horoskopet - Astrologihuset
Transcription
horoskopet - Astrologihuset
Effektiv risikoberegning af aktieporteføljer ved hjælp af principal-aktiver Nikola Schou 3. november 2014 Resumé Der indføres et nyt begreb kaldet principal-aktiver for at muliggøre mere effektive risikoberegninger af aktiemarkeder. Begrebet bygger på principal-komponent analyse og der argumenteres for at principalaktiverne udgør en optimal måde at repræsentere positioner i et aktiemarked - optimal i forhold til at udregne forskellige risikomål mest effektivt og optimal i forhold til at analysere markedets korrelationer, korrektioner, afkast, regimer med mere. For at underbygge teorien gennemføres en række empiriske undersøgelser af amerikanske aktiemarkeder og det vises at beregningstiden for eksempelvis varians, value-at-risk og expected shortfall kan reduceres med op til 99%. Vejleder: Kristian Sørensen 1 Indhold 1 Introduktion 4 1.1 Motivation og emnekreds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Problemformulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Opgavens disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tak til . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Matematisk baggrund 10 3 Markedet 13 3.1 Kildedata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Datasæt og perioder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Principal komponent analyse 14 4.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Matematisk udledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3 Udregning af efficient rand vha. principal-aktiver . . . . . . . . 20 4.4 Empiriske resultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5 Effektive beregningsmetoder 24 6 Approximation af varians 24 6.1 Bestemmelse af reduktionsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.2 Empiriske resultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.2.1 Historisk std.afv. for en portefølje . . . . . . . . . . . . 29 6.2.2 Valg af porteføljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2.3 Resultat af empiriske undersøgelser . . . . . . . . . . . 33 7 Definition af value-at-risk og expected shortfall 34 7.1 Historisk VaR og ESF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.2 Empiriske resultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8 Approximation af value-at-risk 8.1 40 Bestemmelse af VaR i halen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 43 8.2 Empiriske resultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Approximation af expected shortfall 9.1 Empiriske resultater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 47 47 10 Bestemmelse af cut-off faktor vha. af random matrix teori (RMT) 52 11 Forecasting 57 11.1 Forecasting i Danske Capital - et resume . . . . . . . . . . . . 57 11.2 Forecasting med principal-aktiver . . . . . . . . . . . . . . . . 59 12 Konklusioner og resultater 62 13 Perspektivering 62 Litteratur 64 Appendices 65 A Programkode 65 3 1 Introduktion 1.1 Motivation og emnekreds Prisudviklingen for Citigroup Inc. i perioden 1977-2014 ligner en bjergformation skabt med dynamit hvilket kan ses på figuren herunder. Fra starten af oktober 2007 sker et dramatisk fald i værdiansættelsen fra godt 500$ i sommeren 2007 til 10$ i marts 2009. Det svarer til en reduktion på ca. 98% af værdien på blot 18 måneder, hvilket igen svarer til en halvering af værdien ca. hver 3. måned. I juli måned 2007 var der stadig gang i festen hos Citigroup, hvilket følgende udtalelse fra Citigroups administrerende direktør illustrerer: When the music stops, in terms of liquidity, things will be complicated. But as long as the music is playing, you’ve got to get up and dance. We’re still dancing. Citigroup Inc. CEO Chuck Prince, July 2007 På dette tidspunkt vidste hverken ledelsen i Citigroup eller resten af verden at der var noget så fundamentalt galt med virksomhedens dispositioner, at man blot 3 måneder senere skulle være vidne til starten på et af de bratteste fald fra de øverste tinder til fallitens rand i Wall Streets historie. Før den finansielle nedsmeltning i 2007-2009 var Citigroup en af de største banker i USA med 357.000 ansatte1 . Da Citigroup i perioden op til oktober 2007 havde status som ledende børsnoteret selskab i USA, må man antage at adskillige kloge hoveder i og udenfor virksomheden har lavet daglige analyser af Citigroup med henblik på at værdiansætte virksomhedens aktier, herunder at vurdere risikoen i de aktiver, banken lå inde med. Hvordan kan man tage 1 Se http://en.wikipedia.org/wiki/Citigroup 4 så gruelig fejl, at alle - inklusiv den øverste administrerende direktør - i sidste ende fremstår som glade amatører, der blot danser så længe musikken spiller uden en klar idé om, hvornår den stopper eller hvor mange stole der vil være tilbage at sidde på? Vurdering af risiko er en videnskab men også - som eksemplet med Citigroup illustrerer - konsensuspræget gætværk på kanten til kollektivt bedrag. Ikke desto mindre er risikovurdering en grundpille i alle moderne samfund, hvilket er motivationen for at denne opgave først og fremmest skal handle om risiko. Ud af stor risiko kommer stor fortjeneste men også store tab. I et samfundsperspektiv er store fortjenester til enkelte individers fordel, risikotagerne, mens store tab potentielt kan føre til andre endnu større tab og i sidste ende destabilisere økonomien med negative konsekvenser for langt flere personer, herunder personer som ingen involvering i øvrigt har i den risiko, der blev taget, ej heller med udsigt til deling af den potentielle fortjeneste. Denne asymmetri giver anledning til det velkendte begreb moral hazards, hvor risikotagerne fristes til at tage en for høj risiko, ganske simpelt fordi de ved, at en potentiel optur er til egen vinding mens en potentiel nedtur deles med offentligheden. Af disse årsager er risikostyring et vigtigt nationalt og internationalt samfundsanliggende, som har udmøntet sig i en række finansmyndigheder, tilsyn og regulativer. Konsekvensen heraf er, at der stilles stadig større krav til risikostyringen i alle større virksomheder, herunder i særlig grad finansielle virksomheder såsom banker, investeringsforeninger og pensionskasser. Sådanne virksomheder er i dag nødt til at besidde folk med særlige kompetencer og specialiseret software, der tilsammen giver virksomheden en effektiv forståelse og kvantificering af den risiko, de står med, herunder skal de beherske effektive metoder til at lave fremskrivninger af volatilitet, afkast og andre størrelser med relevans for risikostyring og/eller porteføljestyring. Forskellige virksomheder er udsat for forskellige former for risici. Eksempelvis er produktionsvirksomheder især udsat for operationel risiko mens finansielle virksomheder især er udsat for markedsrisiko, equity risk, kreditrisiko et.al. Forskellige former for risiko kræver forskellige modeller, både konceptuelt og beregningsmæssigt. For at analysere risiko er der i de seneste 5-10 år opstået interesse for et begreb kaldet risikofaktorer, se [13] og [8]. En risiko-faktor er basalt set en makrostørrelse i markedet såsom markedsværdi, momentum, volumen og volatilitet. På Figur 1 ses eksempler på risiko-faktorer samt korrelationer imellem dem. Disse makro-størrelser kan kvantificeres og der kan laves lineær regression af de enkelte aktiver i markedet mod disse makro-størrelser. Hermed ender man med at kunne opskrive ethvert aktiv eller portefølje i markedet som en linearkombination af risiko-faktorerne. Ifølge forfatterne til [8] får man hermed en forbedret model til vurdering af risiko og allokering af efficiente porteføljer. 5 Figur 1: Tabel kopieret fra [8]. Viser eksempler på risikofaktorer samt deres interne korrelationer. I denne opgave tager vi skridtet videre ved at indføre begrebet principalaktiver. Principal-aktiver kan opfattes som en slags risikofaktorer der dog adskiller sig fra andre faktor-modeller på følgende punkter: • Principal-aktiverne fremkommer via en matematisk velfunderet model og ikke ud fra et gæt om hvad de vigtige makro-økonomiske størrelser er. • Principal-aktiverne udgør en såkaldt fuldstændig basis til at beskrive positioner (dvs. porteføljer) i markedet. Hermed menes at alle positioner kan repræsenteres eksakt og entydigt som en linear-kombination af principal-aktiverne. Samtidig har principal-aktiverne en orden, hvor det første principal-aktiv er det vigtigste, det andet er det næstvigtigste og så fremdeles. Det betyder, at man kan lave graduerede repræsentationer af en given position, der spænder lige fra anvendelse af blot det første principal-aktiv - som giver den højeste beregnings-effektivitet men den dårligste approximation - til anvendelse af alle principal-aktiver, der giver den laveste beregnings-effektivitet men til gengæld opretholder fuld præcision. • Principal-aktiverne er ukorrelerede. Dette er i modsætning til normale risiko-faktorer der har korrelationer, jævnfør Figur 1. • Principal-aktiverne gør det muligt at approximere forskellige risikomål såsom varians, value-at-risk og expected shortfall på en overraskende effektiv måde. Disse egenskaber gør det yderst attraktivt at beskæftige sig med principalaktiver og dermed er der redegjort for, at dette begreb udgør fundamentet i denne opgave. 6 Et berømt udsagn lyder: Time is money. - Benjamin Franklin Sagt med andre ord: Time is money says the proverb, but turn it around and you get a precious truth. Money is time. - George Gissing Time is money. Wasted time means wasted money means trouble. - Shirley Temple Tid og penge er yin og yan indenfor økonomisk virke. Og samtidig er penge og dermed tid altid den vigtigste knappe ressource. Risikovurderinger for finansielle virksomheder og især risikovurderinger, der skal produceres til finansmyndighederne, handler i sidste ende om at lave nogle udregninger, der ender med kvantitative udsagn formuleret med tal eller grafer. Fælles for alle disse risikoberegninger er, at de næsten altid baserer sig på tidsserier for historisk udvikling af forskellige størrelser. Dette giver meget ofte anledning til ekstreme datamængder, som skal indsamles, lagres og behandles. Og eftersom risikovurderingerne skal laves hver dag eller hver uge, ender mange risikoberegninger med at være meget tidskrævende. Af denne grund er effektive beregningsmetoder - eller algoritmer om man vil - værdifulde for store virksomheder. En effektiv approximation, der giver en reduktion i en given risikoberegning med 99% kan eksempelvis gøre forskellen på, om man kan producere risikoberegninger i real-tid eller ej. Eller på om ledelsen kan nå at reagere i rette tid på en given hændelse. Derfor er effektive beregningsmetoder for risiko guld værd for store finansielle virksomheder. For at skabe en overkommelig ramme for opgaven, vil vi begrænse os til risiko på aktiemarkeder og hermed har vi redegjort for det nøjagtige ordvalg i opgavens titel: Effektiv risikoberegning af aktieporteføljer ved hjælp af principalaktiver 1.2 Problemformulering Hvordan analyseres et aktiemarked mest effektivt? Hvordan ser vi klarest, hvornår der sker korrektioner i markedet? Hvordan slipper vi ud over den vilkårlighed der ligger i at udvælge markedsindekser eller risiko-faktorer baseret på makro-økonomiske størrelser? 7 Kan man forestille sig et analyse-apparat der reducerer kompleksitet og beregningstid for risikoberegninger radikalt? Denne opgave vil forsøge at give svar på disse spørgsmål. Som nævnt flere gange begrænser vi os til aktiemarkeder. De resultater og metoder der udvikles kan i en vis udstrækning anvendes på alle aktiver, der handles på et marked med tilstrækkelig høj likviditet og efficiens, men i visse sammenhænge gøres der antagelser, som holder bedst for diversificerede aktieporteføljer. I traditionelle faktor-modeller laves der som allerede nævnt lineær regression imod forudbestemte makro-størrelser. Vi vil i stedet tage udgangspunkt i en stringent matematisk metode, som ligger i grænselandet mellem statistik og lineær algebra (eller teori om mange-dimensionelle vektorrum om man vil). Metoden hedder principal-komponent analyse og er vidt og bredt beskrevet og endvidere anvendt indenfor finansiering igennem mange år, se fx. [1] afsnit 4.5 "Interpreting principal components - Stock Market Prices"eller [2] afsnit 3.4.4 eller [3] side 208. Denne metode giver den fundamentale indsigt, at der i et marked med n aktiver entydigt må findes n kombinationer af aktiver som har den egenskab at de (i) er fuldstændig ukorrelerede, (ii) hver især maksimerer variansen og (iii) udspænder markedet. Disse tre egenskaber kræver naturligvis en del mere forklaring, og det vil blive givet i afsnit 4. Selv uden yderligere forklaring vil nysgerrigheden hos mange læsere nok være vakt i forhold til hvordan disse kombinationer af aktiver findes, hvordan de ser ud og hvad de kan bruges til. I opgaven vil vi kalde dem for principal-aktiver. Hermed understreger vi tilhørsforholdet til principal-komponent analysen samt det faktum, at vi kan betragte dem som et nyt aktiv på linie med både de oprindelige aktiver og alle andre mulige porteføljer i markedet. Den overordnede tese for opgaven er, at principal-aktiverne giver et optimalt eller tæt-på-optimalt udgangspunkt for at analysere risiko i markedet, herunder at lave effektive approximationer og beregningsmodeller for diversificerede aktieporteføljer. Som centralt resultat skal nævnes approximationer og beregningsmetoder for historisk standard-afvigelse, historisk value-at-risk og historisk expected shortfall, med reduktioner på op til 99% af beregningstiden. Opgaven vil både udlede teorien bag og gennemføre en empirisk efterprøvning af approximationernes validitet. Herudover vil opgaven give en introduktion til principal-komponent analyse uden den traditionelle brug af Lagrange multipliers. Derimod tager vi udgangspunkt i et centralt resultat fra lineær algebra, den såkaldte spektralsætning.2 Alle relevante egenskaber ved principal-aktiverne udledes fra denne læresæt2 Spektralsætningen for n-dimensionelle vektorrum følger af egenskaber ved determinanter og n’te-grads polynomier. Et kortfattet bevis kan findes her: http://tinyurl.com/ljvvypq 8 ning med relativt få matematiske forudsætninger. Denne fremgangsmåde er valgt istedet for Lagrange multipliers, dels fordi bevisførelsen efter min mening er lettere og mere elegant, dels for at tilbyde et alternativ til traditionelle lærebøger i finansiering eller principal komponent-analyser. Hvis læseren ønsker at se en traditionel fremstilling via Lagrange multipliers henvises til [1], afsnit 1.1. For yderligere at underbygge de approximationer der gøres, inddrages udvalgte resultater fra random matrix-teori. Ved hjælp af den såkaldte MarcenkoPastur fordeling argumenteres der for, hvor mange principal-aktiver der har statistisk signifikans. Slutteligt vil opgaven i forbindelse med forecasting introducere nogle nye værktøjer til analyse af markedskorrektioner baseret på principal-aktiverne og afledte begreber. Vi vil argumentere for, at principal-aktiverne og relaterede teknikker giver en god forståelse for markedsdynamikkerne. Særligt vil det blive forklaret hvorledes korrektioner i markedet kan afkodes forholdsvis klart, hvilket i sidste ende gør det muligt at lave bedre modeller for forecast af risiko. 1.3 Opgavens disposition • Den nødvendige og tilstrækkelige matematiske baggrund for opgaven gennemgås i afsnit 2. • Markedet og kildedata beskrives i afsnit 3. Dvs. der redegøres for hvilket marked vi befinder os på, hvilke datasæt der arbejdes med, hvor data hentes fra og hvordan det er blevet bearbejdet. • Afsnit 4 giver en introduktion til principal-komponent analysen med en udledning af relevante resultater. Samtidig introduceres principalaktiver som begreb. • Afsnit 5 formaliserer idéen om effektive beregningsmetoder. Herunder gives en simpel måde at måle hvor stor reduktion i beregningstid en given approximation giver. • I afsnit 6 udledes en effektiv approximation af historisk varians/std.afvigelse med udgangspunkt i principal-aktiverne. Herunder vises det at man kan opnå en reduktion i beregningstiden af historisk varians/std.afvigelse på 90-99%. • Value-at-risk og expected shortfall defineres som risikomål i afsnit 7. Samtidig beskrives hvorledes de kan bestemmes historisk ud fra en given tidsserie. 9 • I afsnit 8 udledes en effektiv approximation af historisk value-at-risk og expected shortfall. Igen vises det at beregningstiden kan reduceres med 90-99%. • I afsnit 9 gentages øvelsen fra afsnit 8, nu blot for expected shortfall. • Afsnit 10 inddrager nogle centrale resultater fra random matrix theory til bestemmelse af signifikante og ikke-signifikante principal-aktiver. • Afsnit 11 vil med udgangspunkt i nogle modeller fra Danske Capital introducere forecasting som emne og forklare hvorledes principal-aktiver kan anvendes indenfor dette felt. • Afsnit 12 vil opridse de vigtigste konklusioner mens afsnit og 13 giver en yderligere perspektivering af principal-aktiver og deres anvendelsesmuligheder. Der er til denne opgave anvendt en række artikler, som findes på internettet. For at gøre det nemt for læseren kan de hentes samlet i denne zip-fil: http://nikolaschou.dk/principalaktiver/artikler.zip 1.4 Tak til Tak til Kristian Sørensen, CBS, for omhyggeligt vejlederskab, til Peter Dalgaard, CBS, for at give vejledning vedr. statistisk teori, til Rasmus Majborn og Jacob Hannover fra Danske Capital for at stille op til interview og udlåne materialer, til Erik Gadeberg og Anders Haaning fra Jyske Bank for at perspektivere emnet og til Scott Ehlers og Else Braathen fra SimCorp for at stille op til et interview tidligt i opgavens forløb. 2 Matematisk baggrund Til denne opgave anvendes følgende notationer, konventioner og relevante regneregler indenfor matrixregning og statistik. • Vektorer angives med små bogstaver i fed skrift, fx. w, hvor elementerne i vektoren angives w1 , w2 , . . . , wn . • Vektorer kan indekseres hvis der er m af slagsen, fx w1 , w2 , . . . wm . I dette tilfælde angives elementerne af hver enkelt vektor med et ekstra index, fx w1 = (w11 , w12 , . . . , w1n ) • Matricer angives med store bogstaver i fed skrift, fx. C, hvor de enkelte elementer i C angives som Cij . 