Nye ringetider for Ringkøbing Skole gældende fra skoleåret 2012

Transcription

Peter Sørensen
Matematik
B interaktivt for hf
(Gult hæfte)
Version 8.1
Dette er en fortsættelse af matematik interaktivt hf C-niveau.
Ved eksamen i matematik hf B-niveau skal C-niveauet også kunnes.
© PeterSoerensen.dk : Matematik B interaktivt for hf ,
version 8.1
side 1 / 60
© PeterSoerensen.dk
Forord ........................................................................................................................................................................................................ 4
Lektion 19a Genopfriskning af Matematik C: Brøk, ligning, eksponent, rod og parentes ......................................................... 5
Brøk ................................................................................................................................................................................................... 5
Ligninger ........................................................................................................................................................................................... 5
Eksponent og rod ............................................................................................................................................................................... 5
Parentes.............................................................................................................................................................................................. 5
Lektion 19b Genopfriskning af Matematik C: Procent , rente og indeks .......................................................................................... 6
Procent og rente ................................................................................................................................................................................. 6
Indeks ................................................................................................................................................................................................ 6
Lektion 19c Genopfriskning af Matematik C: Sammenhæng mellem variable og funktioner ........................................................ 7
Lektion 19d, modeller og regression ....................................................................................................................................................... 8
Absolut tilvækst ................................................................................................................................................................................. 8
Relativ tilvækst .................................................................................................................................................................................. 8
Matematisk modellering og regression .............................................................................................................................................. 9
Regression og CAS-værktøj .................................................................................................................................................................. 10
Excel regneark ................................................................................................................................................................................. 10
RegneRobot.dk ................................................................................................................................................................................ 10
CAS-lommeregneren TI-89 og Voyage 200 .................................................................................................................................... 11
Lektion 20a: Polynomier ........................................................................................................................................................................ 12
Parablens toppunkt .......................................................................................................................................................................... 12
Lektion 20b: Polynomier ........................................................................................................................................................................ 14
Gør følgende 5 punkter .................................................................................................................................................................... 14
2) Læs .............................................................................................................................................................................................. 14
Andengradsligningen ....................................................................................................................................................................... 14
Polynomier af n’te grad ................................................................................................................................................................... 15
Polynomiets rødder eller nulpunkter ................................................................................................................................................ 15
Faktorisering af polynomier ............................................................................................................................................................ 16
Lektion 21a, Differentialregning ........................................................................................................................................................... 17
Ikke alle grafpunkter har en hældning ............................................................................................................................................. 18
Betydningen af ordet differentialkvotient ....................................................................................................................................... 18
Differentiable funktioner ................................................................................................................................................................. 19
Lektion 21b, Differentialregning........................................................................................................................................................... 20
Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning. .................................................................................................. 20
Differentiation ved hjælp af CAS-værktøj ....................................................................................................................................... 20
Tangent ............................................................................................................................................................................................ 20
Ligningen for tangenten ................................................................................................................................................................... 20
Linjeelement .................................................................................................................................................................................... 21
Beregning af differentialkvotienter .................................................................................................................................................. 21
Differentiation af udtryk .................................................................................................................................................................. 22
Lektion 22, Anvendelse af differentialregning ..................................................................................................................................... 23
Maksimum og minimum.................................................................................................................................................................. 23
Monotoni ......................................................................................................................................................................................... 24
Lokalt maksimum ............................................................................................................................................................................ 24
Lokal minimum ............................................................................................................................................................................... 24
Monotoni-interval for en funktion ................................................................................................................................................... 24
Voksende ......................................................................................................................................................................................... 24
Aftagende ........................................................................................................................................................................................ 24
Monotoniforhold .............................................................................................................................................................................. 25
Fortegnsvariation ............................................................................................................................................................................. 25
Optimering ....................................................................................................................................................................................... 26
version 8.1
side 2 / 60
Lektion 23a Stamfunktion og integral .................................................................................................................................................. 27
Stamfunktion ................................................................................................................................................................................... 27
Integral (Ubestemt integral) ........................................................................................................................................................... 27
Det bestemte integral ....................................................................................................................................................................... 28
Lektion 23b Stamfunktion og integral .................................................................................................................................................. 29
Areal og integral .............................................................................................................................................................................. 29
Regneregler for bestemte integraler ................................................................................................................................................. 30
Integraler / stamfunktioner kan findes ved hjælp af CAS-værktøj .................................................................................................. 31
Lektion 24a Vækstmodeller og funktionsteori, Ln og tallet e ............................................................................................................. 32
Tallet e ............................................................................................................................................................................................. 32
Den naturlige eksponentialfunktion ................................................................................................................................................. 32
Den naturlige logaritme ................................................................................................................................................................... 32
Logaritmeregler ............................................................................................................................................................................... 33
Eksponentielle funktioner ................................................................................................................................................................ 33
Differentialkvotient af eksponentielle funktioner ............................................................................................................................ 33
Se også link: .................................................................................................................................................................................... 33
Lektion 24b Vækstmodeller og funktionsteori, Ln og tallet e ............................................................................................................ 34
Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til 1/x , ∫
dx ............................................................................................................ 34
Væksthastighed ................................................................................................................................................................................ 34
Lektion 25, Mere om regression og CAS-værktøj ............................................................................................................................... 35
Lektion 26, Statistik og sandsynlighed ................................................................................................................................................. 36
Normalfordeling .............................................................................................................................................................................. 36
Sandsynlighed....................................................................................................................................................................................... 38
Stikprøver ........................................................................................................................................................................................ 38
Lektion 27a Trigonometri ..................................................................................................................................................................... 40
1) Repeter Lektion 9 og 17, Geometri . .......................................................................................................................................... 40
Se evt. links: Def. af Sin, Cos og Tan
Sinus, Cosinus og Tangens i regneark ........................................................................ 40
Idiotformlen ..................................................................................................................................................................................... 40
Flere formler .................................................................................................................................................................................... 40
Areal af trekant ................................................................................................................................................................................ 41
Sinusrelationerne ............................................................................................................................................................................. 42
Lektion 27b Trigonometri ..................................................................................................................................................................... 43
2) Læs ............................................................................................................................................................................................. 43
Cosinusrelationen (Den udvidede Pyhagoras) .............................................................................................................................. 43
Lektion 27c: Mere om polynomier ......................................................................................................................................................... 45
b’s geometriske betydning ............................................................................................................................................................... 45
Parablens udseende .......................................................................................................................................................................... 45
Bevis for toppunktsformlen: ............................................................................................................................................................ 45
Bevis for løsningsformlen for andengradsligningen ........................................................................................................................ 47
Lektion 28, Eksamen og repetition ..................................................................................................................................................... 48
Eksempel på undervisningsbeskrivelse ................................................................................................................................................. 48
Skriftlig eksamen .................................................................................................................................................................................. 48
Forberedelse af skriftlig eksamen .................................................................................................................................................... 49
Pc ..................................................................................................................................................................................................... 49
Mundtlig eksamen................................................................................................................................................................................. 50
Eksempel på eksamens-spørgsmål........................................................................................................................................................ 51
Forberedelse af mundtlig eksamen .................................................................................................................................................. 52
Eksempler på dispositioner til eksamensspørgsmål ......................................................................................................................... 52
Facitliste ................................................................................................................................................................................................... 59
Supplement til formlerne i blåt hæfte .................................................................................................................................................. 60
version 8.1
side 3 / 60
Forord
Dette hæfte er en del af et interaktivt læresystem i matematik hf, og beregnet til at blive brugt på
en pc med Explorer koblet på Internettet (mahf.dk). Herved bliver det muligt at benytte diverse
links til E-opgaver, interaktive opgaver og til videoer. Sideløbende hermed kan det være praktisk
at benytte en papirudgave, som kan printes direkte fra mahf.dk.
På mahf.dk findes dette hefte både i HTML-format med links og i et printvenligt PDF-format,
hvor de fleste links er inaktive.
Videoerne bør ses i brudstykker på kun nogle få minutter af gangen.
Besvarelser af E-opgaver sendes automatisk via Internettet til læreren.
Med denne matematik-pakke følger endvidere et elektronisk afleveringsark, RegneRobot med
matematik-editor og CAS , hvor elever/kursister kan besvare opgaver og også her automatisk få
sendt opgavebesvarelserne til læreren.
RegneRobot indeholder en række faciliteter, der gør det lettere at besvare opgaver.
Indholdsfortegnelsen kan benyttes som links.
Uanset hvor man er i dokumentet, kan man komme til indholdsfortegnelsen ved at taste
Ctrl+Home , PageDown , PageDown.
Søgning på bestemte ord (svarende til stikordsregister) foretages ved at taste Ctrl+f
Denne version, Matematik B interaktivt for hf, version 8.1 er næsten magen til version 8,
der adskiller sig en del fra de tidligere versioner. En del lektioner er med mere forklaring,
de store lektioner er blevet opdelt til flere mindre lektioner og behandlingen af regneark er
blevet neddroslet. Behandlingen af TI-interactive er helt fjernet. Tidligere versioner kan
fås via www.lyngbydata.dk/skriv
Denne undervisningspakke er under stadig udvikling. Forslag og eventuelle rettelser til denne
pakke modtages med tak på lyngbydata.dk/rettelser
Matematik-pakken kan bestilles via lyngbydata.dk/pakke
version 8.1
side 4 / 60
Lektion 19a
Genopfriskning af Matematik C:
Brøk, ligning, eksponent, rod og parentes
Gør følgende 3 punkter
1) Læs og genopfrisk matematik C ved hjælp af nedenstående link.
Hvis du opdager, du mangler at lære noget matematik fra C-niveau, så brug det grønne og blå
hæfte med links og videoer, især følgende link: www.lyngbydata.dk/matematik
Brøk
Se eventuelt link: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte
Genopfrisk brøkregning ved hjælp af dette link til interaktive øve-opgaver: Brøkstykker
Hvis det kniber med de 4 regningsarter så benyt følgende link: Små opgaver i de 4 regningsarter
Ligninger
Se eventuelt link: Regler fra side 5 i grønt hæfte og fra formelsamlingen i blåt hæfte
Genopfrisk ligninger ved hjælp af dette link: Ligninger
Eksponent og rod
Se eventuelt link: Regler fra lektion 3 og fra formelsamling
Genopfrisk eksponent og rod ved hjælp dette link: Øvelse
Parentes
Genopfrisk parentes ved hjælp af dette link: Parentes
2) Løs E-opgaver
Du afleverer elektronisk, når du klikker i Aflever .
Link: E-opgaver 19a Genopfriskning broek og parentes
3) Løs opgaver
fra 2006-opgavehæftet :
1.001 , 1.002 og 1.004
Benyt RegneRobot med link til opgavehæftet.
Klik i opgavenummeret og se en demo-video.
Også i RegneRobot afleveres elektronisk ved at klikke i Aflever .
Link til RegneRobot og opgavehæfte
version 8.1
side 5 / 60
Lektion 19b
Procent , rente og indeks
1) Læs og genopfrisk matematik C ved hjælp af nedenstående link.
Procent og rente
Genopfrisk procent og rentesregning ved hjælp af dette link: Øvelse
Indeks
Man udvælger et år, som kaldes basisåret, og her sættes indeks til 100.
Indeks for de øvrige år findes ved at fremskrive 100 med samme fremskrivningsfaktor, som de
oprindelige tal fremskrives med. Man kan således beregne indekstal ved først at beregne disse
fremskrivningsfaktorer.
Man kan også beregne indekstal ved at udnytte proportionaliteten mellem de oprindelige tal og
indekstal. Proportionalitet er forklaret i Grønt hæfte, lektion 10, og ganske kort i den følgende
lektion 19c.
Hvis man kender indekstal svarende til et basisår, kan indekstal svarende til et andet basisår
beregnes.
Indeks er forklaret i Grønt hæfte, lektion 8.
Se eventuelt: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte.
Løs følgende interaktive øve-opgave, link: indeks-opgave
2) Løs E-opgaver
Link: E-opgaver 19b Genopfrisk procent og indeks
3) Løs opgaver fra 2006-opgavehæftet:
3.006 og 3.012
Klik i opgavenummeret og se en demo-video.
version 8.1
side 6 / 60
Lektion 19c
Sammenhæng mellem variable og funktioner
1) Læs
Sammenhæng mellem variable og funktioner er udførligt forklaret i lektion 10, 11, 13, 14 og 15.
Her skal kort gentages de vigtigste ting.
Hvis nedenstående er besværlig læsning, så gå til lektion 10, 11, 13, 14 og 15.
En talstørrelse, der kan variere, fx temperaturen i grader kaldes en variabel.
Hvis man måler temperaturen et bestemt sted en bestemt dag, vil temperaturen normalt variere i
løbet af dagen.
Vi siger, temperaturen afhænger af tidspunktet eller, at temperaturen er en funktion af tiden.
Tidspunktet angives med et tal, der fx angiver, hvor mange timer, der er gået siden midnat.
En sådan funktion kan vi give et navn fx f, og temperaturen til tiden x betegnes f(x) og kaldes
funktionsværdien af x .
Hvis funktionsværdien betegnes med y fås y = f(x).
f(x) udtales ”f af x” .
Mængden af x-værdier, hvor f er defineret kaldes definitionsmængden for f eller Df.
Mængden af funktionsværdier kaldes værdimængden for f eller Vf.
Definitions- og værdimængden er ofte intervaller, fx [0; ∞[, (tallene fra og med nul til uendelig).
Ofte er en funktion fastlagt ved en såkaldt regneforskrift, fx: f(x) = 2x + 3, Dm = [0; ∞[
En funktion kan illustreres med en graf i et koordinatsystem.
Grafen er de punkter, der har x som x-værdi og f(x) som y-værdi
Hvis y = kx , hvor k er et konstant tal, siger vi, y er ligefrem proportional med x eller blot
proportional med x,og k kaldes proportionalitetsfaktoren. Fx y = 10x
Hvis y = k · 1/x eller x·y = k , hvor k er et konstant tal, siger vi, y er omvendt proportional
med x, og k kaldes proportionalitetsfaktoren. Fx y = 10 · 1/x eller x·y = 10.
En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er en linje eller en del af en linje.
En lineær funktion har en regneforskrift af formen f(x) = ax + b , hvor a og b er konstante tal.
10-talslogaritmen til et tal er den eksponent man skal sætte på 10 for at få tallet.
En eksponentiel funktion er en funktion med en regneforskrift af formen f(x)=b·ax, a>0 og b>0.
En potensfunktion er en funktion med en regneforskrift af formen f(x)= b·xa, b>0 og x>0.
Se eventuelt: Regler fra formelsamlingen i blåt hæfte.
2) Løs interaktive øve-opgaver: proportionalitet Lineær funktion Eksp. funktion Potensfunktion
3) Løs E-opgaver E-opgaver 19c Genopfrisk variab.sammenh.& funktion
4) Løs opgaver fra 2006-opgavehæftet :
1.005, 1.013, 1.014 og 1.015
version 8.1
side 7 / 60
Lektion 19d,
modeller og regression
1) Læs
Nogle matematiske ord
Ord:
Forklaring:
Eksempler/ illustration:
faktor
En størrelse, der skal ganges med.
produkt
Resultatet af et gangestykke
5·8 Både 5 og 8 er faktorer.
5·8 = 40
40 er produktet af 5 og 8
tæller
nævner
Den størrelse i en brøk, der er over
brøkstregen
Den størrelse i en brøk, der er under
brøkstregen
Første
kvadrant
Den del af et koordinatsystem hvor
både x og y er positive
Andet
kvadrant
Den del af et koordinatsystem hvor x
er nagativ og y er positiv
Tredje
kvadrant
Den del af et koordinatsystem hvor
både x og y er negative
Fjerde
kvadrant
Den del af et koordinatsystem hvor x
er positiv og y er negativ
3
7
3
7
Brøkens tæller er 3.
Brøkens nævner er 7.
Symboler:
I det følgende bruges x , y ,  og 
x er en forkortelse for x-tilvækst.
y er en forkortelse for y-tilvækst.
Absolut tilvækst
Hvis man har en x-værdi, fx 5, og giver x en tilvækst på 2, så bliver den nye x-værdi 7,
og vi siger x = 2 . Nogfen gange siger vi, at den absolutte tilvækst er 2.
Tilsvarende med andre variable. Når en variabel fx y varierer fra en værdi til en anden værdi,
kaldes forskellen y den absolutte tilvækst.
Relativ tilvækst
Når en variabel fx y varierer fra en værdi y0 til en anden værdi kalder vi forskellen i forhold til
startværdien y0 for den relative tilvækst.
Den betegnes således:
og i procenter således:
version 8.1
· 100 %
side 8 / 60
 er nærmest en forkortelse af ordet ”eller”.
 betyder, at det til venstre for  er sandt eller det til højre for  er sandt.
Fx gælder følgende 3 udsagn:
(2+2 = 4)  (2+2 = 5)
Det til venstre er sandt
(2+2 = 4)  (2+2 = 4)
Det til højre er sandt
(2+2 = 4)  (3+2 = 5)
Både det til venstre og det til højre er sandt
 er nærmest en forkortelse for ordet ”ensbetydende” og kaldes ofte dobbeltpil.
 betyder at det som er før og efter  er sandt for det eller de samme x.
Fx
x=5  x =-5  x² = 25
x = 7  2 x =14
I sidste tilfælde er der kun ét x, som gør hver ligning sand.
Matematisk modellering og regression
Nedenstående forklaring af regneark forudsætter et forhåndskendskab til regneark. Se eventuelt
lektion 6 og 12 i grønt hæfte.
Mange fænomener kan med god tilnærmelse beskrives ved en matematisk funktion.
Den matematiske funktion er en forenkling af virkeligheden. Vi kalder den matematiske
funktion en model af virkeligheden.
Fx kan en lineær funktion bruges som model for befolkningsudviklingen i USA, mens
befolkningsudviklingen i Indien bedre beskrives ved en eksponentiel model.
Funktionen f(x) = 12x + 25 en model for taxa-kørsel, idet x er antal km og f(x) er prisen, men i
virkeligheden er prisen også afhængig af hvor mange gange taxaen skal holde stille under vejs
bl.a. ved rødt lys. Den virkelige pris kan være ret besværlig at beskrive. Derfor er det praktisk
med modellen: f(x) = 12x + 25. Det kaldes en lineær model.
Funktionen f(x) = 12x + 25 kan imidlertid også være model for andre ting.
Lad os betragte et ur, der bliver stillet 25 sekunder forkert. Uret er 25 sekunder foran lige efter,
det er stillet. Derefter vinder uret ca 12 sekunder i døgnet nogen gange lidt mere og nogen gange
lidt mindre..
Urets fejlvisning kan med god tilnærmelse beskrives ved modellen f(x) = 12x + 25, hvor x er
antal døgn efter uret blev stillet.
Det var et eksempel på, at vi kan bruge den samme matematiske model til at beskrive 2 helt
forskellige ting.
Hvis vi skal beregne, hvor meget uret er foran efter 10 døgn bliver det således præcis den samme
matematiske beregning som at beregne prisen for 10 km med taxa.
Hvis man vil undersøge om en udvikling bedst beskrives ved en lineær funktion, ved en
eksponentiel funktion eller ved en potensfunktion, kan man afsætte funktionsværdierne i mmpapir, i enkelt logaritmisk papir og i dobbelt logaritmisk papir og vurdere, hvor punkterne bedst
flugter en linje.
Hvis man vil finde regneforskriften, kan man tegne linjen, den såkaldte tendenslinje, og
beregne regneforskriften ud fra 2 punkter, som aflæses på linjen. Det er imidlertid meget lettere
og bedre at bruge CAS-værktøj.
version 8.1
side 9 / 60
Regression og CAS-værktøj
At finde den lineære funktion, som bedst flugter nogle støttepunkter kaldes lineær regression.
Tilsvarende med eksponentiel regression og potensregression.
Metoden i ovenstående kapitel med at tegne en linje på et stykke papir er gammeldags.
Regression bør foretages med såkaldt CAS-værktøj. Det er hurtigere, lettere og mere præcist.
Her vil blive gennemgået 4 slags CAS-værktøj: Excel regneark, RegneRobot, TI89/Voyage 200
og TI-Nspire.
Du kan selv vælge hvilken slags CAS-værktøj, du vil lære at bruge.
Excel regneark
I Grønt hæfte, lektion 12, er forklaret, hvordan man automatisk kan få tegnet grafer i Excel
regneark. Læs det.
I regneark Excel er det muligt at få tegnet tendesnlinjen automatisk ved først at få tegnet en graf
ud fra støttepunkterne og derefter højreklikke med musen i grafen og vælge tendenslinje og
funktionstype, fx ”eksponentiel” . Det er endog muligt at få vist regneforskriften ved at vælge
”Vis ligning i diagram”.
Hvis man ikke får valgt”Vis ligning i diagram” samtidigt med at tendenslinjen tegnes, kan man
højreklikke i tendenslinjen og vælge ”Formater tendenslinje” og derefter vælge vælge ”Vis
ligning i diagram”.
Hvis man ønsker en logaritmisk skala på y-aksen, skal man højreklikke i y-aksen og vælge
”Formater akse”. Herefter kan man vælge fx logaritmisk skala.
RegneRobot.dk
Regression kan foretages ganske enkelt i RegneRobot.
Klik i Guide og vælg ”Regression”. Derefter popper et lille vindue op for neden.
Vælg fx: Lineær regression.
Udfyld med x- og y-værdier.
Klik i ”Beregn”.
Sådan ser vinduet ud efter, der er klikket i ”Beregn”.
Se eventuelt Vejledning til RegneRobot.
version 8.1
side 10 / 60
CAS-lommeregneren TI-89 og Voyage 200
Her kan a og b findes på flere måder.
Herunder vises én af disse måder:
Lommeregneren skal være i almindelig calculator-tilstand.
Tast eventuelt 2ND ESC H Enter eller CALC HOME .
Du starter med at cleare x mv. ved at taste: F6, 1 og Enter.
Derefter gør du følgende:
Indtast en liste med x-værdier, fx: {0, 1, 2, 3}.
Indtast en liste med de tilsvarende y-værdier, fx: {86, 300, 690, 1380}.
Vælg eksponentiel regression
Vælg ShowStat. Men Pas På ! Ved eksponentiel regression på TI-89 og Voyage 200kaldes
begyndelsesværdien ikke b, men a, og fremskrivningsfaktoren kaldes ikke a, men b.
Indtastningen kan være således:
{
0 ,
1
,
2
,
{
86 , 300 , 690 ,
Math 6 3
2
L 1
,
Math 6 9 Enter
3
1380
L
}
}
2
STO> L
STO> L
Enter
1 Enter
2 Enter
TI-Nspire
Hvis du er interesseret i TI-Nspire, så se denne video; men bemærk at videoen også orienterer
om matematik, du endnu ikke har lært.
2)
Løs E-opgaver
3)
Regn fra 2006-opgavehæftet :
Link: E-opg. 19d regression
2.001, 2.005, 2.007, 2.008
version 8.1
side 11 / 60
Lektion 20a: Polynomier
1) Læs
Et andengradspolynomium er en funktion med regneforskriften:
p(x) = ax² + bx + c , hvor a0.
Eks.
p(x) = 2x² - 12x + 10 er et andengradspolynomium
Hvis a > 0 ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en glad graf):
Hvis a <0 ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en trist graf):
Disse grafer kaldes parabler
Jo tættere a er på nul, jo mindre stejl er parablen.
Parablens toppunkt
Det højeste eller laveste punkt på en parabel kaldes toppunkt.
Idet vi indfører d = b² - 4ac gælder:
Koordinatsættet for toppunktet er:
( xo , yo ) =
(
,
)
Denne formel vil blive bevist i lektion 27a
d kaldes diskriminanten.
Toppunktets y-værdi er andengradspolynomiets mindsteværdi eller størsteværdi.
version 8.1
side 12 / 60
Hvis toppunktet er til venstre for y-aksen, er
negativ og a og b har samme fortegn.
Hvis toppunktet/ er til højre for y-aksen, er
positiv og a og b har forskelligt fortegn.
= 0  b = 0.
Hvis toppunktet ligger på y-aksen, er
c er parablens skæring med y-aksen. Det ses ved at indsætte x=0 i: y=ax² +bx+ c
a,b,c og d’s betydning for parablen
a
a<0:
Grafens
Trist graf
stejlhed
b
Grafens
hældning
ved 2.aksen
b<0:
Grafen går nedad
ved 2.aksen
a=0:
Det er ikke et
2.gradspolynomium
b=0:
Grafen er vandret
ved 2.aksen
(Toppunkt er på 2.aksen)
a>0:
Glad graf
b>0:
Grafen går opad
ved 2.aksen
Du vil senere i lektion 27c få forklaret, hvorfor b’s fortegn kan aflæses af grafens hældning ved 2.aksen
c
Skæring
med 2.
aksen
d
=b² - 4ac
c<0:
Grafen skærer
2.aksens negative del
d<0:
Grafen skærer ikke
1. aksen
c=0:
Grafen skærer 2.aksen i
nul, koordinatsystemets
begyndelsespunkt
d=0:
Grafen har ét punkt fælles
med 1.aksen.
Dvs toppunkt er på xaksen
c>0:
Grafen skærer 2.aksens
positive del
d>0:
Grafen skærer 1. Aksen
to steder
2)
Løs E-opgaver
E-opgaver 20a Polynomier
3)
1.006, 1.008, 1.010 og 1.011
version 8.1
side 13 / 60
Lektion 20b: Polynomier
1) Se video,
Andengradspolynomier ved skriftlig eksamen
link:
2) Læs
Andengradsligningen
Hvis parablen skærer x-aksen i to punkter
kaldes de to steder nulpunkter eller rødder.
Hvis parablen har netop ét punkt fælles med
x-aksen kaldes det punkt/tal for nulpunkt,
rod eller dobbeltrod.
Hvis parablen ikke har nogen punkter fælles
med x-aksen, er der ingen rødder.
Vi vil nu se på hvordan man finder eventuelle rødder for et andengradspolynomium.
Det handler om at løse en ligning, der kan skrives på formen:
ax² + bx + c = 0
hvor a0
Der gælder:
Hvis d <0 bliver der 0 løsninger.
Parablen rører ikke x-aksen.
Hvis d =0 bliver der 1 løsning.
Parablen rører x-aksen 1 sted.
Hvis d >0 bliver der 2 løsninger.
Parablen skærer x-aksen 2 steder.
Hvis d ≥ 0, kan ligningen løses ved hjælp af formlen:
x=
Dette vil blive bevist i lektion 27a
version 8.1
side 14 / 60
Eksempel
Grafen for p(x) = 2x² - 12x + 10 ser således ud
Rødderne kan aflæses hvor parablen skærer x-aksen.
Løs ligningen 2x² - 12x + 10 = 0 ved hjælp af CAS-værktøj eller følgende link til en
skabelon i regneark: 2.gradspolynomiet.xls
Polynomier af n’te grad
Et polynomium er en funktion med regneforskriften:
p(x) = anxn + an-1xn-1 + …… + a2x² + a1x + a0 , hvor an0 og n er et positivt helt tal.
Polynomiets grad er n.
Eks.
2x3 –x2 – 7x + 17 er et 3.-gradspolynomium
Polynomiets rødder eller nulpunkter
er de eventuelle x-værdier, hvor p(x) = 0.
version 8.1
side 15 / 60
Faktorisering af polynomier
Lad os starte med at se et eksempel på et andengradspolynomium: p(x )= 2x²-25x+30
Polynomiet kan omskrives til p(x) = (x-3)·(5x-10), hvilket kan kontrolleres ved at gange
parenteserne sammen.
(Man ganger 2 parenteser med inanden ved at gange vhert led i den nene med hvert led i den anden.)
Det at omskrive 2x²-25x+30 til (x-3)·(5x-10) kaldes at faktorisere polynomiet.
En størrelse, man ganger med, kaldes en faktor, og (x-3)·(5x-10) består af 2 faktorer,
nemlig (x-3) og (5x-10) .
Hvis tælleren og nævneren i en brøk er et polynomium, kan det være praktisk at faktorisere
polynomiet. Derved vil man nogle gange kunne forkorte brøken.
Altså til et produkt af to faktorer.
Vi bemærker, at (x-3)·(5x-10) = 0 hvis x=3. Dvs 3 er rod i polynomiet. (2 er i øvrigt også rod.)
Generelt kan man faktorisere er polynomium, hvis man kender en rod, og
polynomiet kan faktoriseres til (x minus roden) gange en størrelse fx (5x-10)
Det vil vi ikke bevise.
(5x-10) kan også faktoriseres, idet (5x-10) = 5·(x-2)
Alt ialt kan 2x²-25x+30 faktoriseres til 5·(x-3)·(x-2)
Altså til et produkt af 3 fakotrer, nemlig 5, (x-3) og (x-2)
Hvis man skal faktorisere et polynomium er metoden aft finde polynomiets rødder.
Flere eksempler:
2x²-6x-8, -1 og 4 er rødder. Faktorisering: 2x²-6x-8 = 2(x+1)(x-4)
x² -2x+1, 1 er dobbeltrod. Faktorisering: x² -2x+1 = (x-1)(x-1) = (x-1)²
Et n’te-gradspolynomium kan højst have n rødder (nulpunkter).
Det vil vi ikke bevise.
3)
Løs interaktive øve-opgaver:
2.gradsligninger.htm
4)
Løs E-opgaver
E-opgaver 20b Polynomier
5)
1.003, 1.007, 1.009 og 1.012
version 8.1
side 16 / 60
Lektion 21a,
Differentialregning
1)
Se videoer. Links: Diff
2)
Læs
1 og
Def
Et firma sælger en vare og vil gerne tjene så
meget som muligt. Firmaet kan højst bruge
5 mio kr på reklamer. Jo mere firmaet
investerer i reklamer, jo mere sælges, men
hvis firmaet investerer alle 5 mio i reklamer,
så bliver reklameomkostningerne så store, at
den samlede fortjeneste bliver negativ.
Hvis firmaet slet ikke reklamerer, bliver
salget så lille, at fortjenesten også bliver
negativ.
Det handler om at finde hvilken
reklameomkostning, der vil give maksimal
fortjeneste.
Til højre herfor ses en graf, der fortæller
fortjenesten som funktion af
reklameinvesteringen.
Grafen svarer til funktionen
f(x) = -2x² + 8x – 1, Dm(f) = [0;5] , både x og f(x) er kroner i mio
Ved hjælp af grafen kan man aflæse at en rekaleminvestering på 2 mio kr vil være optimal.
Vi skal nu se, hvordan man kan regne sig frem til den mest optimale størrelse af
reklameinvesteringen.
Der gælder, at funktionens mindsteværdi og størsteværdi enten er ved et grafendepunkt eller
hvor grafen er vandret, og det er de steder, der skal checkes.
For at kunne beregne, hvornår grafen er vandret, vil vi interessere os for grafens hældning.
Til enhver x-værdi i definitionsmængden vil ovenstående graf have en hældning, der
betegnes f ’(x).
Vi har således en ny funktion med samme definitionsmængde. Denne funktion betegnes f ’ og
kaldes den afledede funktion, eller med et fint ord differentialkvotienten af f .
At finde differentialkvotienten kaldes at differentiere.
Man kan også tale om den afledede af en regneforskrift.
Fx betegnes den afledede af 8x-1 såedes: (8x-1)’
Vi vil ikke her præcist definere ordet hældning/differentialkvotient, men lige nævne, at
hældningen 0 betyder, at grafen er vandret. Ved Positiv hældning er funktionen voksende og ved
negativ hældning aftagende.
Hvis man skal finde en x-værdi, hvor hældningen er 0, skal man således løse ligningen f ’(x) = 0
version 8.1
side 17 / 60
Ikke alle grafpunkter har en hældning
Til højre ses to grafer, der ikke
overalt har en hældning.
Den blå graf her ingen hældning i
punkterne (3, 2) og (7, 2.)
Den røde graf har ingen hældning i
Grafpunktet (2,4).
De to tilsvarende funktioner er ikke
differentiable i hele deres
definitionsmængder.
Betydningen af ordet differentialkvotient
Her ser vi grafen for en funktion f, hvor grafen har en
hældning overalt..
Vi er interesseret i grafens hældning i punktet (xo , yo) og
beragter et punkt (x, y) tæt på ( xo , yo ).
Linjestykket fra punktet ( xo , yo ) til ( x , y ) er næsten
sammenfaldende med grafen.
Et linjestykke, der forbinder 2 punkter på en graf kaldes
en sekant.
Jo tættere x er på x0 , jo bede vil sekanten flugte grafen,
Sekanten har hældningen: a =
(Se lektion 11 i Grønt hæfte)
Lidt løst sagt defineres f´(x0) eller grafens hældning i x0 således:
Hvis
nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x0 , så er f´(x0) lig denne værdi.
Denne værdi kaldes i øvrigt grænseværdien for udtrykket når x går mod xo og betegnes f´(xo).
Hvad det helt eksakt vil sige at
ikke uddybe her.
Det skrives således:
nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x0 , vil vi
går mod f´(xo) når x går mod xo.
Det kan også skrives sålees:

