] , ..., sn [r/x .2אם ) ϕ = ϕ1 op ϕ2או (ϕ = ¬ϕ1אז ]) ϕ [r/x] = ϕ1 [r/x] op ϕ2 [r/xאו ](¬ϕ1 [r/x ) ϕ = Qy ψ .3כש־}∃ (Q ∈ {∀, )א( אם y = xאז ϕ [r/x] = ϕ )ב( אם y 6= xאז ]ϕ [r/x] = Qy ψ [r/x הערה 2.13בעצם ] ϕ [r/xמתקבלת מ־ ϕע"י החלפת כל המופעים החופשיים של xב־.r 31 2.1 2 הצבה של שם עצם למשתנה מושגי יסוד סמנטיים דוגמה ψ = ∀x3 ϕ ,ϕ = R(x3 ) ,r2 = x3 ,r1 = f (x1 , x2 ) :ו־α = ∀x1 ϕ אז: ) f (x1 , x2 = ] r1 [r2/x3 )) R (f (x1 , x2 = ] ϕ [r1/x3 )) ∀x1 R (f (x1 , x2 = ] α [r1/x3 ψ = ] ψ [x1/x3 הערה 2.14בדוגמה שראינו ] α [r1/x3נוצר מופע קשור חדש של .x1יש הרבה מקרים בהם היינו רוצים להימנע מכך. הגדרה r 2.15חופשי להצבה ב־ xבנוסחה ϕאם: ϕ = R (s1 , .., sn ) .1אזי rחופשי להצבה ב־ xעבור ϕ .2אם ) ϕ = ϕ1 op ϕ2או (ϕ = ¬ϕ1אז rחופשי להצבה ב־ xעבור ϕרק אם rחופשי להצבה ב־ xעבור ϕ1 וגם עבור ) ϕ2או עבור ϕ1בלבד במקרה של (ϕ = ¬ϕ1 ϕ = Qy ψ .3 )א( אם xאינו מופע ב־ ϕאז rחופשי להצבה ב־ xבנוסחה )לא מתבצעות הצבות( )ב( אם xאינו חופשי ב־ ϕאז rחופשי להצבה )לא מתבצעות הצבות( )ג( ) x ∈ F V (ϕאז rחופשי להצבה אם: ∈y / F V (r) .i r .iiחופשי להצבה ב־ xעבור ψ טענה r 2.16חופשי להצבה ב־ xעבור נוסחה ϕאם ורק אם לאף משתנה ) y ∈ F V (rלא נוצר מופע קשור חדש. הערה :צריך להגדיר מהם מופע קשור ומופע חופשי )יותר עדין ממשתנה קשור /חופשי( טענה 2.17יהיו r, sשמות עצם ו־ vהשמה .נגדיר השמה חדשה . u = v [v̄(r)/x] :כלומר: ( v(y) y 6= x = )u(y v̄(r) y = x אז )]ū(s) = v̄ (s [r/x ∈ y) yלא מופיע ב־ (rאזי )] v̄(r) = ū (r [y/xכאשר ].u = v [v(x)/y טענה r 2.18שם עצם v ,השמה ו־)/ F V (r טענה 2.19שינוי שם משתנה קשור תהי ϕנוסחה כך ש־ yלא מופיע ב־ ϕאז ) ∃x ϕבאותו אופן t (∀x ϕ־שקולה לנוסחה )) ∃y ϕ (y/xובאותו אופן )(∀y ϕ (y/x הוכחה :ההוכחה מיידית מטענה 2.18 הטענה מאפשרת להחליף שם למשתנים קשורים ולקבל נוסחאות שקולות .בפרט ,בהינתן נוסחה ϕניתן לקבל )ע"י אלגוריתם יעיל( נוסחה ψהשקולה ל־ ϕבה לאף משתנה חופשי אין מופע קשור. 32 2.2 צורות קנוניות 2.2 2 מושגי יסוד סמנטיים צורות קנוניות הגדרה P N F 2.20־ Prenax Normal Form נוסחאות ב־ P N Fהן מהצורה ) Q1 x1 ...Qn xn ϕכש־ ϕחסרת כמתים( הגדרה אינדוקטיבית :נוסחה חסרת כמתים: בסיס :נוסחאות אטומיות; פעולות :קשרים; סגור :נוסחאות חסרות כמתים. :P N F בסיס :נוסחאות חסרות כמתים; פעולות :כמתים; סגור.P N F : משפט 2.21משפט ה־ P N F לכל נוסחה מעל מילון σקיימת נוסחת P N Fמעל t σ־שקולה לה. הוכחת המשפט בהמשך .הפעלה של העברת נוסחה לנוסחת P N Fנקראת חילוץ כמתים. טענה 2.22 t ∀x (ϕ ∧ ψ) .1־שקולה ל־∀x ϕ ∧ ∀x ψ t ∃x (ϕ ∨ ψ) .2־שקולה ל־∃x ϕ ∨ ∃x ψ ∈ xאזי t (∀x ϕ) ∨ ψ־שקולה ל־)∀x (ϕ ∨ ψ .3אם )/ F V (ψ ∈ xאזי )t ∃x (ϕ ∧ ψ־שקולה ל־(∃x ϕ) ∧ ψ .4אם )/ F V (ψ ≡) ¬∀x ϕ ≡ ∃x ¬ϕ ,¬∃x ϕ ≡ ∀x ¬ϕ .5זה t־שקילות( הערה ∀x (ϕ ∨ ψ) 2.23לאו דווקא שקולה ל־∀x ϕ ∨ ∀x ψ דוגמה x :ϕ :זוגי x ψ ,אי זוגי ∃x ϕ ∧ ∃x ψ .נכון אבל ) ∃x (ϕ ∧ ψלא נכון הוכחה :הוכחת משפט ה־ :P N F בתור התחלה נתרגם כל נוסחה לנוסחה מעל הקשרים ∨ ¬, ∧,והכמתים ∀ .∃,אם ϕנוסחה אטומית ,אז היא כבר ב־ .P N F המקרה המעניין ϕ1 , ϕ2 :נוסחאות ψ1 , ψ2 ,ב־ P N Fו־ .ϕ2 ≡ ψ2 , ϕ1 ≡ ψ1אז ∃∀∃∀α1 ≡ ϕ = ϕ1 op ϕ2 ≡ ∃∀∃∀α2 ϕ ≡ ∃∀∃∀α טענה: ϕ ≡ ψ1 op ψ2 נשנה את שמות המשתנים הקשורים ב־ ψ1למשתנים שלא מופיעים ב־ ψ2ואחר כך נעשה אותו הדבר ל־ .ψ2 כעת לפי הטענה הקודמת על שקילויות ניתן להוציא את כל הכמתים החוצה. 2.3 גדירות יחסים במבנה σarith = hc0 , c1 , +, ×, <, =i מבנה :הטבעייםϕodd (x) = ¬ϕeven (x) ,ϕeven (x) = ∃y (y · (c1 + c1 ) = x) . ))) divide(y, x) = ∃z (y × z = x) ,ϕprime (x) = ∀x (divide(y, x) → ((y = x) ∨ (y = c1 הגדרה 2.24יהיה σמילון M ,מבנה עבורו .