Årsrapport 2013
Transcription
Årsrapport 2013
Kommentarer til VARIABLE Faglige mål Kapitlet lægger op til, at eleverne • lærer variabelbegrebet at kende som et effektivt værktøj til at skabe sig overblik over komplekse problemstillinger. • kan udpege konstanter og variable med tilhørende grundmængde. • kan opskrive og regne med simple bogstavudtryk. Kapitlet lægger især op til, at eleverne kan udvikle følgende faglige kompetencer. At kunne… symbolbehandle. Forståelsen af variabelbegrebet står og falder med udviklingen af denne kompetence. I forløbet er der fokus på både afkodning, regning med variabeludtryk og oversættelse mellem hverdagssprog og symbolsprog med variable. Særligt relevante opgaver: 26-29, 31, 34, 38-39. arbejde med matematikkens tankegange, strukturer og kendetegn. Variabelbegrebet indtager en meget central placering i matematik. Når man arbejder konkret med variable, kan man derfor få eksempler på, hvad der karakteriserer faget, og hvad der derfor er vigtigt at kunne. Særligt relevante opgaver: 6, 23, 40-51. modellere. Variable kommer ikke mindst i spil som en central del af at kunne bruge formler og andre former for bogstavudtryk som matematiske modeller. Særligt relevante opgaver: 40-51. Matematrix og dette kapitel Begrebet, variabel, er en af de vigtigste og mest elegante opfindelser matematikken har frembragt. Som værktøj til at forenkle beskrivelsen af en lang række forhold af matematisk art er det utroligt kraftfuldt. Tænk blot på brugen af formler, som hænger tungt på variabelbegrebet. Begrebet er desuden noget af det mest centrale i matematikken – også i den matematik, eleverne fremover vil møde i undervisningen. I arbejdet med både ligninger og funktioner er det således helt nødvendigt, at eleven forstår variabelbegrebet. Ofte er det utilstrækkelig forståelse af variabelbegrebet, der er det egentlige problem, når elever signalerer at have vanskeligt ved at forstå og arbejde med ligninger og funktioner. Problemstillingen er ekstra tydelig, når der arbejdes med formler, som pr. definition involverer mere end en variabel. Når elever har vanskeligt ved at bruge og ikke mindst manipulere med formler, fx i forbindelse med modellering, kan det så godt som altid føres tilbage til en grundlæggende usikkerhed over for variabelbegrebet. I Matematrix er variabelbegrebet et at de højt prioriterede områder i den faglige strukturering. Allerede 46 Matematrix 7 · Lærervejledning på begyndertrinnet udfordres eleverne til at arbejde med variable, fx i forbindelse med løsning af simple ligninger. På mellemtrinnet tydeliggøres brugen af variable i forbindelse med en mere systematisk gennemgang af ligninger, som er kerneområde i Matematrix 5. Desuden er arbejdet med formler – og dermed også med variable – mere og mere i fokus i løbet af mellemtrinnet, og det kulminerer med et kapitel om formler i Matematrix 6. Med dette kapitel gøres variable til det første kerneområde i overbygningen, hvilket ikke er nogen tilfældighed. Tværtimod er det et bevidst forsøg på at sætte en dagsorden for matematikundervisningen på dette trin. I Matematrix 7 udgør fokuseringen på variabelbegrebet en slags ”fællesnævner” for, hvordan det faglige stof gribes an og præsenteres i alle kapitlerne. RELATEREDE FORLØB TIL VARIABLE i 7.-9. KLASSE 7 Ligninger Ligningsbegrebet behandles, og eleverne arbejder på at kunne finde hensigtsmæssige strategier for løsning af ligninger. 8 Algebra Både fokus på, at bogstaver kan udtrykke generelle sammenhænge, og på at regne med variable (repræsenteret ved bogstaver). Lineære funktioner Fokus på lineære funktioner og forskriften f(x) = ax + b og den grafiske betydning af a og b. Ligninger Opstilling og løsning af ligninger – herunder at kunne forholde sig aktivt og kritisk til tre centrale dele af matematisk modellering: Oversættelse, bearbejdning og fortolkning. 9 Grafer Repetition af og samlet gennemgang af funktionsbegrebet. Der arbejdes blandt andet med funktioner uden en kendt regneforskrift at støtte sig til. Vækst Fokus på eksponentialfunktioner og lineære funktioner. Grundbog Arbejdsark Regneark Geometri– filer Grundtankerne OVERSIGT: VARIABLE Film: Faglige Film: Geometri INTRO SIDE 9 INTROAKTIVITETER SIDE 10-11 GENNEMGANG SIDE 12-13 OVERSLAGSBEREGNINGER SIDE 20 LIX-TAL SIDE 21 TALRÆKKER SIDE 22-23 VARIABLE OG REGNEARK SIDE 24-25 Kommentarer • Faglig 2. Regning med variable 3. Regning med variable • Variable 1-10 • Faglig (fire stk.) • Geometri (to stk.) 4. Talrækker - sum lige tal 5. Talrækker - sum ulige tal 6. Talrækker - gennemsnit lige tal • Talrækker • Variable i regneark IT OPGAVER SIDE 16-19 1. Reducer 7. Talrækker - gennemsnit ulige tal Facitliste: Kopiark EVALUERING SIDE 26 Facitliste: Arbejdsbog Som det er pointeret flere gange, er dette kapitel centralt i forhold til udviklingen af elevernes matematiske symbolbehandlingskompetence. Desuden gør variabelbegrebets tætte forbindelse til funktionsbegrebet og til ethvert arbejde med formler (og andre ligninger) det til et kraftfuldt beskrivelsesværktøj, som blandt andet kan og bør bruges til at udvikle elevernes produktive modelleringskompetence. Adskillige af opgaverne og ikke mindst opslaget, Overslagsberegninger, lægger derfor op til at udfordre dette område. Desuden kan elevernes tankegangskompetence udvikles, hvis man i arbejdet med variable lægger op til at forholde sig til, hvad der er særligt for matematik som fag. Matematrix 7 · Lærervejledning 47 Facitliste: Grundbog ØVELSER SIDE 14-15 • Faglig (to stk.) Hvad Hvorfor bruger er en man bogsta forme l? ver i matem atik? nge sammenhæ kort? plicerede meget Kan kom skrives Variable 1 7 Tegn skemaet af. Indsæt værdien af a i hvert udtryk og beregn. a a+2 3∙a 5 – 2a 3a + 6 a2 a + 5 – 3a Tegnene her er eksempler på symboler. Hvad er hvert tegn symbol for? a2 – a2 b –2 c 1 0 e 1 _ d 2 Her er a = 2 og b = 4 et eksempel på en løsning. 