5 1 −= a - Oulun Suomalaisen Yhteiskoulun lukio

Oulun Suomalaisen Yhteiskoulun lukio
28.5.2014
MAB6 – Matemaattisia malleja II
VPE
Välikoe 2
Laske korkeintaan neljä (4) tehtävää. Kopioi konseptin alkuun alla oleva taulukko ja merkitse
siihen ympyröimällä, mitkä tehtävät haluat arvosteltavan. Muista siistit marginaalit ja tehtävien väliin viivat viivoittimella. Palauta kaikki paperit.
Tehtävä
1
2
3
4
5
Koe 2
Koe1+Koe2
Pisteet
Max
6
6
6
6
6
24
48
Arvosana
1) Ratkaise
a) Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen luku on a1 = −5 ja seitsemäs luku on a 7 = 9 . Määritä
yleisen termin lauseke.
b) Geometrisen lukujonon jäsenten suhdeluku on kolme. Ensimmäinen termi on viisi. Laske
summakaavan avulla 10 ensimmäisen termin summa.
2)
a) Rekursiivisen lukujonon ensimmäinen termi = 2 ja toinen termi = 5. Määritä rekursiivisen lukujonon 6 ensimmäistä termiä, kun = 2 ∙ − , kun ≥ 3 kokonaisluku.
b) Muodosta lukujonon an = 0,8n-1 (n = 1,2,3,…) kolme ensimmäistä termiä. Kuinka moni jonon jäsenistä on suurempi kuin 0,01?
3) Kuvan murtoviivaa jatketaan pisteeseen
(10,10) asti. Määritä sopivan summalausekkeen avulla murtoviivan pituus.
Sivu 1/4
4) Pyramidihuijari avaa pankkitilin ja siirtää ensimmäisessä vaiheessa tilille 100 €. Tämän jälkeen
hän houkuttelee mukaan kolme sijoittajaa, joista jokainen siirtää toisessa vaiheessa huijarin tilille 100 €. Kolmannessa vaiheessa kukin näistä kolmesta houkuttelee edelleen mukaan kolme
uutta sijoittajaa, joista jokainen siirtää 100 € huijarin tilille. Huijaus jatkuu saman kaavan mukaisesti. Kuinka monen vaiheen jälkeen tilillä oleva summa ylittää Suomen valtion vuoden 2013
talousarvion, joka on 54,1 miljardia euroa?
5) Naisten kymppi kuntotapahtuma pidettiin ensimmäisen kerran vuonna 1983. Tällöin osallistujia
oli 384 naista. Vuonna 2012 peräti 19 200 naista oli mukana kuntoilemassa. Jos juoksijoiden
määrä kasvoi aina
a) suhteellisesti yhtä paljon
b) yhtä monella juoksijalla,
niin kuinka monta osallistujaa oli juoksuun osallistunut näiden 29 vuoden aikana?
Sivu 2/4
Vastaukset:
1.
a) Koska aritmeettisen lukujonon yleisen termin lauseke on a n = a1 + (n − 1) ⋅ d , niin
7
a 7 = −5 + (7 − 1) ⋅ d = 9 . Tästä ratkaistaan d = . Yleisen termin lauseke on
3
7
1
1
a n = −5 + ( n − 1) ⋅ = 2 n − 7 .
3
3
3
b) Lukujono on geometrinen. Tällöin S10 = 5 ⋅
1 − 310
= 147620 .
1− 3
2. a) = 2, = 5, = 2 ∙ − = 2 ∙ 2 − 5 = −1, = 2 ∙ 5 − −1 = 11,
= 2 ∙ −1 − 11 = −13 ja = 2 ∙ 11 − −13 = 35.
b) an = 1, a2 = 0,8, a3 = 0,64 (1p.) 21 ensimmäistä termiä. Muodostettu eksponenttiyhtälö
(1p.) ja ratkaistu oikein (1p.)
3. Pisteessä (1,1) murtoviivan pituus on = 2, Pisteessä (2,2) murtoviivan pituus on
= 2 + 8 = 10. Pisteessä (3,3) murtoviivan pituus on = 2 + 8 + 8 = 18. Siis murtoviivan osat muodostavat aritmeettisen summan, jossa 10 jäsentä. Viimeinen murtoviivan
osa = 2 + 10 − 1 ∙ 8 = 74 ja näin ollen koko murtoviivan pituus on aritmeettinen
summa:
= 10 ∙ = 380. Vastaus: Murtoviivan pituus on 380 pituusyksikköä.
4.
Rahaa on tilillä vaiheen k jälkeen 1 + 3 + 3 + ⋯ 3
summa, jonka arvo lasketaan:
=
" ∙ 100€. Kyseessä geometrinen
= 503 − 1
Tämän ylitettävä talousarvio eli
503 − 1 > 54,1 ∙ 10% |: 50
3 − 1 > 1,082 ∙ 10%
3 > 1,082 ∙ 10% + 1 | lg
(>
lg1,082 ∙ 10% + 1
≈ 18,9
+,3
Vastaus: Ylitys tapahtuu 19. vaiheen jälkeen.
5.
19200
= ±1,149946...
384
384 ⋅ 1 − 1,149946...29
= 144685,056... V: 145 000 kpl
Kuntoilijoita yhteensä
1 − 1,149946...
a) 384 ⋅ x 28 = 19200 , josta x = ± 28
(
)
Sivu 3/4
Hyväksytään myös vastaus n=30, josta saadaan vastaus / =
b) S 29 =
384 + 19200
⋅ 29 = 283968 V: 284000 kuntoilijaa.
2
34
56
01 √
34
√
7
= 149 487.
Sivu 4/4