10 • Matricer og vektorer kan som bekendt transponeres og dette angives med et 0-symbol, dvs. a b A= c d a ⇐⇒ A0 = b c d og w= w1 w2 w1 w2 . . . wn ⇐⇒ w0 = ... wn • Vektorer er som udgangspunkt rækkevektorer. Ved at transponere en vektor w får man en søjlevektor w0. • Matrix-transponering opfylder følgende vigtige regneregler: (A0 )0 = A og (AB)0 = B 0 A0 • Matrix-multiplikation - herunder multiplikation mellem vektorer og matricer - er associativ, dvs. A(BC) = (AB)C. Det understreges at matrixmultiplikation ikke er kommutativ, dvs. AB er generelt set ikke det samme som BA. • Sporet af en matrix (på engelsk trace) defineres som summen af diagonalelementerne: X Tr(A) = Aii i ˙ herunder at Tr(AB) = • Der gælder forskellige praktiske regneregler for Tr(), Tr(BA). • For en vektor w betegner diag(w) den matrix som har w1 , . . . , wn langs diagonalen og 0 for resten. For en matrix C betegner diag(C) den vektor som består af diagonalelementerne (C11 , . . . , Cnn ). Man kan sige at diag()˙ afbilder frem og tilbage mellem vektorer og matricer. • I n defineres som enhedsmatricen i Rn , dvs. I n = diag(1, 1, . . . , 1). • Stokastiske variable angives med ’krøllede’ bogstaver, fx A, B, C, P, Q osv. Flere stokastiske variable indekseres som A1 , . . . , An og dette kan knyttes sammen i en vektor angivet med en overstregning, fx A = (A1 , . . . , An ). 11 • For en stokastisk variabel A og en fraktil α mellem 0 og 1 gælder det, at E(A) og µA angiver middelværdien„ Var(A) angiver variansen, σ(A) angiver std.afvigelsen (spredningen), ESFα (A) angiver expected shortfall ved α og VaRα (A) angiver value-at-risk ved α. Bemærk at der gives en detaljeret introduktion og definition af value-at-risk og expected shortfall i afsnit 7. • I klassisk vektorregning definerer man skalar-produktet mellem a og b (også kaldet det indre produkt) som summen af produktet af elementerne. I denne opgave anvendes udelukkende matrix-multiplikation for at holde en simpel notation, dvs. hvis vi ønsker at finde skalar-produktet mellem to række-vektorer gøres det via matrix-operationen: ab0 som alternativt skrives a · b0 . • Hvis man multiplicerer a med b0 får man som nævnt skalar-produktet. Hvis man derimod multiplicerer b0 med a får man en n × n matrix, hvilkes ses her: ( a 1 b 1 b 1 a1 b 2 a1 b 2 . b0 a ≡ b0 · a = . .. .. bn b n a1 a2 b1 a2 b2 a2 .. . ... ... ... ... an ) b1 an b2 an .. . b n a2 ... b n an • Længden af en vektor defineres som v ! u n u X a2i kak = t i=1 • Vinklen θ mellem to vektorer a og b findes fra formlen: cos(θ) = kakkbka · b0 • En enhedsvektor er en vektor som har længden 1. • De enhedsvektorer som 1 0 i1 = 0 .. . 0 peger langs akserne betegnes 0 0 1 0 0 . , i2 = , . . . , in = .. .. . 0 0 1 • To vektorer a og b er ortogonale eller vinkelrette hvis a · b0 = 0 hvilket let ses ved θ = cos−1 (0) = π/2 = 90◦ . 12 3 Markedet Vi betragter et marked bestående af n aktier og lader A1 , . . . , An betegne stokastiske variable, som angiver den daglige relative prisændring for de n aktier. Vi antager at den gennemsnitlige prisændring henover tid (den langsigtede vækst) er meget mindre end de daglige udsving eller vi kan fratrække den langsigtede vækst fra de daglige udsving, dvs. vi antager E(Ai ) ≡ µAi = 0 for alle i. I dette marked betragter vi en portefølje P karakteriseret ved en vægtet sammensætning af de n aktier, hvor vægtene betegnes w = (w1 , . . . , wn ). Dvs. vi kan tænke på P som en stokastisk variabel defineret som følger: P= n X 0 wi Ai = wA hvor X wi = 1 (1) i i=1 For en nemheds skyld forestiller vi os, at alle aktier kan Phandles i enheder, der hver koster 1kr hvormed også P koster 1kr, eftersom i wi = 1. Det bemærkes at (1) implicit antager, at porteføljen løbende rebalanceres. Hvis fx den absolutte pris på Ai stiger mens alle øvrige er uændrede, da vil man være nødt til at sælge ud af Ai og købe op i de øvrige for at fastholde en given sammensætning af vægte. 3.1 Kildedata Som datakilde er anvendt Yahoo Finance, et gratis web-API udstillet af Yahoo. Data hentes og analyseres vha. Matlab. I princippet er det simpelt at hente data fra Matlab via funktionen buildUniverse()3 . Problemet er blot at de simple metoder ikke virker idet at priserne ikke er korrigeret i forhold til dividender og aktiesplit. Det betyder at man reelt ikke kan bruge disse data til at finde daglige afkast. Istedet er man nødt til at bruge funktionen fetch(), som giver mulighed for at hente såkaldte ’Adjusted Close’ priser. Næste udfordring er at finde de sæt af aktiver, man ønsker at analysere. På den ene side vil man gerne dække så mange aktiver som muligt. Samtidig vil man gerne dække så lang en periode som muligt. Det leder en til spørgsmålet om, hvorledes man kombinerer lange tidsserier med korte, dvs. hvorledes laves analysen når nogle aktiver har eksisteret siden 60’erne, andre først er kommet til senere. Til denne opgave er valgt følgende konventioner for en analyse, der 3 Dokumentation af denne funktion kan læses her: http://www.mathworks.se/help/datafeed/yahoo.builduniverse.html?refresh=true 13 løber over en given periode: (i) Når et aktiv introduceres på børsen med en pris P på en dato D efter periodens start, vil prisen i intervallet [start, D] blive sat til P. (ii) Når et aktiv fjernes fra børsen sker det samme, dvs. den sidste pris får lov at fortsætte uændret. Sidste udfordring bunder i, at forskellige aktiver handles på forskellige handelsdage. Det kan enten skyldes at aktiverne handles på forskellige børser, eller det kan skyldes at Yahoo har ufuldstændige data - hvilket desværre er et faktum4 . Det gør det en smule kompliceret at opstille en samlet tidsserie, da det kræver en form for sammenfletning. Tænk blot på en tidsserie A som har priser for 2, 3 og 6. januar (i et givet år) og en anden tidsserie B som har priser for 2, 4, og 5. januar. For denne analyse er det valgt at tage udgangspunkt i de handelsdage, der er registreret for IBM. Alle andre tidsserier er flettet ind således at priserne listes på IBM’s handelsdage vha. en slags best-fit algoritme. Koden kan ses i appendix og er markeret med teksten ’MERGING TRADING DAYS’. 3.2 Datasæt og perioder Alle empiriske undersøgelser er baseret på et eller flere af de datasæt der vises i Tabel 1. For alle tre datasæt har det været nødvendigt at rense ud i de anvendte aktiver af forskellige årsager. Den primære årsag har været, at Yahoo Finance ikke kunne levere valide data for en del af aktiverne. Således var det for datasættet NYSE77 nødvendigt at fjerne ca. 177 aktiver for at få et rent datasæt. Metoden til at rense ud i datasættene har været, at finde de aktiver med særlig usædvanlige spring i prisudviklingen (fx. en stigning på 5000% på en dag). Dernæst har det været en manuel opgave at gå dem igennem og be- eller afkræfte, hvorvidt de leverede data er korrekte eller ej. Vurderingen af om de er korrekte er taget ved at sammenligne priskurven med den officielle priskurve fra de grafer man kan finde online via Yahoo Finance web-grænsefladen. 4 Principal komponent analyse 4.1 Introduktion Principal komponent-analyser (forkortet PCA) som metode blev opfundet af Karl Pearson i 1901 og har siden fundet anvendelser indenfor mange viden4 For en diskussion af fejl og mangler i Yahoo Finance data se her: http://quant.stackexchange.com/questions/942/any-known-bugs-with-yahoo-financeadjusted-close-data og her: http://quant.stackexchange.com/questions/7216/daily-returns-using-adjusted-close 14 Tabel 1: Oversigt over datasæt anvendt til de empiriske undersøgelser ID Beskrivelse SP2000 Indeholder de aktier fra S&P500 indekset som har været i markedet siden år 2000 SP1984 Indeholder de aktier fra S&P500 indekset som har været i markedet siden år 1984 NYSE77 Indeholder de aktier fra New York Stock exchange som har været i markedet siden år 1977 # aktiver n 463 Periode 2000-2014 #dage T 3521 98 1984-2014 7565 1594 1977-2014 13090 skabelige discipliner, hvor metoden har fået forskellige navne, fx egenværdi dekomposition indenfor lineær algebra, spektralanalyse indenfor akustik og fysik med mere, jf. [14]. For at få den rigtige intuition omkring PCA indenfor rammerne af denne opgave, kan det være en god ide at starte med at diskutere markedsindekser [12]. Markedsindekser dannes som bekendt ved at lave en fiktiv portefølje bestående af bestemte aktier med nogle bestemte vægte, hvormed man løbende kan udregne en indeks-pris ud fra vægtene og de underliggende aktiepriser. Hermed får man en simpel én-dimensionel størrelse som er nemmere at forholde sig til end markedet som helhed. Der findes en lang række forskellige markedsindekser med forskellige kriterier for udvælgelse af aktier og forskellige metoder til bestemmelse af vægtene. Nogle indekser forsøger at samle aktier fra alle de største virksomheder på tværs af hele markedet, globalt eller nationalt. Fx samler S&P Global 100indekset 100 multinationale aktier. Andre indekser samler aktier indenfor et bestemt land, en bestemt sektor, en bestemt børs osv. osv. Med hensyn til valg af vægte er der primært to metoder i anvendelse. For prisvægtede indekser vælges vægten ud fra prisen. Hvis en aktie er dobbelt så dyr som en anden aktie, vejer den også dobbelt så meget i indekset. For kapitalvægtede indekser er det virksomhedens samlede markedsværdi, der bestemmer vægten. Hvis én aktie har dobbelt så stor markedsværdi som en anden aktie, da er vægten også dobbelt så stor [14]. Markedsindekser bruges til mange forskellige slags formål, men nok primært til markedsanalyser. Hvis et indeks stiger ses det som et udtryk for en generel stigning i markedet. Hvis et indeks har kraftige udsving ses det som udtryk for, at markedet generelt har høj volatilitet. Hvis udviklingsmønstrene i indekset ændrer sig, ses det måske som et udtryk for et regimeskifte i markedet. Indekserne anses altså for at være gode aggregerede størrelser, hvorudfra vi 15 kan aflæse og forstå markedet. Man kan i denne sammenhæng undre sig lidt over den vilkårlighed der er i konstruktionen af indekserne. Og det kan virke uoverskueligt eller overflødigt at der er så mange indekser at vælge imellem. Principal komponent-analysen kan motiveres ud fra et ønske om at frembringe et mindre antal indekser som kan bygges på et teoretisk grundlag, både matematisk og finansielt. Med dette som indgangsbøn udleder vi nu principal komponent analysens grundsætninger og en række afledte værktøjer. 4.2 Matematisk udledning Vi starter med at minde om at vi betragter et marked med n aktier betegnet A1 , . . . , An og herudfra kan konstrueres porteføljer som en vægtet kombination af aktierne, hvor vægtene betegnes med en vektor w. Vi minder også om at vi i vores model tænker på både aktier og porteføljer som stokastiske variable der angiver det daglige relative afkast, og at en portefølje kan skrives som 0 matrixprodukt: P = wA . Vi starter nu med at udregne variansen for P. 0 0 0 2 Var(P) = E((P) ) = E wA wA 0 0 = E(wA Aw0 ) = wE(A A)w0 Her er det udnyttet at middelværdien E(·) som funktion er lineær. Nu indfører man kovarians-matricen C defineret ved: 0 C ≡ Cov(A) ≡ E(A A) eller alternativt Cij = E(Ai Aj ) for alle i, j og vi kan opsummere følgende vigtige sammenhæng: Var(P) = wCw0 hvor Cij = E(Ai Aj ) for alle i, j (2) Det ses at kovarians-matricen er symmetrisk, dvs. Cij = Cji . Vi vil nu udnytte det såkaldte spektral teorem, der er en hovedsætning indenfor lineær algebra og matrixregning.5 Spektral-teoremet siger, at enhver symmetrisk matrix C kan diagonaliseres, dvs. vi kan omskrive C som et produkt af tre matricer som følger: 5 Spektral teoremet kan også formuleres mere generelt og indenfor mere avancerede grene af matematikken, men til denne opgave er vi kun interesseret i en mere snæver anvendelse. 16 C = QΛQ−1 (3) hvor Q er en ortonormal matrix (se nedenfor) og hvor Λ er en diagonalmatrix λ1 0 0 0 0 λ2 0 0 Λ= 0 0 ... 0 0 0 0 λn med faldende værdier langs diagonalen. Dvs. λ1 er den største værdi, λ2 er den næststørste værdi osv. Der gælder endvidere at denne opsplitning eller dekomposition er entydig. Diagonalværdierne i Λ kaldes traditionelt for egenværdier mens søjlevektorerne i Q kaldes for egenvektorer eller principal komponenter. 6 NB: Bemærk at ’egenværdi’ og ’egenvektor’ på engelsk kaldes for ’eigenvalue’ og ’eigenvector’ respektivt. Da visse figurer i denne opgave har engelske figur-tekster, vil disse betegnelser indimellem blive brugt. En ortonormal matrix består pr. definition af n enhedsvektorer, der alle er ortogonale (dvs. vinkelrette) på hinanden, jævnfør afsnit 2. Lad os i det følgende bruge lidt tid på at opbygge lidt intuition omkring C, Q og Λ og deres indbyrdes sammenhænge. Det er praktisk at benævne søjlerne i Q med q01 , . . . , q0n , dvs. vi kan skrive således: 0 0 0 ≡ q1 q2 qn ... Q≡ q11 q21 .. . . .. q q 1n 2n qn1 .. ... . q nn hvor de krøllede parenteser kun er medtaget for at markere søjlestrukturen. At Q er ortonormal betyder per definition at: qi q0j = hvis i 6= j hvis i = j 0 1 6 Dette udsagn er bevidst forsimplet og bygger på en række antagelser, nemlig at det(C) 6= 0 og at alle diagonalværdierne er forskellige. For typiske finansielle tidsserier med flere målepunkter end aktiver vil disse antagelser dog holde. 17 hvilket alternativt kan skrives: QQ0 = Q0 Q = I n hvor I n er enhedsmatricen Bemærk især fra disse ligninger at transponeringen af Q er sin egen inverse, dvs. Q−1 = Q0 (4) Herfra konkluderes at Q er længdebevarende, hvilket demonstreres af følgende udregning: kQa0 k2 = (Qa0 )0 (Qa0 ) = a(Q0 Q)a0 = aI n a0 = aa0 = kak2 Ydermere kan det ses at Q er vinkelbevarende, dvs. hvis θ1 betegner vinklen mellem a og b og θ2 betegner vinklen mellem a og b efter multiplikation med C, da finder man: cos(θ2 ) = aQ0 Qb0 ab0 (Qa0 )0 Qb0 = = = cos(θ1 ) kQakkQbk kakkbk kakkbk En matrix der både er længdebevarende og vinkelbevarende ved multiplikation, kender man også som en rotation. Samtidig ser man at Λ ved multiplikation virker som ren skalering. Vi kan altså betragte produktet QΛQ0 som en samlet operation der først laver en rotation Q0 , dernæst en skalering Λ og slutteligt en modsatrettet rotation Q. Hernæst kan vi indse at følgende gælder: Cq0i = QΛQ0 q0i = QΛii = Qλi i1 = λi q0i Med andre ord, C virker på qi som en skalering med skaleringsfaktor λi . Generelt set vil en matrix udvirke både skalering og rotation når den ganges på en vektor, men disse særlige vektorer udmærker sig altså ved kun at blive skaleret og ikke roteret af C. I den forstand kan man sige, at der er et særligt tilhørsforhold mellem C og qi , hvilket er årsagen til at man kalder q1 , . . . , qn for egenvektorer for C og de tilhørende λ’er for egenværdier. Hvis vi tænker på vektorerne som komponenter ledes man til betegnelsen principal komponenter, heraf forkortelsen PCA for principal komponent analyse. Den første egenvektor q1 og den første egenværdi λ1 har en endnu mere speciel egenskab. Der gælder nemlig at q1 angiver den enhedsvektor, der giver maksimal varians efter formel (2). Det kan ses ved at betragte en vilkårlig enhedsvektor e og finde variansen for den tilhørende portefølje: 18 Figur 2: Illustrerer enhedsvektorerne for n = 3 og ideen om at én bestemt vektor markeret med tallet 1 udmærker sig ved at maksimere variansen. Var(Pe ) = eCe0 = eQΛQ0 e0 = (eQ)Λ(eQ)0 = f Λf 0 = X fi2 λi i ≤ λ1 X fi2 = λ1 kf k2 = λ1 = Var(Pq1 ) i I udregningen har vi defineret f ≡ eQ og udnyttet at Q er længdebevarende, dvs. kf k = 1 fordi e har længden 1. Vi har altså vist at uanset hvordan vi vælger enhedsvektoren e vil det gælde at Var(Pe ) ≤ Var(Pq1 ). Ideen er illustreret på figur 2. Ved at anvende en lignende teknik kan man også indse, at blandt alle enhedsvektorer som er vinkelret på q1 , da er q2 den som giver størst varians og mere generelt, blandt alle enhedsvektorer som er vinkelrette på q1 , q2 , . . . , qk , da er qk+1 den som giver størst varians. Lad nu Qi betegne den portefølje som har qi som vægte, dvs. Qi = n X 0 qij Aj eller Qi = qi · A eller Q = Q0 · A j=1 Da finder man variansen: Var(Qi ) = qi Cq0i = qi (λi qi0 ) = λi og kovariansen for i 6= j: 0 Cov(Qi , Qj ) = E(Qi · Qj ) = E qi A Aq0j 0 = qi E A A q0j = qi Cq0j = qi λj q0j = λj (qi q0j ) = 0 19 (5) (6) Det vil altså sige at Q1 , . . . , Qn udgør n porteføljer som er gensidigt ukorrelerede og som har variansen givet ved egenværdierne λ1 , . . . , λn . Herudover gælder det at enhver portefølje P med vægte w entydigt kan skrives som en linearkombination af Q1 , . . . , Qn som det vises her: 0 0 0 P = wA = (wQ) Q A 0 =β·Q = n X βi Qi hvor β ≡ w · Q (7) i=1 hvilket også kan skrives som: P = β1 Q1 + · · · + βn Qn hvor βi ≡ w · q0i I denne ligning fortolkes βi som projektionen af w på den i’te egenvektor qi . Vi ser altså at Q1 , . . . , Qn udspænder markedet og ved at operere med βi ’erne istedet for wi ’erne får vi åbenbart en alternativ måde at repræsentere og analysere porteføljer i markedet. Fx kan vi finde variansen således: Var(P) = Var(β1 Q1 + · · · + βn Qn ) = β12 Var(Q1 ) + · · · + βn2 Var(Qn ) Her er det udnyttet at alle krydsledene går ud eftersom Q1 , . . . , Qn er ukorrelerede. Med andre ord: σP2 = Var(P) = β12 λ1 + · · · + βn2 λn hvor βi ≡ w · q0i (8) Det er her udnyttet at Qi ’erne er ukorrelerede hvorved alle ’krydsleddene’ udgår. Samtidig er det udnyttet at variansen af Qi er λi som vist ovenfor. Den vigtige observation er her, at når en portefølje udtrykkes som en vægtet sum af de principale komponenter (eller egenvektorerne), da findes variansen som den vægtede sum af variansen af principal komponenterne. Dette er praktisk og elegant. Vi skal simpelthen tænke på markedet som om de primære aktiver er Q1 , . . . , Qn og enhver portefølje (herunder de oprindelige enkelte aktier i markedet) udtrykkes som linearkombinationer af Qi ’erne. Man kan også sige at Qi ’erne udgør en ny basis for markedet. Denne ide er illustreret på figur 3. 4.3 Udregning af efficient rand vha. principal-aktiver Som en anvendelse af de udledte formler for principal-aktiverne vil vi nu se, hvorledes punkter på den efficiente rand kan udtrykkes ved hjælp af principal20 Figur 3: Illustrerer ideen om at finde en ny basis, som ’passer’ bedre til det givne problemfelt, her illustreret som en række målepunkter i 2 dimensioner. I den nye basis bestående af y1 og y2 ses målepunkterne at have en variation der følger akserne. I den gamle basis bestående af x1 og x2 ses målepunkter at ligge på skrå. aktiver. Vi tager udgangspunkt i den velkendte formel for udledning af markedsporteføljen på den efficiente rand jævnfør [10] ligning (3.20): 0 w ˆ market = C −1 (µ0A − r0 ) hvor µA = (µA1 , . . . , µAn ) angiver det gennemsnitlige afkast af aktiverne A1 , . . . , An , r angiver den risikofri rente som en konstant vektor (dvs. en vektor med samme værdi r på alle pladser) og w ˆ market angiver den unormaliserede markedsportefølje. Dvs. den reelle markedsportefølje findes ved normalisering: 0 0 wmarket =w ˆ market 1 |w ˆ market | hvor | · | betegner summen af elementerne Ved at bruge (3) og (4) kan vi nu omskrive denne formel på følgende måde: −1 0 w ˆ market = (QΛQ0 ) (µ0A − r0 ) = (Q0 )−1 Λ−1 Q−1 (µ0A − r0 ) = QΛ−1 Q0 (µ0A − r0 ) = QΛ−1 µ0Q − r0Q hvor vi har indført µ0Q ≡ Q0 µ0A , dvs. forventet afkast af Q1 , . . . , Qn |q1 | |q2 | r0Q ≡ r .. fortolket som en normaliseret risikofri rente . |qn | 21 Ved at gange med Q0 fra venstre på begge sider af lighedstegnet og udnytte definitionen af β fra (7) når man til konklusionen: 0 βˆmarket = Λ−1 µ0Q − r0Q eller alternativt βˆmarket,i = λ−1 i (µQi − r|qi |) hvor 0 1 β 0market = βˆmarket |βˆmarket | (9) Vi ser altså, at porteføljer på den efficiente rand kan konstrueres ud fra principal-aktiverne hvor vægten βi for det i’te principal-aktiv Qi , er proportionel med det forventede afkast af Qi fratrukket den risikofri rente gange prisen |qi | på Qi og dernæst divideret med variansen λi af Qi . 