2 Løs ligningerne: a x–2=3 b x+2=3 3 Hvilke værdier af a og b kan løse ligningerne her? Giv nogle eksempler. e 8=2∙a–b c a–b=8 a a+b=8 f 8=a–2∙b d _ba = 8 b a∙b=8 4 Hvad betyder det, når der står bogstaver i en ligning? c 4=5–x d 4=5–y f e 1+z=1–z f x–4=x–3 Hvad mener du egentlig, når du siger “elev”? Hvad mener du, når du beder om ”en mønt”? En variabel er et symbol for et element fra en bestemt grundmængde. Min lykkemønt! Som navnet siger, kan man sætte flere forskellige værdier ind på en variabels plads. Grundmængden til en variabel angiver, hvad man kan indsætte. Når man arbejder med variable, skal man altid gøre sig klart, hvad grundmængden er. Hvis variablen fx er en ”elev”, skal man altså definere grundmængden. Ellers kan man ikke vide, om man arbejder med ”alle elever i Danmark”, ”alle elever på skolen”, ”alle elever i 7. b” eller noget helt andet. a 5 Kan plante betyde flere forskellige ting? Hvordan kan planter beskrives? Hvad vil det sige, at noget varierer? Hvad vil det sige, at noget er konstant? Et symb ol tegn, som er et har valgt man betyder noget ande t, end det man lige kan se. Det er lige meget – jeg samler på alle lande. En der kan bruges til indkøbsvognen. "e" er et symbol for en elev i klassen. Jeg tænker på en elev i vores klasse, som vi kan vælge til elevrådet. Hvad mener du med ”n”? Mængden af elever i 7.b. Jeg bliver forvirret, når du snakker om, at værdien er 45 ·n. Jeg har 45 gamle 10 øre, men jeg ved ikke, hvad sådan en er værd, så værdien har jeg bare kaldt n. Nå, så n er altså en variabel, og 45 er en konstant. Ja nemlig, min dreng! Og på filmen til højre kan du se mere om det. Når vi i matematikken vil arbejde med noget, som kan have flere forskellige værdier, bruger vi bogstaver som variable: 5 4a 3a Her er bygget en formel for omkredsen O af trekanten til venstre: O = 3a + 4a + 5a a 3a A=l·b b SIDE 10-11 9788723038470_indhold.indd 10 8 Hvad kunne pigen på tegningen ellers have svaret? 9 Her er nogle eksempler, hvor du skal tage stilling til, om det er en bestemt eller en tilfældig mønt, der tænkes på: a Mønten, du skal komme i en spilleautomat. b Mønten, du har lagt frem hjemme på skrivebordet. c Mønten, du skylder din ven. d Mønten, du mangler i din møntsamling. e Din lykkemønt, som du har i en kæde om halsen. 10 Find det tal, som opfylder følgende: Man trækker en fra det dobbelte af tallet, lægger tre til, og får det samme, som hvis man lagde to til det tal, som er en mindre end det tredobbelte af tallet. VARIABLE Hvad mener du med ”3”? Du siger, du har 3 runde ting i rygsækken – det har jeg også. Men det er jo forskelligt: Du har 3 appelsiner, og jeg har 3 æbler. Ja, det er fordi, vi bruger ”runde ting” som en variabel. Til gengæld er der ingen tvivl om, hvad vi mener med ”3” – det kan kun være en konstant. En konstant er et symbol for en værdi, som ikke varierer. Kald tallet x VARIABLE Når bogstaver er brugt som symboler for tal-variable eller tal-konstanter, kan man regne med dem, ligesom man regner med kendte tal. Lad eleverne komme med deres bud på, hvad det vil sige, at noget varierer eller er konstant. Det er også oplagt at bruge eksempler fra klassen for at belyse dette forhold. Lad klassens elever danne forskellige grundmængder på baggrund af variable, som de selv vælger. Det kan fx være ”en dreng fra klassen”, ”en med lyst hår fra klassen”, ”en med ring i øret fra klassen”, ”en klog person fra klassen” (”hov, det er uklart defineret, så det skal præciseres for at kunne bruges som variabel”), ”den ældste i klassen” (”hov, det er jo en konstant”) osv. Opgave 21 og 22 følger direkte op på en sådan snak. Kommentarer til de skæve spørgsmål Spørgsmål 1: En formel udtrykker en sammenhæng mellem størrelser, hvori der mindst er to variable. Se også kommentarerne til 33. Spørgsmål 2: Bogstaver og andre symboler kan blandt andet bruges til at skrive variable på en smart måde. Hvis grundmængden eksempelvis er ”antal drenge fra klassen”, kunne symbolet være et D. Hvis der er 12 drenge i klassen, kan det skrives som D = 12. Spørgsmål 3: Den praktiske anvendelse i at bruge variable kommer tydeligt til udtryk i dette spørgsmål, for man mister nemt overblikket i informationsrige sætninger (se fx 34, 38 og 39). Ved at indføre variable for fx areal og højde og angive sammenhængene som symbolsprog bliver udtrykkene meget lettere at overskue end ved at bruge et naturligt sprog. SIDE 10-11 INTROAKTIVITETER Der lægges op til aktiviteter og overvejelser om begrebet variabel og anvendelsen heraf. 