Matematiikan koe ja ratkaisut 2014 - Diplomi-insinööri
Transcription
Matematiikan koe ja ratkaisut 2014 - Diplomi-insinööri
Diplomi-insin¨oo¨rien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2014 Insin¨ o¨ orivalinnan matematiikan koe, 27.5.2014 klo 14-17 Ohjeita. Laita mielell¨a¨an useamman teht¨av¨an ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhj¨ alt¨ a sivulta. Merkitse, jos teht¨av¨a jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selke¨ asti v¨ alivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen puhtaaksi. Merkitse hylk¨ a¨ am¨ asi ratkaisu tai hylk¨ a¨ am¨ asi ratkaisun osa yliviivaamalla se, sill¨ a saman teht¨ av¨an useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, ett¨ a kukin teht¨ av¨ a arvostellaan kokonaisuutena, eiv¨atk¨a alakohdat v¨altt¨am¨att¨a ole pisteytyksess¨ a samanarvoisia. Yleisesti teht¨ av¨an ratkaisun tulisi sis¨alt¨a¨a my¨os annetun vastauksen perustelut. Apuv¨ alineet: Kirjoitusv¨ alineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma. Sarja A-FI ◦ A3 Neli¨on muotoinen vanerilevy on asetettu koordinaatistoon siten, ett¨ a levyn k¨arjet ovat pisteiss¨ a (0, 0), (a, 0), (a, a), ja (0, a), jossa a > 0. Levyst¨ a muotoillaan pala, jota rajaavat suorat x = 0, y = a ja paraabeli y = x2 /a. Levy sahataan ensin pitkin suoria y − a = k(x − a) ja y = x + b. Syntynyt murtoviiva hiotaan paraabelin muotoon. M¨aa¨rit¨a parametrit k ja b niin, ett¨ a hiottavaa j¨ a¨ a mahdollisimman v¨ ah¨ an. Z ln 2 A4 Laske integraali ex |ex − 1| dx. − ln 2 A1 Puiston harvennuksen yhteydess¨ a kaadetut puut kuivataan kasassa ja toimitetaan l¨amp¨ ovoimalassa poltettavaksi. Tuoreen p¨ollin painosta on vett¨a 43%, kasassa kuivatun p¨ ollin painosta on vett¨a 23%. T¨aysin vedett¨ om¨ an puuaineksen poltosta saadaan energiaa 5,34 kWh/kg. Kosteaa puuta poltettaessa aiheuttaa vesi 0,74 kWh:n energiah¨avikin vesikiloa kohti. (a) Montako kiloa alkuaan 22,0 kg painoinen p¨olli keveni kasassa kuivattaessa? (b) Montako prosenttia enemm¨ an energiaa saadaan kuivatusta p¨ollist¨a verrattuna siihen, ett¨ a sama p¨ olli olisi poltettu tuoreena? P¨ollin massaa ei tunneta. A5 Suoran tien varressa, kohtisuorassa tiet¨ a vastaan on mainostaulu, jonka leveys on 9 m ja pienin et¨ aisyys ajolinjasta on 16 m. Olkoon γ kulma, jossa autoilija n¨ akee taulun ollessaan et¨ aisyydell¨ a x metri¨ a siit¨ a pisteest¨ a ajoradalla, joka on l¨ ahimp¨ an¨ a taulua. (a) M¨aa¨rit¨ a f (x) siten, ett¨ a tan γ = f (x). (b) Mill¨a x:n arvolla tan γ (ja siis my¨ os γ) saa suurimman arvonsa? Vihje: tan(α − β) = Anna vastaukset (a) 100 gramman ja vastaavasti (b) 0,01-prosenttiyksik¨on tarkkuudella. A2 Ratkaise x ∈ R, kun 6 2 (a) x− · cos x = 0, x √ (b) 3 + x + 3 − x = 0. tan α − tan β . 