תהי ) ϕ (x1 , .., xnנוסחה מעל σעם } ) F V (ϕ) = {x1 , ..., xnאולי ב־ ϕיש משתנים קשורים נוספים( אזי ϕמגדירה ב־ Mאת היחס הבא: Rϕ ⊂ DM × ... × DM | {z } n times כך ש־ (d1 , ..., dn ) ∈ Rϕאם ורק אם ההשמה vהמקיימת .v(x1 ) = d1 , ..., v(xn ) = dnמקיימת .v̄(ϕ) = t יחס Rיקרא גדיר ב־ Mאם קיימת נוסחה ϕכך ש־ .R = Rϕ 33 2.3 הרצאה 10.5.15 9 ־ 2 גדירות יחסים במבנה מושגי יסוד סמנטיים שאלה ממבחן סמסטר א': נתון המילון 9 Σ = {+, ×, =} :עם מבנה + ,Rחיבור ו־× כפל. הוכיחו: .1המספר 0גדיר )יש נוסחה ϕשהאיבר היחיד המספק אותה הוא ;0או היחס החד מקומי } {0גדיר(. .2המספר aגדיר אם ורק אם היחס x < aגדיר √ .3המספר 2גדיר )ב־(R .4אם יחס חד מקומי סופי Pגדיר ב־ Rאז המספר המקסימלי שמקיים את ,Pגדיר. .5אם יחס חד מקומי סופי Pגדיר ב־ Rאזי כל מספר שמקיים את Pגדיר. פתרון .1 )ϕ0 (x) : ∀y (x + y = y 0נייטרלי לחיבור לפני פתרון ב' ,נגדיר את היחס :x ≤ y )ϕ≤ (x, y) : ∃z (x + z × z = y ≤ (x, y) ∈ ϕאם ורק אם x ≤ yכי הנוסחה אומרת שיש מספר אי שלילי ) (z 2כך ש־ . x + z 2 = yאז נגדיר: ϕ< (x, y) : ∃z ¬ϕ0 (z) ∧ x + z 2 = y או )ϕ< (x, y) : ϕ≤ (x, y) ∧ ¬(x = y .2נניח aגדיר .נניח ϕaנוסחה המגדירה את .aנציג נוסחה המגדירה את :< a ))ϕ<a (x) : ∃y (ϕ< (x, y) ∧ ϕa (y נניח ) ϕ<a (xגדיר. ))))ϕa (x) = (¬ϕ<a (x)) ∧ (∀z (¬ϕ0 (z) → ∀y (y + z × z = x → ϕ<a (y הסבר a :הוא המספר היחיד המקיים aלא קטן מ־ aוגם לכל מספר חיובי ממש ) a − z 2 ,(z 2קטן מ־.a .3נגדיר את .1 )ϕ1 : ∀y (x × y = y ))ϕ2 (y) : ∃z (ϕ1 (z) ∧ (z + z = y ואז ))ϕ√2 (x) : ∃y (ϕ2 (y) ∧ (x × x = y) ∧ ∃z (x = z × z .4 )))ϕmaxP (x) : ϕP (x) ∧ (∀y (ϕP (y) → ϕ≤ (y, x כאשר ϕPהנוסחה המגדירה את x .Pמקיים את Pוכל מספר אחר המקיים את Pקטן או שווה לו. מהסופיות נקבל שאכן קיים מקסימום. 9כשכותבים = מתכוונים ליחס השוויון ואין צורך לפרש אותו 34 3 בדיקת ספיקות .5נוכיח באינדוקציה על מספר המספרים הממשיים המקיימים את .P בסיס) |P | = 1 :נסמן ב־| |Pאת מספר הממשיים המקיימים את .(Pתהא ϕPהנוסחה המגדירה את .P בגלל שיש רק מספר אחד שמקיים אותה נקבל ש־ ϕPמגדירה אותו. נניח שהוכחנו את הטענה לכל יחס P 0המקיים .|P 0 | ≤ nנוכיח את הטענה ליחס המקיים .|P 0 | = n + 1 יהי aאיבר כלשהו .a ∈ P 0אם ,10 a = maxP 0אז ראינו כי aגדיר .אם aאינו המקסימלי ,אז נגדיר יחס חדש )) .R(x) = ϕP 0 (x) ∧ (¬ϕmaxP 0 (xנשים לב שביחס Rיש בדיוק nאיברים ,כי פרט ל־ maxP 0כל איברי P 0ביחס ואין אחרים .נשים לב כי ) a ∈ Rכי הוא לא היה המקסימלי( .כיוון ש־ Rגדיר ו־,|R| = n ניתן להגדיר את איבריו לפי הנחת האינדוקציה ,ולכן aגדיר. 3 בדיקת ספיקות בשיעור הזה ננסה להבין איך בודקים האם קבוצת נוסחאות ספיקה. • פסוק :נוסחה ללא משתנים חופשיים. • פסוק/נוסחה אווניברסלי ∀x1 ...∀xn ϕ :כש־ ϕחסרת כמתים. • פסוק/נוסחה יישי: 11 ∃x1 ...∃xn ϕכש־ ϕחסרת כמתים. הצעד הראשון בבדיקה האם נוסחה ϕספיקה היא תרגום ϕלנוסחה אוניברסלית באופן המשמר ספיקות. טענה 3.1יהי σמילון ,אזי ) ∃x ϕ(xספיקה מעל σאם ורק אם ] ϕ [c/xספיקה מעל המילון } ,σ 0 = σ ∪ {cכאשר cסימן קבוע חדש. הוכחה :⇐ :נניח ) ∃x ϕ(xספיקה .כלומר ,יש ) .M, v ∃x ϕ(xלפי הגדרת ערך אמת מתקיים שיש d ∈ DMכך ש־) M, v [d/x] ϕ(xונראה כעת כי ] ϕ [c/xספיקה. 0 M0 d ∈ (cוניקח ]) v = v [ /xאפשר יהי M 0המבנה הזהה ל־ Mפרט לכך ש־ c) .c = dלא מפורש ב־ Mכי / σ גם v 0 = vכי xלא מופיע ב־](ϕ [c/x 0 0 0 d 0 c לפי הגדרת הסמנטיקה בגלל ש־ v (c) = dולפי טענה שהוכחנו ,v̄ (ϕ [ /x]) = v̄ [ /x] ,במבנה .Mולכן ].M 0 , v 0 ϕ [c/x 0 0 0 0 c ⇒ :נניח M 0מבנה עבור σו־ vהשמה כך ש־] .M , v ϕ [ /xיהי Mהצמצום של Mל־ .σאזי 0 0 ) M, v 0 ∃x ϕ(xכי יהי . DM = DM 3 d = cMלפי הגדרת ערך אמת )M, v [d/x] ϕ(x טענה 3.2פסוק ) ∀y1 ...∀yn ∃x ϕ(x, y1 , ..., yn ספיק אם ורק אם הפסוק ) ∀y1 ...∀yn ϕ(f (y1 , ..., yn ), y1 , ..., yn ספיק מעל מילון } σ 0 = σ ∪ {fכאשר fסימון פונקציה n־מקומית חדש. הוכחה :בדומה למה שעשינו קודם. משפט 3.3סקולם ) (Skolem קיים אלגוריתם שלכל פסוק ϕבונה פסוק אוניברסלי ψכך ש־ ϕספיק אם ורק אם ψספיק. ψעשוי להיות מעל מילון שונה. הוכחה: 0 • מוצאים ϕשקולה ל־ ϕבצורת .P N F • מסלקים כמתים יישיים )∃( אחד אחרי השני ,משמאל לימין ע"י הוספת סימני פונקציות חדשים או קבועים למילון. 