3 - Otava

Lukion
Calculus
3
MAA5 Vektorit
Paavo Jäppinen
Alpo Kupiainen
Matti Räsänen
Otava
PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN
TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
Vektorit (MAA5)
Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
1
Pikatesti (MAA5)
a
1.
Lausu vektoreiden a ja b avulla oheisen ruudukon vektorit
u , v ja w .
u
b
v
w
Ratkaisu:
u = a+b
2.
v = 2a + b
w=
1
a − 2b
2
Oheisessa kuvassa vektori c = 3b − 2a . Osoita, että
vektoreiden kärjet ovat samalla suoralla.
c
b
a
Ratkaisu:
c = 3b − 2a = 2(b − a ) + b , josta c − b = 2(b − a ) . Tämä osoittaa, että vektoreiden
kärjet ovat samalla suoralla.
3.
Jaa vektori 8i + j vektoreiden i + 2 j ja − i + j suuntaisiin komponentteihin.
Ratkaisu:
8i + j = t( i + 2 j ) + s( − i + j ) = (t − s )i + (2t + s ) j . Kertoimien vertailu antaa yhtälöparin t – s = 8 ja 2t + s = 1, josta ratkeaa t = 3 ja s = –5. Komponenttiesitys on
8i + j = 3( i + 2 j ) – 5( − i + j ).
→
→
4.
On annettu pisteet A(–1, 2, 2), B(0, 3, 4) ja C(1, 1, 3). Laske vektoreiden AB ja AC
välinen kulma.
Ratkaisu:
→
→
→
→
AB = i + j + 2k ja AC = 2i − j + k , joten cos( AB, AC ) =
2 −1+ 2
6 6
=
1
. Vektoreiden
2
välinen kulma on 60°.
5.
Ilmaise oheisen ruudukkokuvan nojalla vektori c vektoreiden a ja b avulla.
b
c
a
Ratkaisu:
Vektorin c kärki jakaa vektoreiden a ja b kärkien välisen
2a + b
janan suhteessa 1 : 2. Jakopistelauseen mukaan c =
3
6.
Määritä piste, joka jakaa janan A(–2, 5)B(4, 2) suhteessa 2 : 3.
© Lukion Calculus 3
2
Vektorit (MAA5)
Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
A(-2,5)
Ratkaisu:
3a + 2b 1
= (−6i + 15 j + 8i + 4 j )
5
5
2 4
2 19
= i+
j . Kysytty piste on ( , 3 ) .
5 5
5
5
y
(2)
→
Kuvan merkinnöin OP =
P
(3)
a
B(4, 2)
b
O
7.
Muunna suoran r = 2i − j + t ( 2i + 3 j ) , t ∈ R , yhtälö normaalimuotoon
ax + by + c = 0 .
Ratkaisu:
Suoran r = 2i − j + t ( 2i + 3 j ) , t ∈ R , suuntavektori on 2i + 3 j , joten suoran kulma3
kerroin on k = . Koska suora kulkee pisteen (2, –1) kautta, suoran yhtälö on
2
3
y + 1 = ( x − 2) , josta saadaan normaalimuoto 3x – 2y – 8 = 0.
2
8.
Missä pisteessä suora
x−2 y−3 z +2
leikkaa yz-tason?
=
=
−5
2
3
Ratkaisu:
x−2 y −3 z +2
Suoran
ja yz-tason leikkauspisteessä x = 0. Silloin yhtälöstä
=
=
2
−5
3
määräytyy y = 8 ja z = –5. Leikkauspiste on (0, 8, –5).
9.
Laske tasojen x – 2y – 2z – 5 = 0 ja x + 2y – z – 2 = 0 välinen kulma.
Ratkaisu:
Tasojen x – 2y – 2z – 5 = 0 ja x + 2y – z – 2 = 0 välinen kulma saadaan selville laskemalla niiden normaalivektoreiden i − 2 j − 2k ja i + 2 j − k välinen kulma. Se saa1− 4 + 2
−1
=
daan yhtälöstä cos α =
, josta α ≈ 97,8° . Tasojen välinen kulma on
3 6
3 6
tämän suplementtikulma 82,2°.
10.
Osoita, että suora x = 4 – 2t, y = 6 – t, z = –2 + 3t ( t ∈ R ) on tason
6x + 3y – 9z – 2 = 0 normaali.
Ratkaisu:
Suoran x = 4 – 2t, y = 6 – t, z = –2 + 3t ( t ∈ R ) suuntavektori − 2i − j + 3k on yhdensuuntainen tason 6x + 3y – 9z – 2 = 0 normaalivektorin 6i + 3 j − 9k kanssa, joten
suora on tason normaali.
© Lukion Calculus 3
x
Vektorit (MAA5)
3
Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Kertauskoe 1 (MAA5)
O
1.
Oheisen kuvan nelikulmio ABCD on suunnikas. Lausu
→
a
vektori BD vektoreiden a , b ja c avulla.
c b
C
D
Ratkaisu:
→
→
→
B
BD = BA+ BC = a − b + c − b = a − 2b + c
2.
A
Jaa vektori 6i − 7 j vektoreiden 2i + j ja − i − 3 j suuntaisiin komponentteihin.
Ratkaisu:
6i − 7 j = t( 2i + j ) + s( − i − 3 j ). Kantavektoreiden kertoimien vertailu antaa ehdot
2t – s = 6 ja t – 3s = –7, joista ratkeaa t = 5 ja s = 4. Komponenttiesitys on
6i − 7 j = 5( 2i + j ) + 4( − i − 3 j ).
3.
a) Mitä vaatimuksia tulee asettaa tason kantavektoreille?
b) Millä t:n arvolla vektorit i − 2 j ja 3i + t j eivät sovi tason kantavektoreiksi?