1 + tan α tan β 16 m -9 m x γ ? b 6 Kuva teht¨ av¨ a¨ an A5. A6 Polynomissa p(x) = x2 + ax + b valitaan vakiot a ja b satunnaisesti (tasajakauma) ja toisistaan riippumatta v¨ alilt¨ a [−1, 1]. (a) Mill¨a todenn¨ ak¨ oisyydell¨ a p:n minimikohta on v¨ alill¨ a [0, 1]? (b) Mill¨a todenn¨ ak¨ oisyydell¨ a k¨ ayr¨ a y = p(x) ei leikkaa eik¨ a sivua suoraa y = x? c 2014, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut Diplomingenj¨ors- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2014 Ingenj¨ orantagningens prov i matematik, 27.5.2014 kl 14-17 Anvisningar. Placera g¨arna l¨osningar p˚ a flera uppgifter p˚ a samma koncept papper, men b¨ orja varje l¨ osning p˚ a en tom sida. Markera om svaret forts¨atter p˚ a flera koncept. Ge klart utarbetade l¨ osningar inklusive mellanstadier, renskriv l¨osningen vid behov. F¨ orkastade l¨ osningar och f¨ orkastade delar av en l¨ osning skall ¨ overstrykas. Om icke-¨ overstrukna l¨ osningar f¨ oreligger, bed¨ oms den s¨amsta av dessa. Notera, att varje fr˚ aga bed¨ oms som en helhet och att delfr˚ agorna inte n¨odv¨andigtvis har samma vikt i bed¨ omningen. Generellt borde l¨ osningen omfatta ¨aven argumentationen f¨or det givna svaret. Hj¨ alpmedel: Skrivredskap och funktionsr¨ aknare. Bilaga: Formelsamling. A1 Tr¨aden som f¨ alldes i samband med en gallring i en park stapeltorkades och transporterades d¨ arefter till ett v¨armekraftverk f¨or f¨orbr¨anning. 43% av vikten hos f¨ arsk ved ¨ ar vatten, medan 23% av vikten hos stapeltorkad ved ¨ar vatten. Vid f¨orbr¨anning av fullst¨ andigt torr vedmassa f˚ as energin 5,34 kWh/kg. Vid f¨orbr¨anning av fuktig ved ger vattnet en energif¨orlust p˚ a 0,74 kWh per kilo vatten. (a) Med hur m˚ anga kilo minskar vedens vikt vid stapeltorkningen d˚ a vedens ursprungliga vikt var 22,0 kg. (b) Hur m˚ anga procent mer energi f˚ ar man vid f¨orbr¨anning av stapeltorkad ved j¨ amf¨ ort med att man hade f¨orbr¨annt veden f¨arsk? Vedens massan ¨ ar obekant. Ge svaren med (a) 100 grams respektive (b) 0,01 procentenhets noggrannhet. A2 L¨os x ∈ R, d˚ a 6 2 (a) x− · cos x = 0, x √ (b) 3 + x + 3 − x = 0. Serie A-SV ◦ A3 En kvadratisk fanerskiva har placerats i ett koordinatsystem s˚ a att skivans h¨orn ¨ ar i punkterna (0, 0), (a, 0), (a, a), och (0, a), d¨ ar a > 0. Skivan formas till ett stycke, som begr¨ ansas av linjerna x = 0, y = a och parabeln 2 y = x /a. F¨ orst s˚ agas skivan l¨ angs linjerna y − a = k(x − a) och y = x + b. Den uppkomna brutna linjen slipas d¨ arefter ner s˚ a att den f˚ ar formen av parabeln. Best¨am parametrarna k och b s˚ a att det blir s˚ a lite som m¨ ojligt att slipa ner. Z ln 2 A4 Ber¨akna integralen ex |ex − 1| dx. − ln 2 A5 Vid sidan av en rak v¨ ag, vinkelr¨ att mot v¨ agen, st˚ ar en 9 m bred tavla vars kortaste avst˚ and fr˚ an k¨ orlinjen ¨ ar 16 m. L˚ at γ vara den horisontella vinkeln i vilken en bilist ser tavlan, d˚ a hon befinner sig p˚ a avst˚ andet x fr˚ an punkten p˚ a k¨ orlinjen, som ¨ar n¨armast tavlan. (a) Best¨ am f (x) s˚ a att tan γ = f (x). (b) Vid vilket v¨ arde p˚ a x f˚ ar tan γ (och d¨armed ¨ aven γ) sitt st¨ orsta v¨ arde? Tips: tan(α − β) = tan α − tan β . 