MAA5.2 2012 Loppukoe ja ratkaisut

MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012
Jussi Tyni
Valitse 6 tehtävää – Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle
pisteytysruudukko
Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!
1. Olkoon vektorit a
a) Laske
 2i  j  3k ja b  3i  2 j  k
∣̄a∣ ja∣̄b∣
b) Laske vektorien
a ja b
2. Olkoon vektorit a
välinen kulma.
 4i  6 j  8k ja b  14i  21 j  28k
a) Osoita matemaattisesti (pelkkä piirros ei riitä), että vektorit
a ja b ovat yhdensuuntaisia.
b) Jos vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset, ovatko ne vastakkaissuuntaiset vai
samansuuntaiset? Kumpi on pitempi? Perustele.
3. a) Määritä komponenttimuodossa sellainen vektori
a  i  2 j  2k
b
, joka on samansuuntainen vektorin
kanssa ja jonka pituus on 18.
b) Jatkoa a) -kohtaan: Jos edellisen tehtävän vektorin
alkupisteen koordinaatit.
b päätepiste on
(-174, 43, 4), määritä
4. a) Suora kulkee pisteiden A=(2,-5,3) ja B=(1,-3,-2) kautta. Missä pisteessä suora leikkaa xytason?
b) Kuinka suuressa kulmassa pisteiden (6, -3, 2) ja (-2,1,2) välinen jana näkyy origosta
katsottuna?
5. Pienkone ilmestyy lennonjohdon tutkaan ja etenee tutkassa ensin vektorin
a  3i  6 j  2k suuntaisesti 2000 metriä. Sen jälkeen kone vaihtaa suuntaa ja etenee
vektorin b  4i  4 j  2k suuntaisesti 4000 metriä. (yksi askel koordinaatistossa vastaa
yhtä metriä )
Jos kone ilmestyi tutkaan pisteessä P = (300, 520, 1905), missä se on liikkeidensä jälkeen?
Kuvaile koneen tilaa.
s
s
6. Suora 1 kulkee pisteiden A = (1,-1,2) ja B = (2,2,-1) kautta. Suora 2 kulkee pisteiden C
= (3,1,-1) ja D = (-1,5,-4) kautta. Leikkaavatko suorat toisensa? Jos leikkaavat, niin missä
pisteessä?
7. Piste D jakaa kolmion ABC sivun AB suhteessa 2:1 ja piste E sivun BC suhteessa 3:2.
Määritä missä suhteessa janat AE ja CD leikkaavat toisensa?
8. Määritä pisteen P = (1,1,1) etäisyys pisteiden A = (0,1,-1) ja B = (1,-1,0) kautta kulkevasta
suorasta.
Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista
oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta http://jussityni.wordpress.com/ !
Ratkaisut.
a  22  (1) 2  32  14
1. a)
b  32  (2) 2  (1) 2  14
cos(a, b) 
a b
a b
b)

2  3  (1)  (2)  3  (1) 5

14
14 14
5
cos 1  (a, b)  69,1
14
2. a) Jotta vektorit ovat yhdensuuntaisia, täytyy olla
cos(a, b) 
ta  b  t (4i  6 j  8k )  14i  21 j  28k
 4ti  6t j  8tk  14i  21 j  28k
4t  14

 6t  21
8t  28

14
7
   3,5
4
2
Tarkastetaan, että toteuttaako tämä kahta muuta yhtälöä! Toteuttaa, joten vektorit ovat
Tästä yhtälöryhmästä ratkaistaan ekalta riviltä, että t 
yhdensuuntaisia, koska vektorista
a saadaan vektori b
pidentämällä sitä kertojalla -3,5.
b) Vektori b on pitempi, koska a :ta pitää kertoa 3,5 kertaiseksi, jotta saadaan
Vektorit ovat vastakkaissuuntaiset, koska kertoja on negatiivinen.
b.
3. a) a  (1)2  22  22  9  3
Jotta saadaan
=>
a :n suuntainen vektori, jonka pituus on 18, vektori a pitää kertoa 6:lla.
b  6(i  2 j  2k )  6i  12 j  12k
b) ”Ajo-ohjeet” vektorin alkupisteestä vektorin loppupisteeseen (-174, 43, 4) saadaan
vektorista b . Lähtöpisteestä on pitänyt liikkua x-akselilla -6 pykälää, joten on lähdetty
pisteestä x=-168 (-174-(-6)) .
Lähtöpisteestä on pitänyt liikkua y-akselilla +12 pykälää, joten on lähdetty pisteestä
y=31.
Lähtöpisteestä on pitänyt liikkua z-akselilla -12 pykälää, joten on lähdetty pisteestä 16.
Lähtöpiste on siis (-168,31,16)
4. Suoran suuntavektori on
AB  v  (1  2)i  (3  (5)) j  (2  3)k  i  2 j  5k .
xy-tason leikkauspiste X=(x,y,0) on samalla suoralla, joten voidaan muodostaa vektori
AX:
AX  ( x  2)i  ( y  (5)) j  (0  3)k  ( x  2)i  ( y  5) j  3k
Nyt koska vektorista
v voidaan pidentää vektori AX , niin täytyy olla voimassa yhtälö:
AX  tv
( x  2)i  ( y  5) j  3k  t (i  2 j  5k )
( x  2)i  ( y  5) j  3k  ti  2t j  5tk
Seuraa yhtälöryhmä:
 x  2  t