f´(xo)
når
x  xo .
eller således:
Ordet lim er i slægt med det engelske ord limit, der betyder grænse.
Ordet grænseværdi benyttes ikke blot ved bestemmelse af grafers hældninger.
Generelt kan man tale om, at et udtryk, hvor dets værdi afhænger af en variabel, kan have en
grænseværdi, når denne variabel nærmer sig et bestemt tal.
f ´ (xo) kaldes også differentialkvotienten af f i xo eller blot differentialkvotienten i xo.
version 8.1
side 18 / 60
Ordet differentialkvotient har noget at gøre med, at
er en kvotient af differenser.
Kvotient betyder resultatet af en division, og differens betyder resultatet af et minus-stykke.
kaldes ofte differens-kvotienten.
I gamle dage kaldte man differenserne for differentialer, hvis differenserne var ekstremt små, og
derved opstod navnet differential-kvotient.
Vi benytter ofte forkortelsen f for f(x) – f(x0) og x eller h for (x – x0)
Med disse forkortelser kan vi skrive:
f
har en grænseværdi for x  xo
x
eller

f
f er differentiabel i xo hvis
har en grænseværdi for h  0
h
f er differentiabel i xo hvis
Differentiable funktioner
Hvis en funktion f er differentiabel for alle x, siger vi at funktionen er differentiabel,
og den funktion, der til hvert xo knytter f´(xo) betegnes f ’.
f ’ kaldes differentialkvotienten af f eller den afledede af f.
3)
Løs E-opgaver
E-opgaver 21a Differentialregning
4)
Regn fra 2006-opgavehæftet:
1.018, 1.023, 2.002 og 2.012
version 8.1
side 19 / 60
Lektion 21b,
Differentialregning
1)
2)
Se videoer. Links: Tangent
3-trinsregel x² & xn ax+b + reglen
Læs
Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning.
Hvis man kender regneforskriften for en funktion f, er det ofte muligt at finde regneforskriften
for den afledede funktion f ´ . Her benyttes CAS-værktøj og forskellige regler. Vi vil senere
bevise nogle af disse regler, men først vil vi nøjes med at se nogle af reglerne:
( k )' = 0
Eksempel: f(x)=7 Grafen er vandret og f '(x)=0
( k x )' = k
Eksempel: f(x)=3x Grafen har overalt hældningen 3 og f '(x)=3
3
3-1
2
2
2-1
n
Eksempler: (x )´ = 3·x = 3·x og (x )´ = 2·x = 2x
(x )´ = n·xn-1 , n≠0
(k·f(x))' = k·(f(x))' = k·f´(x) Eksempel: (2x3)´ = 2·3·x2 2 = 6x2
n
n-1
3
2
2
(k·x ) = k·n·x , n≠1
Eksempel: (2x )´ = 2·3·x = 6x
(f(x)+g(x))´ = f ´(x) + g´(x). Eksempel: (x³ + x²)' = 3x2 + 2x
Plusreglen
2
(f(x)-g(x))´ = f ´(x) - g´(x).
Eksempel: (x³ - x²)' = 3x - 2x
Minusreglen
Når man anvender de 2 sidste regler kaldes det ledvis differentiation.
Når der i et udtryk er 2 eller flere led, vil man typisk anvende ledvis differentiation.
Der er flere regler i formelsamlingen.
Differentiation ved hjælp af CAS-værktøj
I RegneRobot differentieres ved at vælge "Guide & CAS" og derefter "Differential- og
integralregning". Se eventuelt Vejledning til RegneRobot
På TI-89 og Voyage 200 kan man finde differentialkvotienten til en funktion,
fx f(x) = 3x² , ved at taste F3 og vælge d(
Derefter skrives 3x^2,x) , så der kommer til at stå: d(3x^2,x)
(x til sidst betyder, at den uafhængige variable er x).
F6 Enter Enter F3
1
3
x
^
2
,
x
)
Enter
Der er mere om cas-væktøj i lektion 19, 23 og 25
Tangent
En linje, der går gennem et grafpunkt og har samme hældning som grafen i punktet, kaldes
tangent til grafen.
Ligningen for tangenten gennem et grafpunkt (xo, yo) er: (y – yo) = f ’ (xo) (x – xo)
Hvis x ≠ xo , kan ligningen også skrives:
version 8.1
side 20 / 60
Til højre er tegnet funktionen f(x) = -2x² + 8x – 1 og en tangent.
Man kan se af tegningen, at hældningen er -4.
Hældningen kan også beregnes:
f ’(x) = -4x + 8
f ’(3) = -4·3 + 8 = -12 + 8 = -4
Af tegningen ses, at tangentens røringspunkt er (3 , 5)
Tangentens ligning bliver: (y – 5) = –4(x – 3)
Linjeelement
Lad ( xo , yo ) være et punkt på grafen.
De tre tal [xo , yo , f '(xo) ] kaldes et linjeelement for grafen.
Til højre illustreres linjeelementet: [-1, 3, 2]
og tangenten: y - 3 = 2(x - (-1))  y - 3 = 2(x + 1)
Beregning af differentialkvotienter
Hvis man kender en funktion og ønsker at finde dens afledede er det ofte bekvemt at benytte den
såkaldte tretrinsregel.
Husk h = x = (x-xo) og x= x0+h
1.
Opskriv
eller
2.
3.
Omskriv f så der kan forkortes med x eller h
Bestem grænseværdien.
Eksempel 1
f
x
=
f(x) = ax +b
y  y0
h
=
(ax  b)  (ax 0  b)
h
=
=
=
= a gælder også
Da
=
=
=
a
 a for x  xo
Altså: f’(xo) = a. Da det gælder for ethvert xo kan vi skrive f’(x) = a eller (ax+b)’ = a
Eksempel 2
f(x) = x²
Vi bemærker at x = xo + h , og vi får:
f
x
=
y  y0
h
=
x0  h 2  2hx0  x0
h
2
=
h  2x0