4.4 Empiriske resultater For at få en første validering af PCA analysen vil vi finde de første tre principal-komponenter Q1 , Q2 , Q3 for markedsdata hørende til datasættes SP84, jævnfør afsnit 3.2. Dernæst vil vi finde prisudviklingen for de tre principalkomponenter. Det gøres ved dag for dag at finde prisen på det indeks som har hhv. q1 , q2 og q3 som vægte. Slutteligt sammenlignes dette med prisudviklingen i S&P500-indekset. Resultatet ses på Figur 4. Det bemærkes at det første principal-aktiv overordnet set følger markedets udvikling. Det 2. principalaktiv følger nogenlunde markedets svingninger, dog mere afdæmpet. Det 3. principal-aktiv viser klare tegn på modsatrettede bevægelser i forhold til markedet. Fx ses en kraftig nedtur omkring år 2000 efterfulgt af en kraftig optur, hvilket er den modsatte bevægelse i forhold til markedet. Det skal her understreges, at S&P500 løbende justeres mht. aktiver og vægte, mens principal-aktiverne dannes som faste indekser for hele perioden. Endvidere gælder det at SP84-datasættet kun indeholder virksomheder som har været på børsen siden 1984, og altså ikke det fulde grundlag for S&P500indekset. Der er derfor ingen grund til at forvente, at vi skulle være i stand til at matche S&P500 fuldstændig. Til yderligere at underbygge fortolkningen af de første par principal-aktiver viser Figur 5 en opgørelse for SP2000 datasættet, der viser hvilke positioner, de første 3 egenaktiver har i forskellige sektorer. 22 Figur 4: Øverst vises udviklingen i S&P indekset holdt op imod udviklingen i de første tre principal-komponenter set hver for sig. I midten og nederst vises en vægtet sum af de tre principal-aktiver holdt op imod S&P500. Det ses at de første tre principal-aktiver i kombination i rimelig høj grad kan forklare markedsudviklingen pånår perioden omkring dotcom-boblen i år 2000. Vægtene er dannet vha. formlerne for efficient rand (9). 5 Effektive beregningsmetoder Vi vil nu kigge nærmere på hvorledes principal-komponenterne kan bruges til at lave effektive approximationer og beregningsmetoder af historisk varians for porteføljer. Med ’effektiv’ menes en reduktion i de påkrævede antal beregningsoperationer med en eller flere størrelsesordener, dvs. vi ønsker at reducere beregningstiden med 90%-99%.7 For at kunne diskutere effektivitet i beregningsmetoder har vi brug for lidt simple konventioner. Vi antager metoden implementeres i et givet programmeringssprog, der afvikles på en computer/server, hvor de basale aritmetiske operationer (multiplikation, addition osv. ) tager lige lang tid. Vi ser bort fra detaljer omkring repræsentation af tallene (floating points vs. fixed decimals osv.), nøjagtighed ved udregning (altså om der accepteres afrundingsfejl) osv. Det eneste vi er interesserede i er antallet af basale aritmetiske operationer. Vi antager også at n >> 1, hvilket medfører at vi automatisk laver afrundinger såsom n + 1 ≈ n og n − 1 ≈ n. Som eksempel kan vi betragte en projektion (vektorprodukt): ab0 = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn Det ses umiddelbart at denne udregning kræver n multiplikationer efterfulgt af n − 1 additioner, dvs. ialt ca. 2n operationer. 6 Approximation af varians Vi betragter igen en portefølje P med tilhørende vægte w. Vi forestiller os også, at der foreligger en tidsserie med T målinger af relative prisændringer for de underliggende aktier, således at kovariansmatricen C kan bestemmes, og herudfra er principal-komponenterne q1 , . . . , qn og egenværdierne λ1 , . . . , λn fundet. Slutteligt er β-koefficienterne for P fundet ved at projicere vægt-vektoren på principal-komponenterne: βi = w · q0i . Som det fremgår af (8) er det let at finde variancen for en portefølje, når man først har fundet principal-komponenterne, egenværdierne og beta-koefficienterne. Dog gælder det, at udover de fortolkningsmæssige og analytiske fordele det kan give at arbejde med principal-komponenter, vil denne fremgangsmåde ikke i sig selv give en væsentlig beregningsmæssig besparelse af følgende årsager: 7 Indenfor datalogien ville man formulere dette som et ønske om, at reducere den beregningsmæssige kompleksitet, fx at gå fra O(n2 ) til O(n) i køretid. Denne opgave forsøger dog at holde fokus på indsigten i PCA og de finansielle fortolkninger heraf og derfor bliver spørgsmålet om reduktion i beregningsmæssig kompleksitet behandlet en smule forsimplet. 24 Figur 5: Øverst vises en opgørelse over positionen af de tre første principal-aktiver indenfor forskellige sektorer opgjort for SP2000 datasættet. Positionen er opgjort ved at tælle hvor mange aktier indenfor hver sektor principal-aktivet har hhv. en kort, en lang eller ingen position i. Eksempelvis ses det at principal-aktiv nr. 2 er lang i 54% af alle Consumer Services aktier. Det ses tydeligt at den 1. principal-aktiv stort set er lig med markedet som helhed, i den forstand at det er bygget op af en lang position af alle aktiver i markedet. Tilsvarende ses at 2. principal aktiv er lang i cykliske aktier og kort i defensive aktier (fx Consumer Goods og Health Care). Dette aktiv vil altså udvise særlig stor volatilitet i hhv. højkonjunktur og lavkunjunktur. Nederst vises et udklip fra det bagvedliggende datamateriale. Som eksempel ses at det 2. principal-aktiv (dvs. q2 fra formlerne i afsnit 4) har en vægt på -0.065758 - dvs. en kort position - i Allstate Corp. indenfor industrien Financials. Tilsvarende har det 3. principal-aktiv en position på 0.00013285 i Alcoa Inc. hvilket fortolkes som ’ingen position’. Der er anvendt den konvention at hvis en vægt ligger i intervallet [−0.005, 0.005], da fortolkes det som hverken kort eller lang, også kaldet ’ingen’ position. Figur 6: Viser et tænkt men illustrativt eksempel på varianserne (dvs. egenværdierne) af principal-aktiverne i et marked med 20 aktiver. Fx har principal-aktiv 1 en varians på 20, principal-aktiv 2 har en varians på 10 osv. Halen af principal-aktiver har en meget lav varians omkring 1 og desuden er variansen i halen næsten konstant set imod størrelsen af de første egenværdier. • For at finde principal-komponenterne skal PCA-analysen først gennemføres, dvs. givet C skal man finde Q og Λ så ligning (3) er opfyldt. Denne analyse er i sig selv krævende og baserer sig på komplekse og beregningstunge matematiske operationer, jævnfør [5] afsnit 11. Naturligvis findes der masser af standardiserede software-pakker, som udfører PCA-analysen, men det ændrer ikke ved at det generelt set er en beregningskrævende operation der har en løbetid, der skalerer med n2 [11]. • For at finde βi ’erne skal der laves n projektioner af vektorer med hver n elementer i. Det vil i sig selv kræve ca. 2n2 operationer. • Metoden forudsætter at C skal bestemmes. Ydermere gælder det at en nøjagtig bestemmelse af alle egenværdier og principal-komponenter kræver en nøjagtig bestemmelse af C. Hvilket igen betyder at der skal anvendes en forholdsvis lang tidsserie. Hvis tidsserien indeholder T punkter kræver udregningen af kovariansmatricen ca. T · n2 beregninger. For at få gavn af PCA-analysen til at lave effektive beregningsmetoder af varians m.m. er det nødvendigt at kigge nærmere på de egenværdier, som typisk findes for finansielle tidsserier. I praksis vil man ofte finde at der er et kraftigt fald i egenværdierne afløst af en flad hale, et typisk billede er illustreret på Figur 6. Dette giver mulighed for en effektiv approximation eftersom værdierne i halen kan udskiftes med en gennemsnitsværdi. 26 Lad os anvende ideen til at regne videre på formel (8) σ(P)2 = Var(P) = β12 λ1 + β22 λ2 + · · · + βn2 λn 2 ≈ β12 λ1 + · · · + βk2 λk + λtail (βk+1 + · · · + βn2 ) 2 = β12 λ1 + · · · + βk2 λk + λtail βtail hvor k markerer punktet lige inden egenværdi-halen starter (på figuren er k ca. 3), λtail er den gennemsnitlige egenværdi i "halen"(på figuren ca. 1) og vi 2 2 har indført βtail ≡ βk+1 + · · · + βn2 . Vi antager at k << n. Hernæst skal man indse at: 2 βtail = n X βi2 i=1 − k X βj2 2 = kβk − j=1 = kw · Qk2 − k X βj2 j=1 k X βj2 = kwk2 − k X j=1 βj2 j=1 hvor det er udnytttet at Q er længde-bevarende. Slutteligt skal man se at: (n − k) · λtail = n X λi = n X λi − k X i=1 i=k+1 = Tr(Λ) − k X λj j=1 λj = Tr(C) − j=1 k X λj j=1 hvor det er udnyttet at Tr(Λ) = Tr(Q0 CQ) = Tr(CQQ0 ) = Tr(C). P Hvis vi til slut bemærker at Tr(C) = i σ 2 (Ai ) kan vi opsummere følgende centrale resultat: σ 2 (P) = Var(P) ≈ β12 λ1 + · · · + βk2 λk 1 + n−k X σ 2 (Ai ) − i hvor βi ≡ w · k X j=1 ! λj kwk2 − k X ! βj2 j=1 q0i (10) På trods af at formlen muligvis ser lidt kompliceret ud, indeholder den væsentlige beregningsmæssig reduktioner. Bemærk især følgende: 27 • Formlen involverer kun de første k egenvektorer og egenværdier.8 De fleste egenværdi-algoritmer fungerer iterativt på en måde så egenvektorerne findes i faldende orden.9 Det betyder også, at der opnås en væsentlig beregningsmæssig besparelse, hvis kun de første k egenværdier og egenvektorer skal findes (husk vi antager k << n). • Formlen involverer udover de første k egenvektorer og egenværdier kun vektor-længden af porteføljevægtene (kwk) - som er givet på forhånd og summen af varianserne af de oprindelige aktier i markedet. • Det kan vises teoretisk og praktisk at de første egenvektorer og egenværdier findes med højere statistisk signifikans end de efterfølgende egenvektorer og egenværdier. Ligeledes kan det vises teoretisk og praktisk at varianser for en given tidsserie kan bestemmes med en væsentlig højere statistisk signifikans end kovarianser. Det betyder at man ofte kan reducere antallet af målepunkter i tidsserien og stadig fastholde den ønskede nøjagtighed i de endelige resultater. 6.1 Bestemmelse af reduktionsfaktor Lad os nu forsøge at bestemme et kvantitativt bud på, hvilken beregningsmæssig reduktion vi opnår med formel (10). Vi antager at kovarians-matricen C er fundet. Først betragter vi den traditionelle fremgangsmåde: Var(P) = wCw0 . Produktet C·w0 koster n2 multiplikationer og n2 additioner, dvs. ialt 2n2 operationer. Dernæst foretages den sidste vektor-multiplikation w · (Cw0 ) som vi allerede har set koster 2n operationer. Dvs. samlet involverer udregningen 2n2 + 2n ≈ 2n2 operationer, hvor vi antager at n er stor, dvs. n2 >> n. Dernæst betragter vi formel (10): Vi starter med at antage at de første k egenværdier og egenvektorer er fundet. De k β-værdier involverer hver en vektorprojektion som koster 2n projektioner hver, dvs. ialt 2kn operationer. DernæstP multipliceres med λ1 , . . . , λk , hvilket er yderligere k operationer. Hernæst skal i σ 2 (Ai ) findes, hvilket svarer til summen af diagonalen af kovariansmatricen, dvs. ialt n operationer. Summen af de første k egenværdier koster k operationer. Længden af w koster nP multiplikationer og n additioner, dvs. ialt 2n operationer. Slutteligt koster j βj2 k multiplikationer og k additioner, dvs. ialt 2k operationer. Samlet set vil udregningen af variansen ud fra formlen således koste 2kn + k + n + k + 2n + 2k = 2kn + 4k + 3n ≈ (2k + 3)n operationer hvor det er antaget at k << n. Hermed får vi altså en reduktion på (2k+3)n = k+1.5 , dvs. hvis n er ca. 10 gange 2n2 n større end k da er reduktionen på ca. 90%. Hvis n er ca. 100 gange større end 8 9 Egenvektorerne er implicit involverede gennem β-koefficienterne eftersom βi = w · q0i . Hvis to egenværdier ligger tæt kan de dog godt findes i omvendt rækkefølge. 28 k, da er reduktionen på ca. 99%. 6.2 Empiriske resultater Det skal nu undersøges hvor godt approximationen (10) virker i praksis. Der er lavet en undersøgelse for de to datasæt, SP2000 og NYSE77 og resultatet er vist på Figur 7 og Figur 8 respektivt. Det er vigtigt at forstå at approximationen både skal undersøges mht. forskellige valg af cutoff k og forskellige valg af porteføljer. Det giver i sig selv to dimensioner i analysen. Dimensionen for valg af k er simpel og en-strenget. Dimensionen for valg af portefølje er derimod kompleks. Forskellige typer af porteføljer virker nemlig meget forskelligt på formlen. Eksempelvis finder man at diversificerede porteføljer hvor mange aktier indgår, egner sig langt bedre til at blive approximeret end porteføljer som består af et lille antal aktier, fx. 4. Lad os vende tilbage til dette lidt senere i dette afsnit. Først gennemgås fremgangsmåden i analysen: • Der udvælges M porteføljer, hvor M er valgt til at være lig n, men det kunne lige så godt have været et andet antal såsom 500 eller 1000. Se nedenfor hvordan disse porteføljer er udvalgt. • For hver af de M porteføljer og for hver cutoff-værdi k = 1, 2, . . . , n udregnes den approximerede standardafvigelse via formel (10). • Samtidig udregnes for hver portefølje den historiske - dvs. den sande standardafvigelse. • Herefter findes for hvert k og hver portefølje den procentvise fejl mellem den sande standardafvigelse og den approximerede, som herefter plottes med k ud af x-aksen og den procentvise fejl på y-aksen. Disse plot ses på Figur 7 for SP2000 og Figur 8 for NYSE77-datasættet. Bemærk at for hver k-værdi haves et målepunkt for hver af de M porteføljer hvilket giver anledning til et tykt ’bånd’ af grafer. Tætheden i grafen viser hvor mange porteføljer, der havde en given approximationsfejl. NB: Det skal bemærkes at vi forsøger at gennemføre en analyse med nogle statistiske størrelser, som nemt kan forvirre, fordi vi så at sige forsøger at finde en standardafvigelse af fejlen på en approximation af en standardafvigelse. Derfor skal man holde tungen lige i munden. 6.2.1 Historisk std.afv. for en portefølje Lad os kort redegøre for, hvorledes den historiske std.afv. findes for en konkret portefølje. Husk på at en portefølje er repræsenteret ved en vektor w med 29 Figur 7: Viser den relative fejl på standardafvigelsen udregnet efter formel (10) som funktion af cutoff-faktor for datasættet SP2000. Figur 8: Viser den relative fejl på standardafvigelsen udregnet efter formel (10) som funktion af cutoff-faktor for datasættet NYSE77. vægte, der summer til 1, hvor wi angiver hvor stor en procentdel af porteføljens værdi, som udgøres af den i’te aktie i markedet. Husk også på at de grundlæggende markedsdata består af en tidsserie som vi kan betegne med G (som står for ’gain’). Tidsserien angiver for hver dag det relative afkast for hver enkelt aktie, og vi tænker på G som en matrix hvor Gij angiver afkast på tidspunkt i for aktie j. Nu kan vi projicere afkastene for aktierne i markedet ned på porteføljevægtene ved at udregne matrixproduktet g0 ≡ G·w0 . Hermed finder man en ny tidsserie i form af en søjlevektor, som repræsenterer de daglige relative afkast man ville have haft, hvis man havde haft den pågældende portefølje. Slutteligt finder man den historiske standardafvigelse på sædvanligvis fra denne tidsserie. Som √ matrixprodukt ser det således ud: σ = g · g0. 6.2.2 Valg af porteføljer Når porteføljerne skal vælges til analyse af (10) er det værd at have en overordnet ide om, hvilke typer af porteføljer der er interessante at betragte. Det viser sig at den vigtigste ’parameter’ i forhold til om porteføljen egner sig til approximation eller ej, er hvorvidt porteføljen er diversificeret eller ej. Forklaringen er at diversificerede porteføljer naturligt har en stor vægt på de første principal-aktiver og samtidig vægte spredt godt ud i halen, mens ikkediversificerede porteføljer kun har lille vægt på de første principal-aktiver og til gengæld har stor vægt på enkelte principal-aktiver i halen. Det betyder at approximationen bliver dårlig, jævnfør Figur 6. Hvis det ikke umiddelbart er klart ud fra denne forklaring, kan vi gå lidt videre med nogle observationer omkring Figur 6. Læg først mærke til at de første egenværdier (og vi minder om at egenværdierne eksakt er lig variansen af principal-aktiverne) er flere størrelsesordener større end dem i halen. Det betyder hvis blot man har en stor vægt på de første principal-akter, da vil bidraget fra halen være af mindre betydning. Læg hernæst mærke til, at halen har en svag hældning. Faktisk er det oftest sådan at halen falder nogenlunde linært ned til 0, eller i hvert fald meget tæt på 0. Husk nu på at kernen i approximationen går ud på at udskifte de eksakte værdier i halen med en gennemsnitlig værdi for halen. Det betyder at hvis en given portefølje har en stor vægt midt i halen, da vil approximationen gå godt (fordi gennemsnitsværdien af halen er meget tæt på den midterste værdi af halen). Men hvis en given portefølje har en stor vægt i en af siderne i halen, da vil approximationen gå meget galt. Til sidst bemærkes at hvis en portefølje har lige meget vægt i begge sider af halen, da vil approximationen igen gå godt. For at lave en undersøgelse af approximationens gyldighed for porteføljer med forskellige grader af diversifikation, genererer vi et antal porteføljer med én 32 aktie i hver, et antal porteføljer med 4 aktier i hver, osv. med 8, 16, 32 og 64 aktier i hver portefølje. Til sidst laver vi et antal porteføljer hvor alle aktier indgår med en tilfældig valgt vægt, hvorefter der normeres så summen bliver 1. Tabel 2: Cutoff-værdier for approximation med fejl under 1% vist for forskellige grader af aktie-diversifikation angivet med 1, 4, 8, ..., 64, ’Alle’ samt for forskellige datasæt: NYSE77, SP2000 og SP84. Øverste tabel viser de absolutte cutoff-værdier, nederste tabel viser cutoff-værdien relativt til det totale antal principal-aktiver/egenværdier. Cutoff NYSE77 SP2000 SP84 Cutoff % NYSE77 SP2000 SP84 1 383 109 53 1 22% 29% 54% 4 307 63 38 4 18% 17% 39% 8 174 13 2 8 10% 3.4% 2.0% 16 32 64 Alle 29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 32 64 Alle 1.7% 0-1% 0-1% 0-1% 0-1% 0-1% 0-1% 0-1% 0-1% 0-1% 0-1% 0-1% 6.2.3 Resultat af empiriske undersøgelser Resultaterne af de empiriske undersøgelser af approximationsformlen (10) for standard-afvigelsen er opsummeret i Figur 7, Figur 8 og Tabel 2. Graferne på de to figurer viser hvilken procentvis fejl der findes for de valgte porteføljer som funktion af cutoff-factor k. I den øverste graf på Figur 7 kan man eksempelvis se at approximation af std.afv. for en portefølje med kun én aktie vil give fejl på mellem 0 og 40%, hvis k = 1 (dvs. kun den første egenværdi medregnes). Hvis k = 200 svinger fejlen mellem 0 og godt 10%. Hvis alle egenværdier medregnes (dvs. k er lig n som er lig 381) er fejlen eksakt 0, som forventet. Hvis vi går til næste graf for porteføljer med 4 aktier i hver, ser man det samme mønster, dog er approximationen væsentlig bedre allerede når k er tæt på 1. Hvis man kan leve med en præcision på 5% kan man faktisk nøjes med at sætte k = 5, hvilket i sig selv vil give en reduktion i beregningstiden på 1 − 5/381 ≈ 98.7%. For porteføljer med 16 aktier og opefter kommer fejlen under 1% allerede med k = 1. Som man kan se er der meget stor forskel på hvor godt den historiske varians for forskellige porteføljer egner sig til at blive approximeret, hvilket giver anledning til et bredt bånd af grafer. Til gengæld ser man at diversificerede porteføljer generelt set danner et smallere bånd end ikke-diversificerede 33 porteføljer og at diversificerede porteføljer egner sig væsentlig bedre til approximationen. På Tabel 2 ses øverst hvilken cutoff-værdi k man skal bruge for at få en approximationsfejl på under 1% for porteføljer med forskellig grad af diversifikation. Fx. kan man se at for datasættet NYSE77 og en portefølje med 16 aktier, skal man bruge de første 29 principal-aktiver, dvs. k = 29, for at få en approximationsfejl på under 1%. Tilsvarende kan man aflæse at med en fuldt diversificeret portefølje kan man nøjes med det første principal-aktiv, dvs. k = 1. Den nederste tabel viser det samme, blot er tallene omregnet til en reduktionsfaktor, dvs. man finder cutoff-faktoren divideret med det totale antal principal-aktiver: k/n. Dette er samtidig et udtryk for den mulige reduktion man kan opnå i beregningstiden, jævnfør afsnit 6.1. Eksempelvis kan man for porteføljer med mindst 16 forskellige aktier i SP2000 (som er et marked med 384 aktier) få en reduktion på ca. 100% − 3.4% = 96.6% af beregningstiden og stadig have en præcision på 1%. Ved generelt at kigge på graferne for diversificerede porteføljer kan man se, at approximationen virker med meget stor nøjagtighed. 