Harjoitus 3

HY / Avoin yliopisto
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015
Harjoitus 3
Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 24.8.2015 klo 16.15.
Tehtäväsarja I
Tutustu materiaalin lukuun 23, jossa kohdataan ykköskurssilta tuttu ominaisarvon käsite
nyt lineaarikuvauksen yhteydessä. Kertaa tarpeen mukaan myös osan I lukua 12.
1. Tarkastellaan kuvausta L : R2 → R2 , jolla L(x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , 2x1 + 4x2 ).
(a) Etsi matriisi A ∈ R2×2 , jolla L(x̄) = Ax̄.
(b) Miten voi perustella, että kuvaus L on lineaarinen? Keksi erilaisia tapoja.
(c) Onko vektori v̄ = (1, 2) lineaarikuvauksen L ominaisvektori? Entä w̄ = (2, 1)?
Entä ū = (2, −1)? Mitkä ovat vastaavat ominaisarvot? Vihje: esim. 23.2.
2. Tiedetään, että lineaarikuvauksella L : R3 → R3 on ominaisvektori v̄ = (2, 0, −6).
Mikä seuraavista vektoreista voisi olla L(v̄) ja mikä ei? Perustele vastauksesi ominaisvektorin määritelmän avulla.
ā = (1, 0, −3)
b̄ = (1, 2, 3)
c̄ = (−4, 0, 12)
d¯ = (6, 0, −16)
3. Oletetaan, että lineaarikuvauksella L : R3 → R3 on ominaisarvo λ1 = 5, jota vastaavista ominaisvektoreista yksi on v̄1 = (1, 0, 1), ja ominaisarvo λ2 = −2, jota
vastaavista ominaisvektoreista yksi on v̄2 = (0, 1, 0). Määritä L(3, −4, 3).
4. Päättele seuraavissa tapauksissa lineaarikuvauksen L : R2 → R2 ominaisarvot ja niitä
vastaavat ominaisvektorit piirroksen avulla samaan tapaan kuin kappaleessa 23.2
tehdään. Älä määritä lineaarikuvauksen matriisia.
(a) L on projektio suoralle span((3, −4)).
(b) L on venytys nelinkertaiseksi vaakasuunnassa ja kutistus puoleen pystysuunnassa.
Tehtäväsarja II
Tutustu materiaalin lukuun 24, jossa avaruuden Rn pistetulon käsitteestä lähtien päädytään abstraktimpaan sisätulon käsitteeseen. Kertaa tarpeen mukaan myös materiaalin osan
I lukua 13.
Avaruuteen R2 saadaan yksi sisätulo asettamalla hv̄, w̄i = (v1 w1 )/16+(v2 w2 )/9. Tehtävissä
5–6 tarkastellaan tätä sisätuloa.
5. Tutkitaan vektoreita ā = (−4, 2), b̄ = (3, −6) ja c̄ = (8, 9). Mitkä niistä ovat
kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun sisätulo määritellään edellä mainitulla tavalla?
Havainnollista tilannetta piirroksella. Apu: määritelmä 24.9.
6. Määritä ne vektorit x̄ ∈ R2 , joilla kx̄k = 1. Hahmottele sitten kuva tutkittavan
sisätuloavaruuden yksikköympyrästä. Vihje: esim. 24.8.
7. Saadaanko vektoriavaruuteen R3 sisätulo asettamalla hv̄, w̄i = v1 w1 − 2v2 w2 + v3 w3
kaikilla v̄ , w̄ ∈ R3 ?
8. Tarkastellaan vektoriavaruutta C([0, 1]) = {f : [0, 1] → R | f on jatkuva}. Tässä
vektoriavaruudessa voidaan määritellä sisätulo integraalin avulla kaavalla
hf, gi =
Z 1
f (x)g(x) dx.
0
Tutkitaan funktioita f : [0, 1] → R, f (x) = x2 − 4x + 1 ja g : [0, 1] → R, g(x) = 2x
sekä h : [0, 1] → R, h(x) = 3x − 2.
(a) Määritä sisätulot hf, gi ja hg, hi. Apu: esim. 24.10.
(b) Ovatko vektorit f ja g kohtisuorassa toisiaan vastaan? Entä vektorit g ja h?
