סיכום נקודות בלוגיקה

‫סיכום נקודות בלוגיקה‬
‫תזכורות ממתמטיקה בדידה‬
‫מיו ࣆ – קשר )ܣ ‪ (ߤ݊.‬שמשמעותו ה‪ n-‬הטבעי הראשון שמקיים את ‪.A‬‬
‫איוטה ࣃ – קשר )ܣ ‪.‬ݔߡ( שמשמעותו ה‪ x-‬היחיד המקיים את ‪.A‬‬
‫࡮‪) ࡭ઢ‬ההפרש הסימטרי( – כל האיברים שנמצאים בדיוק באחת מהקבוצות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫ניתן להתייחס לפונקציה כיחס המקיים תנאי החד‪-‬ערכיות‪.∀ܽ∀ܾଵ ∀ܾଶ . < ܽ, ܾଵ >∈ ݂ ∧< ܽ, ܾଶ >∈ ݂ → ܾଵ = ܾଶ :‬‬
‫פונקציה חלקית מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא יחס מ‪ A-‬ל‪ B-‬המקיים את תנאי החד‪-‬ערכיות הנ"ל‪.‬‬
‫‪ R‬יחס סדר על ‪ .A‬ההגדרות יחסית ל‪.A-‬‬
‫פונקציה מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא פונקציה חלקית ‪ f‬מ‪ A-‬ל‪ B-‬המקיימת‪:‬‬
‫רפלקסיבי ܴܽܽ ‪.‬ܣ ∈ ܽ∀‬
‫ି‬
‫݂ ∈> ܾ ‪. < ܽ,‬ܤ ∈ ܾ∃ܣ ∈ ܽ∀‪.‬‬
‫אי רפלקסיבי )ܴܽܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܽ∀‬
‫אם ‪ R‬הוא יחס‪ ,‬אז היחס ההפוך ‪ ܴ ିଵ‬מוגדר ע"י‬
‫}ܴ ∈> ܾ ‪.ܴ ିଵ = {< ܾ, ܽ > | < ܽ,‬‬
‫ܵ ∘ ܴ הרכבה של יחסים המוגדרת‬
‫}ܴ ∈> ܿ ‪. < ܽ, ܾ >∈ ܵ ∧< ܾ,‬ܤ ∈ ܾ∃|ܥݔܣ ∈> ܿ ‪.ܴ ∘ ܵ = {< ܽ,‬‬
‫יחס ‪ R‬על קבוצה ‪ A‬נקרא רפלקסיבי אם ݔܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬
‫יחס ‪ R‬נקרא אי רפלקסיבי אם )ݔܴݔ( ି‪.‬ݔ∀‪.‬‬
‫אם מתקיים )ݔܴݔ( ି‪.‬ܣ ∈ ݔ∀‪ ,‬היחס נקרא אי רפלקסיבי על ‪.A‬‬
‫יחס ‪ R‬נקרא טרנסיטיבי אם ݖܴݔ → ݖܴݕ ∧ ݕܴݔ ‪.‬ݖ∀ݕ∀ݔ∀‪.‬‬
‫סימטרי‬
‫ܴܾܽ → ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬
‫אנטי סימטרי‬
‫ܾ = ܽ → )ܴܾܽ ∧ ܾܴܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬
‫אנטי סימטרי חזק‬
‫)ܴܾܽ( ି→ ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬
‫טרנסיטיבי‬
‫ܴܿܽ → )ܴܾܿ ∧ ܾܴܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܿ ‪∀ܽ, ܾ,‬‬
‫יחס סדר חלקי‬
‫‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬אנטי סימטרי וטרנזיטיבי‬
‫יחס ‪ R‬נקרא סימטרי אם ݔܴݕ → ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‪,‬‬