7 Definition af value-at-risk og expected shortfall Vi har nu vist, hvordan man kan finde en god approximation af den historiske varians og standard-afvigelse for en givet portefølje. I praksis er man dog ofte mere interesseret i andre risikomål end standard-afvigelsen. Typisk ønsker man nemlig risikomål som kan bruges til at bestemme hvor meget risikovillig kapital en given position i markedet kræver, hvilket fører til en betragtning af risikomål som giver et bud på hvor store tab, man kan blive udsat for. To sådanne risikomål er value-at-risk (VaR) og expected shortfall (ESF) som behandles i dette afsnit. VaR er løst sagt et mål for hvor stort et værditab vi højst kan udsættes for indenfor en given tidshorisont og med en given sandsynlighed. For at definere VaR mere formelt tager vi udgangspunkt i en given portefølje P, et givet tidsinterval t - som i rammerne af denne analyse altid er 1 dag - og en given sandsynlighed α ∈ [0, 1], typisk 95% eller 99%. Det er praktisk at indføre α ˆ= 1 − α, dvs. α ˆ vil typisk være 5% eller 1%. Nu minder vi om at α-fraktilen for P angiver det punkt på x-aksen i et diagram over sandsynlighedsfordelingen for P, hvor α-% af sandsynlighedsmassen ligger til venstre for punktet og dermed ligger 1 − α-% til højre for punktet. Hermed kan vi definere value-at-risk sådan her: VaRα (P) = −1 · (ˆ α-fraktilen af P) (11) Det negative fortegn er indført, fordi man ønsker at value-at-risk skal være et 34 Figur 9: Illustration af sandsynlighedsfordeling og fraktiler. Figuren viser et histogram over daglige relative afkast for Alcoa Inc. (med ticker symbolet AA) målt over perioden 1984-2014, hvilket svarer til en tidsserie med ca. 7500 målepunkter. Nederste billede viser halerne i større detalje. Middelværdien kan findes til at være 0.0004 og spredningen er 0.023. Ved hjælp af lidt databehandling kan man finde, at 5%-fraktilen ligger omkring -0.033, dvs. med andre ord er VaR95% = 0.033. Dernæst kan man finde at 1%-fraktilen ligger omkring -0.06, dvs. VaR99% = 0.06. NB: Hvis det daglige afkast havde været normalfordelt, skulle 99.7% af punkter ligge mellem -0.07 og +0.07, hvilket passer nogenlunde grafisk set. Til gengæld burde et daglig relativt afkast på -0.24 (som er det yderste venstre punkt) kun ske en ud af ca. 8 · 1026 dage, hvilket er en klar indikation af, at det daglige afkast ikke er normalfordelt. Figur 10: Grafisk illustration af VaR og ESF. Her vises som eksempel 90%-VaR og som det fremgår ligger 90% af sandsynlighedsmassen til højre for punktet mens 10% ligger til venstre. ESF kan man forstå som middelværdi af den del af halen som ligger til venstre for VaR, dvs. middelværdien af den gule hale. positivt mål, dvs. det angiver det potentielle tab. Begreberne omkring fraktiler og definitionen af VaR er illustreret på Figur 9 og Figur 10. NB: Bemærk at value-at-risk traditionelt defineres som et absolut mål for det potentielle tab og value-at-risk måles normalt i en konkret valuta. Fx kan man have en 95% VaR på 200.000 kr for en portefølje med værdi 1mio.kr. Som allerede nævnt tænker vi på P som en stokastisk variabel, der angiver den daglige relative tilvækst. Hvis fx P en dag er lig -0,08, da svarer det til at porteføljen har haft et relativt afkast på -8%, eller omvendt sagt, et tab på +8%. Da vi benytter den konvention, at alle porteføljer koster 1 kr (og bliver rebalanceret hver dag) kan vi lige så godt tænke på det som om, at vi har lidt et tab på 0,08kr. Med andre ord kan vi tænke på vores stokastiske variabel P som den daglige gevinst/tab i kroner, og dermed bliver ovenstående definition af value-at-risk konsistent med den normale definition. Expected shortfall (forkortet ESF) er løst sagt et mål for, hvor meget man skal forvente at tabe, hvis det først går galt. Mere præcist defineres ESF i lighed med VaR for en given sandsynlighed α% og en given tidshorisont, som det forventede tab i de α-% værste scenarier der kan hænde indenfor den givne tidshorisont. ESF er også illustreret på Figur 10. Formelt kan vi definere ESF som følger: ESFα = −E(P|P < −VaRα ) Igen er der indført et negativt fortegn, for at ESF bliver en positiv størrelse. I ord vil man læse formlen som det forventede tab givet et tab større end VaRα . 36 7.1 Historisk VaR og ESF Når man arbejder med tidsserier for daglige relative prisændringer er det let at finde den historiske VaR og historiske ESF. Historisk VaR for en givet fraktil α findes ved at sortere tidsserien i stigende orden efter daglig relativ tilvækst (så de største tab kommer først) og dernæst finde det K’te element i rækken, hvor K = α ˆ T og T er det totale antal elementer i tidsserien. Vi minder om at α ˆ ≡ 1 − α. Historisk ESF findes i forlængelse heraf, ved at tage middelværdien af de elementer, som kommer før det K’te element. Det skal her bemærkes at historisk VaR og ESF også kan bestemmes på andre måder fra en given tidsserie. Fx kan der benyttes en form for interpolation, hvis man forsøger at bestemme nogle fraktiler, hvor der er langt imellem punkterne. Dette behov opstår typisk hvis man har et lille antal datapunkter i sin tidsserie, eller hvis man forsøger at bestemme de mest ekstreme fraktiler såsom 99.9999%-fraktilen. Til denne opgave vil vi nøjes med den simple metode beskrevet herover. 7.2 Empiriske resultater Vi kan starte med at undersøge VaR for enkelte aktier, hvor vi sammenligner historisk VaR med 1.6449×σ som teoretisk skulle give det samme, hvis afkastet var normalfordelt. Dette er vist for SP1984 på Figur 11. Det ses at der som forventet er en klar sammenhæng mellem σ og VaR i den forstand at de bevæger sig op og ned sammen (dvs. de er stærkt korrelerede), men det ses også at de ikke ligger oven i hinanden (dvs. afkastet er ikke normalfordelt) og der er heller ikke perfekt korrelation, dvs. der er lidt forskel på hvor tæt de ligger på hinanden. Dette skal fortolkes således, at der er forskelle i haletykkelserne på forskellige aktier. Til at illustrere dette kigger vi nærmere på to specifikke aktier, WMB (Williams Companies, Inc.) og PNR (Pentair plc). Tabel 3 viser VaR-værdier for forskellige α-værdier. Det ses tydeligt at WMB er tykkere i halen end PNR idet alle fraktiler udover 99%-fraktilen ligger længere ude. Derudover kunne det være interessant at sammenligne VaR og ESF for aktier versus principal-aktiver. Dette er vist på Figur 12. Som det kan ses giver principal-aktiverne en form for koncentration af volatiliteten således at de første principal-aktiver har en høj VaR svarende til en høj volatilitet, mens halen har en lav VaR. Det samme gør sig gældende for ESF. 37 Alpha 95% 98% 99% 99.7% 99.9% 99.99% VaRα /σ PNR Norm.ford. 1.5 1.6 2.1 2.1 2.6 2.3 3.8 2.8 5.1 3.1 11.6 3.7 WMB 1.1 1.8 2.5 4.1 5.8 19.8 Tabel 3: Viser value-at-risk målt i enheder af σ for to virksomheder PNR (Pentair Plc) og WMB (Williams Companies Inc.) med forskellig haletykkelse sammenlignet med en normalfordeling. Eksempelvis er VaR-95% for Pentair Plc ca. lig med 1.5 standardafvigelser. Figur 11: Illustration af VaR fundet henholdsvis historisk og ud fra formlen 1.6449 × σ. Figur 12: Illustration af VaR (øverst) og ESF (nederst) fundet for alle aktierne i SP84 markedet sammenlignet med VaR fundet for principalaktiverne. Den ’glatte’ grønne kurve angiver VaR hhv. ESF for principalaktiverne. Den blå hakkede kurve angiver VaR hhv. ESF for aktierne i markedet. Figur 13: En normalfordeling er entydigt kendetegnet ved dens middelværdi og standardafvigelse. 8 Approximation af value-at-risk Vi ønsker at finde en metode til udregning af VaR og ESF der ligger i forlængelse af den allerede udledte formel (10) for approximation af varians og standardafvigelse. Samtidig ønsker vi at forstå de begrænsninger og antagelser, der skal gøres for at approximationen er god. Først gøres den betragtning, at visse familier af stokastiske variable har et fast forhold mellem standard-afvigelsen og en given fraktil. For disse stokastiske variable vil der også være et fast forhold mellem standard-afvigelsen og VaR-α, jævnfør definitionen af VaR (11). Som eksempel har man den velkendte 68-9599.7 regel for normalfordelingen, der siger, at ca. 68% af sandsynlighedsmassen ligger inden for 1 σ, 95% ligger inden for 2σ og 99.7% ligger inden for 3σ. Denne ide er illustreret på Figur 13. Således har man at VaR-95% for en normalfordelt stokastisk variabel med varians σ altid vil være 1.6449 × σ. Man kan nu opstille den hypotese, at de porteføljer P vi kan konstruere i markedet, vil have denne egenskab, altså at der givet α er et fast forhold mellem σ(P) og VaRα (P), uanset hvilken portefølje P vi vælger. Teoretisk set er der gode eksempler på multivariate fordelinger, som har denne egenskab, specielt skal nævnes de elliptiske fordelinger, jf. [2] afsnit 3.3. En simpel måde at efterprøve denne tese empirisk er, at udregne den historiske value-at-risk samt den historiske standard-afvigelse for en række forskellige porteføljer eller aktier i markedet, og dernæst finde forholdet mellem VaR og standard-afvigelsen. Dette er undersøgt for SP84 og resultatet kan ses på Figur 14 og Tabel 4. Undersøgelsen viser (som forventet) at hypotesen ikke holder eksakt. Til gengæld kan vi se, at forholdet ligger i et fast bånd, der i værste fald svinger med ±10% for aktierne og i bedste fald ca. ±4% for halen af egenvektorerne, jævnfør Tabel 4. Vi kan nu lave følgende approximation, som analytisk set er grov og klodset men som til gengæld er nem at forstå. Betragt en portefølje P og en fast værdi 40 Figur 14: Viser en undersøgelse af forholdet mellem value-at-risk og std.afv. for SP84-aktierne øverst og SP84-principalaktiverne (dvs. egenvektorerne) nederst. Først observeres at forholdet generelt er mindre for aktierne (svinger mellem 1.2 og 1.5) end for egenvektorerne (svinger mellem 1.4 og 1.6). Det kan fortolkes således at egenvektorerne repræsenterer de kombinationer af aktiver i markedet, som giver de tungeste haler! Det er ønskværdigt set ud fra et risikostyringsperspektiv, idet vi jo netop forsøger at få styr på den risiko, som gemmer sig i de tunge haler. Dernæst ses det, at grafen for egenvektorerne har den særlige egenskab, at halen stabiliserer sig en smule ved at svinge mellem 1.5 og 1.6. Tabel 4 viser middelværdi og std.afv. for svingningerne for hhv. aktierne, egenvektorerne og halen af egenvektorer (hvor de første 10 hhv. 20 egenvektorer skæres fra). Tabel 4: Middelværdi og std.afv. i forholdet value-at-risk / std.afv. Middelværdi Aktier 1.42 Egenvektorer 1.57 Egenvektor > 10 1.58 Egenvektor > 20 1.59 std.afv. 0.071 0.055 0.035 0.03 95% konfidensinterval ±10% ±7% ±4.4% ±3.8% af α og sæt γ ≡ VaR(P)/σ(P) Vi har droppet α-fodtegnet for at holde notationen simpel, men det er underforstået at vi mener VaRα () når vi skriver VaR(). Vi tænker på γ som det sande men ukendte forhold mellem value-at-risk og std.afv. for P. Definér ligeledes: γi ≡ VaR(Qi )/σ(Qi ) hvor vi husker at Qi er den i’te principal komponent. Vi tænker på γi som forholdet mellem VaR og std.afv. for det i’te principalaktiv. Med udgangspunkt i undersøgelsen fra Figur 14 og Tabel 4 vil vi nu antage at γ ≈ γi for alle i. Ved at anvende egenvektor-dekompositionen fra (8) ser vi følgende: (VaR(P))2 = γ 2 · σ 2 (P) = γ 2 β12 λ1 + · · · + βn2 λn = β12 γ 2 λ1 + · · · + βn2 γ 2 λn ≈ β12 γ12 λ1 + · · · + βn2 γn2 λn = β12 VaR(Q1 )2 + · · · + βn2 VaR(Qn )2 hvor det i sidste linie er udnyttet at γi2 λi = γi2 σ 2 (Qi ) = (γi σ(Qi ))2 = VaR2 (Qi ). Hvis vi indsætter α-fodtegnet igen og tager kvadratroden på begge sider finder vi den endelige formel: q VaRα (P) ≈ β12 VaR2α (Q1 ) + · · · + βn2 VaR2α (Qn ) hvor βi ≡ w · q0i (12) Selvom argumentet i udledningen ikke er specielt stærkt, skal vi senere se at denne approximation empirisk set er overraskende god. Som en sidste bemærkning vil vi sammenligne denne formel med en tilsvarende formel for standard-afvigelsen. Formel (8) kan omskrives til: q σ(P) = β12 σ 2 (Q1 ) + · · · + βn2 σ 2 (Qn ) (13) 42 Det understreges at σ er et moment-baseret risikomål, og som sådan er det fundamentalt anderledes end VaR, ESF og andre fraktil-baserede risikomål. Ligeledes skal det understreges at (13) er et analytisk eksakt resultat og ikke en approximation som formel (12). På trods af forskellene i σ og VaR og måden, hvorpå de to formler er udledt, så giver det intuitivt mening at riskomål som i en eller anden forstand "skalerer"med std.afvigelsen, kan dekomponeres vha. principal-komponenterne på samme måde som std.afvigelsen. Ovenstående approximation har stadig den ulempe, at den involverer alle egenvektorer, hvilket både er beregningstungt og udsat for stor statistisk støj. Derfor vil vi nu forbedre approximationen yderligere ved at indsætte en middelværdi for value-at-risk i halen af egenvektorer og samtidig udskifte de mange βi -værdier for halen med en samlet projektion ned i underrummet udspændt af hale-egenvektorerne - præcis som det blev gjort i forbindelse med udledning af formel (10). Hermed ender vi med dette centrale resultat, som gør det muligt at approximere value-at-risk med de k første egenvektorer og egenværdier til kovarians-matricen: (VaR(P))2 ≈ β12 VaR2 (Q1 ) + · · · + βk2 VaR2 (Qk ) ! k X 2 2 2 + VaRtail · kwk − βj (14) j=1 hvor βi ≡ w · q0i 8.1 Bestemmelse af VaR i halen Approximationen (14) involverer kun de første k egenvektorer bortset fra den gennemsnitlige value-at-risk for halen af egenvektorer. I tilfældet med approximationen (10) kunne man anvende et analytisk eksakt resultat om at summen af egenværdierne er lig summen af varianserne for de oprindelige ak2 tier (matematisk Tr(C) = Tr(Λ)) til at omskrive σtail yderligere uden tab af nøjagtighed. Denne mulighed har vi ikke nu. Man kan istedet forestille sig en af følgende metoder anvendt til at bestemme VaR2tail : 1. Man kan finde alle principal-aktiverne i halen og dernæst finde value-atrisk for hver af disse. Slutteligt kan man finde gennemsnittet af VaR2i . 2. Som det kan ses på Figur 12 er halen nogenlunde jævnt faldende. Dvs. man kunne nøjes med at bestemme value-at-risk for et par udvalgte principal-aktiver i halen, og dernæst lave en simpel lineær interpolation for at finde den gennemsnitlige værdi af VaR2i for i > k. 43 Uanset hvilken model der vælges til at estimere den gennemsnitlige værdi af VaR2i i halen skal det bemærkes, at det ligesom for approximation af standardafvigelsen/variansen jf. (10) gælder, at de første principal-aktiver vil veje tungest for vel-diversificerede porteføljer, både fordi VaR er størst for de første principal-aktiver jf. Figur 12 og fordi vel-diversificerede porteføljer vil have de største βi -værdier for de første i’er. Derfor vil selv større unøjagtigheder ved bestemmelse af Var2tail blive mindre betydende når vi bruger approximationen (12). Til de empiriske undersøgelser i denne opgave vil vil blot anvende metode 1. Dette kan lade sig gøre fordi vi betragter et relativt lille marked og dermed kan vi nemt finde alle principal-aktiverne i halen. 8.2 Empiriske resultater For at efterprøve formel (14) er der i genereret 5000 diversificerede porteføljer. For hver af disse er VaR udregnet historisk og ved hjælp af formel (14) for forskellige cutoff-værdier k. Dernæst er den procentvise fejl mellem den historiske og den approximerede værdi fundet og slutteligt er der lavet et histogram, der viser fordelingen af procentvise fejl. Derudover er den gennemsnitlige fejl og spredningen på fejlen fundet. Undersøgelsen er først lavet uden cutoff (dvs. alle principal-aktiverne bruges) på tværs af datasættene SP84 og SP2000. Resultatet ses på Figur 15. Det ses at approximationen er brugbar, hvis man kan leve med unøjagtigheder på VaR på op til ca. 4%. Bemærk at denne fejlmargin opstår pga. den approximation der blev lavet ved udledning af formel (12) og ikke pga. haleapproximationen i formel (14), da den ikke er anvendt her. For at se om hale-approximationen giver en yderligere forringelse af nøjagtigheden, laves en undersøgelse af SP2000, hvor der prøves med forskellige cutoff-værdier, denne gang for VaR-99% istedet for VaR-95%. Resultatet ses på Figur 16. Det bemærkes at alle 4 histogrammer har en forholdsvis høj grad af overensstemmelse hvad angår spredning og form. Det skal fortolkes således, at man ved at anvende et meget lille principal-aktiver i approximationen kan bestemme VaR med nogenlunde samme præcision, som hvis man anvender alle principal-aktiver. Approximationen af VaR er måske ikke fuldt tilfredsstillende, idet en fejlmargin på 4-6% ikke nødvendigvis er acceptabel. Da udregning af risikomål typisk handler om kapitalkrav, er det ikke ligegyldigt, om der skal bruges 4-6% mere eller mindre. Vi skal nu se, at ESF som risikomål har nogle pænere egenskaber i denne sammenhæng, da vores approximation virker væsentlig bedre for ESF end for VaR. 44 Figur 15: Viser et histogram over den procentvise fejl mellem den historiske og den approximerede værdi af VaR-95% jf. formel (14) for hhv. SP84 (øverst) og SP2000 (nederst) for 5000 tilfældigt genererede porteføljer. Figur 16: Viser den procentvise fejl mellem den historiske og den approximerede værdi af VaR-99% for SP2000 med anvendelse af cutoffværdier på hhv. 1, 4 og 8 (de tre øverste) mens det nederste histogram er lavet uden cutoff. 