Arkkitehtimatematiikan koe ja ratkaisut 2014 - Diplomi-insinööri

Diplomi-insin¨oo¨rien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2014
Arkkitehtivalinnan matematiikan koe, 19.5.2014 klo 13-16
Ohjeita. Sijoita jokainen teht¨av¨a omalle sivulleen. Merkitse, jos teht¨av¨a jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selke¨
asti v¨
alivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu
uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisu tai hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sill¨
a saman teht¨
av¨
an useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, ett¨
a kukin teht¨
av¨
a arvostellaan kokonaisuutena, eiv¨atk¨a alakohdat
v¨
altt¨
am¨
att¨
a ole pisteytyksess¨
a samanarvoisia. Yleisesti teht¨av¨an ratkaisun tulisi sis¨alt¨a¨a
my¨
os annetun vastauksen perustelut.
Apuv¨
alineet: Kirjoitusv¨
alineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
A1 Arkkitehti A rentoutuu suunnistusreitill¨a. Ensimm¨ainen rasti on 600 m
l¨aht¨opisteest¨
a koilliseen, toinen on ensimm¨aisest¨a rastista 1600 m etel¨a¨an,
ja kolmas on toisesta rastista 1800 m suuntaan 12◦ l¨annest¨a pohjoiseen
p¨ain. L¨oydetty¨
a¨
an kolmannen rastin A p¨a¨att¨a¨a keskeytt¨a¨a.
(a) Kuinka kaukana toinen rasti on l¨
aht¨opisteest¨a?
(b) Mihin suuntaan A:n on suunnistettava kolmannelta rastilta
p¨a¨ast¨akseen suorinta tiet¨
a takaisin l¨aht¨opisteeseen?
Anna kohdassa (a) et¨
aisyys 10 metrin ja kohdassa (b) suunta suhteessa
l¨ahimp¨a¨an p¨
a¨
ailmansuuntaan yhden asteen tarkkuudella.
A2 Nelikulmion k¨
arjet (my¨
ot¨
ap¨
aiv¨
a¨
an) ovat A,B,C ja D ja niit¨a vastaavat kulmat a,b,c ja d. Tied¨
amme, ett¨
a a = 15◦ , b = 30◦ , c = 45◦ , |AB| = |BC| ja
|AD| = 1. Laske |AC|.
2
1
1
A3 (a) Ratkaise
−
=
x−1 x−2
x−3
2x−1 3x−4
2
3
(b) Ratkaise
=
3
2
Sarja A-FI
◦
A4 Nurmikent¨
an ymp¨
ar¨
oim¨
alle, tasasivuisen kolmion muotoiselle alueelle
suunnitellaan istutettavan N kpl kuusentaimia s¨
a¨
ann¨
ollisin v¨
alimatkoin:
Ensin istutetaan taimet kolmion k¨
arkiin. Sitten istutetaan taimia tasav¨alein kolmion sivuille siten, ett¨
a jokaisen istutettavan taimen et¨
aisyys
kahteen l¨ahimp¨
a¨
an taimeen on a. Lopuksi istutetaan taimet kolmion sis¨
a¨
an
siten, ett¨a jokaisen et¨
aisyys kuuteen l¨
ahimp¨
a¨
an taimeen on a.
(a) Piirr¨a kaaviokuva istutuksesta, jossa N = 10.
(b) Sama suunnitelma toteutetiin juhlistamaan my¨
os vuotta N , jolloin
merkkimies S kuoli. Mik¨
a vuosi N on, kun 1900 ≤ N ≤ 1999?