‫אנטי סימטרי חזק אם )ݔܴݕ( ି→ ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‬
‫ואנטי סימטרי )חלש( אם ݕ = ݔ → ݔܴݕ ∧ ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‪.‬‬
‫יחס סדר מלא‬
‫‪ R‬יחס סדר חלקי ובנוסף מתקיים‬
‫ܴܾܽ ∨ ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬
‫יחס ‪ R‬יקרא יחס סדר חלקי על ‪ A‬אם הוא רפלקסיבי‪ ,‬אנטי סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬
‫יחס סדר חלקי יקרא מלא על ‪ A‬אם מתקיים גם כי ݔܴݕ ∨ ݕܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݕ∀ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬
‫יחס סדר חלקי חזק‬
‫‪ R‬אי רפלקסיבי וטרנסיטיבי‬
‫יחס ‪ R‬יקרא יחס סדר חלקי חזק על ‪ A‬אם הוא טרנסיטיבי ואי רפלקסיבי על ‪.A‬‬
‫יחס כזה יקרא מלא על ‪ A‬אם מתקיים ݕ = ݔ ∨ ݔܴݕ ∨ ݕܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݕ∀ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬
‫יחס סדר מלא חזק‬
‫‪ R‬יחס סדר חלקי חזק ובנוסף מתקיים‬
‫ܴܾܽ ∨ ܾ = ܽ ∨ ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬
‫יחס שקילות‬
‫‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנסיטיבי‬
‫מחלקת שקילות &|ܣ ∈ ݕ{ = ‪ሿோ‬ݔ‪.ሾ‬‬
‫קבוצת מנה ∈ | ‪./ = {)*+‬‬
‫יחס ‪ R‬יקרא שקילות על ‪ A‬אם הוא רפלקסיבי על ‪ ,A‬סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬
‫אם ‪ R‬הוא יחס שקילות‪ ,‬מחלקת השקילות של ‪ x‬לפי ‪ R‬היא }ݕܴݔ|ܣ ∈ ݕ{ = ‪ሿோ‬ݔ‪.ሾ‬‬
‫אם ‪ R‬יחס שקילות על ‪ ,A‬קבוצת המנה של ‪ R‬על ‪ A‬היא }ܣ ∈ ݔ| ‪ሿோ‬ݔ‪/ܴ = {ሾ‬ܣ‪.‬‬
‫לוגיקה‬
‫יחס נביעה ⊢ היא יחס בין קבוצות של נוסחאות לנוסחאות המקיים "רפלקסיביות" )ܣ ⊢ ܶ → ܶ ∈ ܣ(‪,‬‬
‫מונוטוניות )אם ܣ ⊢ ܶ וגם ܵ ⊆ ܶ אז ܣ ⊢ ܵ( ו"טרנסיטיביות" )אם ߮ ⊢ ܶ ו‪ ܶ, ߮ ⊢ ߰-‬אז ߰ ⊢ ܶ(‪.‬‬
‫תחשיב הפסוקים הקלאסי )‪(CPL‬‬
‫מוגדר מעל הא"ב‪ :‬פסוקים אטומיים )…‪ ,(p1,p2,p3‬קשרים → ‪ −,∨,∧,‬וסוגריים‪ .‬הקטגוריה הסינטקטית היא נוסחה )או‬
‫פסוק( כאשר‬
‫‪ .1‬כל פסוק אטומי הוא נוסחה‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ߰ ‪ ߮,‬נוסחאות אז )߰ → ߮( ‪ – ߮, (߮ ∧ ߰), (߮ ∨ ߰),‬נוסחאות‪.‬‬