1-6 omhandler brugen af bogstaver i matematikken. Eleverne har tidligere regnet lignende opgaver og benyttet variable. I 7-10 er begreberne symbol og 12 11 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 11 Introbilledet viser en eng, hvor blomsterne står i fuldt flor. Med udgangspunkt i billedet spørges der, om ordet ”plante” kan betyde flere forskellige ting. Hvilken grundmængde refererer ”plante” til? Tal om de forskellige betydninger, som ”plante” kan have. En ”plante” kan fx betyde rosenbusk, græs, tomatplante og er derfor en variabel. Men i sætningen, ”din plante giver vel nok mange tomater”, har ”plante” en anden betydning. Her betyder ”plante” nemlig en helt bestemt genstand og er dermed en konstant. Matematrix 7 · Lærervejledning A=l∙b Formlen her handler om arealet af et rektangel. Derfor er A, l og b symboler for positive tal. Bogstaverne er variable, mens 2 og 3 er konstanter. Side 9 INTRO 48 2b + 3a x er symbol for et eller andet tal. 1,5a 2a l 10 19/06/14 09.56 x+3=5 a 2a A = 12 h · g h 9788723038470_indhold.indd 9 a Hvorfor står der bogstaver i formler, når det som regel er tal, man er interesseret i at beregne? g SIDE 9 2a D a = 1 cm. a = 5 cm. a = 2,5 cm. 6 B C a Byg formler for omkredsen af rektanglerne A til D . b Skriv formlerne så kort som muligt. c Beregn omkredsen af rektanglerne A til D for forskellige værdier af a: 5a A 9788723038470_indhold.indd 12 SIDE 12-13 19/06/14 09.56 VARIABLE VARIABLE 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 13 variabel i fokus. Her skal eleverne afkode betydningen af symboler og opstille bogstavudtryk. 1 er træning i at indsætte tal på bogstavets plads. I kolonne 3 er der et underforstået gangetegn mellem 2 og a, og tilsvarende mellem 3 og a i kolonne 5. I 2 skal eleverne være opmærksomme på, at de ubekendte størrelser både udtrykkes med x, y og z. I 3 kan eleverne udfordres af læreren eller af hinanden til at finde nogle lidt sværere eksempler: Kan man bruge negative tal? Brøker? Hvor mange løsninger er der egentlig til hver opgave? Hvorfor? I 4 kan eleverne komme med eksempler på anvendelsen af bogstaver i ligninger og finde på enkle regnehistorier. Et eksempel: x – 2 = 3 ”Jeg havde x kr. og gav min lillebror to kr., og nu har jeg tre kr. tilbage.” 5 indledes med et eksempel på opskrivning af bogstavudtryk. På baggrund af eksemplet skal eleverne selv opskrive bogstavudtryk og dernæst forkorte (reducere) udtrykkene. Samme bogstav lægges sammen med samme bogstav. Sidst i opgaven indsættes forskellige værdier for den variable i de reducerede bogstavudtryk. I 6 bruges tegninger af en trekant og et rektangel med tilhørende arealformler til at vise, at der i formler er tale om generaliseringer. Prøv at sætte forskellige tal ind på de variables pladser og undersøg, om sammenhængen stadig gælder. I 7 rettes elevenes opmærksomhed mod, hvad et symbol egentlig er. Det gøres ved, at eleverne skal forholde sig til forskellige tegn, som de formentligt kender, men som de nok ikke tidligere har tænkt på som symboler. Læs eventuelt de uddybende lærervejledningskommentarer til gennemgangen. 8 fokuserer på, at betydningen af den variable afhænger af konteksten. Pigen kunne fx også have svaret: ”En der går i skole” eller ”En fra vores skole”. I 9 bliver begrebet grundmængde aktuelt. Her er mønternes værdi uinteressant. Det vigtige er, om mønterne er tilfældige eller bestemte. Diskuter også grundmængden i hvert enkelt tilfælde. 10 er et eksempel på, at en kompleks sammenhæng kan opskrives meget mere overskueligt ved at bruge bogstaver og matematiske tegn. SIDE 12-13 GENNEMGANG Man kan tænke på en variabel som en pladsholder for et tal eller for en ting af en bestemt type. Formuleringen er dog noget upræcis: Hvad er ”en pladsholder”? Hvad er ”en ting”? Og hvad vil ”en bestemt type” sige? Vi bruger derfor en mere matematisk og præcis definition: ”En variabel er et symbol for et element fra en bestemt grundmængde.” 13 19/06/14 09.56 Variable 1-4 Forkort ved at bruge talsymboler og bogstaver som variable: a Et tal, gange et andet tal plus seks. b Fem gange et tal, minus tre gange et andet tal. c To gange et tal gange halvdelen af et andet tal. d Tre gange et tal gange en tredjedel af et andet tal. e Et tal divideret med et andet tal, plus ti. f Ni gange et tal, minus halvdelen af et andet tal. g Syv gange et tal, plus et andet tal divideret med syv. h Fem minus to forskellige tal ganget med hinanden. 15 Om at regne med variable 16 17 Om at bestemme grundmængden 13 b 2,5c + 6c + 5,3c – 2,8c + c 19 21 Hvad kan være variable, og hvad er konstanter i følgende udtryk: a 2+a f A=b·l b 4x + 2 – 3y 4 cm g Arealet = højden · ____ 2 højden · grundlinjen c 5+π –2+a h 12 cm2 = ______________ 2 d Arealet = 3 m · længden i A = h · _g2 e 24 mm2 = bredden · længden j O = 2 · π · r 22 Hvad er variable, og hvad er konstanter i disse situationer: a Din længde ved fødslen og højden på en 7. klasses elev. b Din lærers højde og højden på et højhus. c Du skal hente din Matematrix-bog og en anden bog fra din taske. d Den ældste i din klasse skal have fat i en lærer på skolen. 3m l e 3x + x – 2x · 2 + x f 6g + g – 3 · 3g + 2g g 5g + 5g + 5g – 2 · 5g h z – z – 4z + 4z + z a =1·a 2a = 2 · a Reducer mest muligt: c _31 y – _34 y + 3y – y 10b d ___ – 2b + 7 · _2b 5 18 VARIABLE SIDE 14-15 Reducer mest muligt: a 2a + 5a – 3a + 6a – 4a b 6A – 2 · 2A + 1A – 5A c 7b – 8b + 4b – 2b + 7b + 2b d 2a · 4 + a – 3a a _12 x + 8x – _52 x – 3x Angiv en grundmængde for de variable i følgende situationer: a Du skal bestemme prisen på en fødselsdagsgave, du vil give. b Du skal bestemme højden af et træ. c Du møder en, du kender, x. d Løs ligningen x + 3 = 5. e Om en tings højde, x, ved man, at x + 3 m = 5 m. f Du skal bestemme en persons alder i år. g Et helt tal ganget med sig selv. h Temperaturen på en forårsdag. 