A5 Laakson pohjalla on j¨
arvi. Kartan koordinaatistossa, jossa positiivinen xakseli osoittaa it¨
a¨
an ja positiivinen y-akseli pohjoiseen, noudattaa maan
pinnan korkeus pisteess¨
a P = (x, y) j¨
arven l¨
ahiymp¨
arist¨
oss¨
a kaavaa
h = 9x2 + 6y 2 − 4xy + 36x − 8y,
miss¨a x ja y ilmaistaan kilometreiss¨
a. Kaava antaa korkeuden j¨
arven pinnan tasosta metreiss¨
a. Jos h < 0, on piste P j¨
arvell¨
a, ja j¨
arven syvyys pisteess¨a P on −h. J¨
arven rantaviivalla on h = 0. Lossin kulkureitti kartalla
on pitkin suoraa y = 4/3 j¨
arven rannalla olevasta pisteest¨
a A vastarannan
pisteeseen B.
(a) Onko piste (−1, −1) maalla, j¨
arvell¨
a vai rantaviivalla?
(b) M¨aa¨rit¨
a lossin kulkureitin p¨
aa
¨tepisteet A ja B.
(c) Mik¨a on j¨
arven suurin syvyys lossin kulkureitill¨
a?
A6 Kuution jokaisesta k¨
arjest¨
a leikataan pois tetraedrin muotoinen pala siten,
ett¨a syntyy 14-tahokas, jonka kaikkin s¨
arm¨
at ovat yht¨
a pitk¨
at. M¨
a¨
arit¨
a alkuper¨aisen kuution ja 14-tahokkaan s¨
armien pituuksien suhde. Huomioi,
ett¨a ratkaisuja on kaksi ja piirr¨
a niist¨
a havainnekuvat.
c 2014, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomingenj¨ors- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2014
Arkitekturantagningens prov i matematik, 19.5.2014 kl 13-16
Anvisningar. Placera varje uppgift p˚
a en egen sida. Markera om svaret forts¨atter p˚
a
flera koncept. Ge klart utarbetade l¨
osningar inklusive mellanstadier, renskriv l¨osningen
vid behov. F¨
orkastade l¨
osningar och f¨
orkastade delar av en l¨
osning skall ¨
overstrykas.
Om icke-¨
overstrukna l¨
osningar f¨
oreligger, bed¨
oms den s¨amsta av dessa. Notera, att varje
fr˚
aga bed¨
oms som en helhet och att delfr˚
agorna inte n¨odv¨andigtvis har samma vikt i
bed¨
omningen. Generellt borde l¨
osningen omfatta ¨aven argumentationen f¨or det givna
svaret.
Hj¨
alpmedel: Skrivredskap och funktionsr¨
aknare. Bilaga: Formelsamling.
A1 Arkitekten A kopplar av genom att orientera. F¨orsta kontrollen ¨ar 600 m
nordost om startpunkten, andra kontrollen 1600 m s¨oder om f¨orsta kontrollen och tredje kontrollen ¨
ar p˚
a 1800 m avst˚
and fr˚
an andra kontrollen i
riktningen 12◦ norr om v¨
ast. Efter att ha funnit tredje kontrollen avbryter
A orienteringen.
(a) Hur l˚
angt fr˚
an startpunken ¨
ar den andra kontrollen?
(b) I vilken rikting skall A g˚
a fr˚
an tredje kontrollen f¨or att ˚
aterv¨anda
raka v¨agen till startpunkten?
Ge (a) avst˚
andet med 10 meters noggrannhet och (b) riktningen i
f¨orh˚
allande till det n¨
armaste huvudv¨
aderstrecket med en grads noggrannhet.
A2 Fyrh¨orningens h¨
orn (motsols) a
¨r A,B,C och D och motsvarande vinklar
a,b,c och d. Vi vet, att a = 15◦ , b = 30◦ , c = 45◦ , |AB| = |BC| och
|AD| = 1. Ber¨
akna |AC|.
2
1
1
−
=
x−1 x−2
x−3
2x−1 3x−4
2
3
(b) L¨os
=
3
2
A3 (a) L¨os
Serie A-SV
◦
A4 Man planerar att plantera N stycken granplantor p˚
a ett omr˚
ade i form av
en liksidig triangel p˚
a en ¨
ang. F¨
orst planteras plantor i triangelns h¨
orn.