‫טענות על נוסחאות ב‪) CPL-‬להוכחה שמשהו אינו נוסחה(‪ :‬מספר הסוגרים הימיניים והשמאליים שווה‪ ,‬בין כל ‪ 2‬פסוקים‬
‫אטומים מופיע קשר‪ ,‬קשר "וגם" אינו יכול להופיע בצמוד לסוגר‪ ,‬מספר הסוגיים השמאליים שווה למספר הקשרים‬
‫הבינאריים‪ ,‬מילה ב‪ CPL-‬אינה מתחילה בסוגר ימיני‪.‬‬
‫הגדרה סמנטית לנביעה– ב‪ CPL-‬ה"מבנה" נקרא "השמה" )פונקציה ‪ v‬מקבוצת הנוסחאות אל }‪ {t,f‬המקיימת‪:‬‬
‫}→ ‪(߰)൯, ⋄= {∨,∧,‬ݒ ‪(߮),‬ݒ‪(߮ ⋄ ߰) =⋄∗ ൫‬ݒ ‪(߮)൯,‬ݒ‪(−߮) = −∗ ൫‬ݒ כאשר ∗ ܺ היא פונקצית האמת המתאימה ל‪.(X-‬‬
‫‪u.multinet.co.il‬‬
‫‪u.multinet.co.il‬‬
‫נוסחה תקרא טאוטולוגיה )סימון ߮ ‪(⊢஼௉௅‬אם כל השמה היא מודל שלה‪.‬‬
‫למה‪ ૎ :‬ۺ۾‪) ∅ ⊢࡯ࡼࡸ ࣐ ↔⊢۱‬כי כל השמה היא מודל של הקבוצה הריקה(‪.‬‬
‫תורה ספיקה אם יש לה מודל‪ .‬בהתאם‪ ,‬תורה אי ספיקה היא תורה שאין לה מודל‪ .‬פסוק ללא מודל נקרא סתירה‪.‬‬
‫פסוקים ‪ A, B‬שקולים לוגית אם לכל השמה ‪ v‬מתקיים ‪ v[A]=t‬אמ"ם ‪.v[B]=t‬‬
‫נשים לב שטאוטולוגיה נובעת מכל תורה ושכל נוסחה נובעת מנוסחה שהיא סתירה‪.‬‬
‫טענה‪ :‬פסוקים ‪ A, B‬שקולים לוגית אמ"ם )ܣ → ܤ( ∧ )ܤ → ܣ( ‪.⊢஼௉௅‬‬
‫טענה‪ :‬יהי ‪ A‬פסוק ו‪ v, v'-‬השמות כלשהן‪ .‬אם לכל ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݐܣ ∈ ݌ מתקיים ]‪ v'[p]=v[p‬אז ]‪) v[A]=v'[A‬אינדוקציה מבנית(‪.‬‬
‫קבוצת הנוסחאות האטומיות של ߮ מוגדרת כך‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫}݌{ = ‪ሿ‬݌‪ሾ‬ݐܣ‪.‬‬
‫‪ሾ߮ሿ‬ݐܣ = ‪ሾ−߮ሿ‬ݐܣ‪.‬‬
‫‪ሾ߰ሿ‬ݐܣ⋃‪ሾ߮ሿ‬ݐܣ = ‪ሾ(߮ ⋄ ߰)ሿ‬ݐܣ עבור }→ ‪.⋄= {∨,∧,‬‬
‫קבוצת תת הנוסחאות של ‪ A‬מוגדרת כך‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫}݌{ = ‪ሿ‬݌‪.݂ܵሾ‬‬
‫}ܣ{ ∪ ‪ሿ‬ܣ‪ሿ = ݂ܵሾ‬ܣ‪.݂ܵሾ−‬‬
‫})ܤ ⋄ ܣ({ ∪ ‪ሿ‬ܤ‪ሿ⋃݂ܵሾ‬ܣ‪)ሿ = ݂ܵሾ‬ܤ ⋄ ܣ(‪ ݂ܵሾ‬עבור }→ ‪.⋄= {∨,∧,‬‬
‫‪஺‬‬
‫הצבה‪ :‬אם ‪ ߮,A‬נוסחאות ו‪ p-‬פסוק אטומי‪ ,‬אז ‪ ߮ ቄ௣ቅ‬הינו הפסוק המתקבל מ‪ ߮-‬ע"י הצבת ‪ A‬במקום ‪ p‬ומוגדר כך‪:‬‬
‫•‬
‫‪୅‬‬
‫אם ݌ = ߮ אז ‪.φ ቄ୮ ቅ = A‬‬
‫‪୅‬‬
‫‪.φ ቄ୮ ቅ‬‬
‫•‬
‫אם ݍ = ߮ כאשר ݌ ≠ ݍ אז ‪= q‬‬
