MAA5.2 Koe ja ratkaisut välivaiheineen (PDF)

MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013
Jussi Tyni
Valitse 6 tehtävää – Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle
pisteytysruudukko
Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!
A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja
vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
A1.
Olkoon vektorit a
a) Laske
 4 j  3k ja b  2i  2 j  k
a ja b
b) Määritä vektori
c , kun tiedetään että c  5a  2b
c) Määritä vektori
a
suuntainen yksikkövektori
a
0
6p
A2.
Olkoon vektorit d
 2i  4 j  7k ja e  5i  6 j  2k
a) Määritä pistetulo
de
b) Määritä vektoreiden
(4p)
d ja e
välinen kulma. (2p)
6p
A3.
a) Määritä komponenttimuodossa sellainen vektori
a  i  2 j  2k
b
, joka on vastakkaissuuntainen vektorin
kanssa ja jonka pituus on 27.
b) Jatkoa a) -kohtaan: Jos edellisen tehtävän vektorin
vektorin päätepisteen koordinaatit.
b alkupiste on
(-104, 49, 14), määritä
6p
B-osio. Saa käyttää laskinta ja taulukkokirjaa. Valitse tehtävistä B1-B5 neljä ja vastaa
niihin.
B1.
Suora kulkee pisteen A (1, 2, 3) kautta ja sillä on suuntavektori v = 4 i  3 j  k . Mikä suoran
piste on lähinnä pistettä P (8, 6, – 9)? Laske pisteen P etäisyys suorasta.
6p
B2.
Suunnikkaassa ABCD piste E jakaa sivun DC suhteessa 5: 3 ja piste F sivun BC suhteessa 1: 4.
Missä suhteessa janojen AE ja FD leikkauspiste G jakaa nämä janat?
6p
B3.
Määritä tasoa vasten kohtisuorassa oleva yksikkövektori, jos tiedetään, että pisteet (0,0,12), (0,4,0) ja (6,0,0) ovat tasossa.
6p
B4.
Taso T sisältää pisteen A=(3, -1,1) ja tasolla on suuntavektorit
u  i  j  k ja v  2i  j  2k . Onko piste B=(8,-11,12) tasossa T?
6p
B5.
Lentokone lentää suoraviivaista nousulentoa vektorin 6i  5 j  3k suunnassa. Laske nousukulma,
kun valitussa koordinaatistossa lentokenttää edustaa xy-taso. Mistä lentokentän pisteestä nousu
alkoi, kun eräällä hetkellä nousun aikana koneen havaittiin sijaitsevan pisteessä (94, –75, 51)?
6p
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Bonuspähkinä +2p,
Vektoreiden
a ja b summa on vektori 4i  j
tiedetään, että vektori
vihjeiden avulla.
ja niiden pistetulo
a  b  4 . Lisäksi
b on yhdensuuntainen vektorin i kanssa. Määritä vektorit a ja b
Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista
oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta http://jussityni.wordpress.com/ !
Ratkaisut:
A1: Ratkaisu
a)
a  (4)2  32  25  5
b  22  (2) 2  (1) 2  9  3
b)
c  5(4 j  3k )  2(2i  2 j  k )  20 j  15k  4i  4 j  2k  4i 16 j  17k
c) Koska vektori a:n pituus oli 5, niin a:ta pitää kertoa 1/5 :lla, jotta se lyhenee yhden mittaiseksi.
0
1
1
4
3
=> a  (4 j  3k ) 
j k a
5
5
5
5
A2: Ratkaisu
a)
d  e  2  5  (4)  6  (7)  (2)  10  24  14  0
b) Pistetulo on nolla, joten vektoreiden välinen tulo on 90 astetta.
A3: Ratkaisu
a) a  (1)2  22  (2)2  9  3
Koska vektori a:n pituus on 3, sitä pitää kertoa 9:llä, jotta saadaan vektori jonka pituus on 27 ja joka
on a:n suuntainen (vektoria pidennetään). Lisäksi jotta saadaan vastakkaissuuntainen vektori, pitää
kertoa -9:llä =>
b  9(i  2 j  2k )  9i  18 j  18k
b) Pisteestä (-104, 49, 14) kuljetaan vektorin b ”ajo-ohjeiden” mukaisesti
9 yksikköä x-akselilla, joten x=-104+9=-95
-18 yksikköä y-akselilla, joten y=49-18=31
18 yksikköä z-akselilla, joten z=14+18=32
 Päätepiste on siis (-95, 31, 32)
B1: Ratkaisu
Merkitään kysytty piste X (x, y, z)
PX = PA + t v
( x  8) i  ( y  6) j  ( z  9) k = 7 i  4 j  12 k + 4 t i  3 t j  t k
x – 8 = –7 + 4t
y – 6 = –4 + 3t
⟺
⟺
x = 4t + 1
y = 3t + 2
z + 9 = 12 – t
PX  v
⟺
⟺
z = –t + 3
4 (x – 8) + 3 (y – 6) – (z + 9) = 0
⟺
4 (4 t + 1) + 3 (3 t + 2) + t – 3 = 59
⟺
26 t = 52 || : 26
4 x + 3 y – z = 59
⟺
t=2
Sijoitetaan t :n pisteen X koordinaattien lausekkeisiin
x = 4t + 1 = 9
| PX | =
y = 3t + 2 = 8
z = –t + 3 = 1
(9  8) 2  (8  6) 2  (1  9) 2 = 105
Vastaus: X = (9, 8, 1)
| PX | = 105
B2: Ratkaisu
Ratkaisu
Kuvion merkinnöillä AE = u +
5
4
v ja FD = u – v
8
5
1
FG = FB + BA + AG = – u – v + s AE
5
1
5   1