2x0
Altså: f’(xo) = 2xo
(x 0  h) 2 - x 0
h
2
=
for x
eller
2
h 2  2hx0
h

=
h  2x0
xo
f’(x) = 2x
eller
version 8.1
(x²)’ = 2x
side 21 / 60
Vi vil bevise plus-reglen:
( f  g )
x
(f(x)  g(x) ) - ( (f(x 0 )  g(x 0 ) )
x  x0
=
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
=
+
g ( x)  g ( x0 )
x  x0
=
f(x) - f(x 0 )  g(x) - g(x 0 )
x  x0
f '(x0) + g '(x0) for x  x0

Hvilket beviser (f+g)'(x) = f '(x) + g'(x)
Differentiation af udtryk
skives ved at tilføje en apostrof og ofte en parentes, fx (x² + 2x)’ = 2x + 2.
Nogen gange sættes apostroffen anderledes, fx Log´x , som betyder (Log x)’ .
Formlen (xn)' = n·xn-1
,
n≠0
vil vi ikke bevise, men uddybe.
(x0)’ = (1)’ = (0x + 1)’ = 0. Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a=0 og b=1. Altså (x0)’ = 0
(x1)’
= (x)’ = (1x + 0)’ = 1. Det sidste fremgår af eksempel 1, hvor a=1 og b=0. Altså (x1)’ = 1 = x0
(x²)’
= (x·x)’ = 1·x + x·1 = 2x
(x3)’
= (x²·x)’ = 2x·x + x² ·1 = 3x²
(i overensstemmelse med den tidligere beregning.)
4
(x )’ = 4x3
(Se eventuelt lektion 3)
(Se eventuelt lektion 3)
3) Løs interaktive øve-opgaver
Differentialregning
4)
Løs E-opgaver
E-opgaver_21b_Differentialregning
5)
1.021
6) Skriv og aflever en rapport
1. Skriv om sammenhæng mellem graf for en funktion og differentialkvotient.
2. Skriv plus-reglen.
3. Skriv et eksempel, du selv har digtet, på anvendelse af plus-reglen
version 8.1
side 22 / 60
Lektion 22,
Anvendelse af differentialregning
1) Se video.
2)
Link: dif 2, anvendelse af differentialregning
Læs
Maksimum og minimum
Hvis en funktion er kontinuert på et lukket interval, har den både et maksimum og et minimum.
Dette vil vi ikke bevise, men anskueliggøre med nogle tegninger:
Bemærk:
Maksimum og minimum er y-værdier. De tilsvarende x-værdier kaldes henholdsvis
maksimumpunkt og minimumspunkt.
version 8.1
side 23 / 60
Monotoni
Hvis en funktion f er differentiabel i et interval gælder:
f er voksende i intervallet hvis f ’(x) er positiv eller punktvis nul.
f er aftagende i intervallet
hvis f ’(x) er negativ eller punktvis nul.
f er konstant i intervallet
hvis f ‘(x) = 0 overalt i intervallet.
I intervallet I1 er f ’(x) ≥ 0 og kun punktvis lig nul. (2 steder)
f er voksende i intervallet I1
I intervallet I2 er f ’(x) ≤ 0 og kun punktvis lig nul. (2 steder)
f er aftagende i intervallet I2.
I intervallet I3 er f ’(x) ≥ 0 og kun punktvis lig nul. (1 sted)
f er voksende i intervallet I3
Bemærk: I1 og I2 har 1 punkt fælles. Det gælder også I2 og I3.
Lokalt maksimum
er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger på en bølgetop eller på et vandret stykke af grafen.
Det lokale maksimum er større end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen.
Lokal minimum
er en funktionsværdi, hvor grafpunktet ligger i en bølgedal eller på et vandret stykke af grafen.
Det lokale minimum er mindre end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen.
Begge dele kaldes: Lokalt ekstremum. I flertal: Lokale ekstrema.
Ved ekstremum er differentialkvotienten nul; men differentialkvotienten kan også være nul
andre steder.
Monotoni-interval for en funktion er et interval hvor funktionen er monoton, dvs
voksende, aftagende eller eventuelt konstant.
Om den afbillede funktion gælder:
Voksende i ] - ∞; -3 ] og [ 1; ∞ [
Aftagende i [ -3; 1 ]
Lokalt maksimum i -3 med y-værdi 34
Lokalt minimum i 1 med y-værdi 2
Bemærk:
Begge tal -3 og 1 er med i både et voksende og i et
aftagende interval.
version 8.1
side 24 / 60
Bemærk også:
Grafen er sammenhængende.
Derfor kan man ikke gå langs med grafen fra et punkt under x-aksen til et punkt over x-aksen
uden at passere x-aksen. Et graf-punkt på x-aksen har y-værdien nul. En funktion med en
sammenhængende graf, kaldes kontinuert.
Monotoniforhold
At redegøre for monotoniforhold vil sige at oplyse monotoniintervaller og anføre hvor
voksende, hvor aftagende og hvor konstant.
Man kan illustrere en fortegnsvariation over differentialkvotienten og se både
monotoniforhold og ekstrema.
Eks.
f(x) = x3 + 3x2 - 9x + 7
f’(x) = 3x2 + 6x - 9
For at finde ud af fortegnet for f ’ vil vi finde nulpunkter for f ’:
Dvs vi skal løse ligningen: 3x2 + 6x – 9 = 0
d = 36 – 4·3·(-9) = 144
dvs. -3 og 1
Rødder:
Grafen for f ’ er ”glad” og derfor negativ mellem rødderne.
Fortegnsvariation
f er voksende i ] -∞ ; -3 ]
f er aftagende i [-3 ; 1 ]
og [ 1 ; ∞ [
Der hvor f skifter fra voksende til aftagende har f lokalt maksimum,
altså ved x-værdien -3.
Selve maksimumsværdien er f(-3) = 34
Tilsvarende bliver minimum = 2 der antages for x =1
Ofte har man brug for at finde størsteværdi eller mindsteværdi for en funktion.
version 8.1
side 25 / 60
Optimering
Det at finde maksimum for en funktion kaldes optimering.
Eks.
Vi betragter igen firmaet, som sælger en vare og gerne vil optimere sin fortjeneste.
Se begyndelsen af foregående lektion.
x er reklameinvesteringen i mio kr.
Den samlede fortjeneste ved salg af varen afhænger af reklameinvesteringen.
f(x) er den samlede fortjeneste i mio kr ved salg af varen.
For den pågældende vare gælder:
f(x) = -2x² + 8x - 1 , Dm(f) = [0 ; 5].
reklamer
Det handler om af få maksimum fortjeneste.
f ’(x) = -4x + 8
f ’(x) = 0  -4x + 8 = 0  x = 2
f ’(0) = 8 (positivt)
f ’(3) = -4 (negativt)
Dvs der kan højst investeres 5 mio i
På grundlag heraf fås
Fortegnsvariation:
Resultat:
Der er maksimum fortjeneste ved en reklameinvesering på 2 mio.
Maksimumfortjenesten er f(2) mio = 7 mio kr.
Vi kan også finde minimumfortjenesten ved at vurdere f(0) og f(5)
f(0) = -1 mio
f(5) = -11 mio
Altså minimumsfortjenesten er -11 mio, hvilket er et tab på 11 mio.
Bemærk, vi har stiltiende udnyttet at f´ er kontinuert. Derfor kunne vi konkludere, at når f´(0) er
positiv, så er f´(x) positv overalt til venstre for 2.
Tilsvarende kunnevi konkludere, at når f´(3) er negativ,så er f´(x) negativ overalt til højre for 2.
3)
Løs E-opgaver
4)
Regn fra 2006-opgavehæftet: 1.017, 2016, 2.022 og 2.024
E-opgaver 22 Anvendelse af diff.regning
version 8.1
side 26 / 60
Lektion 23a
Stamfunktion og integral
1) Læs
Stamfunktion
En funktion F kaldes stamfunktion til en funktion f hvis F’ = f.
Fx: F(x) = x² og f(x) = 2x .
Der findes uendelig mange stamfunktioner til 2x , bl.a. også (x²+7) idet (x²+7)’ = 2x
Der gælder, at alle stamfunktioner til 2x er (x²+k) hvor k er et tal, der med et fint ord kaldes en
arbitrær konstant. Arbitrær betyder tilfældig eller vilkårlig.
Enhver af disse stamfunktioner kan betegnes med den særlige skrivemåde: ∫2x dx , som udtales
integralet af 2x med hensyn til x. Nogen gange siger man det ubestemte integral.
Det er ubestemt hvilken stamfunktion, der menes, når man skriver ∫2x dx
Der gælder således ∫2x dx = x² + k , hvor k er en arbitrær konstant
At integrere en funktion vil sige at finde stamfunktionerne.
Eksempler:
F(x) = x²
er en stamfunktion til f(x) = 2x , fordi (x²)’ = 2x
G(x) = x² +5 er en stamfunktion til g(x) = 2x , fordi (x² + 5)’ = 2x
Bemærk G(x) = F(x) + 5
Generelt kan man sige:
Hvis der til en funktion f findes en stamfunktion F, så gælder:
1. G(x)=F(X)+k er også stamfunktion for f, idet k er et tilfældigt tal, kaldet en arbitrær konstant.
2. Enhver stamfunktion til f kan skrives på formen G(x) =F(X)+k, hvor k er et konstant tal.
Dvs. alle stamfunktioner til f udgøres af dem, der kan skrives på formen G(x)=F(X) + k
Bevis:
1. G’(x) = (F(x)+k )’ = f(x) + 0 = f(x). hvorfor G er stamfunktion til f.
2. Vi betragter stamfunktion til f : G.
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0.
Grafen for (G(x) – F(x)) er derfor vandret overalt og (G(x) – F(x)) = et konstant tal k.
Altså G(x)=F(X)+k.
f(x)
Integral (Ubestemt integral)
En stamfunktion til f kaldes også det ubestemte integral
til f og betegnes ∫ f(x) dx
Ofte siges blot integralet til f
Eksempler på integraler ses til højre, hvor k er en
arbitrær konstant og Ln er en særlig funktion, vi skal
lære om senere.
Løs interaktive øve-opgaver
xⁿ (n ikke lig -1)
x-1 (x>0)
x-1 (x<0)
Se regler for integration
4x
4x + 3
3
x²
3x²
6x²
x³
5x³
version 8.1
∫ f(x) dx
2 x² + k
2 x² + 3 x + k
3x +k
⅓ x³ + k
x³ + k
2 x³ + k
¼ x4 + k
5/4 x4 + k
1/n+1 xn+1 + k
Ln(x)
Ln(-x)
side 27 / 60
Det bestemte integral
Lad F være en stamfunktion til f.
Det bestemte integral af f fra a til b defineres som F(b) – F(a) og betegnes
F(b) – F(a) kan kortfattet skrives således:
Altså:
b
Det bestemte integral af f fra a til b =