Tehtäväsarja III
Tutustu materiaalin kappaleeseen 24.2, jossa selviää, millainen on ortogonaalinen jono, ja
kappaleeseen 24.3, jossa kohdataan aliavaruuden kohtisuora komplementti.
9. Onko avaruuden R3 jono (v̄1 , v̄2 , v̄3 ) ortogonaalinen tai ortonormaali, jos
(a) v̄1 = (4, −1, 1), v̄2 = (−1, 0, 4) ja v̄3 = (−4, −17, −1)?
(b) v̄1 = (1, 0, −1), v̄2 = (−1, 2, −1) ja v̄3 = (1, −1, 1)?
10. Tutkitaan avaruuden R3 aliavaruutta W = {(2a, 3a, a) | a ∈ R}. Mitkä seuraavista
vektoreista ovat kohtisuorassa komplementissa W ⊥ ?
(a) v̄1 = (2, 4, −15)
(b) v̄2 = (3, 0, −6)
(c) v̄3 = (0, −4, 12)
11. Jatkoa edelliseen tehtävään. Mieti kuvan avulla, miltä aliavaruus W ja sen kohtisuora
komplementti W ⊥ näyttävät. Tarkkaa perustelua ei tarvita.
Tehtäväsarja IV
Seuraavissa tehtävissä kertaillaan lineaarikuvauksen käsitteeseen liittyviä asioita erityisesti
luvuista 19 ja 22.
12. Onko kuvaus D : R2×2 → R, D(A) = det(A) lineaarinen?
Palauta tarvittaessa mieleesi determinantin ominaisuuksia materiaalin luvusta 11.
13. Tarkastellaan esimerkissä 15.5 mainittua vektoriavaruutta P , jonka muodostavat
kaikki reaalikertoimiset polynomit. Oletetaan, että T : P → R2 on lineaarikuvaus,
jolla T (x + 1) = (0, −3) ja T (x2 − 2) = (4, 5).
(a) Määritä T (2x2 + 4x).
(b) Onko lineaarikuvaus T yksikäsitteisesti määrätty? Toisin sanottuna, voidaanko
tehtävän tiedoista päätellä vektoriavaruuden P minkä tahansa alkion kuvautuminen kuvauksessa T ?
14. Oletetaan, että T : R2 → R3 on lineaarikuvaus, jolle pätee T (1, 0) = (2, 3, 5) ja
T (1, 1) = (7, 1, −4).
(a) Etsi lineaarikuvauksen T matriisi. Vihje: määritelmä 22.8.
(b) Tarkista, että jos vektoreita (1, 0) ja (1, 1) kerrotaan löytämälläsi matriisilla,
saadaan oikeat tulokset eli T (1, 0) ja T (1, 1).
15. Etsi matriisi, jonka määrämä lineaarikuvaus kiertää tason vektoreita origon ympäri
210◦ positiiviseen kiertosuuntaan (vastapäivään) ja sen jälkeen projisoi ne suoralle
span((1, 3)).
Vihje: harjoitus 2 t. 23, lauseet 13.14 ja 19.15 sekä määritelmä 22.8.
Tehtäväsarja V
Seuraavissa tehtävissä kerrataan lukujen 20-22 asioita. Tehtävissä 16–17 osoitetaan, että
taso
T = {(5a + b, a − b, 3a + 4b) | a, b ∈ R}
on isomorfinen avaruuden R2 kanssa.
16. (a) Osoita, että taso T on avaruuden R3 aliavaruus etsimällä sille virittäjät.
(b) Mistä tiedetään, että taso T on vektoriavaruus?
(c) Määrittele lauseen 22.1 avulla lineaarikuvaus L : R2 → T . Mikä on määrittelemäsi lineaarikuvauksen matriisi?
17. Tarkastellaan tehtävässä 16 määrittelemääsi lineaarikuvausta L.
(a) Osoita, että L on surjektio näyttämällä, että Im L = T .
(b) Osoita, että L on injektio.
(c) Mitä voidaan päätellä a- ja b-kohtien sekä tehtävän 16 c-kohdan nojalla?
18. Olkoot V ja U äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, joille pätee dim(V ) > dim(U ).
Onko olemassa injektiivistä lineaarikuvausta avaruudelta V avaruudelle U ?
Vihje: lauseet 20.6 ja 22.2.
