Avaruusvektorit

Avaruusvektorit
Reaalilukujen muodostamat kolmikot (a, b, c) voidaan kuvata avaruuden pisteinä seuraavasti: valitaan
kolme toisiaan vastaan kohtisuoraa lukusuoraa ns. x-, y- ja z-akselit niin, että niiden origot yhtyvät.
Näin syntynyttä kordinaatistoa sanotaan koordinaattiavaruudeksi tai xyz-avaruudeksi ja akselien
leikkauspistettä origoksi O. Kolmikkoa (a, b, c) asetetaan vastaamaan se avaruuden piste, joka on xytason pisteen (a, b) kautta kulkevalla z-akselin suuntaisella lukusuoralla kohdassa c (”korkeudella” c).
Tällöin siis origoa vastaava lukukolmikko on (0,0,0).
z-akseli
c
(a, b, c)
a
y-akseli
b
(a, b)
x-akseli
Paikkavektorit
z
P = (x, y,
JJJK
Avaruuden pisteen P(x, y, z) paikkavektori OP = [x, y, z]
määritellään vektorina origosta O = (0,0,0) pisteeseen P.
P = [ x, y , z ]
y
x
Täten jokainen xyz-avaruuden vektori a voidaan esittää yksikäsitteisenä paikkavektorina a = [a1,
a2, a3]. Tässä esityksessä lukuja a1, a2, a3 nimitetään vektorin a (skalaari)komponenteiksi. Yhtälö a =
[a1, a2, a3] merkitsee, että vektorin a alkupisteen ollessa origo sen kärkenä on piste (a1, a2, a3).
Perusvektorit
z
Avaruuden perusvektorit ovat vektorit
i = [1,0,0] = pisteen (1,0,0) paikkavektori,
j = [0,1,0] = pisteen (0,1,0) paikkavektori ja
k = [0,0,1] = pisteen (0,0,1) paikkavektori.
k
j
i
x
y
Täten i, j ja k ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa olevia yksikkövektoreita. Edelleen kaikilla
reaaliluvuilla x, y ja z on voimassa:
[x, y, z] = xi + yj + zk.
Kaikilla vektoreilla a = [a1, a2, a3] ja b = [b1, b2, b3] ja reaaliluvuilla λ on voimassa:
1)
2)
3)
4)
a + b = [a1+b1, a2+b2, a3+b3],
−a = [−a1, −a2, −a3],
a − b = [a1−b1, a2−b2, a3−b3],
λa = [λa1, λa2, λa3].
Pisteiden A(a1, a2, a3) ja B (b1, b2, b3) välinen etäisyys
d = (a1 − b1 ) 2 + (a2 − b2 ) 2 + (a3 − b3 ) 2 .
(Vrt. suuntaissärmiön avaruuslävistäjän pituus.)
Erityisesti vektorin a = [a1, a2, a3] pituus a = a12 + a22 + a32 .
Esimerkki 9.
Olkoot a = [3,2,1] ja b = [1,1,2]. Tällöin
a) a + b = [3+1,2+1,1+2] = [4,3,3] = 4i + 3j + 3k,
b) −a = [−3,−2,−1] = −3i −2j − k,
c) a − b = [3−1, 2−1,1−2] =[2,1,−1] = 2i + j − k,
d) 3a = [3⋅3, 3⋅2,3⋅1] = [9,6,3] = 9i + 6j + 3k,
e) 3a −2b = [9,6,3] − [2,2,4] = [7,4,−1] = 7i + 4j − k,
f) |a| = 9 + 4 + 1 = 14 .
Esimerkki 10.
Pisteiden A(1,2,-1) ja B(3,4,-2) paikkavektorit ovat
JJJG
OA = [1, 2, −1] = i + 2 j − k , ja
JJJK
OB = [3, 4, −2] = 3i + 4 j − 2k.
JJJG
Lisäksi vektori AB = [3, 4, −2] − [1, 2, −1] = [2, 2, −1] , ja pisteiden A ja B välinen
etäisyys d = AB = 4 + 4 + 1 = 9 = 3.
Esimerkki 11.
Ovatko pisteet A(-2,7,1), B(4,4,-8) ja C(-6,9,7) samalla suoralla?
JJJG
JJJG
AB = [ 6, −3, −9] , AC = [ −4, 2, 6]
Jos yllä mainitut kaksi vektoria ovat saman- tai vastakkaissuuntaiset, niin pisteet
ovat samalla suoralla. Täten on tutkittava onko olemassa sellainen luku k, jolle
JJJG
JJJG
AB = k ⋅ AC .
JJJG
JJJG
AB = k ⋅ AC ⇒
[ 6, −3, −9] = k [ −4, 2, 6]
6 = −4k

⇒ −3 = 2k
−9 = 6k

Huomataan että k = −
3
toteuttaa kaikki kolme yhtälöä, joten pisteet ovat samalla
2
suoralla.
(Mikäli ei löydy yhtä sellaista luvun k arvoa , joka toteuttaa kaikki kolme yhtälöä,
niin kyseinen ehto ei toteudu. Tällöin pisteet eivät ole samalla suoralla.)
Esimerkki 12.
Juhannussalko nostetaan pystyyn ja kiinnitetään kahdella harusvaijerilla, jotka on
kiinnitetty tiettyyn kohtaan salkoa (merkitään O). Kiinnityspiste A sijaitsee 2m
alaspäin, 3m vasemmalle ja 1m eteenpäin pisteestä O. Kiinnityspiste B puolestaan
sijaitsee 1m alaspäin, 4m oikealle ja 2m eteenpäin pisteestä O. Kuinka pitkät
harusvaijerit tarvitset?
Olkoon positiivinen x-akseli akseli eteenpäin, positiivinen y-akseli akseli oikealle
ja positiivinen z-akseli akseli ylöspäin. Tällöin
JJJG
JJJG
OA = [1, −3, −2] , ja OB = [ 2, 4, −1] .
JJJG
OA = 12 + 32 + 22 = 14 ≈ 3, 7
JJJG
OB = 22 + 42 + 12 = 21 ≈ 4, 6
Vastaus: Harusvaijerien pituudet ovat noin 3,7 m ja 4,6 m.
Esimerkki 13.
Suunnikkaan ABCD kolme peräkkäistä kärkeä ovat A(2,-3,1),
B(-1,0,2) ja C(4,2,0). Määritä pisteen D koordinaatit.
JJJG
JJJG
AB = [ −3,3,1] = DC
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
OD = OC + CD = OC − AB = [ 4, 2, 0] − [ −3,3,1] = [ 7, −1, −1]
Vastaus: D(7,-1,-1).