D¨arefter planteras plantor med j¨
amna mellanrum p˚
a triangelns sidor s˚
a
att avst˚
andet fr˚
an varje planterad planta till dess tv˚
a n¨
armaste grannar
aven i triangelns innand¨
ome s˚
a att
¨ar a. Slutligen planteras granplantor ¨
varje plantas avst˚
and till dess sex n¨
armaste grannar ¨
ar a.
(a) Skissa planteringen d˚
a N = 10.
(b) Samma schema anv¨
andes ocks˚
a f¨
or att h¨
ogtidligg¨
ora ˚
aret N , d˚
a den
bem¨arkte personen S dog. Vilket ˚
ar ¨
ar N , d˚
a 1900 ≤ N ≤ 1999?
A5 I bottnet av en dal finns en sj¨
o. I kartans koordinatersystem, d¨
ar positiva x-axeln pekar o
sterut
och
positiva
y-axeln
norrut
ges
markens
h¨
ojd i
¨
punken P (x, y) i en omgivning av sj¨
on av formeln
h = 9x2 + 6y 2 − 4xy + 36x − 8y,
d¨ar x och y ges i kilometer. Formeln ger h¨
ojden fr˚
an sj¨
ons niv˚
a i meter.
Om h < 0 a
r
punkten
P
i
sj¨
o
n
och
sj¨
o
ns
djup
i
punkten
P
a
r
ons
¨
¨ −h. Sj¨
strandlinje ges av h = 0. En f¨
arja har som sin rutt linjen y = 4/3 p˚
a kartan
fr˚
an punkten A p˚
a standen till punkten B p˚
a motsatta stranden.
¨ punkten (−1, −1) p˚
(a) Ar
a land, i sj¨
on eller p˚
a stranden?
(b) Best¨am ¨
andpunkterna A och B f¨
or f¨
arjans rutt.
(c) Vad ¨ar sj¨
ons st¨
orsta djup l¨
angs f¨
arjans rutt?
A6 Tetraedersformade bitar sk¨
ars bort fr˚
an h¨
ornen i en kub s˚
a att en 14-siding
uppst˚
ar vars alla kanter ¨
ar lika l˚
anga. Best¨
am f¨
orh˚
allandet mellan den ursprungliga kubens och 14-sidingens kantl¨
angder. Observera att det finns
tv˚
a l¨osningar samt rita figurer f¨
or att ˚
ask˚
adligg¨
ora dessa.
c 2014, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice
Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset
Teht¨
av¨
a1
Vaihtoehto 2: (tyypillinen ratkaisu) Merkit¨
a¨
an pisteit¨
a kuten yll¨
a: R0 =
O, R1 , R2 , R3 . Tarkastellaan kahta kolmiota OR1 R2 ja OR2 R3 .
Vaihtoehto 1: Oletetaan l¨
aht¨
opiste O origoksi ja olkoon x-akseli it¨a¨an ja y-akseli
K¨aytt¨am¨all¨a kosinilausetta
pohjoiseen. M¨a¨aritet¨
a¨
an pisteiden koordinaatit:
√
√
|R2 |2 = |R1 |2 + |R2 − R1 |2 + 2 · |R1 | · |R2 − R1 | · cos α
R1 = 600 · (cos(45◦ ), sin(45◦ )) = 300 · ( 2,
2)
= 6002 + 16002 + 2 · 600 · 1600 · cos 45◦
≈ (424, 3, 424, 3).
|R2 | ≈ 1250 (a)
R2 = R1 + (0, −1600)
≈ (424.3,
−1176, 7)
R3 = R2 + 1800 · (− cos 12◦ ,
≈ (424, 3,
P¨atee β1 + β2 + β3 = 90◦ , jossa β3 = 12◦ , β1 saadaan sinilauseesta
sin 12◦ )
−1175, 7) + (−1761, 7,
374, 2) = (−1336, 4,
−801, 5).