10כתיב מקוצר ,ראינו כבר איך להגדיר 11מלשון יש 35 3 בדיקת ספיקות דוגמאות ϕ(c) .1 ) ∃x ϕ(xכש־ cסימן קבוע חדש ∀x ϕ(x, f (x)) .2 )∀x∃y ϕ(x, y .3 ) ∀x1 ∃y1 ∀x2 ∃y2 ϕ(x1 , x2 , y1 , y2 ) ∀x1 ∀x2 ∃y2 ϕ(x1 , x2 , f1 (x1 ), y2 )) ∀x1 ∀x2 ϕ(x1 , x2 , f1 (x1 ), f2 (x1 , x2 הערה 3.4האם ϕשקולה ל־ ?ψלאו דווקא ,בהרבה מקרים הן אפילו לא מוגדרות מעל אותו מילון! הערה 3.5האם הטרנספורמציה שומרת על תקפות? לאו דווקא .ניקח )ϕ = ∀x∃y (R(x) ∨ ¬R(y)) ≡ ∀x R(x) ∨ ∃y ¬R(y) ≡ ∀x R(x) ∨ ¬∀y R(y ו־ )))ψ = ∀x (R(x) ∨ ¬R(f (x הערה 3.6המילה המעניינת והחשובה במשפט היא אלגוריתם .בלעדיה הטענה טריוויאלית. חזרה לשאלת הספיקות .דבר על פסוקים ללא משתנים וללא כמתים. דוגמה: R(a, f (a)) ∧ ¬R(b, c) .1 ¬R(a, f (a)) ∧ ¬R(f (b), c) .2ספיק )למשל ∅ = (R .3א∧ב נראה כעת תרגום של נוסחה חסרת משתנים )וכמתים( לתחשיב הפסוקים באופן ששומר ספיקות /תקפות. כיוון שעצמת קבוצת הנוסחאות האטומיות בת מניה ,ניתן להתאים לכל נוסחה אטומית מעל σפסוק אטומי Piבתחשיב הפסוקים. למשל σ = ha, b, c, f, Ri R(a, a), R(a, b), ... } | {z } | {z P1 P2 R(a, f (a)), R(b, f (a)), ... } | {z } | {z P3 P4 )R(a, f (a)) ∧ ¬R(b, c ) R(b, cאזי P1 ∧ ¬P2 )) R(a, f (aו־ P2 למשל אם P1 אם ϕנוסחה חסרת משתנים וכמתים ,נסמן ב־̂ ϕאת הנוסחה שהתאמנו לה בתחשיב הפסוקים) .מגדירים באינדוקציה כמו שצריך(. טענה 3.7 ϕ .1ספיקה אם ורק אם ̂ ϕספיקה. ϕ .2תקפה אם ורק אם ̂ ϕתקפה. 36 3 3.1 בדיקת ספיקות תכונות של מבנה הרברנד הוכחה :נראה את :⇐ .1יהי Mמבנה המספק את .ϕנגדיר השמה בתחשיב הפסוקים .w ,אם לפסוק האטומי Piהתאמנו נוסחה אטומית αאזי w(Pi ) = tאם ורק אם .M αאם ל־ Piלא הותאם αנגדיר .w(Pi ) = f כעת ,ניתן להוכיח )למשל באינדוקצית מבנה( כי .w̄(ϕ̂) = tנניח כי } {Pi | i ∈ Iאלו הפסוקים האטומיים שהותאמו לנוסחאות אטומיות .נסמן ב־ Tאת קבוצת כל הנוסחאות מעל Piהנ"ל שערך האמת שלהם זהה לערך האמת של הנוסחה המתאימה בתחשיב היחסים .באינדוקציה אפשר להראות שכל הנוסחה ב־} {Pi | i ∈ Iגם ב־ .T ⇒ :נניח ̂ ϕספיקה ונראה כי ϕספיקה .תהי wהשמה המספקת את ̂ϕו־ .w̄(ϕ̂) = tנגדיר מבנה Mבאופן הבא) DM = T erm :קבוצת שמות העצם מעל המילון שלנו( M עבור קבוע c ∈ σנפרש .cM = cאיך נגדיר את ,f Mיהי s1 , ..., sn ∈ Dונגדיר ) f M (s1 , ..., sn ) = f (s1 , ..., sn {z } | ∈T erm=D M אינטואיטיבית w :אומרת אילו נוסחאות אטומיות צריכות להתקיים במבנה Mאותו אנו מחפשים. נותר לפרש יחסים .יהי .R ∈ σנגדיר את .RMנגדיר (s1 , ..., sn ) ∈ RMאם ורק אם :יהי Piהפסוק האטומי )תחשיב פסוקים( המתאים לנוסחה האטומית ) .R(s1 , .., snאזי (s1 , ..., sn ) ∈ RMאם ורק אם w(Pi ) = tוכעת ניתן להוכיח באינדוקצית מבנה כי .M ϕ דוגמה .¬R(a, f (a)) ∧ ¬R(f (b), c) :סימני קבוע ,a, b, c :סימן פונקציה ,f (·) :יחס דו מקומי.R(·, ·) : P1 ))R(a, f (a P2 )R(f (b), c .. . אז .w(P1 ) = f, w(P2 ) = f .ϕ̂ = ¬P1 ∧ ¬P2 ניקח =T erm = DM :Mכל שמות העצם .f M (a) = f (a) ,aM = a ,f M (b) = f (b) ,cM = c .אז ∈ ))(a, f (a / RM P1 , w(P1 ) = f ))R(a, f (a ∈ ) (f (b), cוכו'. ו־ / RM Herbrand הגדרה 3.8מבנה הרברנד Mהוא מבנה הרברנד מעל מילון σאם: .1לכל a ∈ DMיש שם עצם sללא משתנים כך ש־sM = a M sM .2לכל שני שמות עצם שונים ) 1 6= s2 ,(s1 6= s2 במבנה הרברנד איברים מהתחום מתאימים לשמות עצם באופן חח"ע ועל. דוגמה M .M = hN, 0, +1i ,σ = hc0 , succiהוא מבנה הרברנד עבור succ) .σהיא פונקציה חד מקומית( הרצאה 17.5.15 10 ־ דוגמהpred(succ(c0 )) = 0 + 1 − 1 = 0 .M = hN, 0, +1, −1i ,σ = hc0 , succ, predi : טענה 3.9אם במילון σיש סימן קבוע ,אז קיים מבנה הרברנד ל־.σ 3.1 תכונות של מבנה הרברנד יהי σמילון H ,מבנה הרברנד עבורו. .1יש שם עצם rמעל משתנים .x1 , ..., xnנניח כי: d1 ⇔ s1 = .. . ) v(x1 dn ⇔ sn = ) v(xn אז לכל השמה vמתקיים M ] v̄(r) = r [s1/x1 , ..., sn/xn ) siהם שמות העצם המתאימים ל־) (v(xi 37 3.1 3 תכונות של מבנה הרברנד בדיקת ספיקות ϕ .2נוסחה .F V (ϕ) = {x1 , ..., xn } ,אז H, v ϕאם ורק אם ] H ϕ [s1/x1 , ..., sn/xn כש־ d1 ⇔ s1 = .. . ) v(x1 dn ⇔ sn = ) v(xn ∃x ϕ(x) .3נכון ב־ Hאם ורק אם יש שם עצם rכך ש־] ϕ [r/xנכון ב־.H ∀x ϕ(x) .4נכון ב־ Hאם ורק אם לכל שם עצם ϕ [r/x] ,rנכון ב־.H תזכורת בהינתן השמה ,vשם עצם sומשתנה xהגדרנו: 0 ]v = v [v̄(s)/x והוכחנו ש־ )v̄ (r [s/x]) = v¯0 (r וכנ"ל לנוסחאות .