9 Approximation af expected shortfall Vi vil nu gå skridtet videre og lave den samme approximation for expected shortfall. Igen gør vi den observation at der for visse familier af stokastiske variable vil være et fast forhold mellem standardafvigelsen og expected shortfall for en given fraktil. Dette vil eksempelvis gælde for de multivariate elliptiske fordelinger. Ved at bruge de samme argumenter som blev anvendt til udledning af (14), finder man en approximation for ESF som følger: ESFα (P) ≈ q β12 ESF2α (Q1 ) + · · · + βn2 ESF2α (Qn ) hvor βi ≡ w · q0i (15) Lige som før kan vi også anvende argumentet med at bruge en gennemsnitsværdi for ESF2α (Qi ) i halen for i > k, dvs. vi finder formlen: (ESF(P))2 ≈ β12 ESF2 (Q1 ) + · · · + βk2 ESF2 (Qk ) ! k X 2 2 2 + ESFtail · kwk − βj (16) j=1 hvor βi ≡ w · q0i Ligesom for approximationen af VaR skal vi overveje, hvordan vi kan finde ESF2tail , dvs. den gennemsnitlige expected shortfall for principal-aktiverne i halen. Og ligesom for VaR kan man forestille sig forskellige heuristiske metoder til at finde dette, jævnfør diskussionen i afsnit 8.1. Til denne opgave bruger vi samme fremgangsmåde for ESF som vi gjorde for VaR, dvs. vi finder ganske simpelt expected shortfall for alle principal-aktiverne med index i>k og herfra finder vi den gennemsnitlige værdi af expected shortfall. 9.1 Empiriske resultater Efterprøvningen af approximationerne for ESF foregår efter samme metode som for VaR og resultaterne ses på Figur 17, Figur 18 og Figur 19. Overordnet set bemærker vi at approximationerne generelt er bedre for ESF end for VaR. Fx. ses på Figur 17 at approximationen har en fejlmargin på under 1% for både SP84 og SP2000. 47 Figur 17: Viser den procentvise fejl mellem den historiske og den approximerede værdi af ESF-95% for hhv. SP1984 (øverst) og SP2000 (nederst). Figur 18: Viser den procentvise fejl mellem den historiske og den approximerede værdi af ESF for SP2000 for forskellige værdier af α lig 90%, 95%, 99% og 99.9% (øverst til nederst). Det ses at approximationen er ret god for alle α-værdier op til og med 99%, hvorefter approximationen bliver forringet. Figur 19: Viser den procentvise fejl mellem den historiske og den approximerede værdi af ESF for forskellige cutoff-værdier k = 1, 4, 8 for SP2000. Den nederste figur er lavet uden cutoff. Fra Figur 18 kan vi observere at fejlmarginen vokser når fraktilen α vokser. Dvs. vores approximation bliver dårligere og dårligere jo længere vi kommer ud i halerne. For at forstå dette fænomen, skal vi tænke lidt dybere over, hvad der gør principal-aktiverne så velegnede til bestemmelse af variansen, faktisk så velegnede at formel (8) gælder eksakt. Forklaringen er, at principalaktiverne udgør de aktiver i vores marked, som maksimerer variansen10 og som samtidig er ukorrelerede. Hvis vi samtidig husker at variansen og korrelation pr. definition er 2. ordens momenter, kan vi omformulere og sige, at principalaktiverne er den optimale basis til at beskrive og beregne 2. ordens momenter i markedet. Samtidig skal man indse at det ikke nødvendigvis er optimalt til at beskrive og beregne højere ordens momenter. Da VaRα og ESFα er fraktil-bestemte mål og α desuden kan antage alle værdier mellem 0 og 1, afhænger de ikke kun af ét moment, men derimod af alle momenter.11 Den grundlæggende hypotese for denne opgave kan nu udtrykkes således: Principalaktiverne udgør en optimal basis til at beskrive og beregne varians og standard afvigelse. Samtidig udgør de et godt bud på en tæt-på-optimal basis til at beskrive og beregne VaR og ESF. 10 Og her er det underforstået at vi mener, at den første egenvektor maksimerer variansen globalt, den anden maksimerer variansen i underrummet vinkeltret på den første, den tredje maksimerer variansen i underrummet vinkelret på de to første osv. osv. 11 Vi minder om at en sandsynlighedsfordeling (for ’pæne’ fordelinger) entydigt bestemmes af sine momenter og omvendt, jævnfør Teorem 5.2 i [4] som vedrører moment-genererende funktioner. 51 10 Bestemmelse af cut-off faktor vha. af random matrix teori (RMT) Random matrix teori har sit udspring i teoretisk fysisk hvor grundstenene blev lagt af Eugene Wigner, som i øvrigt vandt Nobelprisen i fysik i 1963. Random matrix-teori har fundet anvendelse indenfor en lang række forskellige områder indenfor fysisk, matematik og statistik og i de senere år også indenfor finansiering, jævnfør [6] og [7]. I random matrix-teori betragter man ganske simpelt en matrix, hvor de enkelte elementer er stokastiske variable eller - om man vil - tilfældige tal udtrukket efter en given sandsynlighedsfordeling. Herefter undersøger man forskellige statistiske egenskaber ved matricen, som udgangspunkt relateret til fordelingen af egenværdier og egenvektorer. Vi vil i det følgende betragte et marked med n aktiver, som antages at være ukorrelerede og med identiske sandsynlighedsfordelinger. Bemærk at vi ikke antager at de er normalfordelte, blot at de er identisk fordelte. For en nemheds skyld antager vi også at de er normaliseret så standardafvigelsen er 1. Det antages nu at vi har en tidsserie i dette marked der viser afkast (pr. minut, pr. time, pr. dag eller andet) af længde T , som angiver antal målepunkter. Følgende må gælde helt oplagt: • Den ægte (dvs. teoretiske) korrelationsmatrix for markedet må være lig identitetsmatricen: 1 0 ... 0 0 1 0 . . C teoretisk = I n = .. . . ... 0 0 ... 1 • Identitetsmatricen I n ses at have n egenværdier alle med værdien 1 mens egenvektorerne er givet ved enhedsvektorerne. • Når T bliver meget stor for fastholdt n må den empiriske korrelationsmatrix nærme sig den teoretiske grænse, dvs. fordelingen af egenværdier må konvergere mod en spike, som har meget stor tæthed omkring 1. • Jo mindre T bliver (dvs. jo færre målepunkter der haves i tidsserien) jo større usikkerhed må der være i bestemmelsen af den empiriske korrelationsmatrix, dvs. naivt set må man forvente at fordelingen af egenværdier spreder sig i en eller anden form omkring 1. Et centralt resultat indenfor RMT er, at der kan findes en overraskende simpel analytisk formel der beskriver fordelingen af egenværdier i grænsen hvor både 52 Figur 20: Viser den teoretiske grænse for distributionen af egenværdier for korrelationsmatricen for en random matrix for Q ≡ T /N = 1.5, 10, 100 respektivt, hvor Q = 1.5-værdier svarer til den brede fordeling med en peak i venstre side mens Q = 100 svarer til den højeste og mest centrerede halv-cirkel. Det man skal lære af figuren er, at jo kortere tidsserie man har relativt til markedets størrelse (dvs. jo mindre Q-værdi), jo mere bredspektret bliver støjen. Omvendt, jo længere tidsserie man vælger, jo mere konvergerer formen mod en spike omkring 1, der i den teoretiske grænse samler hele sandsynlighedsmassen præcis i punktet 1. n og T går mod uendelig på en sådan måde at forholdet Q ≡ T /n fastholdes. Hvis vi lader ρ(λ) betegne tæthedsfunktionen for fordelingen af egenværdier ser formlen således ud: p Q (λmax − λ)(λmin − λ) ρ(λ) = λ 2π p max hvor λmin = 1 + 1/Q ± 2 1/Q og Q = T /n (17) Formlen er oprindelig udledt af Vladimir Marcenko og Leonid Pastur i 1967, og fordelingsfunktionen kaldes derfor for en Marcenko-Pastur fordeling. Fordelingen kan opfattes som et støjbånd, dvs. egenværdier som falder indenfor båndet har ingen statistisk signifikans. Marcenko-Pastur fordelingen er illustreret på Figur 20 for tre forskellige Q-værdier. For at efterprøve disse resultater, kan vi simulere en tidsserie af længde T fra et fiktivt marked bestående af n ukorrelerede aktiver med daglige afkast der følger fx en normalfordeling (men vi kunne have valgt en vilkårlig anden fordeling med middelværdi 0 og spredning 1). Herudfra findes korrelationsmatricens egenværdier og der kan tegnes et histogram. Dette sammenlignes med Marcenko-Pastur fordelingen. Resultatet ses på Figur 21 hvor sammenfaldet mellem empiri og teori er tydeligt. 53 Figur 21: Empirisk egenværdi-fordeling af en korrelationsmatrix for et fiktivt marked bestående af ukorrelerede og identisk fordelte aktiver hvor markedet størrelse n og tidsseriens længde T er valgt til at matche hhv. SP2000 (øverst) og SP84 (nederst). Til sammenligning er også indtegnet den teoretiske Marcenko-Pastur fordeling (tynd kurve). Det ses at den empiriske fordeling tilnærmes fint af den teoretiske. Det skal understreges at i grænsen hvor både n og T går mod uendelig i et fast forhold, da vil den empiriske egenværdi-fordeling konvergere mod den teoretiske fordeling. Figur 22: Øverst vises tætheden af egenværdier for korrelationsmatricen for NYSE77 (lodrette søjler) sammenholdt med Marcenko-Pastur fordelingen (støjbåndet) for Q = 9334/1594 = 5.9 (blå kurve), der ville være den gældende fordeling hvis aktierne i NYSE77-markedet var ukorrelerede. Det lille indlejrede vindue viser histogrammet i fuld skala. Det ses at den første egenværdi skiller sig markant ud fra støjbåndet med en værdi på 340, dvs. ca. 170 gange større end støjbåndets maksimumværdi. Den 2. og 3. egenværdi følger efter med værdier omkring 40. I midten og nederst vises det tilsvarende for hhv. SP2000 og SP84. I alle tre tilfælde ses, at den empiriske fordeling er væsentlig forskelligt fra Marcenko-Pastur, hvilket fortolkes på den måde, at markedet indeholder signifikante korrelationer, i modsætning til et komplet ukorreleret marked som det ses på Figur 21. Vi kan nu gå skridtet videre og sammenligne Marcenko-Pastur fordelingen med de empiriske fordelinger for de tre udvalgte markeder, NYSE77, SP84 og SP2000. Dette er gjort på Figur 22, hvor man ser, at de empiriske egenværdifordelinger adskiller sig radikalt fra Marcenko-Pastur fordelingen. Det kan dels ses på formen men også (som noteret på figurerne) på cut-off faktoren k der angiver hvor mange egenværdier, der ligger til højre for λmax og på korrelationsfaktoren, der til formålet er defineret som forholdet mellem den højeste empiriske egenværdi λ1 og λmax fra formel 17. Eksempelvis er λ1 = 340 for p NYSE77 mens λmax = 1.997 som det kan udregnes fra formlen 1 + 1/Q + 2 ∗ (1/Q) hvor Q = 9334/1594. Vi kan altså konkludere, at NYSE77 har 65 principal-aktiver (svarende til k = 65) der ligger uden for støj-båndet (Marcenko-Pastur fordelingen) og den første af disse principal-aktiver har en varians, der er 170 gange højere (angivet på figuren med korrelationsfaktor=170) end man vil finde i et fuldstændig ukorreleret marked. Med andre ord, der findes i markedet 65 porteføljer, svarende til de første 65 principal-aktiver, som indkapsler al signifikant korrelation i markedet. Hermed har vi argumenteret for, at RMT kan anvendes til at give et bud på en fornuftig cut-off faktor k ud fra betragtningen om, at man kun vil operere med de principal-aktiver som kan tillægges statistisk signifikans. 56 11 Forecasting Livet forstås baglæns, men må leves forlæns. - Søren Kierkegaard Søren Kierkegaards velkendte citat har stor sandhed i relation til risikovurdering. Den sande risiko, den risiko vi virkelig gerne vil kende til, er risikoen for de hændelser som adskiller sig så meget fra tidligere hændelser, at vi ikke har en chance for at forudse dem. Risk managere i små og store virksomheder har ikke den luksus, at kunne læne sig tilbage sammen med Kierkegaard og se det som et grundvilkår kun at kunne forstå fortiden. Vurdering af risiko handler i sidste ende altid om vurdering af fremtidig risiko. Indtil nu har vi koncentreret os om historiske risikomål, eller udtrykt mere præcist, om risikomål udregnet for en tidligere periode med kendte markedsdata. Forecasting handler om det modsatte, nemlig om beregning af risikomål for en fremtidig periode. For at sætte den rigtige ramme for den følgende diskussion, starter vi med at tage et kort kig på de metoder og principper, der anvendes i Danske Capital til at lave forecasting af risiko. Med udgangspunkt heri vil vi give nogle udvalgte eksempler på hvordan principal-aktiver kan anvendes. 11.1 Forecasting i Danske Capital - et resume Forecasting i Danske Capital foregår efter en model, der er beskrevet i et internt notat som er venligt udlånt til denne opgave og endvidere opsummeret i en artikel i Finans Invest, jf. [9]. Modellen tager som udgangspunkt følgende observationer: • Afkastfordelinger er ikke normalfordelte. Der er tykke haler og skævhed. • Ingen egenskaber ved markedet er stationære, alting er i bevægelse. Det gælder i særdeleshed korrelationer. • Markedet har regimer, dvs. perioder med forskellige karakteristika. I det interne notat anvendes en model med fire regimer kaldet expansion, slowdown, recession og recovery. I artiklen [9] anvendes to regimer kaldet stresset og ustresset. • Markedet udviser temporal korrelation, dvs. korrelation mellem afkastet af et givet aktiv til et tidspunkt og afkastet af samme aktiv til et senere tidspunkt. Endvidere observeres det, at den temporale korrelation kommer fra de ekstreme hændelser. Hvis man fjerner alle ekstreme hændelser fra datasættet forsvinder den temporale korrelation næsten. 57 Figur 23: Illustrerer idéen om en regime-model alá den der arbejdes med i Danske Capital. Man tænker på markedet som et tilstandsrum med et antal tilstande kaldet regimer, her vises 4 regimer. For hver periode der går (fx en måned eller et kvartal) er der en given sandsynlighed for at der sker en overgang til et andet regime. • De ekstreme hændelser findes med stor overvægt i perioder (dvs. regimer) med recession. Det medfører at regimer med recession vil udvise temporal korrelation i større grad mens det modsatte vil gøre sig gældende i andre regimer. • Mange har forsøgt at modellere og parametrisere de multivariate fordelinger i markedet, hvilket har givet anledning til såkaldte copula-teorier. Da det dels baserer sig på avancerede matematiske koncepter og dermed bliver svært tilgængeligt for mange investorer og dels giver modeller med mange frihedsgrader (og dermed stor vilkårlighed i modellen) har Danske Capital valgt en tilgang hvor der i stedet trækkes stikprøver fra de historiske data. Hermed trækker man altså stikprøver fra den multivariate fordeling som markedet reelt har udvist uden at man behøver en underliggende matematisk model for fordelingen. Regime-modellen arbejder med et antal forskellige regimer. I det interne notat anvendes Recession, Recovery, Expansion og Slowdown. I artiklen [9] anvendes to regimer kaldet Stresset og Ustresset. Dette kobles med en model for overgangssandsynligheder imellem de forskellige regimer. Denne idé er illustreret på Figur 23. For at udregne et givet risikomål for en given portefølje, en given tidshorisont og en antagelse om et givet intielt regime, bruges regime-modellen først til at bestemme hvilke regimer der skal betragtes med hvilke vægte over hvilke 58 perioder. Hernæst trækkes historiske hændelser (dvs. afkast) fra de pågældende regimer for den givne portefølje. Hermed får man et bud på en fremtidig tidsserie for porteføljen, som den vil se ud givet regime-modellen og de historiske data. Slutteligt kan der udregnes alle ønskelige risikomål for porteføljen, herunder naturligvis varians, VaR og ESF. Modellen kan udnyttes videre til at lave modeller for optimal allokering af porteføljer. Princippet er her at man for forskellige risiko-værdier (den ønskede risiko-profil) laver en afsøgning af markedet som numerisk bestemmer den portefølje der optimerer afkastet givet risikoen. 11.2 Forecasting med principal-aktiver Modellen omkring principal-aktiver ændrer ikke ved de grundlæggende diskussioner og problemstillinger man har, når man skal opstille en model for vurdering af (fremtidig) risiko. Den grundlæggende anke er, at historien ikke gentager sig selv. Til gengæld giver principal-aktiverne os en række nye værktøjer og teknikker til at forstå og analysere markedsdynamikkerne. Dette afsnit vil give nogle udvalgte eksempler på dette. Hvis man genlæser afsnittet om forecasting i Danske Capital vil man finde følgende vigtige analyser: • Identifikation af regimer. • Identifikation af hvilket regime man pt. befinder sig i. • Bestemmelse af overgangssandsynligheder mellem regimer. • Udregning af afkast for en given portefølje. • Udregning af realiseret risiko (ex.ante) for en given portefølje for en historisk periode. • Estimering af forventet fremtidig risiko (ex.post) for en given portefølje for et givet regime. • Bestemmelse af den efficiente rand, dvs. for en givet ønsket risiko (investors ’budget’) find den portefølje der giver højst mulige afkast. Vi vil her fokusere på spørgsmålet omkring identifikation af regimer. Første spørgsmål er hvorledes regimer kan bestemmes. Dette spørgsmål giver i sig selv stof nok til en længere analyse, så vi kommer til at nøjes med en kort diskussion af emnet. Helt overordnet set må formålet med regimerne være at finde perioder, hvor markedets karakteristika hvad angår afkast og risiko er nogenlunde stationære. 