‫•‬
‫אם ߰‪ ߮ = −‬אז ‪.φ ቄ୮ ቅ = −ψ ቄ୮ ቅ‬‬
‫•‬
‫‪୅‬‬
‫‪୅‬‬
‫‪୅‬‬
‫‪୅‬‬
‫‪୅‬‬
‫אם ) ‪ ߮ = (ψଵ ⋄ ψଶ‬אז )‪ φ ቄ ቅ = (ψଵ ቄ ቅ ⋄ ψଶ ቄ ቅ‬עבור }→ ‪.⋄= {∨,∧,‬‬
‫‪୮‬‬
‫‪୮‬‬
‫‪୮‬‬
‫‪஺ ஻‬‬
‫הערה‪ ߮ ቄ௣ , ௤ , … ቅ :‬מציין הצבה סימולטנית‪.‬‬
‫משפט ההצבה‪ :‬יהיו ߮ נוסחה‪ v ,‬השמה‪௡ ,‬ݍ ‪ଵ , … ,‬ݍ נוסחאות אטומיות שונות זו מזו ו‪ A1,…,An-‬נוסחאות )לא בהכרח‬
‫שונות(‪ .‬תהי '‪ v‬השמה כך שאם ‪ p=qi‬אז )‪ .v'(p)=v(Ai‬אחרת‪ v'(p)=v(p) ,‬אזי )} ‪௡‬݌‪௡ /‬ܣ ‪ଵ , … ,‬݌‪ଵ /‬ܣ{߮(ݒ = )߮( ‪ ᇱ‬ݒ‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם '‪ v, v‬השמות כך ש‪ v'(p)=v(p)-‬לכל ‪ሾ߮ሿ‬ݐܣ ∈ ݌ אז )߮(‪) v'(߮)=v‬הוכחה באינדוקציה מבנית(‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם ܣ ‪ ܶ ⊢஼௉௅‬ו‪ ߪ-‬הצבה אז )ܣ(ߪ ⊢ )ܶ(ߪ‪.‬‬
‫משפט ההחלפה‪ :‬נניח ‪ v‬השמה‪ A ,‬נוסחה ו‪ p-‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר השמה '‪ v‬כך שאם ‪ q=p‬אז ]‪ ,v'[q]=v[A‬אחרת‬
‫]‪ q) v'[q]=v[q‬פסוק אטומי(‪ .‬אז לכל פסוק ‪ B‬מתקיים ]}‪.v'[B]=v[B{A/p‬‬
‫רדוקציות לשאלת נביעה‬
‫•‬
‫•‬
‫߮ ‪ ܶ ⊢஼௉௅‬אמ"ם }߮‪ ܶ ∪ {−‬אינה ספיקה‪.‬‬
‫לתורות סופיות – ߮ ‪ {߰ଵ , ߰ଶ , … , ߰௡ } ⊢஼௉௅‬אמ"ם הפסוק ߮ → ) ‪ (߰ଵ ∧ ߰ଶ ∧ … ∧ ߰௡‬הוא טאוטולוגיה‪.‬‬
‫משפט הקומפקטיות‬
‫‪ T .1‬ספיקה אמ"ם כל קבוצה סופית חלקית שלה היא ספיקה‪.‬‬
‫‪ ܶ ⊢஼௉௅ ߮ .2‬אמ"ם יש ܶ ⊆ ‪ Γ‬סופית כך ש‪.Γ ⊢஼௉௅ ߮-‬‬
‫הגדרה סינטקטית לנביעה– ߮ ‪ ܶ ⊢ு௉஼‬אם ל‪ φ-‬יש הוכחה מ‪.T-‬‬
‫הוכחה של פסוק ‪ φ‬מתורה ‪ T‬ב‪ HPC-‬היא סדרה סופית של פסוקים כך שהפסוק האחרון בסדרה הוא ‪ .φ‬כל איבר‬
‫בסדרה הוא אקסיומה של ‪ ,HPC‬איבר של ‪ T‬או פסוק שמתקבל משני פסוקים קודמים בסדרה בעזרת היסק ‪.MP‬‬
‫טענה‪ ܶ ⊢ு௉஼ ߮ :‬אמ"ם יש ܶ ⊆ ‪ Γ‬סופית כך ש‪.Γ ⊢ு௉஼ ߮-‬‬
‫‪u.multinet.co.il‬‬
‫‪u.multinet.co.il‬‬
‫תורה ‪ T‬תקרא קונסיסטנטית ב‪ HPC-‬אם אין פסוק ‪ A‬כך שגם ܣ ‪ ܶ ⊢ு௉஼‬וגם ܣ ‪ .ܶ ⊢ு௉஼ −‬בניסוח אחר‪ ,‬קיים פסוק ‪A‬‬
‫כך שܣ ‪. ܶ ⊬ு௉஼ −‬‬
‫משפט הנאותות והשלמות ‪ .⊢େ୔୐ =⊢ୌ୔େ -‬הוכחת נאותות ) ୐୔‪ (⊢ୌ୔େ →⊢େ‬מוכיחים באמצעות אינדוקציה על אורך‬