הוכחה :תרגיל. משפט 3.10משפט הרברנד יהי σמילון ללא סימן = .פסוק אוניברסלי ϕמעל σספיק אם ורק אם הוא ספיק במבנה הרברנד. הגדרה (Ground Instance) 3.11יהי ) α = ∀x1 ...∀xn ϕ(x1 , ..., xnפסוק אוניברסלי .נוסחה המתקבלת על ידי הצבת שמות עצם סגורים למשתנים x1 , ..., xnנקראת ground instanceשל .α GrIns(α) = ϕ [s1/x1 , ..., sn/xn ] | s1 , ..., sn ∈ T erm כש־ T erm־ קבוצת שמות העצם הסגורים. משפט σ 3.12מילון ללא = Γ .קבוצת פסוקים אוניברסלית מעל .σהטענות הבאות שקולות: Γ .1ספיקה Γ .2ספיקה במבנה הרברנד GrIns(Γ) .3ספיקה )GrIns(ϕ [ = )GrIns(Γ ϕ∈Γ GrIns(Γ) .4ספיקה במבנה הרברנד הוכחה 4⇔1 :לפי תכונה 4של מבנה הרברנד 1⇐2 .ו־ 3⇐4מיידי לפי הגדרה 3⇐1 .פשוט. נשאר להראות את .4⇐3 טענה ) 3.13נניח שב־ σאין שוויון( אם Λקבוצת פסוקים ללא משתנים וללא כמתים ,אז Λספיקה אם ורק אם היא ספיקה במבנה הרברנד. הוכחה :⇒ :ברור. ⇐ :יהי Mמבנה ל־ .Λנגדיר Hכמו בשבוע שעבר: DH = T erm פירוש פונקציות וקבועים באופן הטבעי .נותר לפרש סימני יחס .עבור R ∈ σ H H M tH =t ) 1 , ..., tn ∈ R ⇔ R(t1 , ..., tn מכאן נובע )באינדוקציה( שלכל נוסחה ללא משתנים וללא כמתים .ϕM = ϕH ,ϕ טענה זו מוכיחה מיידית את .4⇐3המשפט שהוכחנו עכשיו הוא הכללה של משפט הרברנד ,ולכן בפרט הוכחנו את משפט הרברנד. 38 בדיקת תקפות 4 בדיקת תקפות 4 בהינתן פסוק ϕנראה תהליך שעוצר אם ϕתקף )ואומר ϕתקף( ,אחרת עשוי לרוץ לעד. ϕתקף ⇔ ¬ϕלא ספיק. נעביר את ¬ϕלצורה אוניברסלית )סקולמיזציה( .נקבל פסוק אוניברסלי .ψלפי המשפט שראינו ψ ,אינו ספיק אם ורק אם ) GrIns(ψאינה ספיקה במבנה הרברנד. בשבוע שעבר ראינו דרך לתרגם נוסחאות ללא משתנים וללא כמתים לתחשיב הפסוקים באופן משמר ספיקות. נקרא לקבוצה .Γ לפי משפט הקומפקטיות בתחשיב הפסוקים Γ ,ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה. הפרוצדורה תעבור על כל תתי הקבוצות הסופיות עד שתמצא אחת שאינה ספיקה ואז תכריז ש־ ϕתקף. משפט הקומפקטיות בתחשיב היחסים 4.1 משפט 4.1משפט הקומפקטיות עבור נוסחאות מעל מילון ללא =: Γ .1ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה. t t Γ ϕ .2אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית ,∆ ⊆ Γכך ש־.∆ ϕ v v Γ ϕ .3אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית ,∆ ⊆ Γכך ש־.∆ ϕ הוכחה :1 :נוכיח תחילה למקרה ש־ Γללא משתנים וללא כמתים .נניח שכל תת קבוצה סופית של Γספיקה .ראינו דרך לתרגם פסוק ϕלפסוק ̂ ϕבתחשיב הפסוקים ,באופן המשמר ספיקות: }Γ 7→ Γ̂ = {ϕ̂ | ϕ ∈ Γ ̂ Γספיקה אם ורק אם Γספיקה. ̂ Γאם ורק אם כל תת קבוצה סופית ̂ˆ ⊆ Γ ∆ ספיקה. ̂ˆ ⊆ Γ ∆ ספיקה אם ורק אם ∆ ⊆ Γספיקה. ˆ כיוון שהוכחנו שכל תת קבוצה סופית של Γספיקה ,כל ̂ ∆ ⊆ Γספיקה. כעת נעבור למקרה של Γכללית של פסוקים. • Γספיקה אם ורק אם Γskolemהמתקבלת מ־ Γאחרי תהליך סקולם )לכל פסוק ב־ ,(Γספיקה. • Γskolemקבוצת פסוקים אוניברסלית והוא ספיקה אם ורק אם ) GrIns(Γskolemספיקה. • ) GrIns(Γskolemספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה. נראה כעת שאם כל תת קבוצה סופית של Γספיקה אזי גם כל תת קבוצה סופית של ) GrIns(Γskolemספיקה. תהא ) ∆ ⊆ GrIns(Γskolemסופית ונראה שהיא ספיקה .יש Σ ⊆ Γskolemסופית כך ש־).∆ ⊆ GrIns(Σ יש Λ ⊆ Γסופית כך ש־ Λ ;Σ = Λskolemספיקה ולכן Σספיקה. לפי משפט הרברנד ) GrIns(Σספיקה ,וכיוון ש־) ∆ ⊆ GrIns(Σנקבל ש־∆ ספיקה. כעת עבור Γכללית של נוסחאות: נרצה לתרגם קבוצת נוסחאות לקבוצת פסוקים באופן ששומר ספיקות .נציג מספר בן מניה של קבועים חדשים וכל מופע חופשי של xiנחליף ב־ .ciברור שהתהליך שומר ספיקות. t הוכחה :⇒ :2 :ברור :⇐ .נניח .Γ ϕאזי } Γ ∪ {¬ϕלא ספיקה .לפי סעיף א' יש תת קבוצה סופית t } ∆ ∪ {¬ϕשאינה ספיקה .כלומר .∆ ϕ v v t הוכחה :⇒ :2 :3 :ברור :⇐ .נניח ) ⇔ Γ ϕראינו בעבר( ∀ Γ∀ ) ⇔ Γ∀ ϕפסוקים( ∀) ⇔ Γ∀ ϕסעיף ב'( t v ∀) ⇔ ∆∀ ϕראינו בעבר( . ∆ ϕ הרצאה 31.5.15 11 ־ 4.1.1 דוגמה לשימוש במשפט הקומפקטיות E ;σ = hE(·, ·)iיחס דו מקומי .