59 Lad os her repetere fra afsnit 3 at vi tænker på markedet, som værende beskrevet af n stokastiske variable A1 , . . . , An svarende til de n aktiver i markedet. Teoretisk set vil A1 , . . . , An være beskrevet af en multivariat fordeling for aktivernes afkast. Vi kan nu formulere kravet ved at sige, at regimer skal dække perioder hvor den multivariate fordeling er nogenlunde konstant. Nu er multivariate fordelinger forholdsvis svære at begribe og visualisere. En særlig gren indenfor statistik kaldet copula-teori har til formål at studere sådanne fordelinger, blandt andet med henblik på at kunne klassificere og sammenligne forskellige fordelinger, jævnfør afsnit 5 i [2] og afsnit 5 i [3]. Det vil føre for vidt at give en formel behandling af spørgsmålet her. I stedet vil vi simplificere sagen ved at sige, at regimer skal dække perioder hvor de almindelige korrelationer (dvs. kovarians) er konstante. Korrelationerne er som bekendt givet i form af kovariansmatricen (eller korrelationsmatricen), så man ledes til spørgsmålet, hvordan man herudfra skal identificere regimerne. Her kommer principal-aktiverne ind i billedet. Sagen er jo at principal-aktiverne og de tilhørende egenværdier giver en meget præcis beskrivelse af korrelationerne i markedet. Det første principal-aktiv q1 giver en retning i markedet for den maksimale varians. En ændring i q1 kan fortolkes som en korrektion i markedet, hvor korrelationerne har ændret sig, ikke fordi volatiliteten nødvendigvis har ændret sig, men fordi den aktiv-sammensætning (dvs. portefølje) som giver den største volatilitet (varians) har ændret sig. Tilsvarende angiver den første egenværdi størrelsen på den maksimale volatilitet i markedet. En ændring i den første egenværdi angiver således en ændring i markedets volatilitet og dermed et muligt regimeskifte. Med udgangspunkt i disse ideer kan vi nu lave en model for identificering af regimer vha. principal-aktiverne som illustreret på Figur 24. Den øverste figur viser udviklingen af de 6 største egenværdier henover en periode på 30 år. Der er brugt et glidende vindue på 4 år der skubbes måned for måned. Fx. skal de første punkter på grafens venstre side hørende til årstallet 1988 fortolkes således, at der i perioden 1984-1988 har været en markedsdynamik, hvor den maksimale kovarians (dvs. den maksimale egenværdi) lå et sted mellem 0.01 og 0.02. Det ses også at den højeste egenværdi falder drastisk omkring år 1992 hvorefter den stiger jævnt til ca. år 2004, hvorefter den falder igen. På den midterste figur er vist et såkaldt egenvektor-delta. Grafen er lavet ved måned for måned at finde projektionen af den første egenvektor set i forhold til den første egenvektor måneden før. projektion til tiden t = q1 (t) · q1 (t − 1)0 Dvs. grafen giver et indtryk af hvilke korrektioner eller chok der sker i markedet. Så længe der er ro i markedet og sålænge den første egenvektor ikke rigtig ændrer sig henover tid, da ligger projektionen tæt på 1 (projektionen 60 Figur 24: Giver to forskellige overblik over udviklingen i principalaktiverne henover en periode på 30 år. Den øverste graf viser udviklingen i de 6 første egenværdier. Den midterste graf viser hvilke forskydninger der har været i det første principal-aktiv fra måned til måned. er 1 hvis og kun hvis de to vektorer er 100% ens). Når der sker en korrektion falder projektionen til et sted mellem 0 og 1. På figuren ses således nogle tydelige korrektioner omkring år 1993, igen i år 2003 samt i år 2007 og 2009. Hvis man sammenligner med den forrige graf vil man se at disse korrektioner passer ret fint med ændringer i markedsvolatiliteten. Hermed afrunder vi vores diskussion af principal-aktiver og forecasting. Det er blevet demonstreret hvorledes modellen åbner op for nye analyse-teknikker og måder at anskue markedsdynamikkerne på. 61 12 Konklusioner og resultater Der er givet en definition og gennemført udledning af alle relevante egenskaber ved principal-aktiverne ud fra en central matematisk hovedsætning spektralsætningen. Der er ført beviser for at de er ukorrelerede, at de optimerer variansen og at de udgør en komplet basis for repræsentation af porteføljer i markedet (se afsnit 4.2 og hovedresultatet (8)). Det er endvidere vist, hvorledes man finder porteføljer på den efficiente rand, når man arbejder med principal-aktiver (se formel (9)). Det er vist at man kan anvende principal-aktiver til at lave meget effektive approximationer af både varians/standardafvigelse (se formel (10)), value-atrisk (se formel (14)) og expected shortfall (se formel (16)). Der er lavet analyser af historiske data for tre forskellige tidsserier (SP2000, SP1984 og NYSE77) som strækker sig over et stort antal aktier (op til knap 1600 aktier for NYSE77) og en forholdsvis lang periode - op til 37 år for NYSE77 (se afsnit 3.2). Herunder er der udviklet en række Matlab-programmer til formålet, hvoraf et uddrag er vist i appendix. En reduktion i beregningstiden på 99% er generelt muligt for diversificerede porteføljer i alle tre markeder samtidig med at man nemt opnår en præcision på omkring 1% for både varians (se afsnit 6.2.3) og expected shortfall (se afsnit 9.1). Approximation af VaR fungerer lidt dårligere med typiske relative fejl på omkring 4-5% (se afsnit 8.2) . Der er gjort rede for en konkret forecasting model, som anvendes i Danske Capital (se afsnit 11.1). Med udgangspunkt i denne model er der givet et eksempel på, hvorledes principal-aktiver kan bruges til at udvikle og evt. forbedre denne type forecasting-modeller (se afsnit 11.2). 13 Perspektivering Vi har med denne opgave kradset i overfladen og taget udvalgte spadestik i den emnekreds, der åbner sig med introduktionen af principal-aktiver. Den grundlæggende idé har fra starten været, at finde en ny måde at faktorisere finansielle markeder på med udgangspunkt i matematisk teori, som allerede har vist sit værd i mange sammenhænge indenfor finansiering, statistik, fysik og andre videnskaber. Det er min overbevisning, at principal-aktiver som forståelsesramme udgør et vigtigt alternativ til traditionelle faktormodeller. Mange interessante egenskaber er blevet udledt og diskuteret men der er naturligvis mange flere aspekter som kan og bør undersøges for at få det fulde udbytte af modellen, herunder kan nævnes følgende: 62 • Det kan undersøges, hvorvidt udledningen af approximationen for VaR og ESF i afsnit 8 og 9.1 kan underbygges af mere stringente argumenter. Fx er det forholdsvis oplagt at en multivariat elliptisk fordeling jævnfør defintion 3.26 i [2] vil have den egenskab, at der er et fast forhold mellem std.afvigelse og fraktil-baserede mål såsom value-at-risk og expected shortfall. Dermed kan udledningen af (12) forbedres rent teoretisk - uden at det dog ændrer på approximationens gyldighed og anvendelighed i virkelighedens verden. • Det kan undersøges hvor stort et datagrundlag man skal bruge for at udregne principal-aktiverne op til et givet cut-off k med statistisk signifikans kontra hvor stort et datagrundlag man skal bruge for at udregne kovarians-matricen med statistisk signifikans. Det skal gerne kunne vises at de første k principal-aktiver (dvs. både egenværdier og egenvektorer) kræver et væsentlig mindre datagrundlag end kovariansmatricen som helhed. Dvs. også her kan der opnås en væsentlig besparelse hvad angår beregningstid og beregningskompleksitet. • Som det forklares i [6] og [7] afsnit V.B. er det muligt at rense kovariansmatricen for den støj, som svarer til principal-aktiver i støjbåndet, jævnfør teorien i afsnit 10. Hermed opnår man ifølge disse forfattere bedre resultater hvad angår allokering af optimale porteføljer. • Der kan laves reelle målinger der konkret efterviser de besparelser i beregningstid på 99% eller mere, som principelt er påvist i afsnit 6.2.3 • Der kan laves konkrete anvendelser og eftervisninger af formel 9 til fremfinding af den efficiente rand. Det kan eftervises at man kommer frem til samme efficiente rand som en traditionel Markovitz optimering. Endvidere ville det være interessant at undersøge, om der kan laves effektive approximationer af den efficiente rand ved at bruge hale-argumenter svarende til dem der blev givet for udledning af varians-approximationen i afsnit 6. • Det kan undersøges om man kan føre ideen om principal-aktiver endnu videre ved at finde de aktiv-sammensætninger i markedet som optimerer ikke variansen men derimod fx VaR−α eller ESFα for et givet α. På denne måde kunne man måske skabe en endnu bedre basis for at analysere fraktil-baserede risikomål, jævnfør afsnit VI.C. i [7]. • Man kan gentage mange af de undersøgelser, som er gennemført i denne opgave, blot hvor kovarians-matricen udregnes som et såkaldt løbende eksponentielt dæmpet gennemsnit. Med denne liste af idéer til videre behandling afrundes denne opgave. 63 Litteratur [1] I. T. Jolliffe, Principal Component Analysis, Springer, Second Edition, 2002. [2] McNeil, Frey, Embrechts, Quantitative Risk Management, Princeton University Press, First Edition, 2005. [3] Michael B. Miller, Mathematics & Statistics for Financial Risk Management, Wiley, Second Edition, 2014. [4] Richard A. Johnson Miller & Freunds Probability and Statstics for Engineers, PHI, Eight Edition. [5] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery Numerical Recipes in C, Cambridge, Second Edition. [6] Laurent Laloux, Pierre Cizeau, Marc Potters, Jean-Philippe Bouchaud Random matrix theory and financial correlations , Science & Finance, https://www.math.nyu.edu/faculty/avellane/LalouxPCA.pdf, World Scientific Publishing Company [7] Jean-Philippe Bouchaud, Marc Potters Financial Applications of Random Matrix Theory: a short review, Science & Finance, http://arxiv.org/pdf/0910.1205.pdf [8] Yazann Romahi and Katherine S. Santiago, Diversification - still the only free lunch?, https://am.jpmorgan.com/blobcontent/800/973/1383169203651_11_566.pdf, JPMorgan Asset Management 64 [9] Preben Bertelsen, Rasmus Majborn, Per Søgaard-Andersen, Risikomåling for langsigtede investorer, Finans Invest 1/2010, jf. http://www.finansinvest.dk/Default.aspx?Page=172 [10] Analysegruppen, Aarhus School of Business, Portfolie Optimization and Matrix Calculation in Excel, http://nikolaschou.dk/principalaktiver/Portfolio-Optimization.pdf [11] Wikipedia authors, Eigenvalue algorithm, http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue_algorithm [12] Wikipedia authors, Stock Market Index, http://en.wikipedia.org/wiki/Stock_market_index [13] Wikipedia authors, Risk Parity, http://en.wikipedia.org/wiki/Risk_parity [14] Wikipedia authors, Principal component analysis, http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis Appendices A Programkode For at give et indtryk af, hvorledes analyserne i denne opgave er udarbejdet, vises her to centrale programfiler fra de Matlab-programmer, der er udviklet. classdef Rates %UNTITLED4 Encapsulates various utility services around fetching, %loading and saving rates to desk. % properties end methods(Static) function dates = loadTradingDaysChron(period) %Loads trading days chronologically dates = flip(Rates.loadTradingDays(period)); end function dates = loadTradingDays(period) %%Function loadTradingDays %Loads trading days for each period between given start and end, %including both ends. Dates are returned in reverse order (newest %first) startYear=period.startYear; startMonth = period.startMonth; endYear = period.endYear; 65 endMonth = period.endMonth; fprintf([’Fetching dates from ’ Utils.formatDate(startYear,startMonth) ’ to ’ Utils.formatDate(endYear, endMonth)]); dateIntervals = getDateIntervals(startYear, startMonth, endYear, endMonth); dates = []; for j=numel(dateIntervals):-1:1 dateObj1 = dateIntervals{j}; ds = Rates.loadTradingDaysForMonth(dateObj1.year, dateObj1.month); % now concatenate the full time series for a single sec along % dimension 1 dates = cat(1,dates,ds); fprintf([’.’]); end disp(’ - DONE!’); end function cacheFolder = getCacheFolder() cacheFolder = ’/Users/nikolaschou-pedersen/Documents/MATLAB/cache/’; end function n = noTradingDaysMonth(startYear, startMonth) n = numel(Rates.loadTradingDaysForMonth(startYear, startMonth)); end function n = noTradingDays(period) dateIntervals = getDateIntervals(period.startYear, period.startMonth, period.endYear, period.endMonth); n = 0; for j=1:numel(dateIntervals) dateObj1 = dateIntervals{j}; n = n+ Rates.noTradingDaysMonth(dateObj1.year, dateObj1.month); end end function p = getPeriod(y1, m1, y2, m2) %If only two arguments are provided these will be taken %startYear and endYear respectively. if nargin==2 y2=m1; m1=1; m2=1; end p=struct(’startYear’,y1,’startMonth’,m1,’endYear’,y2,’endMonth’,m2); end %%Function loadAll %% Loads the trading days corresponding to a given period as a column vector. function dates = loadTradingDaysForMonth(startYear, startMonth) persistent map; if isempty(map) map = containers.Map; end key = Utils.formatDate(startYear,startMonth); if ~map.isKey(key) folder = [Rates.getCacheFolder() ’_dates/’]; if ~exist(folder,’dir’) mkdir(folder) end dateObj1 = Rates.getDateObj(startYear, startMonth); dateObj2 = Rates.getDateObj(startYear, startMonth+1); fileName = [folder,’dates-’,dateObj1.title,’.mat’]; if exist(fileName,’file’) loadObj = load(fileName); data = loadObj.data; else d1 = datenum(dateObj1.year,dateObj1.month,1); d2 = datenum(dateObj2.year,dateObj2.month,1); % Subtract one day so date intervals are non-overlapping d2 = addtodate(d2,-1,’day’); %Use IBM to fetch the trading days data = fetch(Rates.getYahoo(),’IBM’,’Close’, d1, d2); % only keep date information data = data(:,1); save(fileName,’data’); end map(key)=data; end dates = map(key); end function conn = getYahoo() conn = yahoo(’http://download.finance.yahoo.com’); end function rates = loadOrFetchGeneric(conn,sec, period, dataType) %Loads adjusted prices for the given security %If the data has been saved to a file, load from there instead %timer = tic(); folder = Rates.getFolder(sec,dataType); if ~exist(folder,’dir’) mkdir(folder) end secNameCleaned=strrep(sec,’/’,’_’); secNameCleaned=strrep(secNameCleaned,’^’,’_’); fileName = [folder,secNameCleaned,’-’,strrep(Utils.formatPeriod(period),’ to ’,’_’),’.mat’]; 66 if exist(fileName,’file’) temp=load(fileName); rates=temp.data; fprintf([’1’ sec]); else d1 = Utils.yearMonth2date(period.startYear, period.startMonth); d2 = Utils.yearMonth2date(period.endYear, period.endMonth); try data=fetch(conn,sec,dataType,d1,d2); fprintf([’2’ sec]); data=flip(data,1);%Make it chronological catch exc data=[]; fprintf([’!’ sec]); end save(fileName,’data’); rates=data; end %timer2=toc(timer); %display(timer2); end function rates = fetchAdjusted(sec,period) data = fetch(yahoo,sec,’Adj Close’,Utils.startDate(period),Utils.endDate(period)); rates = flip(data,1); end function title = makeTitle(o) title = ’’; if isfield(o,’title’) title = o.title; end if isfield(o,’name’) && isfield(o,’period’) title=[title o.name ’ ’ Utils.formatPeriod(o.period)]; end %make recursion if isfield(o,’parentObject’) title = [title ’ / ’ Rates.makeTitle(o.parentObject)]; end end function variance = getGainsVariance(rateObj) if ~isfield(rateObj,’gainsCleanedVariance’) rateObj.gainsCleanedVariance = var(rateObj.gainsChronCleaned); end variance = rateObj.gainsCleanedVariance; end function plotRates(rateObj,securities,type) %Utility function to plot rates if nargin<3 type=’rates’; end if isstr(securities) %Wrapp it in a cell structure securities = {securities}; end if iscell(securities) indexes = Utils.findInCellMany(rateObj.securitiesCleaned,securities); else %Assume it is given by a vector of index-positions in the cleaned set indexes=securities; securities=rateObj.securitiesCleaned(indexes); end if strcmp(type,’rates’) rates=rateObj.ratesChronCleaned(:,indexes); elseif strcmp(type,’gains’) rates=rateObj.gainsChronCleaned(:,indexes); elseif strcmp(type,’loggains’) rates=rateObj.loggainsChronCleaned(:,indexes); else error(’Unkown type’); end period=rateObj.period; sec=strjoin(securities,’, ’);%[num2str(numel(rateObj.securities)) ’ securities’]; dates=rateObj.dates(1:size(rates,1)); if ~isempty(dates) plot(dates,rates); datetick(’x’,’yyyy-mm’); else plot(rates); end title([’Plot of ’ type ’ (’ sec ’) ’ Utils.formatPeriod(period)]); zoomAdaptiveDateTicks(’on’); end function market = getMarketRates(period) %Loads rates for the market as a whole based on the S&P index market= Rates.loadAllAdjusted({’^GSPC’},period); end 67 function rateObj = loadAllAdjusted(securities, period) %Loads all rates for all securities for the given period. %A rateObj is returned conn = Rates.getYahoo(); timer=tic(); r={}; r.securities=securities; r.securitiesFailed=containers.Map; r.securitiesConstrained=containers.Map;%Contains securities not having valid rates for the whole period display([’Loading ’ num2str(numel(securities)) ’ securities’]); %Will just use IBM to fetch dates d1 = Utils.startDate(period); d2 = Utils.endDate(period); ibmDates=flip(fetch(conn,’IBM’,’Close’,d1,d2),1);%Use IBM to get the trading days ibmDates=ibmDates(:,1); r.noTradingDays=numel(ibmDates); r.dates=ibmDates; r.period=period; result = zeros(r.noTradingDays,numel(securities)); % for i=1:numel(securities) fprintf([’ ’ num2str(i) ’/’ num2str(numel(securities)) ’ ’]); sec = securities{i}; data=Rates.loadOrFetchGeneric(conn,sec,period,’Adj Close’); if isempty(data) %Just ignore this security fixing the price at 1, %think of it like an asset with no movements result(:,i)=1; r.securitiesFailed(sec)=i; else dataRates=data(:,2); dataDates=data(:,1); firstDate=dataDates(1); firstIndex=find(ibmDates==firstDate,1,’first’); % ******************************************************* ********** MERGING TRADING DAYS ************ % ******************************************************* %As we have no guarantee that ibm and other stocks are %traded at the same days (for instance, I found that IBM wan %not traded 27-Sep-1985 whereas AAN was. %To come around this we will move values day by day counterIBM=firstIndex; for j=1:numel(dataDates) if counterIBM>numel(ibmDates) %This happens in rare cases where dataDates has %one more date than ibmDates break; end myDate=dataDates(j); ibmDate=ibmDates(counterIBM); if myDate<ibmDate %We found data for a day not valid for IBM, just %ignore it and wait for next loop iteration temp=1;%just to allow debugging elseif myDate>ibmDate %IBM has more trading days than the loaded data %Insert yesterdays rate to keep the rate steady %Make a loop to increment counterIBM until ibmDate %catches up with myDate while(myDate>=ibmDate && counterIBM<numel(ibmDates)) result(counterIBM,i)=result(counterIBM-1,i);%Will never happen in the first iteration so this is safe counterIBM = counterIBM+1; ibmDate=ibmDates(counterIBM); end else %Dates must match, copy rate result(counterIBM,i)=dataRates(j); counterIBM = counterIBM+1; end end counterIBM = counterIBM-1;%we want it to reflect the last index assigned to if counterIBM<numel(ibmDates) %If stock has stopped trading let it have constant rate (to %avoid high volatility caused by a sudden drop to 0). result(counterIBM+1:end,i)=result(counterIBM,i); end if firstIndex>1 %If stock has not been traded from the beginning let it have %constant rate until it is starting to trade to avoid high %volatility caused by a sudden start of trading result(1:firstIndex-1,i)=dataRates(1); end %r.securitiesFailed(sec)=true(); %display([’Fetched end date: ’, datestr(d0), ’, expected end date: ’, datestr(d1)]); end end conn.close(); r.ratesChron=result; 68 r.timer=toc(timer); rateObj=r; display(’ ’); display([’Done - running time ’ num2str(r.timer)]); end function ratesObj = loadAll(listOfSecurities, period, options) %Load all rates for the given period. Rates are returned in %reverse order, that is, newest first. %This function will build up a matrix as follows (using 4 %securities as an example): %-------month 1-----------timerVal = tic; startYear=period.startYear; startMonth = period.startMonth; endYear = period.endYear; endMonth = period.endMonth; includedSecurities=containers.Map; excludedSecurities=containers.Map; dateIntervals = getDateIntervals(startYear, startMonth, endYear, endMonth); % We will allocate enough storage and then crop in the end timeSeriesLength=Rates.noTradingDays(period); resultTotal = zeros(timeSeriesLength,numel(listOfSecurities)); %Used to keep track of the accumulated number of trading days %in building up the total matrix tradingDayCounter = 0; for j=numel(dateIntervals):-1:1 dateObj1 = dateIntervals{j}; noSecs=size(resultTotal,2); noTradingDaysThisMonth = Rates.noTradingDaysMonth(dateObj1.year,dateObj1.month); resultForInterval = zeros(noTradingDaysThisMonth, noSecs); disp(’ ’); fprintf([dateObj1.title ’: ’]); secCounter=1; for i = 1:numel(listOfSecurities) secu = listOfSecurities{i}; if ~excludedSecurities.isKey(secu) data = Rates.loadOrFetchRatesForMonth(secu, dateObj1.year, dateObj1.month, options.buildArray); if (options.buildArray) if Rates.isValidRates(data) && numel(data)==noTradingDaysThisMonth resultForInterval(:,secCounter) = data; secCounter = secCounter + 1; includedSecurities(secu)=true(); else % Remove this security from the matrix excludedSecurities(secu)=true(); resultForInterval(:,secCounter) = []; resultTotal(:,secCounter) = []; end end end end % now concatenate the full time series for a single sec along % dimension 1 if (options.buildArray) resultTotal(tradingDayCounter+1:tradingDayCounter+noTradingDaysThisMonth,:) = resultForInterval; tradingDayCounter = tradingDayCounter + noTradingDaysThisMonth; end end rates = resultTotal; disp(’ ’); ratesObj = {}; ratesObj.ratesChron = flip(rates,1); ratesObj.rates = rates; ratesObj.excludedSecurities = excludedSecurities; remove(includedSecurities,keys(excludedSecurities)); ratesObj.includedSecurities = includedSecurities; ratesObj.period = period; ratesObj.elapsedTime = toc(timerVal); ratesObj.dateIntervals = dateIntervals; end function [ rates ] = loadOrFetchRatesForMonth( secu, startYear, startMonth, returnData ) %loadOrFetchSecurity Loads or fetches the rates for a given security for %one month % First it is checked whether the security can be found in the file % system. Otherwise it is fetched and then saved to desk. %If returnData is false and a data file is found in the cache, this %function will return quickly. folder = Rates.getFolder(secu); if ~exist(folder,’dir’) mkdir(folder) end dateObj1 = Rates.getDateObj(startYear, startMonth); dateObj2 = Rates.getDateObj(startYear, startMonth+1); secName = strrep(secu,’/’,’_’); fileName = [folder,secName,’-’,dateObj1.title,’.mat’]; if exist(fileName,’file’) if (returnData) loadObj = load(fileName); 69 data = loadObj.data; else % Ok, no need to do more data = []; end fprintf([’ 1’ secu]); else d1 = datenum(dateObj1.year,dateObj1.month,1); d2 = datenum(dateObj2.year,dateObj2.month,1); % Subtract one day so date intervals are non-overlapping d2 = addtodate(d2,-1,’day’); try data = fetch(Rates.getYahoo(),secu,’Close’, d1, d2); % throw away date information data = data(:,2); % fprintf([’Fetched from yahoo: ’,secu,’ ’,dateObj1.title]); fprintf([’ 2’ secu]); catch exc data = []; fprintf([’ !’ secu]); % fprintf([’Data cannot be loaded for security ’, secu, ’. Used zeros instead.’]); end save(fileName,’data’); end rates = data; end function val=getDateObj(startYear,startMonth) d = datenum(startYear,startMonth,1); val = {}; vec =datevec(d); val.date = d; val.year = vec(1); val.month = vec(2); paddedMonth = sprintf(’%02d’, val.month); mytitle = [num2str(val.year),’-’,paddedMonth]; val.title=mytitle; end function val=isValidRates(data) %at least 5 trading days if numel(data)>5 && data(1)>0 && data(end)>0 val=true(); else val=false(); end end function folder = getFolder(sec,type) %Returns the folder containing cached data for the given %security sec if nargin==1 type=’Close’; end folder = [Rates.getCacheFolder(), ’_’,strrep(type,’ ’,’’),’/’,sec, ’/’]; end function fileName = getMetafile(sec) fileName = [Rates.getFolder(sec) ’meta.mat’]; end function meta = getMeta(sec) %Loads or inits a meta object for the given security metafile = Rates.getMetafile(sec); if ~exist(metafile,’file’) meta = {}; else loadObj = load(metafile); meta = loadObj.meta; end end function saveMeta(sec,meta) %Saves the meta object for the given security metafile = Rates.getMetafile(sec); save(metafile,’meta’); end function yearMonth = findFirstValidMonth(sec) %Determines which month is the first valid month for which rates %across the whole month can be fetched for the given security %The ’first valid month’ M is characterized by the following facts: %1. Non-zero rates are found for M %2. A number of non-zero rates are found corresponding to the %number of banking days for that month %3. Bullet 1 and 2 are not satisfied for the previous month. meta = Rates.getMeta(sec); if ~isfield(meta,’firstValidMonth’) meta.firstValidMonth = Rates.findFirstValidMonthUtil(sec); Rates.saveMeta(sec,meta); 70 end yearMonth = meta.firstValidMonth; end function yearMonth = findFirstValidMonthUtil(sec) %Finds the first valid month using a kind of log2-algorithm persistent allMonths; if isempty(allMonths) %apparently yahoo only delivers data since 1963 allMonths = getDateIntervals(1963,1,2014,1); end N = numel(allMonths); index = round(N/2); leftEnd = 1; rightEnd = N; counter = 0; if Rates.isValidMonth(sec,allMonths{1}.year, allMonths{1}.month) %First check if it has been defined from the very beginning index = 1; else while(true()) %display([’Investigate index ’ num2str(index) ]); m1 = allMonths{index}; isValid = Rates.isValidMonth(sec,m1.year, m1.month); if isValid m0 = allMonths{index - 1}; if ~Rates.isValidMonth(sec, m0.year, m0.month) %if the previous month is invalid we have found the %right month break; end end %If we reach this point we know that we did not find the %first valid month if isValid %go left rightEnd = index; increment = round((index - leftEnd)/2); index = index - increment; if index <= 1 index = 1; break; end else %go right leftEnd = index; increment = round((rightEnd - index)/2); index = index + increment; if index >= N index = N; break; end end if counter > N %Just to avoid infinite loops error(’Could not find the first valid month’); end counter = counter + 1; end end yearMonth = allMonths{index}; end function b = isValidMonth(sec, y, m) rates = Rates.loadOrFetchRatesForMonth(sec, y, m, true); if min(rates) == 0 %A month with a rate of 0 cannot be valid b = false(); else noTradingDays = Rates.noTradingDaysMonth(y,m); if numel(rates) == noTradingDays b = true(); else b = false(); end end end function [ result ] = filterSecurities( secus, period) %Filters a list of securites by the criteria that rates should %be available for the given yearMonth. result = cell(1,numel(secus)); counter = 1; for i=1:numel(secus) sec = secus{i}; %First check whether the data is actually valid on the %given yearMonth isStartValid = Rates.isValidMonth(sec, period.startYear, period.startMonth); isEndValid = Rates.isValidMonth(sec, period.endYear, period.endMonth); if isStartValid && isEndValid result{counter} = secus{i}; 71 counter = counter + 1; end end if counter<numel(secus) % shrink it result(counter:end)=[]; end end end end classdef Analysis %UNTITLED2 Summary of this class goes here % Detailed explanation goes here properties end methods(Static) function rateObj=prepare(rateObj) %Make some further preparation of a rateObj needed for the analysis rateObj.dates=Rates.loadTradingDaysChron(rateObj.period); rateObj.datesForPlot=Utils.formatDatesForPlot(rateObj.dates); rateObj.securities=keys(rateObj.includedSecurities); rateObj.gainsChron = Analysis.findGains(rateObj.ratesChron); rateObj.diffsChron = rateObj.ratesChron(2:end,:) - rateObj.ratesChron(1:end-1,:); end function rateObj=prepareAdjusted(rateObj, troubledSecurityNames) %troubledSecurityIndexes: An array of security indexes %troubledSecurityNames %Make some further preparation of a rateObj needed for the analysis rateObj.datesForPlot=Utils.formatDatesForPlot(rateObj.dates); %Now clean up the rates matrix indexes = find(prod(rateObj.ratesChron)==0);%Indexes of columns having at least one zero (which should never happen) for i=1:numel(troubledSecurityNames) secIndex=Utils.findInCell(rateObj.securities,troubledSecurityNames{i}); if ~isempty(secIndex) indexes(numel(indexes)+1) = secIndex; end end indexes = unique(indexes); rateObj.ratesChronCleaned=rateObj.ratesChron; rateObj.ratesChronCleaned(:,indexes)=[]; rateObj.securitiesCleaned=rateObj.securities; rateObj.securitiesCleaned(indexes)=[]; rateObj.securityIndexesTroubled=indexes; rateObj.gainsChronCleaned = Analysis.findGains(rateObj.ratesChronCleaned); rateObj.loggainsChronCleaned = log(rateObj.gainsChronCleaned+1); rateObj.diffsChronCleaned = rateObj.ratesChronCleaned(2:end,:) - rateObj.ratesChronCleaned(1:end-1,:); rateObj.n=numel(rateObj.securitiesCleaned); rateObj.T=size(rateObj.dates,1); end function rateObj=prepareUni(uni,period,includedSecuritiesList) %Takes the result of buildUniverse yahoo command and aligns it %with the structure of other rateObjs rateObj={}; rateObj.period=period; rateObj.securities=includedSecuritiesList; rateObj.ratesChron=uni(:,2:end); rateObj.dates=uni(:,1); rateObj.datesForPlot=Utils.formatDatesForPlot(rateObj.dates); rateObj.gainsChron = Analysis.findGains(rateObj.ratesChron); rateObj.diffsChron = rateObj.ratesChron(2:end,:) - rateObj.ratesChron(1:end-1,:); end function showEigen(corrMatrix,period,figNr,figTitle, securities) %Plots the eigenvalues of a given corrMatrix or covMatrix for a %given period figure(figNr); [eigvec,eigval]=Utils.eig2(corrMatrix); noBins = round(numel(eigval)/3); eigval=eigval(1:10); hist(eigval,noBins); clear title xlabel ylabel; title([’Eigenvalues of ’ figTitle ’ ’ Utils.formatPeriod(period)]); figure(figNr+1); plot(sort(eigvec(:,1))); title([’First eigenvector of ’, figTitle, ’ ’, Utils.formatPeriod(period)]); [max0,index0]=max(abs(eigvec(:,1))); display([’First eigenvector of ’, figTitle, ’ dominated by ’, securities{index0}]); end function full(rates, period, securities) %%Makes an analysis of different gains = Analysis.findGains(rates); 72 %loggains = log(gains); %Analysis.showEigen(corr(rates),period,1,’rates’); Analysis.showEigen(corr(gains),period,1,’correlation of gains’, securities); Analysis.showEigen(cov(gains),period,3,’covariance of gains’, securities); %Analysis.showEigen(corr(loggains),period,5,’log of gains’); %Analysis.showEigen(corr(exp(gains)),period,7,’exp of gains’); end function drawRandomMatrix(sizeT,sizeN) r2=rand(sizeT,sizeN); eigvalrand=eig(corr(r2)); figure(9); hist(eigvalrand,20); title([’Eigenvalues of correlation of random matrix of size ’ num2str(sizeT) ’X’ num2str(sizeN)]); end function gains = findGains(rates) %Determines the gains from a timeseries of rates gains = rates(2:end,:)./rates(1:end-1,:) - 1; end function analysis = riskForecasting(rateObj, quantile, portfolios, pcaPeriod, figNo) % analysis={}; analysis.pcaAnalysis = Analysis.PCA(rateObj,pcaPeriod,figNo); analysis.periodLength=pcaPeriod.endYear-pcaPeriod.startYear; forecastingLength = rateObj.period.endYear - pcaPeriod.endYear; analysis.portfolioValueAtRiskErrorMean = zeros(forecastingLength+1,1); analysis.portfolioValueAtRiskErrorStdDev = zeros(forecastingLength+1,1); analysis.portfolioESFErrorMean = zeros(forecastingLength+1,1); analysis.portfolioESFErrorStdDev = zeros(forecastingLength+1,1); %Slide through the years for i = 0:forecastingLength analysisTemp=Analysis.valueAtRisk(analysis.pcaAnalysis,quantile,portfolios,Rates.getPeriod(pcaPeriod.startYear+i,pcaPeriod.endYear+i)); analysis.portfolioValueAtRiskErrorMean(i+1)=analysisTemp.portfolioValueAtRiskErrorMean; analysis.portfolioValueAtRiskErrorStdDev(i+1)=analysisTemp.portfolioValueAtRiskErrorStdDev; analysis.portfolioESFErrorMean(i+1)=analysisTemp.portfolioESFErrorMean; analysis.portfolioESFErrorStdDev(i+1)=analysisTemp.portfolioESFErrorStdDev; end end function analysis = valueAtRisk(pcaAnalysis, quantile, portfolios, forecast, cutoff) % Finds the historical value at risk measure for a given portfolio %fractile: A number close to 0, e.g. 0.05 for the 5% quantile %analysis: Expects an analysis object as returned from the PCA % function %portfolios: A n x m matrix where each row corresponds to a vector of stock weights summing to 1. %nrYearsToForecast: Can either be a number measuring the number % of years to forecast ahead of the period used for PCA or it % can be a period. %init if nargin<3 portfolios=Utils.createPortfolios(numel(pcaAnalysis.eigenValues),20); end if nargin<4 forecast = 2; end if ~isfield(forecast,’startYear’) %Assume it is an integer indicating the number of years to forecast p = pcaAnalysis.periodUsedForPCA; forecast = Rates.getPeriod(p.endYear,p.endMonth,p.endYear + forecast,p.endMonth); end if nargin<5 cutoff = 10; end analysis={}; analysis.portfolios=portfolios; analysis.quantile=quantile; analysis.cutoff = cutoff; analysis.periodForecasted=forecast; [analysis.minIndex, analysis.maxIndex] = Utils.findDateInterval(pcaAnalysis.rateObj.dates,forecast); min=analysis.minIndex; max=analysis.maxIndex; analysis.pcaAnalysis=pcaAnalysis; analysis.parentObject=pcaAnalysis; analysis.rateObj=pcaAnalysis.rateObj; %find VaR of assets gains = pcaAnalysis.rateObj.gainsChronCleaned(min:max,:); [analysis.valueAtRisk, analysis.ESF] = Analysis.valueAtRiskUtil(gains,quantile); analysis.gainsVariance = var(gains); stdDev = sqrt(analysis.gainsVariance); analysis.valueAtRiskFromVariance = stdDev * norminv(quantile,0,1); %VaR and ESF for eigenvectors should be found from the %PCA-based period [analysis.eigenValueAtRisk, analysis.eigenValueESF] = Analysis.valueAtRiskUtil(pcaAnalysis.eigenGains,quantile); 73 %analysis.eigenValueAtRisk has one row with VaR calculated %historically for each eigenvector analysis.eigenValueAtRiskFromVariance = sqrt(pcaAnalysis.eigenValues) * norminv(quantile,0,1); if Utils.equalPeriods(forecast,analysis.pcaAnalysis.periodUsedForPCA) analysis.title=[’ \alpha =’ num2str(analysis.quantile*100) ’%’]; else analysis.title=[’Forecast for ’ Utils.formatPeriod(forecast) ’, \alpha =’ num2str(analysis.quantile*100) ’%’]; end analysis.portfolioGains = gains*transpose(portfolios);%Gains for the forecast period projected on each portfolio [analysis.portfolioValueAtRisk,analysis.portfolioESF] = Analysis.valueAtRiskUtil(analysis.portfolioGains,quantile); analysis.eigenProjections = portfolios * pcaAnalysis.eigenVectors;%Each row will contain projection constants for the respective portfolio %At this point the top row of eigenProjections is: %|alpha1 alpha2 ... alpha_n| %being projections of %portfolios(1,:), i.e. the ’first’ portfolio, on the first %eigenVector. %Exploit that eigenvectors are uncorrelated, hence %VaR(portfolio) = sqrt(sum of (eigenvalueVaR^2 x projection_weight^2)) analysis.portfolioValueAtRiskComposedFromEigenVectors = sqrt(analysis.eigenValueAtRisk.^2 * (analysis.eigenProjections.^2)’); %Now calculate with cutoff analysis.valueAtRiskTail = mean(analysis.eigenValueAtRisk(cutoff+1:end).^2); tailAddition = analysis.valueAtRiskTail*sum(analysis.eigenProjections(:,cutoff+1:end).^2,2); %column vector with entries for each portfolio analysis.portfolioValueAtRiskComposedFromEigenVectorsWithCut = sqrt( tailAddition’ + analysis.eigenValueAtRisk(1:cutoff).^2 * (analysis.eigenPro analysis.portfolioESFComposedFromEigenVectors = sqrt(analysis.eigenValueESF.^2 * (analysis.eigenProjections.^2)’); %Now calculate with cutoff analysis.ESFTail = mean(analysis.eigenValueESF(cutoff+1:end).^2); tailAddition2 = analysis.ESFTail*sum(analysis.eigenProjections(:,cutoff+1:end).^2,2); %column vector with entries for each portfolio analysis.portfolioESFComposedFromEigenVectorsWithCut = sqrt( tailAddition2’ + analysis.eigenValueESF(1:cutoff).^2 * (analysis.eigenProjections(: analysis.portfolioValueAtRiskError = (analysis.portfolioValueAtRiskComposedFromEigenVectors-analysis.portfolioValueAtRisk) ./ analysis.portfolio analysis.portfolioValueAtRiskErrorMean = mean(analysis.portfolioValueAtRiskError); analysis.portfolioValueAtRiskErrorStdDev = sqrt(var(analysis.portfolioValueAtRiskError)); analysis.portfolioValueAtRiskErrorWithCut = (analysis.portfolioValueAtRiskComposedFromEigenVectorsWithCut-analysis.portfolioValueAtRisk) ./ anal analysis.portfolioValueAtRiskErrorMeanWithCut = mean(analysis.portfolioValueAtRiskErrorWithCut); analysis.portfolioValueAtRiskErrorStdDevWithCut = sqrt(var(analysis.portfolioValueAtRiskErrorWithCut)); analysis.portfolioESFError = (analysis.portfolioESFComposedFromEigenVectors-analysis.portfolioESF) ./ analysis.portfolioESF; analysis.portfolioESFErrorMean = mean(analysis.portfolioESFError); analysis.portfolioESFErrorStdDev = sqrt(var(analysis.portfolioESFError)); analysis.portfolioESFErrorWithCut = (analysis.portfolioESFComposedFromEigenVectorsWithCut-analysis.portfolioESF) ./ analysis.portfolioESF; analysis.portfolioESFErrorMeanWithCut = mean(analysis.portfolioESFErrorWithCut); analysis.portfolioESFErrorStdDevWithCut = sqrt(var(analysis.portfolioESFErrorWithCut)); %Analysis.plotValueAtRisk(analysis, figNo); end function plotValueAtRisk(analysis, figNo) %%Plot value at risk for original assets figure(figNo); a=analysis.valueAtRiskFromVariance; b=analysis.valueAtRisk; temp = cat(1,a,b); temp = (transpose(temp)); hlines=plot(temp); mytitle=[’Value-at-risk (’ Rates.makeTitle(analysis) ’)’]; title(mytitle); xlabel(’Aktienr’); ylabel(’VaR’); set(hlines(1),’Displayname’,’Udregnet fra standardafvigelser’); set(hlines(2),’Displayname’,’Udregnet via historisk distribution’); legend(’Location’,’north’); %%Plot value at risk for eigen vectors figure(figNo+1); a=analysis.eigenValueAtRiskFromVariance; b=analysis.eigenValueESF; temp = cat(1,a,b); temp = (transpose(temp)); hlines=plot(temp); mytitle=[’Expected Shortfall for Eigenvectors (’ Rates.makeTitle(analysis) ’)’]; title(mytitle); xlabel(’Eigenvector’); ylabel(’ESF’); set(hlines(1),’Displayname’,’Udregnet fra standardafvigelser’); set(hlines(2),’Displayname’,’Udregnet via historisk distribution’); legend(’Location’,’north’); %%Plot value at risk for eigen vectors figure(figNo+2); a=analysis.eigenValueAtRiskFromVariance; 74 b=analysis.eigenValueAtRisk; temp = cat(1,a,b); temp = (transpose(temp)); hlines=plot(temp); mytitle=[’Value-at-risk for Eigenvectors (’ Rates.makeTitle(analysis) ’)’]; title(mytitle); xlabel(’Eigenvector’); ylabel(’VaR’); set(hlines(1),’Displayname’,’Udregnet fra standardafvigelser’); set(hlines(2),’Displayname’,’Udregnet via historisk distribution’); legend(’Location’,’north’); if size(analysis.portfolios,1)>1 %%Plot value at risk for portfolios figure(figNo+3); a=analysis.portfolioValueAtRisk; b= analysis.portfolioValueAtRiskComposedFromEigenVectors; temp = Utils.easyCat(a,b); hlines=plot(temp); mytitle=[’Portfolio value-at-risk (’ Rates.makeTitle(analysis) ’)’]; title(mytitle); xlabel(’Portfolio number’); ylabel(’VaR’); set(hlines(1),’Displayname’,’Udregnet fra historiske data’); set(hlines(2),’Displayname’,’Udregnet via PCA sum’); legend(’Location’,’north’); %%Plot ESF for portfolios figure(figNo+4); a=analysis.portfolioESF; b= analysis.portfolioESFComposedFromEigenVectors; temp = Utils.easyCat(a,b); hlines=plot(temp); mytitle=[’Portfolio Expected Shortfall (’ Rates.makeTitle(analysis) ’)’]; title(mytitle); xlabel(’Portfolio number’); ylabel(’ESF’); set(hlines(1),’Displayname’,’Udregnet fra historiske data’); set(hlines(2),’Displayname’,’Udregnet via PCA sum’); legend(’Location’,’north’); %%Plot VaR delta between historical VaR and PCA based VaR if size(analysis.portfolios,1)>50 figure(figNo+5); hist(analysis.portfolioValueAtRiskError, numel(analysis.portfolioValueAtRiskError)/30); mytitle=[’Portfolie VaR relativ fejl, gns=’ Utils.formatPct(analysis.portfolioValueAtRiskErrorMean) ’, std.afv.