‫ההוכחה‪ .‬הוכחת שלמות ) ‪ (⊢େ୔୐ →⊢ୌ୔େ‬היא ארוכה ומציקה )שיעור ‪ 4‬בסיכומים של אברון(‪ .‬נוסח ב' למשפט‬
‫השלמות‪ T :‬היא תורה ספיקה ב‪ CPL-‬אמ"ם ‪ T‬היא קונסיסטנטית ב‪.HPC-‬‬
‫טענה‪ :‬אם לכל פסוק ‪ A‬ב‪ T1-‬מתקיים ܣ ‪ ܶଶ ⊢ு௉஼‬אז לכל פסוק ‪ ,B‬אם ܤ ‪ ܶଵ ⊢ு௉஼‬אז ܤ ‪.ܶଶ ⊢ு௉஼‬‬
‫משפט הדדוקציה הסמנטי ‪ -‬ܤ ‪} ⊢஼௉௅‬ܣ{ ∪ ܶ אמ"ם ܤ → ܣ ‪.ܶ ⊢஼௉௅‬‬
‫משפט הדדוקציה הסינטקטי ‪ -‬ܤ ‪} ⊢ு௉஼‬ܣ{ ∪ ܶ אמ"ם ܤ → ܣ ‪) ܶ ⊢ு௉஼‬אינדוקציה על ההוכחה(‪ .‬המשפט נכון עבור‬
‫כל מערכת נוסח הילברט בה קיימות האקסיומות ‪ I1‬ו‪ I2-‬ו‪ MP-‬הוא כלל ההיסק היחיד עבור שפה עם קשר הגרירה‪.‬‬
‫דדוקציה טבעית – נאמר שܣ ‪ ܶ ⊢ே஽஼‬אם קיימת ܶ ⊆‬
‫סופית כך שלסקוונט ܣ ⇒ ‪ Γ‬יש הוכחה ב‪.NDC-‬‬
‫שקלויות לוגיות – )ܣ → ܤ( ∧ )ܤ → ܣ( ‪ =஽ி‬ܤ ↔ ܣ‬
‫שני פסוקים יקראו שקולים לוגית )ܤ ≡ ܣ( אם ܤ ↔ ܣ ‪. ⊢஼௉௅‬‬
‫משפט הצבת אקוויוולנטים‪ :‬אם ܤ ↔ ܣ ⊢ ܶ אז לכל נוסחה ߮ ופסוק אטומי ‪ p‬מתקיים }݌‪/‬ܤ{߮ ↔ }݌‪/‬ܣ{߮ ⊢ ܶ‪.‬‬
‫נוסחה היא בצורת ‪ NNF‬אם קשר השלילה מופיע רק לפני פסוקים אטומיים‪ .‬ליטרל זהו פסוק אטומי או שלילתו‪ .‬פסוק‬
‫ב‪ DNF‬הוא "'או'ים של 'וגם'ים" ופסוק ב‪ CNF‬הוא "'וגםים' של 'או'ים"‪ .‬כל פסוק אפשר להעביר לפסוק שקול ב‪ ,NNF‬והן‬
‫להביא לצורות ‪ DNF‬ו‪.CNF-‬‬
‫‪௣ ,..,௣‬‬
‫הגדרה נניח ߮ פסוק כך ש‪௡ }-‬݌ ‪ଶ , … ,‬݌ ‪ଵ ,‬݌{ = )߮(ݐܣ‪ .‬נגדיר את ‪ ݃ఝభ ೙‬בתור הפונקציה מ‪, ݂}௡-‬ݐ{ אל }‪ {t,f‬המוגדרת‬
‫‪௣ ,..,௣‬‬
‫ע"י )‪ ݃ఝభ ೙ (mଵ , … , m୬ ) = v(φ‬כאשר }݂ ‪,‬ݐ{ ∈ ‪ ݉௜‬לכל ‪ i‬ו‪ v-‬השמה כך ש‪௜ ) = ݉௜ -‬݌(ݒ‪.‬‬
‫טענה‪ :‬לכל }݂ ‪,‬ݐ{ → ‪, ݂}௡‬ݐ{ ‪ ݂:‬ניתן למצוא נוסחא ߮ כך ש‪-‬‬
‫להגדרת כל פונקציה מ‪, ݂}௡-‬ݐ{ אל }‪.{t,f‬‬
‫‪௣ ,..,௣೙‬‬
‫‪ .݂ = ݃ఝభ‬מהטענה נובע כי }→ ‪ {−,∧,∨,‬מספיקים‬
‫מציאת נוסחה לפונקציה‪ :‬נסתכל בטבלת האמת של הפונקציה‪ .‬עבור צורת ‪ ,DNF‬עבור כל שורה בה הפונקציה‬
‫מקבלת ‪ ,t‬נרשום הסגרי "או" )שיחוברו יחד ע"י "וגם"( לפי ערכי האמת של הפסוקים האטומים באותה השורה )אם ‪p‬‬