נשים לב שמבנה הוא פשוט גרף V = DM .ומופיעה קשת ) (i, jאם ורק אם ).E(i, j טענה 4.2לא ניתן בלוגיקה מסדר ראשון להגדיר את אוסף הגרפים הקשירים. 39 4.2 לוגיקה מסדר ראשון עם סימן = 4 בדיקת תקפות טענה 4.3לא קיימת נוסחה ) ϕ(x, yמעל σהמסתפקת אם יש מסלול בין xל־.y הוכחה :נניח בשלילה שיש ϕכנ"ל .תהי ψkנוסחה האומרת שאין מסלול באורך kבין xל־.y למשל: )¬E (x, y = ψ1 ))¬∃z (E(x, z) ∧ E(z, y = ψ2 נראה כי }Γ = {ϕ} ∪ {ψ | k = 0, 1, ... ספיקה ומכאן נקבל סתירה כי מבנה המספק את ϕמכיל מסלול בין xל־ ,yמאיד לפי } {ψ | k = 0, 1, ...המסלול אינו סופי ,בסתירה. לפי משפט הקומפקטיות Γ ,ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית ספיקה .תהי Γ0 ⊂ Γסופית. בה"כ, } Γ0 ⊂ {ϕ} ∪ {ψ1 , .., ψn ניקח מבנה שייצג גרף שרשרת באורך מעל ,nואז בין שני הקצוות לא קיים מסלול באורכים 1, ..., nאבל קיים מסלול כלשהו .זוהי השמה שמספקת את } ,{ϕ} ∪ {ψ1 , .., ψnלכן גם את Γ0ולכן Γספיקה. בש"ב ∃x ϕ :תקף אם ורק אם לאיזשהו nיש t1 , ..., tnשמות עצם סגורים כך ש־ ]ϕ [t1/x] ∨ ... ∨ ϕ [tn/x תקף .תרגיל זה משתמש במשפט הקומפקטיות. משפט " 4.4היורד" ) LöwenheimSkolem־ (Downward ϕספיקה אם ורק אם ϕספיקה במבנה סופי או בן מניה. הוכחה :מיידי ממשפט הרברנד. משפט " 4.5העולה" ) LöwenheimSkolem־ ֹ(Upward אם ϕספיקה במבנה אינסופי ,אז לכל עוצמה אינסופית λיש מבנה מעוצמה λהמספק את .ϕ הוכחה :רעיון ההוכחה )אינטואיציה( :נגדיר מספר קבועים בעוצמה ,λוזה יכריח את המבנה שלנו להיות גדול .ואז משתמשים במשפט הקומפקטיות... 4.2 לוגיקה מסדר ראשון עם סימן = σ = hc0 , c1 , ..., f1 , ..., R1 , ...i ↔ (, ), ∃, ∀, →, ¬, ∧, ∨, סימן נוסף= : יש הרבה ספרים בהם סימן = הוא חלק מהשפה ־ נמצא בכל מילון ותמיד מפורש כשיוויון .בפרט כשיש שוויון, גם ) (t1 = t2פסוק אטומי. רעיון לטיפול ב־= :להגדיר מבנה בו האיברים הם מחלקות שקילות של שמות עצם סגורים בהתאם למבנה ,M כך ש־) (t1 ∼ t2אם .(t1 = t2 )M = t משפט 4.6קיים אלגוריתם שעבור נוסחה ϕבונה נוסחה ψללא שיוויון כך ש־ ϕספיקה אם ורק אם ψספיקה. 40 4 4.2 בדיקת תקפות לוגיקה מסדר ראשון עם סימן = תכונות השוויון: • שוויון הוא יחס שקילות • שוויון הוא יחס קונגרואציה ) :(Congruentכלומר נשמר תחת כל נוסחה; למשל אם Rהוא יחס דו מקומי אז x1 = x2 ) ⇒ R(x1 , y1 ) ↔ R(x2 , y2 y1 = y2 אסטרטגיה :נגדיר יחס חדש Eשיהיה יחס שקילות ויחס קונגרואציה )ניתן אוסף נוסחאות שמסתפק רק ל־E כנ"ל(. אחרי כן ,נחליף כל פסוק אטומי מהצורה ) (x = yב־) .E(x, yלבסוף נראה שהנוסחה שמתקבלת ספיקה אם ורק אם הנוסחה המקורית ספיקה. נרצה שלא יהיו סימני פונקציה כדי שיהיה נוח לעבוד. טענה 4.7יש אלגוריתם שבהינתן נוסחה ϕבונה נוסחה ϕ0ללא סימני פונקציה כך ש־ ϕספיקה אם ורק אם ϕ0 ספיקה. רעיון :פונקציה היא בעצם יחס .כלומר ,לכל n f־מקומית אפשר להגדיר יחס n + 1מקומי מתאים )f (x1 , .., .xn ) = y ⇐⇒ Rf (x1 , ..., xn , y רעיון האלגוריתם :נניח שיש לנו "הרבה" סימני קבוע חדשים .כל פעם שיש מופע ) f (t1 , ..., tnבתוך יחס .R 12 נחליף את ) f (t1 , ..., tnבמשתנה חדש yונוסיף ).∧ (f (t1 , ..., tn ) = y הגדרה 4.8יחס Eנקרא יחס קונגרואנציה אם: E .1יחס שקילות: ))Equivalence(E) : (∀x E(x, x))∧(∀x, y E(x, y) → E(y, x))∧∀x, y, z (E(x, y) ∧ E(y, z) → E(x, z .2לכל יחס Rמתקיימת הנוסחה ) ;Cong(E, Rאם Rיחס k־מקומי אז ))) Cong(E, R) : ∀x1 , ..., xk ∀y1 , ..., yk (E(x1 , y1 ) ∧ ... ∧ E(xk , yk ) ∧ (R(x1 , ..., xk ) → R(y1 , ..., yk הוכחה :הוכחת המשפט ־ סילוק =: אלגוריתם :בהינתן ϕנחליף כל מופע של פסוק אטומי ) (x = yב־)) E(x, yובאופן כללי ) (t1 = t2ב־ ) .(E(t1 , t2נניח שקיבלנו נוסחה .ϕ0 בשלב שני נגדיר ^ )ψ = ϕ0 ∧ Equivalence(E) ∧ Cong(E, R R נטען ש־ ϕספיקה אם ורק אם ψספיקה. ⇐ :נניח ϕמסתפקת במבנה .Mנפרש ב־ Mאת Eכיחס שוויון )נקבל מבנה ̂ .(Mקל לוודא כי ϕמסתפקת ב־ ̂.M ⇒ :נניח שיש מבנה ̂ Mבו ψמסתפקת .נגדיר מבנה חדש עבור .