14 9788723038470_indhold.indd 14 Angiv grundmængden for hver af de variable i opgave 14. Reducer mest muligt: a 4a + 2a + 5a + 7b – 2b b 4c + 2c + 5c + 7b – 2b c 3a + 6c + 4a – 5c d 2b + 4d – 10b + 2d – 6b – 8d Gang ind i parentesen. a 3 · (a + 2) e 2 · (4 + e) b (3 + b) · 2 f (1 + 3) · f c c · (4 – 2) g 4 · (2 – u) d (d – 1) · 3 h (v – 4) · 1 4z + 4z + 4z e _________ 6 f 2 · 1,7c – 0,4c + 2 · 5c g 66y ___ 11 Husk: 8–2·3=8–6=2 + 2 · 3y – 10y 23 Nævn nogle variable, som ikke har noget med matematik at gøre. 24 Hvad er det dobbelte af: a 2x – 5 d –3x + 4 b 6 (x + 2) e 5 – 4x c _12 (4 + 2x) f x–5 h h + h – 2h + 3 · h + h Arbejdsark e 10x + 3x – 3y + 4x + 5y f 3x + 3x + 2z + 2z – 2x + 2z g 4a – 3A – a + 4A – 2a + 2A + a h 9b + 10p + b – 9p – 2p + 3b I w · (1 + 4) j (2 + x) · 3 k 2 · (y – 2) l (3 – 2) · z VARIABLE 9788723038470_indhold.indd 15 19/06/14 09.56 25 1-2 Arbejdsark 3(x + 3) = 3 · x + 3 · 3 = 3x + 9 3 15 01/07/14 12.43 b 27 Opskriv formler, som beskriver følgende sammenhænge: a Der er en træner flere, end der er ledere. b Der er 10 drenge flere, end der er piger. c Der er 10 gange så mange drenge som piger. d Der er en træner for hver 10 drenge. e Der er en træner for hver 10 medlemmer. f Der er dobbelt så mange medlemmer, som der er voksne (trænere og ledere). 28 29 40 ≤ t ≤ 80 både 2 og 7 går op i t 5 går op i (t – 1) c 400 ≤ t ≤ 450 både 7 og 8 går op i t 5 går op i (t + 2) d 16 I en judoklub er der D antal drenge, P antal piger, T antal trænere og L antal ledere. Hvad betyder følgende formler? e T>0 a D=P f D+P>T+L b T<L g D + P +T + L = 110 c D = 2P h (D + P) = 45 d P = D + 10 g 6 – 2x 1 (3–9x) h __ 3 Hvilke tal t opfylder at: a 26 40 ≤ t ≤ 80 både 2 og 7 går op i t 5 går op i (t – 1) 40 ≤ t ≤ 50 3 og 5 går ikke op i t. både 6 og 4 går op i (t – 1) SIDE 16-17 SIDE 14-15 ØVELSER Der er tre øvelseskategorier. • Om at opskrive bogstavudtryk med variable Begge øvelser er træning i at forkorte sætninger ved 12a 3a + 4a + 5a = = 3a 4 4 a 2c 32 Rigtigt eller forkert? Begrund svaret. a b er altid større end a. b 5c er altid det samme som c + c + c + c + c. c 4v er noget andet end 4 ∙ v. d x + 1 er altid større end 1. e x + 1 er altid større end x. f Om man skriver 10 – x eller x – 10, spiller ingen rolle. g Variable er altid noget med hele tal. h I en ligning er der altid mindst én variabel. Skriv på en kortere måde: Man ganger et tal med en brøk ved at gange tallet med tælleren og beholde nævneren. Å er prisen for et års forbrug. P er apparatets effekt. T er brugstiden pr. år. E er elprisen. 2a 2 =a fordi 2 · a = 2a a + 2a + 3a + 4a + 5a a _____________ 5 a+a+a+a+a a – 2 _____________________ c ___________ e _____________________ e a+–a 2– +1 a+–a51++a a5++1 a++a 1++2 a + 2 5 a + 2a + 3a + 4a + 5a b ______________ a a–1+a+a+1 d ___________ f 3 f 3 38 Skriv sætningen ved hjælp af symboler og en tilhørende tegning: ”Overfladearealet af en kasse med netop to kvadratiske sider kan beregnes ved at gange højden med bredden 4 gange, og dertil lægge 2 gange bredden ganget med sig selv”. 39 a Opskriv følgende udtryk ved hjælp af matematiske symboler og find løsningen: Et tal ganget med sig selv og derefter lagt sammen med det tal, der er tre mindre end tallet, er lige så meget som tallet ganget med summen af to og tallet. b Find selv på et udtryk og lad din sidekammerat skrive det ved hjælp af matematiske symboler. 3 Skriv sætningen ved hjælp af bogstavsymboler og en tilhørende tegning: ”Arealet af et trapez kan beregnes ved at tage halvdelen af afstanden mellem de to parallelle sider i trapezet ganget med summen af disse to siders længde”. 35 a Tegn figuren, når a = 9 cm, b = 6 cm, og c = 3 cm. b Beregn omkredsen, når b = 6 cm. c Skriv formler med variable til beregning af omkredsen og arealet af figuren. 36 Et cementrør har en omkreds på 1,4 m. a Find rørets diameter. b Opskriv en formel med variable, så du altid kan beregne diameteren, hvis du kender omkredsen. c Find et rør i klasselokalet eller derhjemme. Mål omkredsen og beregn diameteren med din formel. b Hvor meget koster et års tv-forbrug? Prisen for at bruge et elektrisk apparat kan beregnes ved hjælp af følgende formel: Å = P ∙ T ∙ E a Skriv med ord, hvad formlen udtrykker. b Hvilke bogstaver er variable for dig som forbruger? c Hvad koster det at se 4 timers tv om dagen i et år, når tv’et er på 120 watt og prisen for 1 kWh er 1,40 kr.? a – 1 _____________ a+–a 1– +1 a+–a 1– +1 a – 1 _____________ Forklar med ord og eksempler, hvad en formel er. 34 c 37 Reducer mest muligt: 33 c c GeoGebra Opskriv formler, som beskriver følgende sammenhænge: a Der er færre danskere end kinesere. b Der er færre kinesere, end der er mennesker i Verden. c Der er flere mennesker i Verden, end der er kinesere og danskere. d Forskellen mellem antallet af kinesere og danskere er større end 1.000.000 mennesker. e Der er mere end 1.000.000.000 kinesere. f Der er mere end 1.000.000.000 mennesker i Verden, som ikke er kinesere. 