 5s 
= – u – v + s  u  v  =  s   u +   1 v
5
8  
5

 8

toisaalta
4
 4t
u tv
FG = t FD = t  u  v  =
5
5

Komponenttien kerroinlausekkeista saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan s ja t
1
4t
=
|| · 5
5
5
⟺
5s – 4t = 1
5s
 1 = – t || · 8
8
⟺
5s + 8t = 8
s
Kun vähennetään edellinen yhtälö jälkimmäisestä, saadaan 12 t = 7 || : 12
Sijoitetaan t :n arvo ensimmäiseen yhtälöön: 5 s –
7
=1
3
⟺
5s =
⟺
10
|| : 5
3
t=
7
12
⟺
s=
2
3
Vastaus: Piste G jakaa janan AE suhteessa 2 :1 ja janan FD suhteessa 7 : 5
B3: Ratkaisu
Merkitään pisteitä, esim. A (0, 0, 3), B (0, – 4, 0) ja C (6, 0, 0)
Merkitään a = CA =  6 i  3 k , b = CB =  6 i  4 j ja kysytty kohtisuora yksikkövektori v =
ai b j ck
Pistetulo on 0, jos vektorit kohtisuoria, joten:
a ·v = –6a +3c = 0
⟺
c = 2a
3
a
2
Lisäksi tiedetään, että vektori v on yhden mittainen:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9 2
a +b +c =1
⟺ a + a + 4 a = 1 || · 4
⟺ 4 a + 9 a + 16 a = 29 a = 4 || : 29
4
2
4
2
a =
⟺
a=±
. Kohtisuora vektori voi lähteä kohtisuoraan tason alle tai päälle,
29
29
siksi kaksi ratkaisua. Valitaan vaikka tuo + ratkaisu ja muodostetaan siitä vektori v:n
komponenttimuotoinen esitys:
3
4 
 2
Vastaus: v = ± 
i
j
k
29
29 
 29
b ·v = –6a –4b = 0
⟺
b=–
B4: Ratkaisu
Jos piste B=(8, -11, 12) on tasossa, niin silloin voidaan vektori AB kulkea myös toista kautta tason
suuntavektorien avulla, suuntavektoreita v ja u pidentämällä tai lyhentämällä tuntemattomilla
kertoimilla.
AB  tv  su
AB  5i  10 j  11k
5i  10 j  11k  t (2i  j  2k )  s (i  j  k )
5i  10 j  11k  2ti  t j  2tk  si  s j  sk
5i  10 j  11k  (2t  s )i  (t  s ) j  (2t  s )k
Nyt vektoreiden yhtäsuuruuden takia komponenttien i, j jak määrien on täsmättävä molemmin
puolin yhtälöä:
5  2t  s

10  t  s Ratkaistaan ekasta yhtälöstä mitä s on: s  2t  5
11  2t  s

10  t  (2t  5)
10  t  2t  5
Sijoitetaan s tokaan yhtälöön ja ratkaistaan mitä t on:
15  3t
t 5
Nyt s  2t  5 joten s  2  5  5  5
Nyt alin yhtälö tuottaa tuloksen: 11  2  5  5  11  15 Mikä ei voi pitää paikkaansa, piste ei siis
ole tasossa, koska sopivia kertoimia t ja s ei voi löytää jotta olisi AB  tv  su !
B5: Ratkaisu
Lentokoneen nousun suuntavektori on v  6i  5 j  3k . Tämän kanssa linjassa ”maata”, eli xy-tasoa
vasten kohtisuorassa oleva projektio on u  6i  5 j . Käytännössä sama vektori, ilman korkeutta, eli
k-komponenttia. Lasketaan vektoreiden v ja u välinen kulma:
v  62  (5) 2  32  70
u  62  (5) 2  61
u  v  6  6  (5)  (5)  3  0  61
cos  
u v
vu
 cos  
61
cos 1
70  61
  21
Koneen nousu alkoi xy-tasosta, jolloin z-koordinaatti on nolla, eli kone oli pisteessä B=(x,y,0). Jos
kone havaittiin pisteessä A=(94,-75,51) ja koneen liikkumisella on suuntavektori v, niin silloinhan
suuntavektoria v pidentämällä tuntemattomalla kertoimella t täytyy olla AB=tv.
AB  ( x  94)i  ( y  (75)) j  (0  51) k
 ( x  94)i  ( y  75) j  51k
ja nyt:
AB  tv
( x  94)i  ( y  75) j  51k  t (6i  5 j  3k )
( x  94)i  ( y  75) j  51k  6ti  5t j  3tk
Vektoreiden yhdensuuruuden takia komponenttien määrän on täsmättävä yhtälön molemmin puolin,
joten:
 x  94  6t

 y  75  5t
51  3t  t  17

x  94  6  (17)  x  102  94  x  8
y  75  5  (17)  y  85  75  y  10
Koneen lähtöpiste on siis (-8,10,0)
Bonuspähkinän ratkaisu:
Määritellään tuntemattomat vektorit:

a  xi  y j


b  zi koska b yhdensuuntainen vektori i : n kanssa
Lisäksi tiedetään, että pistetulo näiden vektoreiden välillä on 4, joten:
x z  y 0  4  x z  4
Ja vielä viimeisenä niittinä
xi  y j  zi  4i  j
( x  z )i  y j  4i  j Joten y = 1 tiedetään jo. Komponenteista x ja z jää kaksi yhtälöä jäljelle,
x  z  4
 
y 1
joista voidaan muodostaa yhtälöpari:
Joten haetut vektorit ovat:
 xz  4

x  z  4  x  4  z
(4  z ) z  4  4 z  z 2  4   z 2  4 z  4  0
2.asteen yht.ratkaisukaavalla : z  2
 x  4 z  x  42  2
a  xi  y j  2i  1 j

b  zi  2i