‫קיבל ערך ‪ t‬נרשום בהסגר ‪ ,p‬אם קיבל ‪ f‬נרשם ‪ .(–p‬עבור צורת ‪ ,CNF‬נמצא צורת ‪ DNF‬אך עבור השורות שמקבלות ‪f‬‬
‫ואז נהפוך "או" ל‪"-‬וגם"‪" ,‬וגם" ל‪"-‬או" וליטרל עם שלילתו )תרגול ‪(6‬‬
‫קבוצת קשרים ‪ S‬תקרא שלמה פונקציונאלית אם לכל פונקצית אמת ‪ f‬ישנה נוסחה ‪ A‬מעל >‪ p=<p1,…pn‬כך ש‪ A-‬מעל ‪S‬‬
‫‪௣‬‬
‫ו‪.݃஺ = ݂-‬‬
‫לוגיקה רב ערכית‬
‫במקום שני ערכי אמת‪ ,‬יש קבוצה של ערכי אמת ‪ S‬היכולה להיות אינסופית‪ .‬מגדירים גם קבוצת ערכים מצוינים ‪ D‬כך‬
‫ש‪ D-‬אינה ריקה ומוכלת ממש ב‪ .S-‬לכל קשר ‪-n‬מקומי מגדירים פונקצית אמת מתאימה‪ .‬השמה מוגדרת להיות פונקציה‬
‫מקבוצת הנוסחאות אל ‪ ,S‬המכבדת את טבלאות האמת החדשות‪ .‬השמה ‪ v‬תהיה מודל של נוסחא ‪ A‬אם ܦ ∈ )ܣ(ݒ‪.‬‬
‫תחשיב הפרדיקטים‬
‫סיגנטורה של שפה –מכילה סימני קבועים‪ ,‬סימני פונקציה ולפחות סימן יחס אחד‪.‬‬
‫שם עצם – יכול להיות קבוע‪ ,‬משתנה‪ ,‬או )‪) f(t1,…,tn‬כאשר ‪ f‬סימן פונקציה ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪.‬‬
‫נוסחא – יכולה להיות )‪) p(t1,…,tn‬כאשר ‪ p‬סימן יחס ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪) (࡭ ⋄ ࡮), −࡭ ,‬כאשר }→ ‪ ⋄= {∨,∧,‬ו‪A,B-‬‬
‫נוסחאות( או ࡭ ‪) ∀࢞. ࡭ ,∃࢞.‬כאשר ‪ x‬משתנה ו‪ A-‬נוסחא(‪.‬‬
‫הצבה )סימון }ݔ‪/‬ݏ{߮‪ s ,‬שם עצם‪ x ,‬משתנה(‬
‫שמות עצם – עבור ‪ t‬קבוע‪ :‬ݐ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ‪ ,‬עבור ‪ t‬משתנה השונה מ‪ :x-‬ݐ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ‪ ,‬עבור ‪ t‬משתנה השווה ל‪:x-‬‬
‫ݏ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ ועבור ‪ f) t=f‬פונקציה ‪ n‬מקומית(‪}) :‬ݔ‪/‬ݏ{ ‪௡‬ݐ ‪}, … ,‬ݔ‪/‬ݏ{ ‪ଵ‬ݐ(݂ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ‪.‬‬
‫נוסחאות – עבור סימני יחס וקשרים‪" ,‬מכניסים" את ההצבה "פנימה"‪ .‬עבור כמתים‪" ,‬מכניסים פנימה" רק אם ‪ x‬אינו‬
‫קשור ע"י הכמת‪.‬‬
‫אם ‪ x, y‬משתנים שונים‪ s ,‬ו‪ t-‬ש"ע‪ A ,‬נוסחה ו‪ t-‬חופשי להצבה עבור ‪ x‬ב‪ A-‬אז ‪}.‬ݕ‪/‬ݏ ‪,‬ݔ‪}ሿ/‬ݕ‪/‬ݏ{ݐ‪{ሾ‬ܣ = }ݕ‪/‬ݏ{}ݔ‪/‬ݐ{ܣ‪.‬‬
‫קבוצת המשתנים החופשיים‬