=’ Utils.formatPct(analys title(mytitle); xlabel(’Relativ fejl’); ylabel(’Hyppighed’); Utils.formatAxisPct(’x’); figure(figNo+6); hist(analysis.portfolioESFError, numel(analysis.portfolioESFError)/30); mytitle=[’Portfolie ESF relativ fejl, gns=’ Utils.formatPct(analysis.portfolioESFErrorMean) ’, std.afv.=’ Utils.formatPct(analysis.portf title(mytitle); xlabel(’Relativ fejl’); ylabel(’Hyppighed’); Utils.formatAxisPct(’x’); figure(figNo+7); hist(analysis.portfolioValueAtRiskErrorWithCut, numel(analysis.portfolioValueAtRiskErrorWithCut)/30); mytitle=[’Portfolie VaR relativ fejl, cutoff=’ num2str(analysis.cutoff) ’, gns=’ Utils.formatPct(analysis.portfolioValueAtRiskErrorMeanW title(mytitle); xlabel(’Relativ fejl’); ylabel(’Hyppighed’); Utils.formatAxisPct(’x’); figure(figNo+8); hist(analysis.portfolioESFErrorWithCut, numel(analysis.portfolioESFErrorWithCut)/30); mytitle=[’Portfolie ESF relativ fejl, cutoff=’ num2str(analysis.cutoff) ’, gns=’ Utils.formatPct(analysis.portfolioESFErrorMeanWithCut) title(mytitle); xlabel(’Relativ fejl’); ylabel(’Hyppighed’); Utils.formatAxisPct(’x’); end end end function [valueAtRisk, ESF] = valueAtRiskUtil(gains, quantile) %quantile: Typically 0.95. Measures the VaR quantile n=size(gains,1); m=size(gains,2); quantileIndex=round(n*(1 - quantile)); valueAtRisk = zeros(1,m); ESF = zeros(1,m); for i=1:m 75 s=sort(gains(:,i)); valueAtRisk(1,i)=-s(quantileIndex); ESF(1,i) = -mean(s(1:quantileIndex)); end end function analysis = PCA(rateObj, periodUsedForPCA, figNo) %This analysis will inspect the market evolution of the portfolios %corresponding to the first few principal components of the %whole period considered. if nargin<=1 periodUsedForPCA=rateObj.period; end if nargin<=2 figNo = 1; end d1 = Utils.startDate(periodUsedForPCA); d2 = Utils.endDate(periodUsedForPCA); [minIndex, maxIndex] = Utils.findDateInterval(rateObj.dates, periodUsedForPCA); analysis={}; analysis.rateObj=rateObj; analysis.parentObject=rateObj; analysis.periodUsedForPCA=periodUsedForPCA; analysis.minIndex=minIndex; analysis.maxIndex=maxIndex; analysis.gainsUsedForPca=rateObj.gainsChronCleaned(minIndex:maxIndex,:); [V,E]=Utils.eig2(cov(analysis.gainsUsedForPca)); analysis.eigenValues=E; analysis.eigenVectors=V; temp=sum(V); n = numel(temp); %Normalize so that the eigenvectors have sum = 1 %which means we can think of it as portfolio weights analysis.eigenVectorsNormalized = V ./ (ones(n,n)*diag(temp)); analysis.eigenGains = analysis.gainsUsedForPca * analysis.eigenVectors;%These are the gains for the PCA-period projected on the eigen vectors analysis.eigenGainsFullPeriod = rateObj.gainsChronCleaned * analysis.eigenVectors;%These are the gains for the whole period projected on the eige analysis.eigenRatesFullPeriod=rateObj.ratesChronCleaned * analysis.eigenVectors; %Makes no sense : analysis.eigenRatesNormalized=rateObj.ratesChronCleaned * analysis.eigenVectorsNormalized; %Makes no sense: analysis.eigenGainsNormalized = analysis.gainsUsedForPca * analysis.eigenVectorsNormalized; %Makes no sense : analysis.eigenGainsCalculated = Analysis.findGains(analysis.eigenRates); market = Rates.getMarketRates(rateObj.period); firstEigen=analysis.eigenRatesFullPeriod(:,1); ratio=mean(market.ratesChron ./ firstEigen); analysis.marketRates = market.ratesChron/ratio; analysis.title=[’PCA on ’ Utils.formatPeriod(analysis.periodUsedForPCA)]; end function pcaPlot(analysis, figNo) try close(figNo); catch end rateObj=analysis.rateObj; figure(figNo); ratesCombined=cat(2, analysis.marketRates, analysis.eigenRatesFullPeriod(:,1:3)); hlines = plot(analysis.rateObj.dates,ratesCombined); datetick(’x’); mytitle=[’Prisudvikling for 1. og 2. egenvektor - ’ Utils.formatPeriod(rateObj.period) ’ baseret på data fra ’ Utils.formatPeriod(analysis.period title(mytitle); xlabel(’Tid’); ylabel(’Pris’); set(hlines(1),’Displayname’,’S&P index’); set(hlines(2),’Displayname’,’1. egenvektor’); set(hlines(3),’Displayname’,’2. egenvektor’); set(hlines(4),’Displayname’,’3. egenvektor’); legend(’Location’,’north’); %% figure(figNo+1); hlines=semilogy(Utils.easyCat(var(analysis.eigenGainsFullPeriod),analysis.eigenValues)); title([’Varians af afkast af egenaktiverne for hele perioden vs. egenværdier ’ Rates.makeTitle(analysis.rateObj)]); xlabel(’Egenaktiv nummer’); ylabel(’Afkast’); set(hlines(1),’Displayname’,’Historisk varians af egenaktiver’); set(hlines(2),’Displayname’,’Egenværdier’); legend(’Location’,’north’); end function analysis=varianceApproximation(pcaAnalysis, portfolioWeights, cutoff) %pcaAnalysis: The result of calling PCA() %portfolioWeights: A portfolio represented by a row-vector of weights, that %is the vector elements must sum to 1. %It is assumed that the portfolio is continously rebalanced in %order for the weigths to be valid throughout the period %cutoff: A number or vector of numbers controlling the number of %eigenvectors used to approximate the variance. If a number %between 0 and 1 (excluding 1) is used, it is considered as a 76 %percentage of the total number. If the number is 1 or above it %is consideres as an absolute number. If it is a vector of %numbers the analysis will be made for each cutoff. %if size(portfolioWeights,1)>1 % error(’This analysis is designed for a single portfolio’); %end analysis={}; analysis.portfolioGains=pcaAnalysis.rateObj.gainsChronCleaned*transpose(portfolioWeights); analysis.portfolios = portfolioWeights; analysis.varianceHistorical=var(analysis.portfolioGains); analysis.pcaAnalysis=pcaAnalysis; analysis.parentObject=analysis.pcaAnalysis; analysis.rateObj=pcaAnalysis.rateObj; lambda = diag(pcaAnalysis.eigenValues); analysis.projections=portfolioWeights*pcaAnalysis.eigenVectors; %beta factors, 1xn vector analysis.varianceByPca=analysis.projections * lambda * analysis.projections’; %variance by pca using all egenvectors N = numel(pcaAnalysis.eigenValues); analysis.cutoff=Utils.either(numel(cutoff)==1 && cutoff(1)<1, round(numel(pcaAnalysis.eigenValues)*cutoff), cutoff); nrCutoffs = numel(analysis.cutoff); analysis.varianceByPcaApprox = zeros(size(portfolioWeights,1),nrCutoffs); sumOfStockVariance = sum(Rates.getGainsVariance(pcaAnalysis.rateObj)); for i=1:nrCutoffs K = analysis.cutoff(i); sumOfInitialEigenValuesProjections = (analysis.projections(:,1:K).^2 * pcaAnalysis.eigenValues(1:K)’); if K<N fraction = 1/(numel(pcaAnalysis.eigenValues)-K); sumOfInitialEigenValues = sum(pcaAnalysis.eigenValues(1:K)); lambdaTail = fraction * (sumOfStockVariance - sumOfInitialEigenValues); vectorLengthOfPortfolioWeights = sum(portfolioWeights.*portfolioWeights,2); sumOfInitialBetaSquare = sum(analysis.projections(:,1:K) .* analysis.projections(:,1:K),2); betaTailSquare = vectorLengthOfPortfolioWeights - sumOfInitialBetaSquare; else lambdaTail=0; betaTailSquare=0; end % alphaCut = analysis.projections .* ((1:N)<=K); %alpha cut off analysis.lambdaTail = mean(pcaAnalysis.eigenValues(K+1:end)); w = portfolioWeights; analysis.varianceByPcaApprox(:,i) = sumOfInitialEigenValuesProjections + lambdaTail*betaTailSquare; % % end histVar = repmat(analysis.varianceHistorical’,1,nrCutoffs); analysis.varianceByPcaApproxError=abs(analysis.varianceByPcaApprox./histVar - 1); analysis.stdDevApproxError=abs(sqrt(analysis.varianceByPcaApprox./histVar) - 1); %Average approximation error across all portfolios and all k’s analysis.stdDevApproxErrorMean = mean(mean(analysis.stdDevApproxError)); %Average (std.dev. of approximation error across portfolios for fixed k) across k analysis.stdDevApproxErrorMeanStdDev = mean(std(analysis.stdDevApproxError)); analysis.stdDevApproxCutoff=[]; analysis.stdDevApproxCutoffTreshold=[]; %Find the least cutoff K0 such that no approximation error is greater %than some limit for any k>=K0 for i=1:8 treshold=10*10^(-i); analysis.stdDevApproxCutoff(i) = Analysis.findTreshold(analysis.stdDevApproxError,treshold); analysis.stdDevApproxCutoffTreshold(i) = treshold; end end function result = findTreshold(data, limit) result = find(max(data)>limit,1,’last’)+1; if isempty(result) result = 0; end end function varianceAnalysis=varianceApproximationTotal(rateObj,cutoff, portfolios, portfolioName) pca=Analysis.PCA(rateObj,rateObj.period,1); %Analysis.pcaPlot(pca1984,4); %variance1984=Analysis.varianceApproximation(pca1984,portfolios,4); if nargin<3 portfolios = Utils.createPortfolios(numel(rateObj.securitiesCleaned),1); end varianceAnalysis=Analysis.varianceApproximation(pca,portfolios,cutoff); Analysis.varianceApproximationPlot(varianceAnalysis,1,portfolioName); Utils.saveFigures(1:3, [’Variance-approx-’ rateObj.name ’-’ portfolioName]); end function totalAnalysis = varianceApproximationTotal2(rateObj, indexes) a={}; if nargin<2 a.indexes = cat(2,1:30,32:2:60, 65:5:rateObj.n, rateObj.n); 77 else a.indexes=indexes; end portfolio1 = diag(ones(1,rateObj.n)); portfolio4 = Utils.createCircularPortfolios(rateObj.n,4); portfolio8 = Utils.createCircularPortfolios(rateObj.n,8); portfolio16 = Utils.createCircularPortfolios(rateObj.n,16); portfolio32 = Utils.createCircularPortfolios(rateObj.n,32); portfolio64 = Utils.createCircularPortfolios(rateObj.n,64); %portfolio(1,1)=1; portfolioDiversified = Utils.createPortfolios(rateObj.n,100); a.approx1 = Analysis.varianceApproximationTotal(rateObj, a.indexes, portfolio1 ,’Enkelt-aktier’); a.approx4 = Analysis.varianceApproximationTotal(rateObj, a.indexes, portfolio4 ,’4 aktier’); a.approx8 = Analysis.varianceApproximationTotal(rateObj, a.indexes, portfolio8 ,’8 aktier’); a.approx16 = Analysis.varianceApproximationTotal(rateObj, a.indexes, portfolio16 ,’16 aktier’); a.approx32 = Analysis.varianceApproximationTotal(rateObj, a.indexes, portfolio32 ,’32 aktier’); a.approx64 = Analysis.varianceApproximationTotal(rateObj, a.indexes, portfolio32 ,’64 aktier’); a.approxDiversified = Analysis.varianceApproximationTotal(rateObj, a.indexes, portfolioDiversified ,’Diversificeret’); totalAnalysis=a; end function totalAnalysis = varianceApproximationTotal3(varAnals) fields={’approx1’,’approx4’,’approx8’,’approx16’,’approx32’,’approx64’,’approxDiversified’}; a={}; a.fixedPrecision001=zeros(1,1); a.fixedPrecision0001=zeros(1,1); a.fixedPrecision001Pct=zeros(1,1); a.fixedPrecision0001Pct=zeros(1,1); for i=1:numel(varAnals) for j=1:numel(fields) analysis = varAnals(i); fieldName = fields(j); varAnalysis = analysis.(fieldName{1}); nrEigenvalues=varAnalysis.rateObj.n; a.fixedPrecision001(i,j) = varAnalysis.stdDevApproxCutoff(3); a.fixedPrecision0001(i,j) = varAnalysis.stdDevApproxCutoff(4); a.fixedPrecision001Pct(i,j)= a.fixedPrecision001(i,j)/nrEigenvalues; a.fixedPrecision0001Pct(i,j)= a.fixedPrecision0001(i,j)/nrEigenvalues; end end totalAnalysis = a; end function varianceApproximationPlot(analysis, figNo, portfolioName) nrPortfolios=size(analysis.portfolios,1); mytitle=[’PCA approximation af sigma / ’ portfolioName Utils.either(nrPortfolios>1,[’ / #porteføljer=’ num2str(nrPortfolios)] ,’’) ’ (’ Rates.ma if nrPortfolios == 1 figure(figNo); result = Utils.easyCat(ones(1,size(analysis.varianceByPcaApprox,2))*sqrt(analysis.varianceHistorical),sqrt(analysis.varianceByPcaApprox)); hlines=plot(analysis.cutoff,result); title(mytitle); xlabel(’Antal egenværdier medregnet’); ylabel(’Standardafvigelse’); set(hlines(1),’Displayname’,’Historisk std.afv.’); set(hlines(2),’Displayname’,’Std.afv. udregnet ved egenværdi-approximation’); Utils.showLegend(); end figure(figNo+1); hlines=plot(analysis.cutoff,analysis.stdDevApproxError); title(mytitle); xlabel(’Antal egenværdier medregnet’); ylabel(’Standardafvigelse fejl’); set(hlines(1),’Displayname’,’Fejl ved egenværdi-approximation’); Utils.formatAxisPct(’y’); if nrPortfolios > 1 figure(figNo+2); s=analysis.stdDevApproxError; result=cat(1,mean(s),mean(s)+2*sqrt(var(s)),min(s),max(s)); hlines = plot(analysis.cutoff,result’); title(mytitle); xlabel(’Antal egenværdier medregnet’); ylabel(’Standardafvigelse fejl’); set(hlines(1),’Displayname’,’Fejl ved egenværdi-approximation’); Utils.formatAxisPct(’y’); set(hlines(1),’Displayname’,’Gns. fejl’); set(hlines(2),’Displayname’,’Gns. fejl 95% konfidens’); set(hlines(3),’Displayname’,’Minimum fejl’); set(hlines(4),’Displayname’,’Maximum fejl’); Utils.showLegend(); end end function analysis = eigenEvolution(rateObj, periodLenInYears, figNo, useCovariance, useType) %% 78 % --- Find the evolution in the top eigenvalues using a sliding 6-month span % Loop over all months, 13 years each having 12 months analysis = {}; if strcmp(useType,’gains’) fullmatrix = rateObj.gainsChronCleaned; elseif strcmp(useType,’diffs’) fullmatrix = rateObj.diffsChronCleaned; elseif strcmp(useType,’loggains’) fullmatrix = rateObj.loggainsChronCleaned; elseif strcmp(useType,’rates’) fullmatrix = rateObj.ratesChronCleaned; else error([’Uknown type ’ useType]); end period = rateObj.period; %This contains the number of retained eigenvalues noEigValues = 6; %The length of the period for which the correlation matrix is built periodLen = 251*periodLenInYears; noSecurities = size(fullmatrix,2); %Determine the counterMax from the periodLength %counterMax will be the number of samples we make %Generally we will make a sample each month counterMax = numel(getDateIntervals(period.startYear,period.startMonth,period.endYear,period.endMonth)); %The sliding window should be subtracted counterMax = counterMax - periodLenInYears*12; %Time scale is vertical, eigenvalues are flipped horizontal eigvalEvolution = zeros(counterMax, noEigValues+1); %Keep a copy of the first eigenvector throughout the whole %evolution eigvecEvolutionFull = zeros(counterMax, noSecurities); dates=Rates.loadTradingDaysChron(period); %Timescale will be vertical dateTicks=zeros(counterMax,1); %Will contain the first eigenvector for each time span disp(’**** Now starting the evolution analysis **** ’) fprintf([’Running up to ’ num2str(counterMax-1) ’: ’]); for i=0:counterMax-1 fprintf([num2str(i) ’ ’]); %% %first day in the period for this loop startNo = 1+i*21; %last day in the period for this loop endNo = startNo + periodLen; %We use the last date of the period as tick dateTicks(i+1) = dates(endNo); slidingData=fullmatrix(startNo:endNo,:); if useCovariance cotemp = cov(slidingData); else cotemp = corr(slidingData); end [eigvec2,eigval2] = Utils.eig2(cotemp); eigvalEvolution(i+1,2:end) = transpose(eigval2(1:noEigValues)); %eigvalEvolution(i+1,1) = sum(eigval2); eigvecEvolutionFull(i+1,:) = Analysis.normalizeFirstEigvec(transpose(eigvec2(:,1))); end %Now make the analysis of the eigenvector evolution eigvecEvolutionMean = mean(eigvecEvolutionFull,1); %Keep track of the projection of the first eigenvector against %itself in the preceeding period eigvecEvolutionDelta = zeros(counterMax,1); %Keep track of the distance from the mean eigvecEvolutionDiffusion = zeros(counterMax,1); for i=1:counterMax eigVec = transpose(eigvecEvolutionFull(i,:)); if i==1 eigvecEvolutionDelta(i,1)=1; else eigVecPreceeding = eigvecEvolutionFull(i-1,:); eigvecEvolutionDelta(i,1)=Analysis.project(eigVecPreceeding,eigVec); end eigvecEvolutionDiffusion(i,1) = Analysis.project(eigvecEvolutionMean,eigVec); end analysis.eigvecEvolutionDelta=eigvecEvolutionDelta; analysis.eigvecEvolutionDiffusion=eigvecEvolutionDiffusion; analysis.eigvalEvolution=eigvalEvolution; analysis.dates=dates; analysis.dateTicks = dateTicks; analysis.rateObj = rateObj; analysis.eigvecEvolutionFull=eigvecEvolutionFull; analysis.periodLenInYears = periodLenInYears; disp(’Done’); %analysis.title = [Utils.either(useCovariance,’covariance’,’correlation’) ’ of ’ useType ’ ’ Utils.formatPeriod(period) ’ (sliding window=’ num analysis.title = [Utils.formatPeriod(period) ’ (sliding window=’ num2str(periodLenInYears) ’y)’]; Analysis.eigenEvolutionPlot(analysis, figNo); end 79 function analysis=eigenEvolutionTotal(rateObj) analysis = Analysis.eigenEvolution(rateObj,4,1,true,’gains’); Utils.saveFigures(1:3,[’Evolution-’ analysis.rateObj.name ’-’ num2str(analysis.periodLenInYears) ’y’]); end function eigenEvolutionPlot(analysis,figNo) %% figure(figNo); plot(analysis.dateTicks,analysis.eigvalEvolution); mytitle = [’Eigenvalue evolution of ’ analysis.title]; title(mytitle); datetick(’x’,’yyyy-mm’); zoomAdaptiveDateTicks(’on’); %% figure(figNo+1); plot(analysis.dateTicks,transpose(analysis.eigvecEvolutionDelta)); mytitle = [’Eigenvector delta of ’ analysis.title]; title(mytitle); datetick(’x’,’yyyy-mm’); zoomAdaptiveDateTicks(’on’); %% figure(figNo+2); plot(analysis.dateTicks,transpose(analysis.eigvecEvolutionDiffusion)); mytitle = [’Eigenvector diffusion of ’ analysis.title]; title(mytitle); datetick(’x’,’yyyy-mm’); zoomAdaptiveDateTicks(’on’); end function p = project(eigvec1,eigvec2) %% %Finds the projection of eigvec1 against eigvec2. If either eigvec1 or eigvec2 %is found to point in the "opposite" direction they are %reversed to the same direction. This is done by taking the %absolute value of eigvec1*eigvec2 p = abs(eigvec1*eigvec2); end function result = normalizeFirstEigvec(eigvec) %Normalizes the first eigenvector in the sense that the %direction of the vector is changed to have dominating positive %values. If the eigenvector is mixed positive and negative this %does not make fully sense, but often the first eigenvector in %a financial market is dominated by either positive or negative %coordinates, not mixed noPositive = sum(arrayfun(@(x)x>0,eigvec)); if noPositive<numel(eigvec)/2 result = -1 * eigvec; else result = eigvec; end end end end 80