Lukujonon raja-arvo CAS
Transcription
Lukujonon raja-arvo CAS
Lukujono raja-arvo CAS-laskin ja GeoGebra Jussi Kytömäki [email protected] FB-Naavaparran matikka 3n 1 Lukujono an n 1 1o Määritä raja arvo a 2o Määritä n , kun on 0,5; 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001, 0, 00001 Ratkaisut CAS laskimella ja GeoGebralla Lukujonon raja-arvo ja kriittiset n:n arvot CAS-laskimella Määritellään lukujonon yleinen termi a(n). Huomaa sijoitusoperaattori := Tällä rivillä tehdään kaksi peräkkäistä komentoa: Ensin sijoitetaan e:n arvoksi etäisyys raja-arvosta. Kaksoispisteen jälkeen voidaan kirjoittaa etäisyysepäyhtälön ratkaiseva komento. Tehtävän eri epsilonin e arvoa vastaavat kriittiset n:n arvot löytyvät helposti: Laskin urputtaa määrittelyjoukosta, ihan aiheesta: Mennään nuolella ylös ja poimitaan epäyhtälö editoitavaksi. Muuta vain e:n arvoa ja sitten Enter. Ratkaisu CAS-laskimella suoraan lausekkeiden avulla Tässä epsilon eli etäisyys raja-arvosta on 0,001 Itseisarvomerkit voidaan poistaa: |n+1|=n+1, koska on kokonaisluku ja n>0 Jos epäyhtälöön jätetään lausekkeen itseisarvo, ratkaisujoukko laajenee. Pitää muistaa, että n >0. Vastaus: Jonon jäsenten etäisyys raja-arvosta 3 on pienempi kuin 0,001 n:n arvosta 4000 lähtien. Lukujonon raja-arvo ja kriittiset n:n arvot GeoGebralla GeoGebran CASlaskimella. Seuraavissa dioissa kriittiset n:n arvot on määritetty graafisesti. 1. 2. Grafiikaikkunan rajat muutetaan: valitaan väli xMin - xMax ja yMin - yMax sopivasti (y-arvot rajakohdan a=3 läheltä huomioiden epsilon eli etäisyys. Ohjelma piirtää punaiset pisteet sopivasti x:n rajojen mukaisesti. Kohta, missä tunkeudutaan alle epsilonin päähän raja-arvosta, löytyy sitten valitsemalla sopivat luvut syöttökenttiin Tarkka ala n ja Tarkka lopeta n. Kriittinen n löydetään liu’un n_epsilon avulla. Huomaa: kun n kasvaa kymmenkertaiseksi ja y pienenee kymmenesosaan, lukujono säilyy ”yhdenmuotoisena” eli ”kaarevuus ei muutu”. Kun n 7, on a (n) a 0,5 Kun n 39, on a (n) a 0,1 Kun n 399, on a (n) a 0, 01 Kun n 3999, on a (n) a 0, 001