‫שמות עצם – ∅ = ‪ሾܿሿ‬ݒܨ )‪ c‬קבוע(‪ ,‬ݔ = ‪ሿ‬ݔ‪ሾ‬ݒܨ )‪ x‬משתנה(‪௡ ሿ ,‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ ∪ … ∪ ‪ଵ ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ = ‪௡ )ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݂‪ሾ‬ݒܨ )‪ f‬סימן‬
‫פונקציה ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪.‬‬
‫‪u.multinet.co.il‬‬
‫‪u.multinet.co.il‬‬
‫נוסחאות ‪௡ ሿ -‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ ∪ … ∪ ‪ଵ ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ = ‪௡ )ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݌‪ሾ‬ݒܨ )‪ p‬סימן יחס ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪ሿ ,‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ = ‪ሿ‬ܣ‪ሾ−‬ݒܨ‬
‫‪ሿ‬ܤ‪ሾ‬ݒܨ ∪ ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ = ‪)ሿ‬ܤ ⋄ ܣ(‪ሾ‬ݒܨ )‪ A, B‬נוסחאות‪ ,(⋄∈ {∧,∨, →} ,‬ݔ‪ሿ/‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ = ‪ሿ‬ܣ ‪.‬ݔ∃‪ሾ‬ݒܨ = ‪ሿ‬ܣ ‪.‬ݔ∀‪ሾ‬ݒܨ )‪ x‬משתנה‪A ,‬‬
‫נוסחא(‪.‬‬
‫שם עצם ‪ t‬יקרא שם עצם סגור אם ∅ = ‪ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ‪ .‬נוסחא ‪ A‬תקרא פסוק אם ∅ = ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ‪.‬‬
‫סמנטיקה בשפות מסדר ראשון‬
‫מבנה הוא זוג סדור >‪ <D,I‬בו ‪ D‬הוא קבוצה לא ריקה שנקראת התחום ו‪ I-‬היא פונקציה שהתחום שלה הוא הסיגנטורה‬
‫ומקיימת את הדרישות‪ :‬ܦ ∈ ‪ሾܿሿ‬ܫ )‪ c‬קבוע(‪ ,‬ܦ → ‪ ௡‬ܦ ‪ሾ݂ሿ:‬ܫ )݂ סימן פונקציה( ו‪ ௡-‬ܦ ⊆ ‪ሿ‬݌‪ሾ‬ܫ )‪ p‬סימן יחס ‪-n‬מקומי(‪.‬‬
‫פונקציה מקבוצת המשתנים של השפה אל ‪ D‬נקראת השמה במבנה >‪ .<D,I‬מרחיבים את מושג ההשמה בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪ሾܿሿ‬ܫ = ‪ሾܿሿ‬ݒ )‪ c‬קבוע(‪௡ ሿ) ,‬ݐ‪ሾ‬ݒ ‪ଵ ሿ, … ,‬ݐ‪ሾ‬ݒ(‪ሾ݂ሿ‬ܫ = ‪௡ )ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݂‪ሾ‬ݒ )‪ f‬סימן פונקציה ו‪ t1,…,tn‬שמות עצם(‪.‬‬
‫זוג ‪ M,v‬בו ‪ M‬הוא מבנה ו‪ v-‬היא השמה יקרא ‪-t‬מודל של נוסחה ‪ A‬אם ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ‪.‬‬