f ( x)dx =
[ F ( x)]ba
= F(b) – F(a).
a
b
 f ( x)dx
har samme værdi uanset hvilken stamfunktion til f , man betragter.
a
Bevis
Hvis man betragter 2 forskellige stamfunktioner til f , F1 og F2 , vil de kun adskille sig fra
hinanden ved en arbitrær konstant. Dvs F2 (x) - F1( x) vil altid give den samme værdi uanset x.
Den værdi kan vi kalde k.
Det kan udtrykkes således: F2 (x) - F1( x) = k  F2 (x) = F1( x) + k
Herefter ses det let at F2(b) – F2(a) har samme værdi som F1(b) – F1(a),
idet F2(b) – F2(a) = (F1(b) + k) – (F1(a) + k) = F1(b) – F1(a).
Bemærk
er et bestemt tal, nemlig
= 6²-3² = 36 - 9 = 27
er en bestemt funktion med regneforskrift:
= x²-3² = x²-9
Vi skal i øvrigt snart se, at
er arealet af det område i koordinatsystemet, der ligger
mellem intervallet [3; 6] på x-aksen og grafen for 2x. Bemærk 2x>0 når x er i intervallet [3; 6].
2)
Løs E-opgave
E-opgaver 23a Integralregning
3)
1.022, 1.026 og 2.035
version 8.1
side 28 / 60
Lektion 23b
1) Se video. Link:
2) Læs
Areal og integral
Ved integralregning kan man finde areal af mange forskellige figurer. Vi vil nu betragte en
funktion, som er positiv eller eventuelt nul og kontinuert i et lukket interval [a; b].
x er et tal i intervallet.
I tegningen til højre betragtes det skraverede
areal, der afgrænses af grafen, x-aksen og de
lodrette linjer gennem a og x.
Dette areal afhænger af, hvor i intervallet x
placeres.
Arealet er således en funktion af x, og kaldes
arealfunktionen., Den vil vi betegne således: A
A(x) er således lig det skraverede areal.
Der gælder:
A er en stamfunktion til f, og A er den stamfunktion, hvor A(a) = 0.
Det vil vi ikke bevise, men anskueliggøre.
At A(a) = 0 virker temmelig indlysende.
At A er en stamfunktion til f er også temmelig indlysende.
Det ses således:
A
A( x  h)  A( x)
Lad os betragte
=
h
x
I tegningen her til højre vises situationen ved en
lille positiv h-værdi. Det virker troværdigt, at
tælleren er lig, eller næsten lig arealet af det
mørkt markerede rektangel.
Dvs brøken er for små værdier af h næsten lig
rektanglets areal divideret med rektanglets
grundlinje h og det er rektanglets højde f(x).
Dermed har vi anskueliggjort, at
 f(x) for h  0 (brøken nærmer sig f(x). når h nærmer sig nul)
Altså, at A’(x) = f(x), som betyder, at A en stamfunktion til f.
Bemærk
= A(b) - A(a) = A(b) – 0 = A(b) .
version 8.1
side 29 / 60
Dvs. hvis en graf for en funktion f ligger over x-aksen på stykket fra a til b,
kan man beregne arealet af det område, der ligge mellem x-aksen og grafen
fra a til b således:
Arealet af området af fra a til b mellem 2 grafer for funktionerne f og g,
hvor f(x)>g(x) kan beregnes således:
Eksempel:
f(x) = 2x ,
g(x)= x² ,
F(x) = x2
G(x) =
Arealet mellem de to grafer er
-2
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
2
4
Regneregler for bestemte integraler
b
b
b
 f ( x)  g ( x)dx
=
a
 f ( x)dx  a g ( x)dx
a
b
b
 c· f ( x)dx
=
c ·
a
 f ( x)dx
a
c
b
 f ( x)dx
 f ( x)dx
=
a
b
+
 f ( x)dx
c
a
Den sidste regel kaldes Indskudsreglen
Eksempler:
–
=
= ( 3/2 · 5² - 3/2 · 2² ) – (2·5 – 2·2) =
25½
7
 5·xdx
7
 xdx
= 5 ·
4
4
= 5·
[½x²]74
= 5 · ( ½ · 7² - ½ · 4² ) = 5 · 16½ = 82½
5
 2xdx
=
[x ²]5
= 5² - 1² = 24
1
5
 2xdx
1
5
3
=
 2xdx
1
+
 2xdx
5
3
= [x²]1 + [x ²]3
= (3² - 1²) + (5² - 3²) = 5² - 1² = 24
3
version 8.1
side 30 / 60
Integraler / stamfunktioner kan findes ved hjælp af CAS-værktøj
På TI89 findes f. eks.
F6
Enter Enter
 2 xdx
F3
ved at taste:
2
2
x
,
x
)
Enter
3
 2xdx
fås ved at taste:
1
F6
Enter Enter F3
2
2
x
,
x
,
1
,
3
)
Enter
I RegneRobot skal du klikke i ”Guide & CAS” og vælge ”Differential- og integralregning”.
3)
Løs E-opgaver
E-opgaver 23b Integralregning
4)
1.024, 1.025, 2.027 og 2.036
version 8.1
side 31 / 60
Lektion 24a
Vækstmodeller og funktionsteori, Ln og tallet e
1)
Læs
Fra Matematik C kender vi:
Sammenhæng mellem variable og funktion
Proportionalitet
Lineær funktion
Eksponerntiel Funktion
Logaitmefunktion (10-talslogaritmen)
Potensfunktion
Disse ting skal vi nu arbejde videre med.
Tallet e
Vi skal møde et helt specielt tal, som spiller en ganske stor rolle i matematikken.
Tallet kaldes e og er lig ca. 2,718.
Tallet kan ikke skrives som en endelig decimalbrøk. Det er et irrationalt tal, altså et ikke
rationalt tal, hvilket vil sige, det ikke kan skrives som en brøk med helt tal for oven og helt tal
for neden.
Den naturlige eksponentialfunktion
Tallet er især interessant når det optræder i den eksponentialfunktion, som har regneforskriften:
f(x) = ex
Denne funktion kaldes den naturlige eksponentialfunktion og er karakteristisk ved at have sig
x
x
x
selv som differentialkvotient. Dvs f’(x) = e eller (e )’ = e
e kan benyttes i RegneRobot. I nogle CAS-værktøjer skrives #e
Den naturlige logaritme
Den naturlige logaritmefunktion betegnes Ln, og er bestemt ved:
Den naturlige logaritme til et positivt tal er den eksponent,
man skal sætte på e for at få tallet.
DVS.
e
Ln(x)
=x
.
Eksempler:
Ln(e3) = 3
Ln(e7) = 7
Ln(ex) = x
Ln(ea) = a
Ln(1) = 0 fordi e0 = 1
Ln(e) = 1 fordi e1 = e
version 8.1
side 32 / 60
Logaritmeregler
Ln(a·b)
= Ln(a) + Ln(b)
Ln( )
Ln(ax)
= Ln(a) - Ln(b)
= x· Ln(a)
Disse regler er magen til reglerne for 10-talslogaritmen.
Nogen gange betegnes den naturlige logaritme med lille l således: ln
Fx: ln(1) = 0
Eksponentielle funktioner
x
Vi vil nu omskrive b·a , så e indgår.
Her får vi brug for en regel om eksponenter:
(ap)q = ap·q , fx (53)2 = 5·5·5 · 5·5·5 = 53·2
ln(x)
Vi har tidligere set at x = e
, idet ln(x) er den eksponent, man skal putte på e for at få x.
ln(a)
Ved at skrive a i stedet for x fås:
a = e
ln(a) x
a x = (e
og
og
)
ln(a)·x
= e
ln(a)·x
b·ax = b·e
ln(a)·x
Derfor kan en eksponentiel funktion skrives på følgende form: f(x) = b·e
Differentialkvotient af eksponentielle funktioner
(b·ax)’ = ln(a) · b·ax
Der gælder:
(Det vil vi ikke bevise)
(ax)’ = ln(a)·ax
Specielt gælder:
Vi lægger mærke til, at differentialkvotienten af en eksponentiel funktion er proportional med
funktionsværdien.
Endvidere gælder: (b·e
nx
)’ = b·n·enx
og
(b·anx)’ = ln(a) · n·b·anx
Det vil vi heller ikke bevise.
Eksempler:
(2·3x)’ = ln(3)·2·3x
(3x)’ = ln(3)·3x
og
Se også link: Regler for differentiation
nx
nx
Bemærk især: (e )’ = ne
x
På lommeregner Texas TI 89 og Voyage 200 kan (2·3 )’ findes ved at taste:
F3
2)
3)
1
2
*
3
^
x
,
x
)
Enter
Løs E-opgaver
E-opgaver 24a vækstmodeller
1.016, 1.020 og 2.018
version 8.1
side 33 / 60
Lektion 24b
Vækstmodeller og funktionsteori, Ln og tallet e
1)
Se video med stof fra både C- og B-niveau. Link: Vaekstmodeller-funktionsteori
2)
Læs
Differentialkvotient af Ln og stamfunktion til 1/x
,
∫
dx
Der gælder:
(ln(x) )’ =
Tilsvarende:
∫
dx
= ln(x) +k , x > 0. k er en abitrær konstant, dvs et vilkårligt tal .
For x<0 :
∫
dx
= ln(-x) +k , x < 0. (De 2 sidste formler vil vi heller ikke bevise.)
, x > 0. (Det vil vi ikke bevise.)
De 2 sidste formler kan under ét skrives ∫ dx = ln(|x|) +k , x 0 (x forskellig fra nul) ,
idet |x| betyder –x hvis x<0 og ellers x. Fx: |-7|=7 og |7|=7.
(Bemærk, vi bruger også den lodrette streg i geometri. Afstanden mellem fx punkterne A og B betegnes: |AB| )
Se også formlerne på sidste side: Naturlig logaritme & eksponentialfunktion
Væksthastighed
Væksthastighed betyder det samme som differentialkvotient.
Pakistans befolkning var i 2000 på 147 mio.
og er siden vokset med en væksthastighed på 1,71% pr. år.
Dvs: Væksthastigheden = 0,0171 · befolkningens størrelse.
Væksthastigheden er således proportional med befolkningens størrelse og
proportionalitetsfaktoren er 0,0171.
Det kan skrives: f ’(x) = 0,0171· f(x),
hvor x er antal år efter år 2000 og f(x) er befolkningstallet, mens f ’(x) er væksthastigheden.
4)
4)
Løs E-opgaver
E-opgaver 24b vækstmodeller
1.019, 2.019, 2.020, 2.021
version 8.1
side 34 / 60
Lektion 25,
Mere om regression og CAS-værktøj
1) Læs
I denne lektion skal vi repetere regression og CAS-værktøj.
Se eventuelt lektion 19d.
Se eventuelt også Vejledning til RegneRobot.
3)
Løs E-opgaver
4)
Regn fra 2006-opgavehæftet: 2.013, 2.014, 2.015, 3.015
E-opgaver_25_Model_og_CAS
version 8.1
side 35 / 60
Lektion 26,
Statistik og sandsynlighed
1)
Se lektion 16 om bl.a. sumkurve og histogram.
2)
Se video:
3)
Læs
Statistik og sandsynlighed
Normalfordeling
Når man skal beskrive et statistisk talmateriale, kan man nogle gange sige, at observationerne er
normalfordelt, og allerede ved det er der sagt noget om, hvordan observationerne fordeler sig.
Der findes en lidt indviklet definition på normalfordeling.
Her vil vi nøjes med at nævne nogle egenskaber ved normalfordelinger:
Histogrammet ved en normalfordelinger er symmetrisk omkring middeltallet, der således også er
median.
Histogrammet ligner en klokke
Her ses et par klokkeformede histogrammer for normalfordelinger med middelværdien 7 og
ekstremt mange bitte små intervaller.
Man har lavet noget teknisk papir, som kaldes normalfordelingspapir. Det er indrettet således, at
netop normalfordelinger vil få lineære sumkurver i dette papir. Sådant papir kan benyttes til at
afgøre om en fordeling er en normalfordeling. På næste side ses sumkurven for en
normalfordeling indtegnet i normalfordelingspapir. Medianen kan her aflæses til 4. Da det er en
normalfordeling, er også middeltallet = 4
Tilsvarende kan nedre kvartil aflæses til 3,1 og øvre kvartil til 4,9
version 8.1
side 36 / 60
Opgave
Højden på danske soldater er normalfordelt. 5% af
soldaterne har en højde på under 170 cm og 70 % af
soldaterne har en højde på under 185 cm. Udfyld skemaet
til højre og indtegn sumkurven i normalfordelingspapir.
Aflæs kvartilsættet: (177, 182, 187)
Du kan eventuelt printe denne side og tegne oven i.
version 8.1
Højde i cm
Kumuleret
frekvens
170
side 37 / 60
185
Sandsynlighed
Vi betragter et eksperiment med forskellige udfald.
Fx kast med terning
Vi vil ikke nødvendigvis udføre eksperimentet,
men vi vil forestille os, at eksperimentet udføres mange gange.
Ved sandsynlighed for et bestemt udfald forstås
den brøkdel af gange, man forventer udfaldet.
Eksempel
Hvis man kaster en terning, er sandsynligheden for 6: 1/6 , og det er den fordi, hvis man
forestiller sig kastet gentaget mange gange, så forventer vi, at frekvensen for 6 bliver 1/6 .
Opgave 0
Hvad er sandsynligheden for ikke at slå en sekser?
Svar: 1 - 1/6 = 5/6 , da det at slå ”en sekser” eller ”ikke en sekser” er udtømmende.
Opgave 1
Hvad er sandsynligheden for at slå en sekser to gange i træk?
Svar: 1/6 ∙ 1/6 = 1/36
Opgave 2
Hvad er sandsynligheden for at slå 3 seksere i træk?
Svar: (1/6)3 = 1/216
Opgave 3
Jeg kaster først en mønt og så en terning. Hvad er sandsynligheden for, at det lykkes mig både at
få krone og en sekser.
Svar: 1/2 ∙ 1/6 = 1/12
Vi bemærker, at sandsynligheden for nogle bestemte udfald ved flere forskellige eksperimenter
kan beregnes som produktet af de enkelte sandsynligheder.
Stikprøver
Man kan formode, at 10% af alle danskere vil sige ja til fri heroin.
En sådan formodning kaldes en hypotese.
For at vurdere hypotesen vil vi foretage en stikprøve. Vi vil spørge 20 tilfældige danskere, og er
indstillet på at forkaste hypotesen, hvis ingen af de 20 svarer ja.
Vi ved godt, at selv om hypotesen skulle være sand, kan vi ikke udelukke, at der i vores
stikprøve slet ikke er nogen, der går ind for fri heroin, men vi antager, at sandsynligheden for det
er meget lille.
version 8.1
side 38 / 60
Lad os beregne den sandsynlighed. Altså sandsynligheden for, at alle 20 svarer noget andet end
ja, sunder forudsætning af at hypotesen er sand.
For hver af de 20 tilfældige danskere er sandsynligheden at få et ja: 10% = 0,10 og
sandsynligheden for ikke at få ja: 90 % = 0,90.
Sandsynligheden for at alle 20 ikke svarer ja er 0,9020 = 0,121… = 12%
Det er således 12 % sandsynligt, at vi kommer til at forkaste en sand hypotese.
12 % er i den forbindelse temmelig meget og spørgsmålet er, om det var en rimelig beslutning at
forkaste hypotesen på baggrund af en sådan stikprøve.
Vi vil nu spørge 100 tilfældige danskere, og hvis ingen af dem siger ja, må vi vel kunne forkaste
hypotesen.
Under forudsætning af at hypotesen er sand, kan vi beregne sandsynligheden for, at vi alligevel
forkaster hypotesen og får 0,90100 = 0,000026… = 0,003%.
Denne sandsynlighed er ekstrem lille, så hvis resultatet af stikprøven bliver, at nul svarer ja, så
tør vi godt forkaste hypotesen. Det vil være næsten usandsynligt, at nul svarer ja ud af 100, hvis
10% af befolkningen skulle gå ind for fri heroin.
Måske ville det også være rimeligt at forkaste hypotesen, hvis resultatet blev et enkelt ja.
Det at foretage en stikprøveundersøgelse af 100 personer er et eksempel på en såkaldt
eksperimentserie bestående af 100 såkaldte basiseksperimenter.
Hvert basiseksperiment består i at undersøge om pågældende person vil svare ja.
Hvis hypotesen er rigtig, er sandsynligheden for ja 10% , og det kalder vi basissandsynligheden,
forkortet lille p. Sandsynligheden for nej er 100% - p = 90%.
Udfaldet af stikprøven kaldes ofte χ
(χ er et græsk bogstav, der udtales noget i retning af ksi, men vi kan bare sige store X)
Vi har beregnet sandsynligheden for (χ =0). Denne sandsynlighed betegnes P(χ =0).
Sandsynligheden for et enkelt ja betegnes P(χ =1).
Sandsynligheden for netop 2 svar med JA betegnes P(χ =2) osv.
3)
Løs E-opgaver
4)
E-opgaver 26 Statistik og sandsynlighed.htm
3.001, 3.002, 3.004
version 8.1
side 39 / 60
Lektion 27a Trigonometri
1)
Repeter Lektion 9 og 17, Geometri .
Se evt. links: Def. af Sin, Cos og Tan
2)
Sinus, Cosinus og Tangens i regneark
Læs
Nogle funktioner kaldes trigonometriske. Vi skal arbejde med Sinus, Cosinus og Tangens.
Bemærk: Vores definition af sinus og cosinus forudsætter ikke at vinklen skal være spids.
Vinklen kan være større end 360° og vinklen kan være negativ.
I definitionen af Sinus og Cosinus indgår en trekant med grundlinjen på x-aksen. Det er en
såkaldt standardtrekant. Dvs. hypotenusen er 1.
Den til vinkel v hosliggende katete i standardtrekanten er Cos v og den modstående er Sin v.
Idiotformlen
Ofte benyttes den forkortede skrivemåde Cos2 v i stedet for (Cos(v))2 og ligeledes Sin2v i
stedet for (Sin(v))2 .
Ved hjælp af Pythagoras ses Cos2 v + Sin2 v = 12 = 1.
eller
Cos2 v + Sin2 v = 1
Denne formel kaldes populært idiotformlen.
Flere formler
Ved at betragte tegningen til højre ses
Cos(-v) = Cos v
Cos (180°- v) = - Cos(v)
Sin(-v) = -Sin(v)
Sin(180°- v) = Sin(v)
To vinkler, som tilsammen er 180º kaldes
supplementvinkler og den sidste formel kan
udtrykkes:
Sinus til supplementvinkler er lige store.
På C-niveau blev gennemgået, hvordan man kan beregne vinkler og sider i retvinklede trekanter.
Her vil vi se hvordan, man gør hvis en trekant ikke er retvinklet .
Først vil vi se på arrealet af en trekant.
version 8.1
side 40 / 60
Areal af trekant
Vi betragter en ΔABC , der ikke nødvendigvis er retvinklet.
Vinkel C kan være spids, ret eller stump. (Spids betyder under 90° og stump betyder over 90°)
Bemærk: I figuren helt til venstre bliver vinkel BCH = 180°- vinkel C
og derfor er Sin(vinkel BCH) = Sin(C)
Vi ved, at i enhver Δ ABC gælder: Arealet T = ½ højde · grundlinje
Altså:
T = ½ h·b
Hvis man ikke kender h , men kender siderne a og b samt vinkel A, så kan man beregne h.
Ved at betragte tegningen længst til højre og den lille retvinklede trekant, der afgrænses af h, a og
x, ses at h kan erstattes af a·Sin(C), idet Sin(C) =
a
/b
Det gælder også i den midterste tegning, da C her er 90° og Sin(C) derfor er 1.
Ved at betragte tegningen længst til venstre og den lille retvinklede trekant, hvor
h er katete, ses at h også her kan erstattes af a·Sin(C), fordi Sin(vinkel BCH) = Sin(C)
Således gælder i alle 3 situationer:
T = ½ h · b = ½ · a Sin C · b = ½ ab Sin C
Tilsvarende fås
T = ½ ac Sin B
og
T = ½ bc Sin A
Arealet = ½ · sinus til en vinkel · den ene hosliggende side · den anden hosliggende side
Endvidere gælder Herons formel: T=
hvor
Den vil vi ikke bvise.
version 8.1
side 41 / 60
Sinusrelationerne
Vi skal nu se på hvordan man ud fra vinklerne og en side i en trekant kan beregne de øvrige
sider.
Regel:
I enhver trekant ABC gælder:
Bevis:
Vi betragter en vilkårlig ΔABC
Arealet
T =
2T =
½ bc Sin A = ½ ac Sin B
bc Sin A =
ac Sin B
= ½ ab Sin C
=
ab Sin C
Hermed er reglen bevist.
Forholdet mellem sinus til en vinkel og modstående side er ens for alle 3 vinkler
Sinusrelationerne kan betragtes som ligninger, hvor den ubekendte er en trekantside, der kan
findes ved ligningsløsning.
Hvis man kender 2 sider og en vinkel i en trekant, kan man også bruge sinusrelationerne og
beregne sinus til en af de andre vinkler i trekanten.
Men PAS PÅ! Det betyder ikke altid, at man kan finde selve vinklen, idet 2 forskellige vinkler
kan have samme sinus. Fx: Sin 30° = 0,5 og Sin 120° = 0,5.
Mange gange kan man imidlertid udelukke den ene af vinklerne, hvis den giver anledning til en
vinkelsum på over 180°.
3)
5)
Løs E-opgaver
E-opgaver 27a geometri
Rapport
Skriv og aflever en rapport, hvor du betragter en trekant ABC og ved hjælp af den gammelkendte formel ” T = ½ hB · b ” beviser eller anskueliggører ” T = ½ ab Sin C ” .
version 8.1
side 42 / 60
Lektion 27b Trigonometri
1)
2)
Se video:
Læs
Trigonometri
Cosinusrelationen
(Den udvidede Pyhagoras)
Her skal vi se, hvordan man finder en side i en trekant ud fra de andre sider og en vinkel..
Formel:
2
2
I enhver trekant ABC gælder: c² = a + b – 2ab·Cos C .
Bevis:
Vi betragter en vilkårlig ΔABC
Der er 3 muligheder.
1) Vinkel C = 90°
2) Vinkel C < 90°
3) Vinkel C > 90°
1)
Højden fra B er sammenfaldende med siden BC
Da vinkel C = 90°, er Cos(C) = 0 og formlens
sidste led får værdien nul.
Formlen gælder således på grund af Pythagoras
sætning for retvinklede trekanter.
2)
Højden fra B er inde i trekanten.
Ved Pythagoras fås:
c2 = (b - x)2 + h2
Men x og h skal væk.
Derfor erstatter vi x med a ·Cos C
og h med a ·Sin C.
c2 = (b – a·Cos C)2 + (a·Sin C)2
= b2 + a2·Cos2C – 2ba·Cos C + a2·Sin2C
a2 kan sættes uden for parentes
c2 = b2 + a2(Cos2 C + Sin2C) – 2ab·Cos2C
Ved hjælp af idiotformlen fås:
c2 = a2 + b2 – 2ab·Cos C
Hvilket skulle vises.
version 8.1
side 43 / 60
3)
Højden fra B er uden for trekanten.
Ved Pythagoras fås:
c2 = (b + x)2 + h2
Men x og h skal væk.
Derfor erstatter vi x med a ·Cos(180°- C) = – a ·Cos C
og h med a ·Sin(180°– C) = a·Sin C.
c2 = (b – a ·Cos C)2 + (a Sin C)2
= b2 + a2·Cos2C – 2ba·Cos C + a2·Sin2C
a2 kan sættes uden for parentes
c2 = b2 + a2(Cos2 C + Sin2C) – 2ab·Cos2C
Ved hjælp af idiotformlen fås:
c2 = a2 + b2 – 2ab·Cos C
Hvilket skulle vises.
Herved er formlen bevist i alle tilfælde.
Kvadratet på en side er lig summen af de to andre siders kvadrater minus