(b) Kolmas rasti on suunnassa
sin β1 =
|R1 |
sin R1 ;
|R2 |
β1 ≈ 19, 84197◦ .
joten β2 = 90◦ − β1 − β3 ≈ 58, 158◦ .
(a) Toinen rasti on et¨
aisyydell¨
a
|R2 − R0 | = |R2 | ≈
sin R1
sin β1
=
;
|R2 |
|R1 |
p
424, 32 + 1175, 72 ≈ 1249, 9 ≈ 1250.
tan−1 (801, 5/1336, 4)
≈
31◦
id¨ast¨a pohjoiseen.
Tarkastellaan toista kolmiota:
|R3 |2 = |R3 − R2 |2 + |R2 |2 + 2 · |R3 − R2 | · |R2 | · cos β2
= 18002 + 12502 + 2 · 1800 · 1250 · cos β2
|R3 | ≈ 1558, 3206
sin γ
sin β2
=
;
|R3 |
|R3 − R2 |
sin γ =
|R3 − R2 |
sin β2 ;
|R3 |
Suunta on γ − 12◦ ≈ 31◦ astetta id¨
ast¨
a pohjoiseen (b).
γ ≈ 42, 9528◦ .
Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset
Teht¨
av¨
a2
Teht¨
av¨
a3
Koska |AB| = |BC| on ABC tasasivuinen kolmio. T¨am¨an kolmion ABC kan- (a) M¨a¨arittelyalueella x 6= 1, 2, 3 ja
takulmat ovat ∠BAC = a + a0 = ∠BCA = c + c0 = 21 (180 − b) = 75◦ (kuvan
merkinn¨oin).
1
2
1
2(x − 2) − (x − 1)
x−3
=
−
=
=
0
◦
0
◦
x
−
3
x
−
1
x
−
2
(x
−
1)(x
−
2)
(x
−
1)(x − 2)
Kolmion ADC kulmat a = 75 − a = 60 ja c = 75 − c = 30 , joten kulma
0
0
0
◦
d = 180 − a − b = 90 .
ristiinkertomalla
1
0
Kyseess¨a on suorakulmainen kolmio, joten |AD|
|AC| = cos a = 2 eli |AC| = 2.
7
Vaihtoehtoisesti (keskimm¨
aisess¨
a kappaleessa) voidaan kolmiosta ADC todeta:
(x − 1)(x − 2) = (x − 3)2 ⇔ 2 − 3x = 9 − 6x ⇔ x =
3
Kulma a0 = 75 − a = 60◦ . Nelikulmiosta ABCD saadaan ∠D = 360 − (a + b + c).
Toisaalta d0 on kulman ∠D explementtikulma eli d0 = 360 − ∠D = 360 − (360 −
(a + b + c)) = a + b + c = 90◦ .
(b) Koska 2/3 = (3/2)−1 , saamme
2x−1 −(2x−1) 3x−4
2
3
3
=
=
.
3
2
2
Saman positiivisen kantaluvun potenssina 1 − 2x = 3x − 4 eli x = 1.
Vaihtoehtoisesti: Ottamalla logaritmi puolittain:
2x−1
3x−4
3
2
= log
log
3
2
⇔
(2x − 1)(log 2 − log 3) = (3x − 4)(log 3 − log 2)
⇔
1 − 2x = 3x − 4
⇔
x=1
Vaihtoehtoisesti:
2x−1 3x−4
2
3
=
⇔
3
2
22x−1
33x−4
=
⇔
32x−1
23x−4
joten v¨altt¨am¨att¨
a 5x − 5 = 0 eli x = 1.
Nelikulmio ABCD teht¨
av¨
ass¨
a2
3
25x−5 = 35x−5
Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset
Teht¨
av¨
a4
ja todettava, ett¨
a n 7→ N on kasvava funktion, ja huomioitava arvot
n
61
62
63
.
N (n) 1891 1953 2016
(a) Kun kolmion k¨
arkiin sijoitetaan
kuuset, kullekin sivulle lis¨
aksi kaksi,
ja kolmion keskelle yksi, kuusia on
yhteens¨a 10.