ϕ n o ̂DM = [a] | a ∈ DM אלה הן מחלקות השקילות של Eב־ ̂.DM h i ) = f M̂ (a1 , ..., an 12הבהרה במודל 41 M )] f ([a1 ], ..., [an 4 4.3 בדיקת תקפות בעיית התקפות אינה כריעה ונאמר כי ̂([a1 ], ..., [an ]) ∈ RM ⇐⇒ (a1 , ..., an ) ∈ RM עבור בחירה כלשהי של נציגים. כיוון ש־ Eיחס קונגרואנציה ההגדרה טובה. לכל השמה ̂ vב־ ̂ DMנגדיר השמה vב־ DMע"י ])v(x) = [v̂(x ולהפך ,לכל השמה vמעל DMנגדיר ̂ vשתקים )v̂(x) ∈ v(x כעת נטען שלכל נוסחה αמתקיים שאם ̂ αזה התרגום של αללא שוויון ,אז M, v αאם ורק אם ̂.M̂ , v̂ α נוכיח באינדוקצית מבנה :בסיס :עבור נוסחה מהצורה )α = (x = y )α̂ = Equivalence(E) ∧ E(x, y אז̂ M̂ , v̂ αאם ורק אם ̂ (v̂(x), v̂(y)) ∈ E Mאם ורק אם ]) [v̂(x)] = [v̂(yאם ורק אם ).M, v (x = y ונוסחה מהצורהα = R(x1 , ..., xn ) : )) α̂ = (Cong(E, R) ∧ Equivalence(E) ∧ R(x1 , .., xn הנוסחה ) Cong(E, Rאומרת שהגדרת RMטובה וקונסיסטנטית. מעבר האינדוקציה: • קשרים :סטנדרטי לגמרי. • כמתים :נניח .α = ∀x βאז M, v αאם ורק אם לכל ][a M, v [[a]/x] β אם ורק אם ̂M̂ , v̂ [a/x] β אם ורק אם ̂.M̂ , v̂ ∀x β מסקנה 4.9משפט הקומפקטיות למילון עם שוויון. משפט 4.10לא קיים אלגוריתם לבעיית התקפות )משפט ) (Churchמאידך ,ראינו פרוצדורה שאומרת "כן" לנוסחאות תקפות ,ולא ועצרת כשהנוסחה אינה תקפה(. 4.3 בעיית התקפות אינה כריעה הגדרה 4.11בעיית העצירה :בהינתן מכונת טיורינג ,צריך להכריע האם המכונה עוצרת על הקלט הריק. משפט 4.12לא קיים אלגוריתם לבעיית העצירה ]מודלים חישוביים[. הגדרה 4.13בעיית הריצוף :קלט" :לבנים" 1 × 1עם צדדים צבועים )מספר סופי של סוגי לבנים(. מטרה :לרצף את הרביע הראשון; צלעות משיקות צבועות באותו הצבע. השאלה ־ האם קיים ריצוף כזה? משפט 4.14אין אלגוריתם לבעיית הריצוף )ע"י רדוקציה לבעיית העצירה(. הוכחה :הוכחת משפט ) Churchע"י רדוקציה לבעיית הריצוף(: בהינתן קלט לבעיית הריצוף ,T1 , T2 , ..., Tk :נגדיר מילון :σ σ = hc, Succ, R1 (·, ·), ...., Rk (·, ·)i " Riיקודד" את המקומות בהם ריצפנו ב־ .Ti 42 מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון 5 .1 )Ri (x, y k _ ∀x, y i=1 .2לכל i 6= j )∀x, y Ri (x, y) → ¬Rj (x, y .3לכל Tiנגדיר :T opi ,Righti } {j | Tj can be placed above Ti = T opi } {j | Tj can be placed to the right of Ti = Righti .4אז לכל i Rj (Succ(u), v) _ ∧ ))Rj (u, Succ(v _ ∀u, v Ri (u, v) → j∈T opi j∈Righti נגדיר את ϕלהיות ה־∧ של כל הנוסחאות הנ"ל .נשים לב ϕ :שקולה לפסוק אוניברסלי. נטען ש־ ϕספיק אם ורק אם יש ריצוף. אם יש ריצוף: M = N, 0, +1, .., RiM , .. כש־ RiMכל המקומות בהם ריצפנו ב־ ;Tiקל לוודא ש־ ϕמסתפקת. אם ϕספיקה :לפי משפט הרברנד היא מסתפקת במבנה הרברנד .מבנה הרברנד כשיש קבוע ופונקציה חד מקומית יחידה הוא ,Nוניתן לראות שהמבנה מגדיר ריצוף. 4.3.1 מילון עבורו ניתן להכריע את בעיית התקפות מילון σיקרא מונאדי אם במילון יש רק יחסים חד מקומיים )בלי פונקציות ובלי שוויון(. משפט 4.15משפט המבנה הקטן אם נוסחה ϕהמוגדרת מעל מילון מונאדי ספיקה ,אז היא ספיקה במבנה סופי )אם יש בה kיחסים היא ספיקה במבנה בגודל k ,2kיכול להיות עצמה אינסופית(. הוכחה :נניח σ = hP1 , .., Pk iיחסים חד מקומיים. נניח Mמבנה בו ϕמסתפקת .נגדיר יחס שקילות על :M 13 ) a ∼ b ⇐⇒ (∀Pi a ∈ Pi ⇔ b ∈ Pi יש לכל היותר 2kמחלקות שקילות ונגדיר מבנה חדש ̂ Mשאיבריו הם מחלקות השקילות הנ"ל ונפרש את Piבאופן הטבעי. ̂ [a] ∈ PiMאם ורק אם ;a ∈ PiMומוכיחים באינדוקצית מבנה ש־ ϕמסתפקת ב־ ̂.M 43 5 5 הרצאה 7.6.15 12 ־ מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון תזכורת )תחשיב הפסוקים( 3 :אקסיומות ,כלל היסק הגדרה 5.1אקסיומות למערכת הוכחה α,α→β β = .M P 14 α → (β → α) :A1 (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2 (¬β → ¬α) → (α → β) :A3 ∀x α(x) → α [t/x] :A4לכל שם עצם tהחופשי להצבה ב־ xב־α ∀x (ϕ → ψ) → (ϕ → ∀x ψ) :A5כאשר xאינו חופשי ב־ϕ דוגמאות: • ∀x (ϕ ∨ ψ) → ϕ ∨ ∀x ψכאשר xאינו חופשי ב־ϕ • )∀x (ϕ → ψ) → (ϕ → ∀x ψ הגדרה 5.2כללי היסק • (α → β) , α β : MP • )ϕ(x )∀x ϕ(x Gen : הערה 5.3 • לא נבדיל בין נוסחאות שהתקבלו משינוי שם משתנה • נאמר כי Γ ` αאם αיכיח במערכת ההוכחה הנ"ל ,מקבוצת נוסחאות .