2 · produktet af de to andre sider og cosinus til modstående vinkel.
Cosinusrelationen kan også bruges, hvis man kender siderne i en trekant og vil finde en vinkel.
Så benyttes følgende omskrivning af cosinusrelationen
c²  a²  b²  2ab·Cos(C)  Cos(C ) 
a ²  b²  c ²
2ab
Mens sinus til en trekantvinkel desværre ikke altid entydigt bestemmer vinklen, så er det mere
behageligt med cosinus. Når man kender cosinus til en trekantvinkel, så er vinklen entydigt
bestemt.
3)
4)
Løs E-opgaver
E-opgaver_27b_Trigonometri
3.003, 3.013 og 3.014
Bemærk: mc i opgave 3.003 er
linjestykket fra C til midten af c
version 8.1
side 44 / 60
Lektion 27c: Mere om polynomier
1) Se video,
link:
Andengradspolynomier
I lektion 20 arbejdede vi med polynomier. Her i denne lektion vil vi se nærmere på grafen for
andengradspolynomier, vi vil se b’s geometriske betydning, og vi vil bevise toppunktsformlen
og løsningsformlen for en andengradsligning.
b’s geometriske betydning
Vi differentierer p(x)=ax²+bx+c, og får p’(x) =2ax+b
Ved at sætte x=0, ser vi at b er parablens hældning ved 2.aksen.
b’s fortegn kan således direkte aflæses af parablen
Parablens udseende
Grafen for x² ser således ud:
(0,0) er toppunkt
Grafen for (x-3)² ser således ud:
(3,0) er toppunkt
Grafen for (x-3)²+2 ser således ud:
(3,2) er toppunkt
Generelt gælder at ethvert andengradspolynomie kan skrives a(x-x0)²+y0
hvor (x0 , y0) er toppunktet.
Det vil vi ikke bevise, men nøjes med ovenstående anskueliggørelse.
Bevis for toppunktsformlen:
( xo , yo ) =
(
,
)
Vi vil nu betragte et vilkårligt andengradspolynomium ax² + bx + c.
Toppumnktet kan karakteriseres ved at differentialkvotienten er nul.
Vi kan således finde x-værdien for toppunktet ved at løse lignignen:
version 8.1
side 45 / 60
(ax² + bx + c)’ = 0
2ax+b = 0
x=
y-værdien for toppunktet findes ved i polynomiet at erstatte x med
y = a·( )2 + b ·
og vi får:
+c
I lektion 20 indførte vi betegnelsen d for: b² - 4ac
- b² + 4ac bliver derfor lig -d og vi får
.
Koordinatsættet for toppunktet bliver således:
( xo , yo ) =
(
)
hvilket skulle bevises.
version 8.1
side 46 / 60
Bevis for løsningsformlen for andengradsligningen
Det handler om at løse en ligning, der kan skrives på formen:
hvor a0
Men det er meget lettere at løse ligningen, når vi omskriver den ved hjælp af toppunktets
koordinater til formen:
ax² + bx + c = 0
a(x - xo )² + yo = 0
a(x - xo )² = - yo
(x - xo )² =
Venstresiden kan ikke være negativ.
Hvis højresiden er negativ, er der således ingen løsninger.
Vi vil derfor vurdere højresiden og indsætter
Højresiden bliver
i stedet for yo . (Se toppunktsformlen)
=
er ikke negativ, så højresiden er kun negativ hvis d er negativ.
Der er således ingen løsninger, hvis d er negativ.
Hvis d ≥ 0 fås
(x - xo )² =
(x - xo ) =
x - xo =
x = xo +
Vi indsætter
i stedet for xo og får x =
x=
Vi har hermed bevist løsningsformlen.
Hvis d=0 bliver der kun én løsning.
3) Løs interaktive øve-opgaver:
4) Løs E-opgaver
5) Regn fra 2006-opgavehæftet:
2.gradsligninger
E-opgaver 27c olynomier
2.025, 2.037,
2027, 2040, 2041 og 2042
6) Løs endvidere E-opgaver
27d, 27e , 27f , 27g ,
version 8.1
side 47 / 60
Lektion 28, Eksamen og repetition
1) Løs disse E-opgaver, der meget vigtige ved forberedelsen af
mundtlig eksamen:
28a, 28b , 28c , 28d og 28e
2) Se
eksamens-videoer
3) regn
flere opgaver fra 2006-opgavehæftet samt gamle eksamensopgaver.
Link til RegneRobot og opgaverne
4) Læs
Pensum til eksamen er skrevet i en undervisningsbeskrivelse. Både undervisningsbeskrivelsen
og eksamensspørgsmål offentliggøres i god tid før eksamen på kursets/skolens hjemmeside.
Eksempel på undervisningsbeskrivelse svarende til denne undervisningspakke:
Link:
Undervisningsbeskrivelse
Der afholdes både en skriftlig og en mundtlig eksamen
Skriftlig eksamen
Mødetid er typisk kl 8:30 og selve prøven starter kl 9:00.
Der bliver normalt udleveret papir før, selve eksamen starter, og man kan under eksamen ved
håndsoprækning bede om mere papir.
Man kan bruge tiden, før selve eksamen starter til at udfylde nogen stykker papir med navn,
kursistnummer osv. .
Hvert stykke papir skal være udfyldt med
Navn,
Kursistnummer,
Holdnummer,
Sidenummer (nogen gange kaldet ark-nummer) og antal sider/ark i alt (fx 3 af 5),
Prøve/Eksamen (Her skrives: HF),
Fag/niveau (her skrives: Mat. B).
Bemærk: antal sider/ark i alt er lig antal stykker papir, som afleveres .
Der er ét sidenummer/arknummer til hvert stykke papir.
Sidenummerering er vigtig og fortæller censor i hvilken rækkefølge
opgavebesvarelserne skal læses og sikrer, at censor ser alle sider.
version 8.1
side 48 / 60
Hvis der også afleveres bilag på hvert sit selvstændige stykke papir, så har hvert bilag sit eget
sidenummer. Det kan være hensigtsmæssigt at give bilagene de højeste sidenumre og tillige
navngive hvert bilag med et bogstav, fx bilag A, bilag B osv.
Husk at henvise til bilag fra de respektive opgavebesvarelser, fx: ”Se bilag A”.
Klokken 9 udleveres to prøver. Den ene skal løses uden hjælpemidler og afleveres kl 10:00. Der
må ikke bruges pc før kl 10, men gerne almindelige skriveredskaber, kuglepen, blyant, lineal
osv.
Til den anden prøve må alle hjælpemidler anvendes, også pc. Det er tilladt at gå på Internettet i
begrænset omfang. De hjemmesider, som skolen/kurset har benyttet i undervisningen må du
gerne benytte til skriftlig og mundtlig eksamen.
Det er således tilladt at benytte RegneRobot til eksamen.
Man behøver ikke at lave kladde. Evt. kladde og de trykte opgaver afleveres ikke og kan tages
med hjem efter kl 13.
Nogen gange er de trykte opgaver suppleret med et trykt bilag. Det er meningen, at man skal
skrive eller tegne på bilaget (fx aflæsninger og streger/markeringer). Bilag afleveres sammen
med den øvrige besvarelse.
Som ovenfor nævnt skal også bilag have sidenummer mm.
Den skriftlige eksamen slutter normalt kl 13. Kursister med problemer af forskellig art kan i god
tid før eksamen søge om forlænget tid.
Ca. en måned efter skriftlig eksamen, vil kursisten kunne få sin skriftlige karakter.
Forberedelse af skriftlig eksamen
Man forbereder sig ved at regne opgaver og ved at regne nogle hele prøvesæt på 4 timer uden
forstyrrelser.
Pc
Det anbefales at anvende pc. Ofte vil man foretrække at løse nogle opgaver, eller dele af
opgaver, på pc og resten manuelt. Fx kan det være praktisk at lave en graf ved hjælp af en pc og
derefter med kuglepen tegne markeringer.
Opgavebesvarelser, der er lavet på pc, skal printes på papir og kun papiret skal afleveres.
Det anbefales at printe siderne efterhånden. Det vil også være ærgerligt, hvis man regner med at
printe til sidst og ikke når det. Desuden bliver besvarelserne på print ofte anderledes end
forventet, og der er brug for tid til at foretage ændringer.
Hvis pc’en bryder sammen kan man benytte de sider, som allerede er printet, og resten skrives
med håndkraft.
Ofte kan man benytte skolens printer via et USB-stik, idet opgavebesvarelsern gemmes i PDFformat på USB-stikket, som så flyttes over i Skolens printer. Hvis du benytter browseren
Google Chrome, kan du gemme i PDF-fomat fra RegneRobot ved at klikke i Print og skifte
printer til ”Gem i PDF-format”
version 8.1
side 49 / 60
Mundtlig eksamen
Kursisten kommer ind i eksamenslokalet og får ved lodtrækning udleveret et stykke papir med et
eksamensspørgsmål.
Lodtrækningen vil typisk foregå ved at kursisten vælger en seddel. På bagsiden af sedlen står et
nummer, der henviser til eksamensspørgsmålet.
Kursisten skal sikre sig at spørgsmålet er forstået og kan spørge.
Kursisten får derefter lejlighed til at forberede sig i sit eget lokale i ca 20 minutter. I særlige
tilfælde kan kursisten i god tid før eksamen søge om forlænget tid. Alle hjælpemidler er tilladte,
herunder egne og andres notater, dog er kommunikation med omverden ikke tilladt.
Disse hjælpemidler må også benyttes under selve fremlæggelsen af eksamensspørgsmålet, dog
bør man ikke kigge for meget i notaterne. Direkte oplæsning eller afskrift fra notater eller
lignende vil ikke tælle positivt ved bedømmelsen, altså give en dårligere karakter.
Hvis man går i stå under fremlæggelsen, kan man kigge i notaterne, men man bør holde mund
mens man kigger.
Mundtlig eksamen er todelt.
Første del er kursistens fremlæggelse (se nedenstående dispositioner og videoer)
Anden del er samtale
Første del vil typisk vare over halvdelen af tiden 12  20 min. Det er vigtigt, at kursisten i sin
fremlæggelse kommer ind på alle underpunkter i eksamensspørgsmålet. Derfor bør man starte
med disse underpunkter. Derefter fortsætter kursisten med andre ting, der hører under
hovedoverskriften. Hvis der er noget kursisten ikke kan, fx et bevis, bør kursisten i sin
fremlæggelse ikke bruge tid på det. Karakteren bliver noget lavere, når kursisten springer noget
over, men karakteren bliver endnu lavere, hvis kursisten direkte demonstrerer sin manglende
kunnen.
Anden del vil typisk vare 5  10 min og tage udgangspunkt i kursistens fremlæggelse.
Samtalen kan ikke bevæge sig uden for hovedoverskriften.
Ca 5 minutter efter den mundtlige eksamen, vil kursisten få sin mundtlige karakter.
version 8.1
side 50 / 60
Eksempel på eksamens-spørgsmål
1 Andngradspolynomiet
Definition af andengradspolynomiet.
Gør rede for andengradspolynomiets graf.
Bevis toppunktdformlen.
2. Differentialregning
Gør rede for begrebet differentialkvotient , gerne med udgangspunkt i din rapport.
Udled differentialkvotienten for f(x) = x².
Gør rede for begrebet differentialkvotient.
Gør rede for regneregler for differentialkvotienter og bevis plus-reglen.
Inddrag gerne din rapport.
4. Differentialregning, eksponentiel funktion og den naturlige logaritmefunktion
Gør rede for den naturlige eksponentialfunktion.
Gør rede for den naturlige logaritmefunktion.
Gør rede for differentiation af eksponentielle funktioner.
5. Differentialregning og anvendelse af differentialregning
Gør rede for begrebet differentialkvotient, gerne med udgangspunkt i din rapport.
Gør rede for sammenhængen mellem monotoniforholdene for en
differentiabel funktion f og fortegnet for f ′ .
6. Vækstmodeller og funktionsteori
Gør rede for funktionsbegrebet og graf for en funktion.
Gør rede for lineær funktion, eksponentiel funktion og potensfunktion.
7. Stamfunktion og integral
Gør rede for begrebet stamfunktion og for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.
8. Trigonometri
Gør rede for definitionen af sinus og cosinus.
Bevis sinusrelationen og formlen for arealet af en trekant.
9. Trigonometri
Gør rede for definitionen af sinus, cosinus og tangens.
Bevis cosinusrelationen.
10. Statistik og sandsynlighed
Gør kort rede for histogram og sumkurve ved grupperede observationer (lektion 16).
Gør rede for sandsynlighedsbegrebet.
Omtal et eksempel på en stikprøveundersøgelse.
Du skal desuden komme ind på normalfordelingen.
version 8.1
side 51 / 60
Forberedelse af mundtlig eksamen
Man forbereder sig til mundtlig eksamen ved til hvert spørgsmål at udarbejde et foredrag
og en disposition.
Nogen af spørgsmålene ligner hinanden og foredragene vil være næsten ens.
Man kan således nøjes med at forberede ét foredrag til spørgsmål 2 og 3, og ét foredrag
til spørgsmål 4, 5 og 6, osv.
Der skal således forberedes 7 foredrag.
Foredraget til differentialregning bør indeholde alle de emner, der er i spørgsmål 1 og
spørgsmål 2 tilsammen og gerne lidt mere; men rækkefølgen er forskellig. Det er som
tidligere nævnt vigtigt, at man først taler om de emner, der er nævnt i det spørgsmål man
har trukket. Derefter kan man tale om de andre emner, der hører under hovedoverskriften.
Det er en fordel at forberede foredrag med så mange emner som muligt, så man har
rigeligt at fortælle om.
Sørg for at kunne alle 7 foredrag lige godt.
Man bør på forhånd have afprøvet alle 7 foredrag som en slags generalprøve. Det er en
god idé at være nogen stykker, der træner sammen ved en tavle og skiftes til at holde
foredrag for hinanden.
Eksempler på dispositioner til eksamensspørgsmål
Du kan muligvis udbygge disse dispositioner eller helt lave dine egne.
1 Andengradspolynomiet
Definition af andengradspolynomiet.
Gør rede for andengradspolynomiets graf.
Bevis toppunktdformlen.
Disposition:
Definition af polynomier.
Parablen y=x² og forskydning af parablen mv. (Se video)
Toppunkt,
Rødder
Koefficienten til x², lille a, og a’s betydning for parablens udseende (glad eller trist).
Andengradsligningen
Udvikling af løsningsformlen og betydningen af fortegnet for d.
Anvendelse af formlen på et konkret eksempel fx 3x²+9x-12=0
.
Se link: lyngbydata.dk/video/videoer , Adgangskode: rewq
version 8.1
side 52 / 60
Disposition
Definition af differentialkvotient (lektion 21 og video)
Tangent til en graf
Udled differentialkvotienten for f(x) = ax +b
Sig at grafen for en lineær funktion er sammenfaldende med tangenten i ethvert punkt
Differentier f(x) = b (f’(x) = 0 i overensstemmelse med at grafen for f er vandret)
Bevis plusreglen.
Du kan eventuelt udbygge dispositionen ved at bevise minusreglen, du kan demonstrere hvordan
man differentierer med CAS-værktøj eller du kan gå videre med anvendelse af
differentialkvotient (lektion 22) eller du kan tale om differentiation af ex og ax.
Se link: lyngbydata.dk/video/videoer
Gør rede for begrebet differentialkvotient.
Gør rede for regneregler for differentialkvotienter og bevis plus-reglen.
Disposition
Tangent til en graf
Bevis plusreglen.
Du kan evt. bevise minusreglen
Udled differentialkvotienten for f(x) = ax +b
Sig at grafen for en lineær funktion er sammenfaldende med tangenten i ethvert punkt
Differentier f(x) = b (f’(x) = 0 i overensstemmelse med at grafen for f er vandret)
Du kan eventuelt udbygge dispositionen ved at bevise minusreglen, du kan demonstrere hvordan
man differentierer med CAS-værktøj eller du kan gå videre med anvendelse af
differentialregning (Lektion22) eller du kan tale om differentiation af ex og ax.
Du kan også vælge at tale om væksthastighed (lektion 24).
version 8.1
side 53 / 60
4. Differentialregning, eksponentiel funktion og den naturlige logaritmefunktion
Gør rede for den naturlige eksponentialfunktion.
Gør rede for den naturlige logaritmefunktion.
Gør rede for differentiation af eksponentielle funktioner.
Disposition
Tangent til en graf
Tallet e
Differentialkvotienten af den naturlige eksponentialfunktion
Grafen for t= ex. Definitionsmængde og værdimængde
Den naturlige logaritme:
ln(x) defineret som det tal t, hvor et = x. Dvs. ln(x)=t  et=x. Altså: eln(x) = x eller x =eln(x).
Bemærk at
x>0 fordi et>0
ax = eln(a) · x, (Det kan fx ses ved, at tage den naturlige logaritme på begge sider)
ln(x)
ln(a)
(Det fremgår også af, at x =e
og dermed, at a = e
.
x
ln(a) x
ln(a) · x
Derved fås a = (e ) = e
. Se eventuelt lektion 3 og formelsamling)
x
x
(a )’ = ln(a) · a
(bax)’ =b · ln(a) · ax
(5 · 3x)’ = 5 · ln(3) · 3x
Differentialkvotient af ln(x) er
x>0
Du kan evt. udbygge og vise hvordan, du differentierer med CAS-værktøj, eller du kan fortælle
om differentialregning med regneregler osv.
Du kan også vælge at tale om væksthastighed (lektion 24).
version 8.1
side 54 / 60
5. Differentialregning og anvendelse af differentialregning
Gør rede for sammenhængen mellem monotoniforholdene for en
differentiabel funktion f og fortegnet for f ′ .
Disposition
Tangent til en graf
Maksimum og minimum (lektion 22)
Monotoni og fortegn for f ’
Lokalt maksimum, lokalt minimum
Monotoni-interval
Fortegnsvariation, demonstreret på et eksempel: f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 7 (lektion 22)
Eksempel, hvor fortjeneste afhænger af reklameinvestering: -2x3+8x-1, Dm=[0;5] (lektion 22).
Du kan evt. også vælge at tale om væksthastighed side 31, lektion 24.
Du kan evt. også betragte et tog, der fjerner sig fra en station.
f(x) betegner er afstanden i meter efter x sekunder,
f ’(x) er hastigheden (meter/sekund)
Vi har ikke beskæftiget os med at differentiere differentialkvotienten;
men den betegnes f ’’ og kaldes den dobbelt afledede.
f ’’(x) kaldes accelerationen, nemlig hastighedsændring pr sekund (meter/sekund²)
version 8.1
side 55 / 60
6. Vækstmodeller og funktionsteori
Gør rede for funktionsbegrebet og graf for en funktion
Gør rede for lineær funktion, eksponentiel funktion og potensfunktion
Disposition
Variable (lektion 10, video)
Funktion
Grafen for en funktion
Definitionsmængde og værdimængde
Lineær funktion og definition (lektion 11, video)
Eksponentiel funktion og definition (lektion 14, video)
Potensfunktion og definition (lektion 15, video)
Sig at disse funktioner bruges som modeller af virkeligheden til at beskrive virkeligheden.
Differentialregning og vækstmodeller. (Lektion 24)
Tallet e
Differentialkvotienten af den naturlige eksponentialfunktion
Grafen for t= ex. Definitionsmængde og værdimængde
Den naturlige logaritme:
ln(x)
ln(a)
ln(x) defineret som det tal t, hvor et = x. Dvs. e =x eller e =a
ax = eln(a) · x, (Det fremgår af, at a = eln(a) .
x
ln(a) x
ln(a) · x
Derved fås a = (e ) = e
. Se eventuelt lektion 3 og formelsamling)
x
x
(a )’ = ln(a) · a
(bax)’ =b · ln(a) · ax
(5 · 3x)’ = 5 · ln(3) · 3x
Differentialkvotient af ln(x) er
x>0
Du kan evt. udbygge og vise hvordan, du differentierer med CAS-værktøj eller du kan fortælle
om differentialregning med regneregler osv.
Du kan også vælge tale om væksthastighed (lektion 24).
version 8.1
side 56 / 60
7. Stamfunktion og integral
Gør rede for begrebet stamfunktion og for sammenhængen mellem areal og stamfunktion.
Definition af stamfunktion (lektion 23)
Eksempel: Stamfunktion til 2x: x2 + k , hvor k er en arbitrær konstant, dvs vilkårlig konstant.
Areal og integral (lektion 23)
Tegn en tegning som den første af tegningerne i lektion 23.
Indfør A(x) som det markerede areal
Bemærk A(a) = 0
Udbyg din tegning til at være som den sidste af tegningerne i lektion 23
Gør rede for at differentialkvotienten af A(x) er lig f(x)
Konkluder: A(x) er den stamfunktion til f, hvor funktionsværdien af a er 0
Areal af et område mellem to grafer
b
Det bestemte integral a
Regneregler for bestemte integraler og eksempler
Eventuelt demonstration af anvendelse af CAS-værktøj.
f ( x)dx
8. Trigonometri
Gør rede for definitionen af sinus og cosinus.
Bevis sinusrelationen og formlen for arealet af en trekant.
Disposition
Definition af Sinus og Cosinus (lektion 27, video)
Areal & Sinusrelationerne: (lektion 27, video)
Tegn 3 trekanter, hvor vinkle C er henholdsvis spids, ret og stump. (lektion 27, video)
hA= a·Sin C, også når C er stump fordi Sinus til nabovinkler er lige store.
Areal af trekant T = ½·ab·sin C (lektion 27, video)
SinA SinB SinC