 y  5  2t
3  5t

 t 
=> Piste X=(7/5 ; -19/5 ; 0)
3
7
19
 x  ja y 
5
5
5
5. Mallikuva:
Lasketaan vektorien a ja b pituudet ja pidennetään niitä sopivasti, jotta saadaan
kuljettua vektorit AP ja PB:
a  32  (6) 2  (2) 2  49  7
2000
2000
2000
2000
a
 3i 
 (6) j 
 (2)k
7
7
7
7
6000 12000
4000

i
j
k
7
7
7
 AP 
b  42  (4) 2  (2) 2  36  6
4000
2000
2000
2000
2000
b
b
 4i 
 (4) j 
 (2)k
6
3
3
3
3
8000 8000
4000

i
j
k
3
3
3
Nyt
6000 12000
4000
8000 8000
4000
AB  AP  PB 
i
j
k
i
j
k
7
7
7
3
3
3
74000 92000
40000

i
j
k  3524i  4381 j  1905k
21
21
21
 PB 
Lentokone siis liikkuu vektori AB:n verran lennonjohdon tutkassa ja on noin pisteessä:
(3824, -3861, 0). X- ja Y-koordinaattien liikkeellä ei ole niin väliä, mutta koordinaatti Z
osoittaa, että kone on tällä hetkellä maassa. Toivottavasti laskeutuminen on onnistunut ja
lentokenttä on koordinaateissa (3824, -3861).
6. Mallikuva:
Muodostetaan suorien suuntavektorit
u  i  3 j  3k
Nyt vektoreita
u ja v
ja v  4i  4 j  3k
u ja v sopivasti pidentämällä kertojilla t ja s saadaan muodostettua
AX  tu  t (i  3 j  3k )  ti  3tj  3tk
ja
CX  sv  s(4i  4 j  3k )  4si  4s j  3sk
AC  2i  2 j  3k
Lisäksi
Jos vektorit risteävät, täytyy olla:
AX  AC  CX
tu  2i  2 j  3k  sv
ti  3tj  3tk  2i  2 j  3k  4si  4s j  3sk
ti  3t j  3tk  (2  4s )i  (2  4s ) j  ( 3  3s )k
t  2  4 s

 3t  2  4 s
3t  3  3s

Kahdesta ekasta yhtälöstä voi ratkaista, että t=1 ja s=1/4. Nämä eivät toteuta kolmatta
u ja v
yhtälöä, eli ei ole olemassa suuntavektoreille
sellaisia kertoimia s ja t, että suorat
saataisiin risteämään. Suorat eivät siis risteä missään pisteessä!
7. Mallikuva
3
3
3
AE  a  b  AX  t (a  b)  ta  tb)
5
5
5
1
1
1
CX  sCD ja CD  b  a  CX  s (b  a )   sb  sa
3
3
3
toisaalta : AX  AC  CX missä AC  a  b, joten :
1
1
AX  a  b  sb  sa  (1  s )a  (1  s )b
3
3
AX  t AE
ja
Nyt AX:n täytyy olla sama vektori, kierreltiinpä se mitä kautta hyvänsä, joten:
3
1
ta  tb  (1  s )a  (1  s )b
5
3
1

t

1

s

1
5
3

 s  ja t 
2
6
3 t  1 s
 5
Koska AX  t AE , niin leikkauspiste jakaa janan AE suhteessa 5:1 ja koska CX  sCD ,
niin leikkauspiste jakaa janan CD suhteessa 1:1.
8. Ratkaisu: Olkoon piste Q pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla ja olkoon Q se
suoran piste, joka on lähinnä pistettä P. Tällöin PQ  PA  t AB ja janat PQ ja AB ovat
kohtisuorassa toisiaan vastaan, jolloin PQ  AB  0 .
Nyt PQ  i  2k  t (i  2 j  k )  (1  t )i  2t j  (2  t )k ja
PQ  AB  ( 1  t )  1  2t  ( 2)  ( 2  t )  1  0  1  t  4t  2  t  0
1
 6t  3  t 
2
1
1
1
1
3
Tällöin PQ  ( 1  )i  2  j  ( 2  )k   i  j  k ja
2
2
2
2
2
2
2
1
9
7
 1
 3
PQ      ( 1)2     
1 
 1,9 .
4
4
2
 2
 2
Vastaus:Pisteen P etäisyys suorasta on
7
 1,9 .
2