9788723038470_indhold.indd 17 19/06/14 15.53 Diskussionen af, hvordan den skal forstås, kan deles op i to dele. ∙ Første del af forståelsen handler om at få repeteret, hvad en mængde er. Lad eleverne komme med eksempler på nogle mængder, de kender. Sørg for at der både kommer matematiske og ikke-matematiske eksempler, fx mængden af elever i klassen og mængden af alle tælletallene (de naturlige tal N). ∙ Den anden og vanskeligste del af forståelsen handler om, at man kan give tegn en anden betydning end den, man umiddelbart kan se. Det er pr. definition det, man gør med et symbol. Et symbol betyder et billedligt kendetegn for noget. Vend eventuelt tilbage til introopgave 7 og tal med eleverne om, at et dødningehoved sjældent blot er tegnet for et menneskes kranium, men i stedet symboliserer død eller fare på færde. Tilsvarende refererer tegnet, ”n”, sjældent til den lodrette streg med en bue på, som er det man konkret kan se. Det betyder oftest et bogstav med en bestemt lyd tilknyttet, og i matematikkens verden refererer det ofte til et bestemt slags tal eller en fysisk størrelse, jf. snakken om højde i den midterste tegneserie i gennemgangen. Det samme gælder bogstaverne i de kommenterede matematikeksempler på side 12, som kan bruges til at forbinde elevernes matematikerfaringer med forståelsen af begreberne symbol og variabel. Det modsatte af en variabel kaldes en konstant. Som ordet antyder, er en konstant et bestemt objekt, som ikke varierer. Konstanter kan også være repræsenteret ved hjælp af symboler. Det er derfor vigtigt at vide, om et bestemt symbol (fx ”n” eller ”mor”) repræsenterer en variabel eller en konstant. I alle situationer, hvor der anvendes symboler, er det noget, man selv vælger. Man skal bare huske at gøre tydeligt opmærksom på det, så der ikke opstår forvirring. Når man regner med variable, som repræsenterer tal eller fysiske størrelser som fx højde, er det vigtigt at slå fast, at man ”bare” regner, ligesom man gør med kendte tal. Brug lidt tid på at tale om de håndskrevne eksempler nederst på side 12, som handler om at reducere bogstavudtryk. Tegneserierne på side 13 afrunder snakken om grundmængder og viser, at fastlæggelse af grundmængden er fundamentalt for at kunne forholde sig til variable. 31 I Danmark er der D antal mennesker, i Kina er der K antal mennesker og i Verden er der V antal mennesker. Hvilke af disse udsagn er sande og hvilke er falske? e D ∙ 10 > V a D=K f D+K>K+D b D<K g D+V>K+D c D+K=V h V – D – K > 1.000.000 d D+K=K+D VARIABLE VARIABLE 9788723038470_indhold.indd 16 30 Variable 5-10 17 18 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 18 Omkreds: O=π·d Diameter VARIABLE 19 VARIABLE 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 19 19/06/14 09.56 SIDE 18-19 at anvende bogstavudtryk med variable. I 11 arbejdes der kun med én variabel, mens der i 12 arbejdes med to variable. • Om at bestemme grundmængden Øvelserne er en træning i at afgrænse en grundmængde. Grundmængden afhænger af, hvilken sammenhæng variablen indgår i. • Om at regne med variable Reduktionsopgaverne har stigende sværhedsgrad. 16 er addition og subtraktion med hele tal og én variabel. 17 omfatter alle fire regningsarter med én variabel. 18 er addition og subtraktion med hele tal og flere variable. I 19 lægges der op til øvelser, der vedrører regnehierarkiet, som behandles indgående i 8. kl. Grundtankerne GeoGebra Opskriv følgende udtryk ved hjælp af tal og bogstaver som variable, og find løsningen. a Et tal lagt sammen med elleve er femten. b Et tal lagt sammen med otte er lige så meget som tolv minus ni. c Fire lagt sammen med to gange et tal er lige så meget som tre gange det samme tal. d Halvdelen af et tal er lige så meget som fyrre trukket fra tallet. e Tretusindesekshundredetooghalvfems gange et tal er enmillionfemhundredeniogtredivetusindefemhundredefireogtres. f Tre gange det halve af et tal er mindst lige så meget som det samme tal lagt sammen med en. Kommentarer Variable 1-2 SIDE 16-19 OPGAVER I 20 er opskrivningen af udtrykket vigtigst. Tallet kan fx kaldes for ”x”, ”n” eller, hvad eleverne synes. I 21-22 arbejdes der med forskellen på en variabel og en konstant. Opgaverne egner sig derfor godt til at repetere, hvad en variabel egentlig er, eventuelt ved at vende tilbage til og repetere dele af gennemgangen. 23 kan bruges til at udfordre elevernes tankegangskompetence, som blandt andet handler om, hvad der kendetegner matematik som fag. Diskuter gerne dette spørgsmål direkte i forbindelse med opgaven, og lad eleverne prøve at identificere variable fra nogle af deres andre skolefag end matematik. Det kan fx være ”dagsformen”, ” lysten til lakrids”, ”sovsens tykkelse” eller ”hvor meget pizzaen er bagt”. 24 Tal med eleverne om den sproglige formulering, ”det dobbelte af”. Hvordan skrives det matematisk? Alle udtrykkene skal ganges med 2. Da udtrykkene består af to led, er det vigtigt at tale med eleverne om, at man skal gange begge leddene i hvert udtryk med 2. Læg op til, at eleverne foretager kontrol ved at indsætte en værdi for den variable i udsagnet både før og efter, at der er foretaget beregninger. I 25 skal der gættes matematiske gåder. Grundmængden skal indkredses, og til sidst skal tallet, t, findes. 26-29 udfordrer elevernes symbolbehandlingskompetence. 