a
b
c
Eksempel:
a=2, b=4,  B = 30°. Sin A = 2·Sin30°/4 = 0,25.  A=14,5° eller (A=165,5° Forkastet)
(Den sidste løsning blev forkastet fordi A+B skal være mindre end 180°)
Cosinusrelationerne: (lektion27, video)
Tegn de 2 situationer
Brug Pythagoras
Til venstre: x skal trækkes fra b og x = a · Cos C
og h = a· Sin C
Til Højre : x skal lægges til b og x = a · Cos(180°-C) = - a · Cos C og h = a · Sin(180°-C) =
a · Cos C
a² sættes uden for parentes og (Cos²C + Sin²C) = 1
Vi får c² = a² + b² - 2a b · Cos A
Eksempel: Samme , c2=22+42 – 2 · 2· 4 · Cos 135,5° = 34,66..
version 8.1
c=5,9
side 57 / 60
9. Trigonometri
Gør rede for definitionen af sinus, cosinus og tangens.
Bevis cosinusrelationen.
Disposition
Definition af Sinus og Cosinus (side 36, lektion 27, video)
Cosinusrelationerne: (Side 42, lektion27, video)
Tegn de 2 situationer
Brug Pythagoras
Til venstre: x skal trækkes fra b og x = a · Cos C
og h = a· Sin C
Til Højre : x skal lægges til b og x = a · Cos(180°-C) = - a · Cos C og h = a · Sin(180°-C) =
a · Cos C
a² sættes uden for parentes og (Cos²C + Sin²C) = 1
Vi får c² = a² + b² - 2a b · Cos A
Eksempel: Samme , c2=22+42 – 2 · 2· 4 · Cos 135,5° = 34,66..
c=5,9
Areal & Sinusrelationerne: (Side40, lektion 27, video)
Tegn 3 trekanter som på side 40, hvor vinkle C er henholdsvis spids, ret og stump.
hA= a·Sin C, også når C er stump fordi Sinus til nabovinkler er lige store.
Areal af trekant T = ½·ab·sin C (side 40, lektion 27, video)
SinA SinB SinC