(b) Oletetaan, ett¨
a kuusia on kullakin sivulla n − 2 kappaletta k¨arjet poislukien. T¨all¨oin (kuvaan viitaten) k¨
arjess¨
a on yksi, seuraavalla rivill¨a kaksi, jne,
alimmalla, n:nnell¨
a rivill¨
a n kappaletta. Yhteens¨a siis
N
N
2N
=
1
+
2
+ ...
=
n
+ n − 1 + ...
= n + 1 + n + 1 + ...
+ n−1 +
n
+
2
+
1
+ n + 1 + n + 1 = n(n + 1)
josta ratkaistaan n kokonaism¨
aa
an N funktiona1
¨r¨
√
−1 + 1 + 8N
2
n + n − 2N = 0 ⇔ n =
=: f (N ).
2
V¨altt¨am¨att¨a n on oltava kokonaisluku, mutta f on kaikilla positiiviluvuilla
m¨aa¨ritelty kasvava funktio2 . Niinp¨
a riit¨
aa
¨ tarkastella vuosisadan a¨a¨rip¨ait¨a:
f (1900) ≤ n ≤ f (1999)
| {z }
| {z }
≈61,14
ja vuosi N =
n(n+1)
2
⇔
n = 62
≈62,73
= 1953.
Vaihtoehtoisesti tulokseen voi p¨
aa
a systemaattisesti kokeilemalla n:n arvoja.
¨st¨
Ratkaisuja voi apriori kuitenkin olla useita. Yksik¨asitteisyyden toteamiseksi on
1
2
2
T¨
am¨
a on aritmeettinen summa N = 1 + 2 + 3 + · · · +√n = n+n
2
Voidaan pit¨
aa
an¨
a, mutta my¨
os koska f 0 (N ) = 2/ 1 + 8N > 0 kaikilla N ≥ 1.
¨ selv¨
4
Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset
Teht¨
av¨
a5
Teht¨
av¨
a6
(a) Sijoitetaan x = −1 ja y = −1
Olkoon kuution sivun pituus d. V¨
altt¨
am¨
att¨
a poisleikattava pala on tetraedri,
jonka kukin sivutahko on tasasivuinen kolmio.
h = 9 + 6 − 4 − 36 + 8 = −17 < 0
Merkit¨a¨an tetraedrin s¨
arm¨
an pituutta x, j¨
aljelle j¨
a¨
a kuution alkuper¨
aist¨
a s¨
arm¨
a¨
a
t¨all¨oin d − 2x. Muodostuvat
14-tahokkaan
s¨
a
rm¨
a
t
on
tetraedrin
pohjan
sivuja,
√
pituudeltaan s := x 2.
joten piste on j¨arvell¨
a.
(b) Kulkureitill¨a y = 4/3 ja p¨
aa
a (rannalla) h = 0:
¨tepisteiss¨
Yksi ratkaisu saadaan kun alkuper¨
aist¨
a kuution s¨
arm¨
a¨
a ei j¨
a¨
a j¨
aljelle, d−2x = 0,
jolloin 14-tahokkaan sivut ovat tasasivuisia kolmioita (8kpl) ja neli¨
oit¨
a (6kpl):
√
d
2x
r := = √ = 2.
s
x 2
92
h(x, 4/3) = 9x2 + 6(4/3)2 − 4(4/3)x + 36x − 8(4/3) = 9x2 + x = 0
3
92 4
4
josta x = 0 tai x = − 92
27 ≈ −3, 407. Pisteet ovat (− 27 , 3 ) ja (0, 3 ).