26 og 28 udfordrer den del af kompetencen, der handler om at afkode symbolske udtryk. Det handler altså om at identificere og beskrive den bagvedliggende mening og betydning af symbolske udtryk. I 27 og 29 spørges der til den anden side af en sådan forståelse. Her drejer det sig om at kunne oversætte fra en ikke-symbolsk til en symbolsk måde, og om hvordan man kan udtrykke en given mening Matematrix 7 · Lærervejledning 49 IT 12 20 GeoGebra Forkort ved at bruge talsymboler og bogstaver som variable: a To gange et tal, plus tre. b To gange et tal, plus tre gange samme tal. c Et tal divideret med to. d Fem gange et tal, minus otte gange samme tal. e Fire minus fire gange et tal. f Ni gange et tal, minus ni gange samme tal. g Det dobbelte af et tal, plus en. h En plus det dobbelte af et tal. Facitliste: Kopiark Hvad er mon a og hvad er b? Opgaver c En pige fra klassen. d En dreng fra klassen. e Find selv på flere variable. Find på et symbol for hver af disse variable: a En med krøllet hår fra klassen. b En fra klassen, der ikke har krøllet hår. ▲ 11 Facitliste: Arbejdsbog Om at opskrive bogstavudtryk med variable Facitliste: Grundbog 14 Øvelser Overslagsberegninger Lix-tal LIX-TAL Opgaverne på denne side handler om at regne sig frem til et kvalificeret gæt på størrelsen af noget. Lix står for LæsbarhedsindeX og bruges til at finde en teksts sværhedsgrad. Den kaldes lixtallet og beregnes ved hjælp af en formel med flere forskellige variable. 20–30 meget let 30–40 let 40–50 middel 50–60 svær 52 I kan svare på hvert spørgsmål ved at ● vælge nogle variable, som I mener svaret afhænger af. Skriv med ord, hvad formlen udtrykker. Lixtallet = ● bygge en formel, som viser hvordan man skal regne med disse variable. ● gætte kvalificeret på værdien af hver variabel. ● vurdere cirka-svaret: Virker det fornuftigt i forhold til spørgsmålet, eller skal beregningerne foretages på en anden måde? Hvor mange i jeres klasse har fødselsdag i juleferien? 41 Hvor høje er I tilsammen i jeres klasse? 42 Hvor mange vindruer er der i en klase? 43 Hvor mange blade er der på et træ? 44 Hvor meget luft indånder du på en nat? 45 Hvor mange soveværelser luft svarer det til? 46 Hvor meget vand drikker du på et år? 47 Hvor mange brusebade svarer det til? 48 Hvor mange fodbolde kan der være i jeres klasseværelse? 49 Hvor mange omdrejninger laver et cykelhjul, før cyklen har kørt en km? 50 Hvor meget benzin bruges der på at køre elever til jeres skole hver morgen? 51 Hvor mange timer bruger du på matematik i løbet af hele livet? 20 c a · 100 a: det samlede antal ord i teksten b: det samlede antal sætninger c: det samlede antal ord på over 6 bogstaver ”Emil fra Lønneberg hed en dreng, der boede i Lønneberg. Han var en rigtig lille vildbasse og ikke nær så sød som du. Skønt han så nu sød ud, vist gjorde han så. Når han ikke vrælede, altså. Han havde runde blå øjne og et rundt, rødkindet ansigt og hvidt uldhår. Det så alt sammen meget ”Denne bog handler for en stor del om hobitterne, og af dens sider vil læseren kunne finde ud af meget om deres karakter og lidt om deres historie. Endnu mere vil man kunne få at vide i det udvalg af Vestmarks Røde Bog, som tidligere er udgivet under titlen The Hobbit. Det, der fortælles i den, er hentet fra de første kapitler i den Røde Bog, som er samlet af selve Bilbo, den første hobbit, der skulle blive kendt vidt omkring i verden og som han selv har kaldt Dertil og tilbage igen, fordi de fortalte om hans rejse mod øst og VARIABLE 58 Beskriv Gauss' metode, så den kan bruges uanset hvilket tal, der er det sidste i rækken. 59 Vis Gauss' metode som en formel, hvor det tal, der skal adderes til, kaldes n. 60 Beregn og sammenlign lixtallene i de to citater. Passer resultatet med, hvor svært du synes det er at læse hvert citat? 54 Find selv artikler fra forskellige aviser og ugeblade. Beregn og sammenlign lixtallene. 55 Skriv selv to tekster – en ”meget let” og en ”meget svær”. VARIABLE 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 21 Det er ikke første gang, denne besværlige opgave er blevet stillet. I 1787 blev opgaven stillet i Tyskland i en klasse med 10-årige elever. Læreren havde givet dem opgaven som straf, og nu håbede han på, at eleverne skulle bruge rigtig lang tid på at lægge de 100 tal sammen. Men Carl Friedrich Gauss kom op til læreren efter mindre end ét minut. Hans besvarelse fyldte kun én linje – og var rigtig! Hans overvejelser var: „Læreren sagde ikke, at jeg skulle lægge sammen 1 + 2 + 3 + ... + 100. Jeg må vel godt lave sumnavne for 101: 1 + 100 = 101 ; 2 + 99 = 101 ; 3 + 98 = 101......” 57 a Hvor mange sumnavne for 101 fandt Gauss? b Hvad er antallet af sumnavne ganget med 101? c Udfyld en tabel som denne: ULIGE TAL Antal i rækken Udregning Sum Antal i rækken Udregning Sum 1 2 2 1 1 1 2 1+3 4 3 1+3+5 9 2 2+4 6 3 2+4+6 12 100 100 n n Arbejdsark 61 Hvad er gennemsnittet af de første n lige tal fra 2? 62 Hvad er gennemsnittet af de første n ulige tal fra 1? 4-7 ULIGE TAL LIGE TAL Antal i rækken Tælle til… Antal sumnavne Sum Facit 100 50 101 5.050 10 5 11 55 Udregning Gennemsnit Antal i rækken Udregning Gennemsnit 1 2:1 2 1 1:1 1 2 (2 + 4) : 2 3 2 (1 + 3) : 2 2 3 (2 + 4 + 6) : 3 4 3 (1 + 3 + 5) : 3 3 20 50 200 1.000 21 19/06/14 09.56 En formel er en smart måde at skrive huskeregler på. En formel er noget, der kan bruges generelt. En formel indeholder tit et lighedstegn. En formel beskriver ofte dele af virkeligheden. En formel er en opskrift på, hvordan noget udregnes. 