1 + tan α tan β 16 m -9 m x γ b? 6 Bilden gift A5. till upp- A6 Konstanterna a och b i polynomet p(x) = x2 + ax + b v¨ aljs slumpm¨ assigt (likformig f¨ ordelning) och oberoende av varandra i intervallet [−1, 1] . (a) Med vilken sannolikhet ¨ ar p:s minimipunkt i intervallet [0, 1]? (b) Med vilken sannolikhet kommer kurvan y = p(x) varken sk¨ ara eller tangera linjen y = x ? c 2014, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice Dia-valinnan insin¨ o¨ orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset Mallivastaus 10. kes¨ akuuta 2014 Teht¨ av¨ a1 Veden osuus kokonaismassasta on p0 ennen (alaindeksi 0) ja p1 j¨alkeen kuivauksen, vastaavasti kuivan puuaineen osuus 1 − p0 ja 1 − p1 . Veden m¨ a¨ ar¨ a vi suhteessa puuainekseen on qi = pi . 1 − pi (a) Merkit¨a¨an kokonaismassa M0 ennen kuivausta (ja M1 j¨alkeen). Puuaineksen ja veden osuuden ovat vastaavasti v0 = p0 M, m = (1 − p0 )M, ja v1 = q1 m. Kokonaismassa pieneni vesimassojen erotuksella v0 − v1 . (b) Merkit¨a¨an polttoarvoa cm ja veden vaikutusta cv , jossa cv < 0. P¨ollin puuaineksen m¨ a¨ ar¨ a ei muutu kuivatessa, merkit¨a¨an sit¨a m. Poltettaessa vapautuva energia on Ei = cm m + cv vi ja vastaava suhde E1 cm m + cv v1 cm + q1 cv = = . E0 cm m + cv v0 cm + q0 cv Joten, riippumatta p¨ ollin painosta, energia saadaan osuus enemm¨an. E1 E0 −1 A B C D p0 = 0, 43 p1 = 0, 23 p0 = 0, 42 p1 = 0, 23 p0 = 0, 44 p1 = 0, 22 p0 = 0, 43 p1 = 0, 21 q0 = 0, 7544 q1 = 0, 2987 q0 = 0, 7241 q1 = 0, 2987 q0 = 0, 7857 q1 = 0, 2821 q0 = 0, 7544 q1 = 0, 2658 M = 22, 0 m = 12, 540 v0 = 9, 46000 v1 = 3, 74571 v0 − v1 = 5, 714 kg ≈ 5, 7 kg M = 22, 0 m = 12, 760 v0 = 9, 24000 v1 = 3, 81143 v0 − v1 = 5, 429 kg ≈ 5, 4 kg M = 22, 0 m = 12, 320 v0 = 9, 68000 v1 = 3, 47487 v0 − v1 = 6, 205 kg ≈ 6, 2 kg M = 22, 0 m = 12, 540 v0 = 9, 46000 v1 = 3, 33342 v0 − v1 = 6, 127 kg ≈ 6, 1 kg cm = 5, 34 cv = −0, 74 cm = 5, 34 cv = −0, 74 cm = 5, 34 cv = −0, 74 cm = 5, 34 cv = −0, 74 E1 E0 E1 E0 E1 E0 E1 E0 ≈ 1, 070519 Vastaus: 7, 05 % ≈ 1, 065532 Vastaus: 6, 55 % ≈ 1, 078324 Vastaus: 7, 83 % ≈ 1, 075608 Vastaus: 7, 56 % Dia-valinnan insin¨ o¨ orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset Mallivastaus 10. kes¨ akuuta 2014 Teht¨ av¨ a2 A B C D c=6 c=5 c=3 c=2 √ x = ± 6∨ x = π2 + nπ √ x = ± 5∨ x = π2 + nπ √ x = ± 3∨ x = π2 + nπ √ x = ± 2∨ x = π2 + nπ a=3 b=3 a=4 b=2 a = −3 b=5 a=3 b = −1 x2 +9x+14 = 0 x2 −5x+4 = 0 x2 +7x+10 = 0 (a) Toinen tekij¨oist¨ a on nolla: c 2 ) cos x x c (x − )2 = 0 x c x= x √ x=± c (x − = 0 (1) ∨ cos x = 0 π x = + nπ 2 π x = + nπ 2 (2) ∨ ∨ (3) (4) jossa n on mielivaltainen