(c) Kulkureitin p¨
aiss¨
a (rannalla) on matalampaa, joten lossin kulkureitill¨a suu- Toinen ratkaisu saadaan, kun j¨
aljelle j¨
a¨
av¨
a kuution s¨
arm¨
an osuus, d − 2x on
rin syvyys saavutetaan, kun
saman pituinen kun tetraedrin pohjan sivu, s. T¨
all¨
oin 14-tahokkaan sivut ovat
tasasivuisia kolmioita (8kpl) ja kahdeksankulmioita (6kpl):
d
4
d
92
92
92
46
√
√
2
0=
h(x, ) =
9x + x = 18x +
⇔ x = − = − ≈ −1.704.
d
−
2x
=
s
=
x
2
⇔
d
=
(2
+
2)x.
dx
3
dx
3
3
54
27
√
√
d
2+ 2
46 4
√
r
:=
=
=
1
+
2.
h(− 27 , 3 ) ≈ −26, 123. joten suurin syvyys on noin 26 m.
s
2
5
Dia-valinnan arkkitehtivalinnan matematiikankoe 2014- vastaukset
Arkkitehtivalinnan matematiikankokeen arvostelu
Yleisperiaatteet: Mik¨
ali ratkaisussa on lasku- tai kopiointivirhe joka vaikuttaa Teht¨
av¨
a4
ratkaisun loppuosaan, vaikuttaa se alentavasti koko loppuosankin arvosteluun.
Kohta (a) 2p, pelkk¨
a kuva riitt¨
a¨
a, jos istutuspisteet ovat suorissa linjoissa.
Erityisen vakavaksi virhe arvioidaan, jos se muuttaa teht¨av¨an luonnetta.
Kohta (b) 4p. N muodostaa aritmeettisen summan (2p). Kokeiltaessa vastauksesta tulee selvit¨
a, ettei 1900-luvulla ole kuin yksi mahdollinen N :n arvo (-1p).
Teht¨
av¨
a1
Kummastakin alakohdasta 3p.
Teht¨
av¨
a5
Vaihtoehdossa 1: Pisteen R1 , R2 , R3 koordinaatit, kukin +1p.
Osakokonaisuudet 2+2+2p. T¨
aysiin pisteisiin ei hyv¨
aksyt¨
a mink¨
a¨
anlaisia laskuVaihtoehdossa 2: Kulman β2 ja pituuden R3 m¨a¨aritt¨amien b-kohdassa: hyvivirheit¨a. Virheet saattavat v¨
ahent¨
a¨
an my¨
os my¨
ohempien kohtien ansioita; eritett¨a¨an 1p kummastakin.
tyisesti isot laskuvirheet b-kohdan funktiossa vaikuttavat my¨
os c-kohdan arvos¨
teluun. A¨ariarvon perusteluja c-kohdassa ei vaadita.
Teht¨
av¨
a2
av¨
a6
Ratkaisun piirroksessa on nelikulmion kulman d oltava d > 180◦ ja ratkaisussa Teht¨
on eksplisiittisesti viitattava tasakylkisyyteen, jotta ratkaisu oikeuttaisi t¨aysiin
Osateht¨avien arvostelu 3p+3p. Kussakin kohdassa ratkaisun realistisilla mittapisteisiin.
suhteilla piirretty kolmiuloitteisen tilanteen hahmottava skissi 1p, suhteen (lu◦ , koska kolmio tasaT¨all¨
on esimerksi kantakulma a + a0 = c + c0 = 180−b
=
75
kuarvo) ratkaisu 2p. Vastauksessa suhteen on oltava puhdas luku (ei riipu si2
kylkinen antaa 2p, kulmat a ja c0 edellen kumpikin 1p. Loppulasku 2p
vunpituudesta). Mik¨
ali suhde on oikean vastauksen k¨
a¨
anteisluku v¨
ahennet¨
a¨
an
◦
0
◦
teht¨
a
v¨
a
n
kokonaispisteist¨
a
1p.
Tyypillisi¨a hyvityksi¨
a, ovat kulma d = 270 +1p, explementtikulma d = 90
+1p.
Pelkk¨a kuva ilman laskuja ei kuitenkaan anna pisteit¨a.
Teht¨
av¨
a3
Kummastakin alakohdasta 3p. Muoto, jossa x:lle on tuotettu lineaarinen yht¨al¨o
antaa 2p.
6