34 Se kommentarerne til 26-29. 38 og 39. Se kommentarerne til 26-29. SIDE 20-25 FAGLIGE OG TEMATISKE OPSLAG OVERSIGT • FAGLIGT: Overslagsberegninger • FAGLIGT: Lix-tal • FAGLIGT: Talfølger • FAGLIGT: Variable og regneark SIDE 20 FAGLIGT OPSLAG OVERSLAGSBEREGNINGER Dette opslag ligger i forlængelse af et tilsvarende opslag i kapitlet, Virkelighed og matematik, i Matematrix 6, og følges op af opslag af samme slags i Matematrix 8 og 9. Dermed vil vi gerne bidrage til at gøre overslagsberegninger til et vigtigt alment dannende element i elevernes matematikfaglige udvikling. Opgaverne på siden er såkaldte Fermi-problemer. De er opkaldt efter den italienske fysiker Enrico Fermi, som brugte denne type opgaver i forbindelse med sin fysikundervisning. Hvis man søger på nettet efter ”Fermi problems”, får man et væld af inspiration og konkrete eksempler på opgaver, hvoraf nogle er gengivet her på siden. Kort fortalt drejer det sig om opgaver, hvor man skal regne sig frem til et kvalificeret gæt på størrelsen af Matematrix 7 · Lærervejledning Regneark LIGE TAL hans tilbagevenden, en oplevelse, som senere skulle komme til at indvikle alle hobitter i de af tidens begivenheder, som vi her skal berette om. Imidlertid er der måske mange, som gerne vil have visse forhåndsoplysninger om dette ejendommelige folk, og der er vel også dem, der ikke selv er i besiddelse af den omtalte bog. For sådanne læsere følger her et par kortfattede bemærkninger om de vigtigste træk i kundskaben om hobbitterne, og deres tidligere historie genfortælles i korte træk.” J.R.R. Tolkien: Hobbitten 53 Byg formler, der udregner summen af a n lige tal fra 2. b n ulige tal fra 1. Talrækker sødt ud – ja, man kunne godt tro, at Emil var en rigtig engel. Men det skulle man bare ikke bilde sig ind. Fem år var han og stærk som en lille okse, og han boede på gården Katholt i Lønneberg i Småland i Sverige.” Astrid Lindgren: Emil fra Lønneberg og sammenhæng på. Det samme gælder 31, 34, 38 og 39. I 30 bør der lægges mest vægt på elevernes begrundelser og ræsonnementer. 31 Se kommentarerne til 26-29. Man kan lade eleverne omskrive andre brøkregler, fx: ”Man ganger to brøker med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.” ”Man dividerer en brøk med et helt tal ved at gange tallet med nævneren.” 33. Lad eleverne formulere, hvad en formel er, med egne ord, eksempler og tegninger. Brug deres forslag som udgangspunkt for en diskussion om, hvorfor det er vigtigt med variable i formler. Tal også om, hvad det er, der kan variere, og hvad det er, der er konstant. Her er nogle eksempler på elevformuleringer: 50 Hvad er summen af alle de hele tal fra 1 til 100? Som voksen blev Carl Friedrich Gauss professor i matematik, og han huskes i dag som en af de største og mest alsidige matematikere nogensinde. Han undersøgte blandt andet, hvordan tal ”hang sammen” i talrækker CITAT 2 40 SIDE 20-21 + 56 CITAT 1 ● foretage beregninger med disse værdier ved at indsætte i formlen og beregne et cirka-svar på spørgsmålet. 9788723038470_indhold.indd 20 a b Talrækker SVÆRHEDSGRAD 60 og over meget svær 22 VARIABLE 9788723038470_indhold.indd 22 SIDE 22-23 VARIABLE 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 23 100 100 n n 23 19/06/14 09.56 noget, som man umiddelbart kan have svært ved at forholde sig til. Det gør man – jf. anvisningen til eleverne øverst på siden – ved at regne med nogle størrelser, som man selv har valgt som de mest centrale, og ved at vurdere rimeligheden af det svar, man når frem til. Fermi-problemer udfordrer derfor i høj grad elevernes modelleringskompetence. Vejled eleverne gennem den svære proces med at håndtere åbne opgaver som disse. Gør det tydeligt, at målet ikke er at nå frem til eksakte svar, men derimod at øve sig i en måde at kunne sige noget fornuftigt om spørgsmål, som i første omgang virker umulige at svare på. Opslaget indeholder i alt tolv opgaver, der afspejler vidt forskellige situationer. Det er på ingen måde afgørende, at alle eleverne arbejder med de samme opgaver. Efter den fælles gennemgang kan man slippe eleverne fri og lade dem arbejde med de opgaver, de selv finder mest tillokkende, med den vejledende kommentar, at de første opgaver på siden er de nemmeste. SIDE 21 FAGLIGT OPSLAG LIX-TAL Meningen med dette opslag er at give eleverne mulighed for at arbejde med en autentisk udfordring – vurdering af læsesværhedsgraden af forskellige tekster. Til dette formål er der udarbejdet en formel som model af situationen. Opslaget lægger i første omgang op til at forstå formlen, jf.nr. 52. Hvis man vil udfordre eleverne yderligere i denne retning, kan det fx ske ved at diskutere, om man synes, formlen for lixtallet bør videreudvikles for bedre at kunne fange sværhedsgraden i en tekst. Hvordan kan man fx indskrive antallet af meget lange ord i formlen? Og hvad med antallet af fremmedord? Og andelen af ”sjældne” bogstaver som q, z og x? Opslaget giver også mulighed for at bruge formlen til at vurdere, hvor svære teksterne er i forskellige lærebøger, jf. 53-55. Et sådant arbejde kan med fordel indgå i et tværfagligt samarbejde med fx dansk, hvor andre aktuelle tekster også kan undersøges for læsbarheden (noveller, romaner m.m.). SIDE 22-23 FAGLIGT OPSLAG TALRÆKKER Vi har valgt at præsentere eleverne for Gauss og begrebet, talrækker. En talrække er en sum af et (endeligt eller uendeligt) antal tal. Hvis der som i dette opslag er sammenhæng mellem de enkelte tal i rækken, fx at hvert led er én større end det forrige, er det en matematisk udfordring at finde en eller flere smarte måder at udregne summen på. Regneark Variable i regneark Variable og regneark 65 I dette kapitel har du arbejdet med begreber som variabel og konstant. I regnearket ”Variable i Regneark” kan du undersøge, hvad disse begreber dækker over, når regnearket bruges til beregninger. Et regneark er opdelt i tusindvis af celler. Hver celle har et navn bestående af et bogstav for kolonnen og et tal for rækken. Fx har den celle, der er markeret herunder, navnet A1. 