kokonaisluku. (b) M¨a¨arittelyalueella b − x ≥ 0. √ b−x=0 √ ⇔ a+x=− b−x (5) 2 ⇒ (x + a) = b − x (7) x2 +7x+6 = 0 ⇔ x2 + (1 + 2a)x + (a2 − b) = 0 p 1 ± 1 + 4(a + b) ⇔ x ∈ −a − 2 (8) x∈ (9) x ∈ {−1, −6} x ∈ {−2, −7} x ∈ {4, 1} x ∈ {−2, −5} x = −1 ⇒ 4 = 0 x = −6 ⇒ 0 = 0 x = −2 ⇒ 4 = 0 x = −7 ⇒ 0 = 0 x=4⇒2=0 x=1⇒0=0 x = −2 ⇒ 2 = 0 x = −5 ⇒ 0 = 0 Vastaus: x = −6 Vastaus: x = −7 Vastaus: x = 1 Vastaus: x = −5 x+a+ (6) P¨a¨attelyketju on implikaatio, joten potentiaaliset juuret eiv¨at kaikki v¨altt¨am¨ att¨ a toteuta alkuper¨ aist¨ a yht¨al¨o¨a. Ratkaisu identifioidaan sijoittamalla potentiaaliset juuret takaisin alkuper¨aiseen yht¨al¨o¨on. Vaihtoehtoisesti todetaan korotusvaiheessa, ett¨a oikea puoli on negatiivinen, joten (vasemman puolella) x + a ≤ 0. √ −7± 25 2 3 x∈ √ −9± 25 2 √ x∈ 5± 9 2 x∈ √ −7± 9 2 Dia-valinnan insin¨ o¨ orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset Mallivastaus 10. kes¨ akuuta 2014 Teht¨ av¨ a3 Pienin hiottava osuus saadaan, kun suorat asetetaan sivuamaan (muttei leikkaamaan) muotoiltavaa parabelia. Suorat ovat t¨all¨oin paraabelin tangenttisuoria. Paraabelin y(x) = x2 /a tangentin kulmakerroin on y 0 (x) = 2x/a. Piste (a, a) toteuttaa sek¨ a suoran y − a = k(x − a) ett¨a paraabelin yht¨al¨ot, joten suora sivuaa paraabelia t¨ ass¨ a pisteess¨ a. Siis k = y 0 (a) = 2a/a = 2. a Suoran y = x + b tulee sivuta paraabelia yhdess¨a pisteess¨a, merkit¨aa¨n (x0 , y0 ). ⇔ y0 = x0 + b = x20 /a (10) x20 (11) − a x0 − ab = 0, 0 Koska ratkaisuja on vain yksi, diskriminantti D = a2 + 4ab = a(a + 4b) = 0 ⇔ b = −a/4. (12) (13) Vastaus: k = 2 ja b = −a/4. -a Vaihtoehtoisesti voidaan b ratkaista tarkastemalla kulmakertoimia: Suoran y = x + b tulee sivuta paraabelia pisteess¨ a (x0 , y0 ), ne yhtyv¨at: Suoran yht¨al¨ost¨a saadaan y0 = x0 + b, ja koska suoran kulmakerroin on yksi: 1 = y 0 (x0 ) = 2x0 /a; 0 a x0 = a/2. Koska my¨os paraabeli kulkee pisteen kautta: y(x0 ) = x0 + b; b = x20 /a − x0 = a/4 − a/2 = −a/4. Teht¨ av¨ an 3 muotoiltava filmivaneripala 4 Dia-valinnan insin¨ o¨ orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset Mallivastaus 10. kes¨ akuuta 2014 Teht¨ av¨ a4 Integrandissa esiintyv¨ a ex − 1 ≥ 0 kun ex ≥ 1 kun x ≥ 0. Z ln b ex |ex − 1| dx ex (ex − 1) dx + Z Z ln b e2x − ex dx + 0 ln b = D a=2 b=2 a=2 b=3 a=3 b=2 a=3 b=3 1 = 42 − 2 + 1 − 13 + 18 = 13/18 1 = 92 − 3 + 1 − 13 + 18 = 20/9 0 ex (1 − ex ) dx Z (15) 0 − ln a 0 ex − e2x dx 1 2x 1 2x x x e −e + e − e 2 2 0 − ln a 1 2 1 1 b −b+1− + 2 2 a 2a = C − ln a 0 = B (14) − ln a Z ln b = A (16) (17) (18) = 42 − 2 + 1 − = 5/8 jossa ec ln a = ac . Vaihtoehtoisesti voidaan tehd¨ a muuttujanvaihdos y = ex , jolloin x dy = e dx ja intergraali palautuu kahden tasasivuisen ja suorakulmaisen kolmion pinta-alaksi: Z ln b Z b 1 1 2 x x 2 e |e − 1|dx = |y − 1|dy = (1 − ) + (1 − b) 2 a − ln a 1/a 5 1 2 + 