a
b
c
Eksempel:
a=2, b=4,  B = 30°. Sin A = 2·Sin30°/4 = 0,25.  A=14,5° eller (A=165,5° Forkastet)
(Den sidste løsning blev forkastet fordi A+B skal være mindre end 180°)
version 8.1
side 58 / 60
10. Statistik og sandsynlighed
Gør kort rede for histogram og sumkurve ved grupperede observationer (lektion 16).
Gør rede for sandsynlighedsbegrebet. (lektion 26)
Omtal et eksempel på en stikprøveundersøgelse.
Du skal desuden komme ind på normalfordelingen.
Disposition
Betragt følgende observationssæt over højden på danske soldater ved en bestemt kasserne
Højde i cm
160  170 170  180
180  190
190  200
Frekvens
5%
38 %
52 %
5%
Kumuleret
5%
43 %
95 %
100 %
frekvens
Vis hvordan du tegner histogram og sumkurve i sædvanligt koordinatsystem (lektion 16)
Sig, at observationerne kan være normalfordelte. (lektion 26)
Sig, at ved en normalfordeling er histogrammet klokkeformet.
Sig, at der findes normalfordelingspapir.
Tegn sumkurven i normalfordelingspapir og konkluder, at der er tale om en normalfordeling
Sandsynlighed, dvs den frekvens, man forventer et bestemt udfald ved mange gentagelser.
Sandsynlighed for 3 seksere i træk ved kast med terning: 1/6 · 1/6 · 1/6 = (1/6)3 (Der ganges).
Hypotese: 10 % af alle danskere vil sige ja til fri heroin.
Stikprøve på 20.
Hvis hypotesen er sand fås:
Sandsynlighed for at stikprøven giver et udfald med ingen ja: 0,9020 = 0,121… = 12 %.
Dette udfald kan således let forekomme, og man vil næppe forkaste hypotesen på baggrund af
stikprøven.
Sandsynlighed for, at en stikprøve på 100 giver et udfald med ingen ja. 0,90100 = 0,003 %
Hvis hypotesen er sand, så er stikprøvens udfald næsten umuligt. Vi vælger at forkaste
hypotesen.
X betegner stikprøvens udfald
P(X=0) betegner sandsynligheden for, at udfaldet = 0.
Facitliste
Hermed link til facitliste.
Link: Facitliste til Eksamensopgaver
version 8.1
side 59 / 60
Supplement til
formlerne i blåt hæfte
Andengradspolynomiet
Diskriminanten
p(x) =ax2 + bx + c
d = b²-4ac
Toppunkt: (xo , yo) =
(
b
2a
,