Γ HC • HCהיא מערכת הוכחה מעל }∀ {¬, →, • לא מטפלים בשוויון; לא ניתן להוכיח במערכת ההוכחה הזאת .x = xאם רוצים לטפל בשוויון מוסיפים אקסיומות שמבטאות את העובדה ש־= הוא יחס שקילות וקונגרואנציה. 5.1 משפטי השלמות והנאותות משפט 5.4הנאותות v אם ` Γאז Γ α HC משפט 5.5השלמות v אם Γ αאז Γ ` α HC משפט 5.6ניסוח שקול למשפט השלמות אם Γעקבית )יש פסוק שלא יכיח מ־ (Γאז יש מבנה בו היא נכונה. 13שימו לב זו הגדרה ולא נוסחה במילון 14תזכורת :זו סכמה לאקסיומות; כלומר האקסיומות הן כל ההצבות האפשריות של נוסחאות במקומות המתאימים 44 5.2 5 משפט הדדוקציה מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון הוכחה :של משפט הנאותות באינדוקצית מבנה מראים v β |Γβ ⊂ α|Γ ` α HC • בסיס: – אקסיומות ־ תקפות – הנחות ־ ברור • פעולות: – :M Pברור v ∀ v – :Genברור .אם Γ βאז גם .Γ β טענה 5.7נניח ש־ . ` αלכל הצבה של נוסחאות ב־ F OLלמשתנים האטומים ב־) αנקרא לנוסחה החדשה ̂(α HP C מתקיים ̂` α HC הוכחה :תהי α1 , ..., αn = αסדרת ההוכחה של .αאזי " "α̂1 , ..., α̂nהוכחה של ̂ αב־.HC 5.2 משפט הדדוקציה בתחשיב הפסוקים :אם Γ, α ` βאז )Γ ` (α → β HP C HP C מה קורה בלוגיקה מסדר ראשון? נניח ) ;R(x) ` ∀x R(xמאידך ) .R(x) → ∀x R(xאם αפסוק הכל בסדר. משפט 5.8משפט הדדוקציה ל־HC אם Γ, α ` βויש הוכחה של βמ־ Γ, αשבה לא הפעלנו את Genעל אף משתנה חופשי ב־ ,αאז ` Γ HC HC ).(α → β הוכחה :באינדוקציה על אורך ההוכחה )"הטובה"( של βמ־ .Γ, αכלומר ,נראה שאם β1 , ..., βn = βהוכחה של β מ־ Γ, αבו לא הופעל כלל Genעל אף משתנה חופשי של .α אזי לכל Γ ` (α → βi ) ,i )M P : ϕ,ϕ→(α→ϕ ואז ϕ → (α → )ϕ A לפי .α או מ־Γ :ϕאקסיומה או הנחה 1 α→ϕ נניח βiהתקבל מהפעלת βj → βi ;M Pו־ βjהופיעו קודם בהוכחה. לפי הנחת האינדוקציה ) α → (βj → βiואז .α → βj לפי A2ופעמיים M Pנקבל .α → βi כעת נניח ש־ βiהתקבל מהפעלת Genעל .βjנאמר βi = ∀y βjכאשר yאינו חופשי ב־ .αלפי הנחת האינדוקציה ,הוכחנו ) .Γ ` (α → βjלפי Genנקבל ) ∀y (α → βj HC לפי A5 ∀y (α → βj ) → α → ∀y βj } | {z βi כי yלא חופשי ב־ M P .αוסיימנו. 45 5.3 5.3 5 משפט הדיכוטומיה מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון משפט הדיכוטומיה בתחשיב הפסוקים :אם Γ, α ` βוגם ` Γ, ¬αאז .Γ ` β HP C HP C HP C מה קורה בלוגיקה מסדר ראשון? משפט 5.9משפט הדיכוטומיה ב־HC אם Γ, α ` βוגם Γ, ¬α ` βוניתן לכתוב כל אחת מההוכחות ללא הפעלת כלל Genעל אף משתנה חופשי HC HC ב־ ,αאז .Γ ` β HC הוכחה :אנו עומדים בתנאי משפט הדדוקציה ולכן Γ ` ¬α → β ,Γ ` α → β HC HC כעת .(α → β) → ((¬α → β) → β) ,מתקבל מהצבה לטאוטולוגיה פסוקית ))((p → q) → ((¬p → q) → q יכיח ב־) HCלפי טענה שהוכחנו( .כעת נשתמש ב־ M Pפעמיים ונקבל הוכחה של βמ־.Γ משפט 5.10יהי cסימן קבוע שלא מופיע ב־ Γאו ב־ .αאז אם ] Γ ` α [c/xאז ).Γ ` ∀x α(x HC HC הוכחה :באינדוקציה על אורך ההוכחה של ] α [c/xמ־ .Γיהי yמשתנה שלא מופיע בהוכחה של ] α [c/xמ־) Γולא מופיע ב־(α תהא α1 , ..., αnסדרת ההוכחה של ] α [c/xמ־ .Γתהא α̂1 , ..., α̂nסדרת הנוסחאות המתקבלת ע"י החלפת כל מופע של cב־.y נראה באינדוקצית מבנה כי α̂1 , ..., α̂nהוכחה של ].α [y/x • אם זו אקסיומה :מיידי. • הנחה מ־ :Gלא מכילה את cולכן לא השתנתה • :M Pפשוט • .αi = ∀z αj :Genאז α̂i = (∀z αj ) [y/c] = ∀z (αj [y/c]) = ∀z α̂j הראינו ] .Γ ` α [y/xלפי Γ ` ∀y α [y/x] Genשקול )החלפת שם( ל־).∀x α(x HC תזכורת: הוכחת משפט השלמות ב־ :HP Cבתחשיב הפסוקים הוכחנו שאם Γעקבית אז Γספיקה. • שלב :1כל Γעקבית מוכלת ב־ Γ0עקבית מקסימלית )לכל ϕ ∈ Γ0 ,ϕאו (¬ϕ ∈ Γ0 • שלב :2כל קבוצה עקבית מקסימלית ,ספיקה .וההשמה מתקבלת ע"י בחירת הפסוקים המתאימים. ב־ HCהאסטרטגיה דומה ,אבל ההגדרות קצת שונות. • נראה שאם Γעקבית מעל σאז היא מוכלת ב־ ) Γ0עקבית( מעל Σ ⊃ σשהיא שלמה ובעלת תכונת הנקין. • נראה שכל קבוצה עקבית שלמה בעלת תכונת הנקין ,ספיקה. הגדרה 5.11קבוצת נוסחאות ) Γאולי מעל (σ ⊂ Σהיא שלמה עבור מילון σאם לכל פסוק ϕמעל σמתקיים ϕ ∈ Γאו .¬ϕ ∈ Γ v v הערה 5.12כשמוכיחים את משפט השלמות די לדבר על קבוצת פסוקים Γכי Γ αאם ורק אם Γ∀ αוברור שאם Γ∀ ` αאז .