1 8 = 92 − 3 + 1 − = 17/8 1 2 + 1 8 Dia-valinnan insin¨ o¨ orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset Mallivastaus 10. kes¨ akuuta 2014 Teht¨ av¨ a5 Merkit¨a¨an taulun kulmien et¨ aisyytt¨ a tiest¨a d1 ja d2 . Olkoon βi vastaava kulma tien suuntaan n¨ ahden: tan βi = di x = d2 /x − d1 /x 1 + d1 d2 /x2 d2 − d1 x x2 + d1 d2 = tan β2 − tan β1 1 + tan β1 tan β2 (20) (21) = f (x) (22) Selv¨asti f (0) = 0 ja limx→∞ f (x) = 0, muutoin f (x) > 0. Niinp¨a funktion suurin arvo, f (x0 ), saavutetaan, kun d2 − d1 0 = f 0 (x0 ) = 2 (x2 + d1 d2 − 2x20 ) (x0 + d1 d2 )2 0 p ⇔ d1 d2 = x20 ⇐ x0 = d1 d2 . Huomattakoon, ett¨ a f (x0 ) = tarvitakaan. B C D d1 = 16 d2 = 16 + 9 = 25 d1 = 25 d2 = 25 + 11 = 36 d1 = 16 d2 = 16 + 20 = 36 d1 = 25 d2 = 25 + 24 = 49 d2 − d1 = 9 d1 d2 = 16 · 25 = 400 9x f (x) = 2 x + 400 d2 − d1 = 11 d1 d2 = 25 · 36 = 900 11 x f (x) = 2 x + 900 d2 − d1 = 20 d1 d2 = 16 · 36 = 576 20 x f (x) = 2 x + 576 d2 − d1 = 24 d1 d2 = 25 · 49 = 1225 24 x f (x) = 2 x + 1225 f 0 (x0 ) = 9(400 − x20 ) = (400 + x20 )2 √ x0 = 400 = 20 f 0 (x0 ) = 11(900 − x20 ) = (900 + x20 )2 √ x0 = 900 = 30 f 0 (x0 ) = 20(576 − x20 ) = (576 + x20 )2 √ x0 = 576 = 24 f 0 (x0 ) = 24(1225 − x20 ) = (1225 + x20 )2 √ x0 = 1225 = 35 (19) tan γ = tan(β2 − β1 ) = A d√ 2 −d1 , 2 d1 d2 (23) (24) vaikka t¨at¨a ei ratkaisussa f (x0 ) = 6 9 2·20 . f (x0 ) = 11 2·30 . f (x0 ) = 20 2·24 . f (x0 ) = 24 2·35 . Dia-valinnan insin¨ o¨ orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset Mallivastaus 10. kes¨ akuuta 2014 Teht¨ av¨ a6 a) Koska p(x) → ∞ kun |x| → ∞ (polynomi aukeaa yl¨os), polynomin p(x) minimikohta x = x0 saavutaan kun p0 (x0 ) = 2x0 + a = 0, eli x0 = −a/2. Ja x0 = − a2 ∈ [0, 1] kun a ≤ 0, eli todenn¨ ak¨oisyydell¨a 12 . b) K¨ayrill¨a ei ole yhteist¨ a pistett¨ a, kun mik¨a¨an x ei toteuta ehtoa 1 2 x − p(x) = x + (a − 1)x + b = 0, eli kun diskriminantti ⇔ ( a−1 2 ) < b. 2 b D = (a − 1)2 − 4b < 0 Perusjoukko on S = [−1, 1]×[−1, 1]. Merkit¨ a¨an suosiollisten tapahtuminen joukkoa a−1 2 A = (a, b) ∈ S ( ) <b . 2 Koska 0 ≤ a−1 2 2 -1 ≤ 1, kun a ∈ [−1, 1], Z 1 a−1 2 ) da |A| = 1−( 2 −1 1 1 4 = a − (a − 1)3 = 12 3 −1 -1 a (25) (26) |S| = 4 Kysytty todenn¨ak¨ oisyys on pinta-alojen suhde p = |A|/|S| = 1 (27) 41 34 Kuvassa (tummalla) merkitty joukko A teht¨ av¨ ass¨ a 6. = 13 . 7 Dia-valinnan insin¨ o¨ orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset Mallivastaus 10. kes¨ akuuta 2014 Arvostelu Jos vastauksen tarkkuus pienempi kuin teht¨ av¨ ass¨ a vaadittu annetaan teht¨ av¨ ast¨ a korkeintaan 5p. Yleisperiaatteet: Erityisen vakavaksi virhe arvioidaan, jos se muuttaa teht¨av¨an luonnetta. Teht¨av¨ ass¨ a annettavat hyvitykset eiv¨at ole kaikki additiisia. Mik¨ali av¨ a2 ratkaisussa on lasku-, ajattelu- tai kopiointivirhe joka vaikuttaa ratkaisun lop- Teht¨ puosaan, vaikuttaa se