d
)
4a
d < 0, c > 0, glad graf: a > 0
xo>o: b har fortegn modsat a
d > 0, c > 0, trist graf: a < 0
xo<0: b har samme fortegn som a
c er skæring med y-aksen
b er hældning ved y-aksen
Rødder / nulpunkter
b d
2a
Ln & ex
Ln(a·b)
= Ln(a) - Ln(b)
Ln(ax)
= x· Ln(a)
eLn(a)
= a
Differentialregning
( f + g )'(x) = f ' ( x)  g ' ( x)
( f – g )'(x) =
(k·f(x))' =
n ≠ 0:
(k·x)'
(xn)'
n
n ≠ 0: (k x )'
=
=
=
(x2 - 3x + 1/x)' =
Ligning for linje
gennem (xo , yo ) med
hældning a
eLn(a)· x
= ax
b·Ln(a)·eLn(a)· x = b·Ln(a)·ax
f ' ( x)  g ' ( x)
k·(f(x))'=k·f´(x) fx: (5x³)´=15x²
fx: (3x)´= 3
k
n-1
fx: (x³)´= 3x²
n·x
n-1
fx: (5x³)´=15x²
k·n·x
2x - 3 - x -2
y - yo = a(x – xo)
Ligning for tangent
y - yo = f '(xo)(x – xo)
gennem (xo , yo )
Tangent til f(x)=x²
f '(x)=2x og f '(3)=6
gennem (3,9)
Ligning: y - 9 = 6(x- 3)
Integral / stamfunktion
f(x)
∫ f(x) dx
4x
2 x² + k
4x + 3
2 x² + 3 x + k
3
3x +k
6x²
2 x³ + k
x³
¼ x4 + k
5
5x³
/4 x4 + k
1
xⁿ , n ≠ -1
/n+1 xn+1 + k
x-1 = 1/x , x>0
Ln(x) + k
x
e
ex + k
bax
+k
= Ln(a) + Ln(b)
version 8.1
(ax)’
= Ln(a)·ax
(ex)’
=
ex
=
k·n·enx
=
,
(k enx)’
Ln’x
x>0
For x>0:
∫1/x dx = ln(x) +k
For x<0:
1
∫ /x dx = ln(-x) +k
Trigonometri
Cos2 C + Sin2C = 1
Cos(-v)
= Cos v
Sin (180-v) = Sin (v)
Radiantallet = Gradtallet · π/180
Gradtallet = Radiantallet · 180/π
Sin(π-x) = Sin(x)
Sin A = a ·
a = Sin A ·
Areal: T = ½ aha = ½ ab Sin C
Herons formel:
c² 
T=
a²  b²  2ab·Cos(C)
side 60 / 60

Nye ringetider for Ringkøbing Skole gældende fra skoleåret 2012

Transcription

Similar documents

Kære alle på Hornbæk Skole - Skoleporten Hornbæk Skole

Tilsynsrapport over uanmeldt undervisningstilsyn i

Uge 1 Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Dato 31

Sådan flytter eller aflyser du en lektion i Ludusweb

Den argumenterende artikel

hjadstrup maskinstation - generationsskifte

Program - Holmris Flexform

Den introducerende artikel