Γ ` α HC HC משפט 5.13אם Γעקבית מעל σאז יש Γ ⊂ Γ0עקבית ושלמה מעל .σ 46 5 5.3 מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון משפט הדיכוטומיה נוכיח למקרה σסופי או בן מניה .הוכחה :יש מספר בן מניה של פסוקים מעל {ϕ1 , ϕ2 , ...} :σ נגדיר באינדוקציהΓ0 = Γ : אם } SΓ ∪ {ϕnעקבית אז } ;Γn = Γn−1 ∪ {ϕnאחרת } Γn = Γn−1 ∪ {¬ϕn לבסוף Γ0 = m Γm 0 ברור כי Γ0שלמה ,נראה כי היא עקבית )יש βשלא יכיח ממנה( .אם Γאינה עקבית ,אז יש nכך ש־ Γnאינה אינה עקבית. נראה באינדוקציה על iשכל Γiעקבית .עבור .Γ0 = Γ ,i = 0נניח כי Γiעקבית .אם } Γ ∪ {ϕi+1עקבית אז Γi+1עקבית .נראה שלא יתכן שגם } Γi ∪ {ϕi+1וגם } Γi ∪ {¬ϕi+1לא עקביות. יהי βכלשהו .אם שתי הקבוצות אינן עקביות אז Γi ∪ {ϕi+1 } ` βוגם .Γi ∪ {¬ϕi+1 } ` β כיוון ש־ ϕi+1פסוק ,נקבל לפי משפט הדיכוטומיה Γi ` β ,בסתירה לעקביות .Γi HC הגדרה 5.14ל־ Γיש את תכונת הנקין ) (Henkinעבור מילון σאם לכל פסוק ϕ ∈ Γמעל σמהצורה = ϕ 15 ) ¬∀x ψ(xיש cבמילון Σכך ש־.¬ψ [c/x] ∈ Γ הרצאה 12.6.15 13 ־ משפט 5.15משפט הנקין :אם Γעקבית מעל מילון σאז יש ∆ עקבית ,בעלת תכונת הנקין ל־ ,σמעל מילון σ ⊂ Σ כך ש־∆ ⊂ .Γ רעיון ההוכחה :לכל נוסחה ϕכנ"ל נוסיף למילון קבוע חדש ול־ Γאת הפסוק ].¬ψ [c/x למה 5.16אם Γעקבית ¬∀x ψ ∈ Γ ,פסוק ו־ cקבוע חדש אז }] Γ ∪ {¬ψ [c/xעקבית. הוכחה :של הלמה :אם הקבוצה אינה עקבית אז Γ ∪ {¬ψ [c/x]} ` α, ¬αלכל פסוק .αכיוון ש־] ¬ψ [c/xפסוק )אין לו משתנים חופשיים( ,נוכל להשתמש במשפט הדדוקציה ונקבל: ¬ψ [c/x] → α ` Γ ¬ψ [c/x] → ¬α ` Γ לכל ,γ, δ )` (γ → δ) → ((γ → ¬δ) → ¬γ HC זו טאוטולוגיה בתחשיב הפסוקים ,ולכן קל לראות שזה יכיח ב־ .HCאז נקבל: )]` (¬ψ [c/x] → α) → ((¬ψ [c/x] → ¬α) → ¬¬ψ [c/x נפעיל M Pפעמיים ונקבל ] ,Γ ` ¬¬ψ [c/xולפי ההוכחה בתחשיב הפסוקים.Γ ` ψ [c/x] : HC לבסוף לפי משפט שהוכחנו ,כיוון ש־ cקבוע חדש.Γ ` ∀x ψ(x) : הבנו שיש פסוק ϕכך ש־(ϕ = ∀x ψ(x)) Γ ` ϕ, ¬ϕ )` ϕ → (¬ϕ → α לכל αומכאן Γ ` αלכל ,αכלומר Γאינה עקבית. הוכחה :של משפט הנקין :תהי Γעקבית ,לכל פסוק ϕ ∈ Γמהצורה ϕ = ¬∀x ψנוסיף למילון קבוע חדש c ול־ Γאת הפסוק ].¬ψ [c/x לפי הלמה ,הקבוצה החדשה עדיין עקבית .ברור שבסוף התהליך נקבל קבוצה בעלת תכונת הנקין ביחס ל־.σ הערה 5.17אם נחזור על התהליך מספר בן מניה של פעמים נקבל ∆ ⊂ Γמעל Σבעלת תכונת הנקין ביחס ל־.Σ מסקנה ) 5.18הרחבה של המשפט( אם Γעקבית מעל σאז יש ∆ ⊂ Γמעל σ ⊂ Σועקבית ,בעלת תכונת הנקין ביחס ל־.Σ משפט 5.19כל קבוצה עקבית Γמעל σמוכלת בקבוצה עקבית ∆ מעל σ ⊂ Σשהיא שלמה ובעלת תכונת הנקין ביחס ל־.Σ 15מותר ש־ Γמעל σ ⊆ Σ 47 6 המבחן הוכחה :נסמן ∆0 = Γ0 = Γו־ .σ0 = σכעת Γiתהיה קבוצה עקבית ושלמה מעל σi−1המכילה את .∆i−1תהי ∆iקבוצה עקבית בעלת תכונת הנקין המכילה את .Γiנקרא למילון שלה .σiניקח Γn σn ∞ [ = n=0 ∞ [ = ∆ Σ n=0 אז ∆ עקבית ,שלמה ובעלת תכונת הנקין ביחס ל־ .σמ־"סופיות" התכונות )כל פסוק סופי ,ובכל שלב מספר כמתי ∀ קטן( קל לוודא ש־∆ אכן כזאת. הוכחה :הוכחת משפט השלמות: תהי Γקבוצת פסוקים עקבית מעל .σלפי המשפט ,יש ∆ ⊂ Γעקבית ,שלמה ,ובעלת תכונת הנקין ביחס ל־.σ ⊂ Σ M M n (sM ניקח מבנה הרברנד ל־∆ ,נקרא לו .Mנראה כיצד לפרש יחסים .יהי ;R ∈ Σתהא 1 , ..., sn ) ∈ D M ב־ DMהמתאים לשם עצם סגור (s1 ) s1הוא האיבר M M M n (s1 , ..., sn ) ∈ Dאם ורק אם ∆ ∈ ) .R(s1 , .., sn אז נאמר ש־ כעת באינדוקצית מבנה מראים כי־∆ ∈ ϕאם ורק אם .M ϕמשתמשים בתכונות מבנה הרברנד )במבנה הרברנד M ∀x ϕאם ורק אם לכל שם עצם סגור sמתקיים ].(M ϕ [s/x הראינו שאם Γעקבית אז Γספיקה .נשים לב שאם Γעקבית אז ∀ Γעקבית. v די להוכיח שלמות עבור Γקבוצת פסוק ו־ αפסוק .Γ∀ α∀ ⇐ Γ α .נביט ב־ ∀ ,Γ∀ ∪ ¬αשהיא לא ספיקה ולכן לא עקבית .אז ∀Γ∀ ∪ ¬α∀ ` ¬α∀ , α אז כמו בתחשיב הפסוקים נקבל ∀ ,Γ∀ ` αאז ∀ Γ ` αואז ) Γ ` αבעזרת אקסיומה שנפטרת מכמתים(. HC 6 HC HC המבחן במבחן יש 4שאלות ,ללא בחירה .שאלה אחת של הוכח /הפרך. אפשר ללמוד ממבחנים של אלכס וארנון ־ להתעלם משאלות עם ,N DF OLלוגיקה טמפורלית או מושגים אחרים שאיננו מכירים. M אצל אלכס [|ϕ|]ρ־ ערך אמת של ϕב־ Mתחת השמה .ρ 48