‫נוסחה ‪ A‬תקרא תקפה במבנה ‪) M‬ܣ ⊨ ܯ( אם ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ לכל השמה ‪ M .v‬יקרא ‪-v‬מודל של ‪.A‬‬
‫נוסחה ‪ A‬תקרא תקפה לוגיקת אם היא תקפה בכל מבנה‪ .‬נוסחה ‪ A‬תקרא ‪-t‬תקפה לוגית אם ܣ ‪ ∅ ⊢௧ிை௅‬ו‪-v-‬תקפה‬
‫לוגית אם ܣ ‪) ∅ ⊢௩ிை௅‬בעצם אין לכך משמעות כי ∅‪.‬מורכבת מפסוקים(‪.‬‬
‫זהירות בולען‪ :‬לא מתקיים ܣ‪ ⊨ −‬ܯ אמ"ם ܣ ⊭ ܯ!‬
‫סגור של נוסחא ‪ A‬הוא כל פסוק מהצורה ܣ ‪௡‬ݔ∀ … ‪ଵ‬ݔ∀ כאשר } ‪௡‬ݔ ‪ଵ , … ,‬ݔ{ = ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ‪ .‬נשים לב שסגור ‪ 'A‬של נוסחה ‪A‬‬
‫תמיד יהיה פסוק‪ .‬בנוסף‪-v 'A ,‬שקול לוגית ל‪) A-‬ܣ ‪ᇱ ⊢௩‬ܣ ו‪′ -‬ܣ ‪ ⊢௩‬ܣ(‪.‬‬
‫תכונות נביעה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫ܞ⊢⊆ ܜ⊢‬
‫אם ‪ T‬מורכבת מפסוקים אז ܣ ‪ → ܶ ⊢௧‬ܣ ‪.T ⊢௩‬‬
‫כלל ההכללה וכלל ההצבה נכונים עבור ‪-v‬נביעה‪ :‬לפי כלל הכללה מתקיים ‪ A ⊢୴ ∀x. A‬אבל בדר"כ‬
‫‪ .A ⊬୲ ∀x. A‬לפי עקרון ההצבה מתקיים }‪) A ⊢୴ A{t/x‬עבור ‪ t‬חופשי להצבה במקום ‪ (x‬אבל בדר"כ‬
‫}‪.A ⊬୲ A{t/x‬‬
‫תכונת הדדוקציה נכונה עבר ‪-t‬נביעה )ועבור ‪-v‬נביעה כש‪ T-‬מורכבת מפסוקים(‪.‬‬
‫להשלים‬
‫תכנות ספיקות‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫אם ‪-v T‬ספיקה אז ‪ T‬גם ‪-t‬ספיקה‪.‬‬
‫אם ‪ T‬מורכבת מפסוקים אז ‪ T‬היא ‪-t‬ספיקה אמ"ם היא ‪-v‬ספיקה‪.‬‬
‫‪-v T‬ספיקה אמ"ם ܶ∀ היא ספיקה‪.‬‬
‫}ܣ{ ∪ ‪ T‬היא ‪-t‬ספיקה אמ"ם ܣ ‪.ܶ ⊬௧ −‬‬
‫להשלים‬
‫בנק דוגמאות‬
‫‪" .1‬אם ܣ ו‪-‬ܤ → ܣ ספיקות אז ‪ B‬ספיקה" )‪ –(CPL‬דוגמה נגדית‪ A=p :‬ו‪)-‬ݍ‪ ∧ −‬ݍ( = ܤ‪.‬‬
‫‪ .2‬דוגמה נגדית המוכיחה ୴⊢⊉ ୲⊢‪) :‬ݔ(݌ ‪.‬ݔ∀ ‪) ⊢௩‬ݔ(݌ אבל )ݔ(݌ ‪.‬ݔ∀ ‪) ⊬௧‬ݔ(݌ ‪.‬‬
‫‪ .3‬דוגמה נגדית המוכיחה שאם תורה היא ‪-t‬ספיקה היא לא בהכרח ‪-v‬ספיקה‪)} :‬ݕ(݌‪) ∧ −‬ݔ(݌{ = ܶ‪.‬‬
‫‪ .4‬דוגמה נגדית המראה שאם ܣ‪ ⊭ −‬ܯ זה לא אומר ש‪) :M ⊨ A-‬ݔ ‪,‬ݔ(݌‪. −‬ݔ∃ ∧ )ݕ ‪,‬ݔ(݌ = ܣ‪.‬‬
‫בדוגמה זו מוכיחים כי ‪ ⊬௩ A‬אבל גם ‪ A‬לא ‪-v‬ספיקה‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪u.multinet.co.il‬‬
‫‪u.multinet.co.il‬‬