19. Oletetaan, että L : V → U on injektiivinen lineaarikuvaus. Oletetaan lisäksi, että
avaruuden V jono (v̄1 , . . . , v̄n ) on vapaa. Osoita, että myös jono (L(v̄1 ), . . . , L(v̄n ))
on vapaa.
Tehtäväsarja VI
Seuraavat tehtävät liittyvä materiaalin lukuun 18 ja erityisesti kappaleeseen 18.2, jossa
käsitellään vektorin koordinaatteja eri kantojen suhteen.
20. (a) Vasemmanpuoleisessa kuvassa näkyy avaruuden R2 vektori ā kannan T =
(w̄1 , w̄2 ) määräämässä koordinaatistossa. Päättele kuvasta, mikä on vektorin
ā koordinaattivektori kannan T suhteen. Toisin sanottuna päättele, mikä on
[ā]T . Apu: esim. 18.20.
(b) Oikeanpuoleisessa kuvassa näkyy avaruuden R2 vektori b̄ kannan S = (v̄1 , v̄2 )
määräämässä koordinaatistossa. Päättele kuvasta, mikä on vektorin b̄ koordinaattivektori kannan S suhteen. Toisin sanottuna päättele, mikä on [b̄]S .
ā
b̄
w̄1
v̄1
0̄
w̄2
0̄
v̄2
21. Jatkoa tehtävään 20. Tarkastellaan edelleen avaruuden R2 kantoja T = (w̄1 , w̄2 ) ja
S = (v̄1 , v̄2 ).
(a) Tiedetään, että [x̄]T = (−1, 2). Piirrä vektori x̄ vasemmanpuoleiseen koordinaatistoon.
(b) Tiedetään, että [ȳ]S = (−1, 2). Piirrä vektori ȳ oikeanpuoleiseen koordinaatistoon.
(c) Onko totta, että x̄ = ȳ ?
22. Jatkoa tehtäviin 20–21. Kannan T vektorit ovat w̄1 = (1, 2) ja w̄2 = (2, −1). Kannan
S vektorit ovat v̄1 = (3, 1) ja v̄2 = (1, −3).
(a) Määritä vektoreiden v̄1 ja v̄2 koordinaattivektorit kannan T suhteen.
(b) Muodosta kannanvaihtomatriisi PT ←S . Apu: määritelmä 18.23.
(c) Kerro tehtävän 20 vektoria [b̄]S matriisilla PT ←S eli laske tulo PT ←S [b̄]S . Mitkä
ovat vektorin b koordinaatit kannan T suhteen? Apu: lause 18.25.
(d) Mitä voit päätellä tehtävän 20 vektoreista ā ja b̄ edellisen kohdan perusteella?
23. Avaruudella R2 on kannat R, S ja T . Tiedetään, että erään vektorin v̄ ∈ R2 koordinaattivektori kannan S suhteen on [v̄]S = (1, −3). Lisäksi seuraavat kannanvaihtomatriisit ovat tiedossa:
"
PS←R
#
−2 0
=
,
1 5
"
PT ←S
#
0 1
=
.
1 0
Määritä lauseiden 18.25–18.27 avulla
(a) [v̄]T
(b) PT ←R
(c) [v̄]R
Tehtäväsarja VII
Seuraava tehtävä havainnollistaa ominaisarvojen ja -vektoreiden sovellusmahdollisuuksia.
24. Kaukaisen saaren rantavesissä elää eriskummallisia pingviinejä ja kaloja, joiden vuosittaiset lukumäärät riippuvat toisistaan seuraavasti: Olkoon P (n) pingviinien lukumäärä vuonna n ja K(n) kalojen lukumäärä vuonna n. Tällöin seuraavan vuoden
lukumäärät saadaan yhtälöistä
P (n + 1) = 0,86P (n) + 0,08K(n)
ja
K(n + 1) = −0,12P (n) + 1,14K(n).
(a) Miten voit hyödyntää matriisikertolaskua pingviinien ja kalojen vuosittaisten
lukumäärien laskemisessa?
(b) Mikä pitää pingviinipopulaation koon P (n) ja kalapopulaatioiden koon K(n)
olla, jotta seuraavana vuonna molemmat olisivat kasvaneet tai pienentyneet samassa suhteessa? Ts. jotta P (n + 1) = aP (n) ja K(n + 1) = aK(n) jollakin
a ∈ R.