66 I A6 står igen 21; men i formellinjen står der =3*A2, som betyder, at indholdet af A6 skal være produktet af 3 og indholdet af A2. a Er den aktuelle værdi i celle A6 en konstant eller en variabel? b Hvorfor? 67 I A4 er indtastet formlen =A1+8. Find værdien af A4, hvis du i A1 taster: a 7 b 12 c 68 68 Hvilken værdi skal du indtaste i A1, hvis værdien af A4 skal blive: a 30 b 15 c 6 Formellinjen ◀ ◀ I A5 står også 21; men i formellinjen står der nu =3*7, som betyder at indholdet af A5 skal være produktet af 3 og 7. a Er den aktuelle værdi i A5 en konstant eller en variabel? b Hvorfor? Evaluering Hvad er en variabel? n Hvad er en konstant? n Hvorfor bruger man variable? n Hvordan regner man med variable? ◀ n Den aktive celle Når B1 har værdien 7, så har B4 værdien 9 Den aktive celles navn I formellinjen står det, der er indtastet i cellen. B1 A1 indeholder en konstant med 3 bogstaver s, y og v, som vi opfatter som tallet 7. Men regnearket kender ikke syv som navn for talværdien 7. B4 7 9 8 11 10 35 195 Element Variabel 15 20 100 Konstant A2 indeholder konstanten 7. Ved at placere tegnet til højre i cellen viser regnearket, at indholdet er et tal, som det kan regne med og ikke en tekstkonstant som i A1. gde Regneark Mæn Form el 63 a Er den aktuelle værdi i celle A3 en konstant eller en variabel? b Hvorfor? 64 I A4 står også 21, men i formellinjen står der =A3, som betyder, at indholdet af A4 skal være lig med indholdet af A3. a Er den aktuelle værdi i celle A4 en konstant eller en variabel? b Hvorfor? Tal 69 I B4 er indtastet en ”hemmelig” formel. Heri indgår variablen B1 samt 2 konstanter. Brug tabellen til at finde den ”hemmelige” formel. 70 Skriv selv en ”hemmelig” formel, og prøv at gætte dine klasse-kammeraters formler. 71 Hvordan kan du let skrive tabeller i et regneark? Ligning r holde Plads Bogstave r Symboludtryk Evalueringsark 1-3 SIDE 24-25 FAGLIGT OPSLAG VARIABLE OG REGNEARK Dette opslag er en oplagt afslutning på kapitlet. Her vises, hvordan regneark også anvender variable og konstanter og på (næsten) samme måde, som eleverne selv har gjort ved løsningen af de øvrige opgaver. 9788723038470_indhold.indd 26 19/06/14 09.56 SIDE 26 EVALUERING Begrebsforståelse Begrebsforklaring: Eleverne skal formulere sig om, hvad de forstår ved en variabel. Spørgsmålet kan besvares direkte med definitionen på side 12 i grundbogen. Forståelsesmæssigt er det dog bedre, hvis eleverne også bruger deres egne ord, fx: ”En variabel er noget, der kan have flere forskellige værdier”. Sammenhængsforståelse: Her kan eleverne beskrive forbindelsen mellem variable og en række beslægtede begreber. To eksempler: Udsagn Vurdering Variable kan handle om Tal ”tyder på god forståelse” Variable er i Tal ”uklart hvad eleven forstår” Variable er det samme som Tal ”tyder på dårlig forståelse” Udsagn Grundtankerne Da variabelbegrebet bliver set i et historisk perspektiv, bidrager opslaget med at udvikle elevernes kulturhistoriske kompetence. Tal med eleverne om, at sumformlen, som bygges i 59, er et eksempel på, hvordan ny matematisk viden udvikles. Tal også om, hvordan og hvornår andre former for matematisk viden er blevet til – fx et begreb som ligning eller en formel fra samlingen. Eventuelt kan der følges op med en konkret undersøgelse af en sådan historisk udvikling. Det er vigtigt, at eleverne får en tydelig forståelse af talrækker. Som supplement til opgaverne i bogen kan eleverne udfordre hinanden ved at finde på talrækker med en bestemt sammenhæng mellem leddene og så lade kammeraterne udvikle sumformler. Elevernes arbejde med talrækker foregår mest på det eksperimenterende plan men med mulighed for at generalisere og dermed bygge formler ved hjælp af variable. SIDE 26 Kommentarer 19/06/14 09.56 26 Vurdering Variable findes altid i en Formel ”tyder på god forståelse” Variable er lig med en Formel ”uklart hvad eleven forstår” Variable er det pæneste i en Formel ”tyder på dårlig forståelse” IT 19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 25 25 Faglige kompetencer Dette kapitel lægger især op til, at eleverne kan udvikle symbolbehandlingskompetence, tankegangskompetence og modelleringskompetence. Faglige færdigheder Færdighedsevalueringen er rettet mod tre forhold, svarende til kapitlets øvelseskategorier: At opskrive bogstavudtryk med variable, at bestemme grundmængden for variable og at regne med variable. Matematrix 7 · Lærervejledning Facitliste: Kopiark VARIABLE Facitliste: Arbejdsbog SIDE 24-25 9788723038470_indhold.indd 24 VARIABLE 51 Facitliste: Grundbog 24