alentavasti koko loppuosan arvosteluun. Teht¨av¨an kokonaispisteet 3+3p. Ansioita: Mik¨ ali hakijan ratkaisu ei noudata julkaistuja malliratkaisuja sovelletaan ohjei√ ta. a) Oikea juuri ratkaisuhaarasta (esimerkiksi x = c tai x = π/2) antaa 1p, kummatkin 2p. Kolme pistett¨ a teht¨ av¨ ast¨ a, vain mik¨ ali t¨ aysin oikea vasOsakohdista tai teht¨ avist¨ a voi saada maksimaaliset pisteet vain jos ratkaisu on taus. t¨aysin oikein. b) Yht¨al¨on korreksi neli¨ o¨ onkorotus 1p; potentiaaliset kaksi juurta oikein 2p; toisen juuren perusteltu hylk¨ aa ¨minen 3p. Teht¨ av¨ a1 (a) Osakohdasta 3p. T¨ aydet pisteet vain jos massaero ∆M = M0 − M1 = v0 − v1 Mik¨ali ratkaisussa ei k¨ aytet¨ a astemerkki¨ a voi a-kohdasta saada korkeintaan 2p. on laskettu oikein. Ansioita: Yhden oikean ratkaisun “arvaaminen” ja todistamisesta ei hyvitet¨ a. • M¨ar¨an p¨ollin veden tai puuaineksen massa alussa (yhdess¨a tai erikseen) Teht¨ av¨ a3 • Kuivatun p¨ ollin veden massa Teht¨av¨an kokonaispisteet 6p. Ansioita: • M¨ar¨an tai kuivatun p¨ ollin veden ja puuaineksen massan suhde qi • Piste (a, a) on suoralla ja paraabelilla. (b) Osakohta 3p. Ansioita: (max 2p) • Suoran kulmakerroin on k = y 0 (a) (1p), edelleen k = 2. Pelk¨ ast¨ a¨ an tangentin kulmakertoimen lausekkeen laskeminen ei annan pisteit¨ a. • oikea m¨ar¨an puun polttoarvo • Diskriminanttiehto (12) (2p) • oikea kuivatun puun polttoarvo. Kuivatun puun polttoarvo ei saa olla laskettu k¨aytt¨ aen m¨ ar¨ an puun kokonaismassaa. • Ratkaisu b = −a/4, 1p • energiatiheys m¨ ar¨ alle tai kuivatulle puulle. Teht¨ av¨ a4 Eksplisiittisen massan k¨ aytt¨ o laskussa ilman perusteluja (esimerkiksi M=1kg) rajoittaa kokonaispisteet teht¨ av¨ ast¨ a max 5p. Teht¨av¨an kokonaispisteet 6p. Ansioita: Mik¨ali laskussa unohdetaan massa olettaen sen aprori supistuvan pois ( E = cm M − cv m ) osasta ei anneta pisteit¨ a. • Integraalin jakaminen kahteen osaan oikeine rajoineen 2p. 8 Dia-valinnan insin¨ o¨ orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset Mallivastaus June 10, 2014 • Integrointi 2p. Teht¨ av¨ a6 • Teht¨av¨an loppuunsaattaminen sijoituksineen 2p. Kokonaisuus 2p+4p. Hyvitykset: Huomaa, ett¨a integraali on luku, joka ei voi riippua integrointimuuttujasta. integraalin k¨asitteleminen toisin on vakava periaatevirhe. • Polynomin minimikohdan l¨ oyt¨ aminen 1p • Minimikohtaa vastaava todenn¨ ak¨ oisyys perusteluineen 1p. Teht¨ av¨ a5 • Diskriminanttiehdon (26) l¨ oyt¨ aminen, 1p Osakohdat 2p+4p. Hyvitykset: • Lauseke f muodossa (21) antaa 2p. • Pinta-ala |A| integrointi, 2p • Edelleen f 0 lauseke muodossa (23) 2p. • Vastaava todenn¨ ak¨ oisyys p, 1p. • Nollakohdat (valitulla tarkastelualueella), 1p Jos ratkaisussa tulkitaan perusjoukoksi kokonaisluvut, teht¨ av¨ ast¨ a hyvitet¨ a¨ an diskriminanttiehdosta ja minimikohdasta. ¨ ariarvotarkastelut 1p. • A¨ 9