Ratkaisu:
a) Tason kantavektoreilta vaaditaan, että niitä on kaksi ja ne ovat aitoja erisuuntaisia
vektoreita.
b) Vektorit i − 2 j ja 3i + t j eivät sovi tason kantavektoreiksi, jos ne ovat yhdensuuntaisia eli jos on sellainen luku s, että 3i + t j = s( i − 2 j ). Kertoimien vertailu antaa 3 = s ja t = –2s. Saadaan t = –6.
4.
Määritä sen tason yhtälö, joka on tason x + 2y – 2z – 6 = 0 suuntainen ja kulkee pisteen (1, 1, 2) kautta. Mikä on näiden tasojen välinen etäisyys?
Ratkaisu:
Tason x + 2y – 2z – 6 = 0 suuntaisen tason yhtälö on muotoa x + 2y – 2z + d = 0.
Koska taso kulkee pisteen (1, 1, 2) kautta, tulee olla d = 1. Kysytty tason yhtälö on
x + 2y – 2z + 1 = 0. Tämän tason tunnettu piste on (1, 1, 2). Sen etäisyys toisesta ta1+ 2 − 4 − 6 7
1
sosta on d =
= . Tasojen välimatka on siis 2
3
3
1+ 4 + 4
D
5.
Oheisen kuvan pisteet A, B, C ja D ovat avaruuden
neljä pistettä ja E ja F ovat vastaavien janojen keski→
→
1 →
pisteet. Osoita, että EF = ( AD+ BC ) .
2
Ratkaisu:
Kiertämällä eri kautta saadaan vektoriyhtälöt
F
A
C
E
B
© Lukion Calculus 3
4
Vektorit (MAA5)
Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
→
→
→
→
→
→
→
→
EF = EA+ AD + DF
EF = EB + BC + CF
Kun yhtälöt lasketaan puolittain yhteen, vastavektorit kumoavat toisensa ja päädy→
→
1 →
tään tulokseen EF = ( AD+ BC ) .
2
6.
Pisteiden A(3, –2, 0) ja B(–1, 2, 4) kautta kulkeva suora ja pisteiden C(0, 1, –1) ja
D(5, –4, 4) kautta kulkeva suora leikkaavat toisensa.
a) Laske suorien leikkauspiste.
b) Laske suorien välinen kulma.
Ratkaisu:
a) Suoran AB suuntavektori on s AB = −4i + 4 j + 4k ja suoralla on parametriesitys
x = 3 – 4t, y = –2 +4t, z = 4t, t ∈ R . Vastaavasti suoran CD suuntavektori on
s CD = 5i − 5 j + 5k ja parametriesitys x = 5s, y = 1 – 5s, z = –1 + 5s, s ∈ R . Yhtei5s
⎧ 3 − 4t =
⎪
sessä pisteessä toteutuu yhtälöryhmä ⎨− 2 + 4t = 1 − 5s Sen toteuttavat parametrit
⎪⎩
4t = −1 + 5s.
1
2
t = ja s = . Yhteiseksi pisteeksi tulee (2, –1, 1).
4
5
1
− 20 − 20 + 20
b) Lasketaan suuntavektoreiden välinen kulma: cos α =
= − , josta
3
4 3 ⋅5 3
α ≈ 109,5° . Suorien välinen kulma on noin 70,5°.
C
7.
(1)
Oheisen kuvan kolmiossa on AD : DB = 2 : 3 ja
BE : EC = 2 : 1. Missä suhteessa piste F jakaa
a) janan AE, b) janan CD?
E
F
A
Ratkaisu:
→
Jakopistelauseen nojalla AE =
→
→
(2)
D
(2)
(3)
→
2
b + 2c
. Edelleen CD = b − c . Kolmiosta AFC saa3
5
→
→
→
→
C
daan vektoriyhtälö CF = AF − AC eli s CD = t AE − AC .
(1)
E
Sijoitus ja ryhmittely antaa yhtälön
c
2s
2t
t
F
b − s c = b + ( − 1)c . Kertoimien vertailusta syntyy
5
3
3
(2)
2t
2s t
A
D
kaksi yhtälöä,
= ja − s = − 1 . Niiden ratkaisut ovat
3
5 3
2
5
t = ja s = . Tämän nojalla saadaan tulokset.
3
9
(2)
(3)
b
a) Piste F jakaa janan AE suhteessa 2 : 1. b) Piste F jakaa janan CD suhteessa 5 : 4.
© Lukion Calculus 3
B
B
Vektorit (MAA5)
8.
5
Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Osoita, että suorat L1: x = –5 + t, y = t, z = 2 + t ja L2: x = 2 + t, y = 4 – 2t, z = 2t,
t ∈ R , ovat ristikkäiset. Määritä yhtälö tasolle, joka sisältää suoran L1 ja on yhdensuuntainen suoran L2 kanssa.
Ratkaisu:
Suorien L1: x = –5 + t, y = t, z = 2 + t ja L2: x = 2 + t, y = 4 – 2t, z = 2t suuntavektorit
ovat s 1 = i + j + k ja s 2 = i − 2 j + 2k , joten suorat ovat erisuuntaiset. Tutkitaan, on⎧− 5 + t = 2 + s
⎪
ko suorilla yhteistä pistettä eli toteutuuko yhtälöryhmä ⎨
t = 4 − 2s joillakin pa⎪⎩ 2 + t = 2 s
rametrien t ja s arvoilla. Helposti nähdään, että ratkaisua ei ole. Erisuuntaisilla suorilla ei siis ole yhteistä pistettä, joten ne ovat ristikkäiset.
Olkoon tason normaalivektori n = ai + b j + c k . Kun taso sisältää suoran L1, on
n ⋅ s1 = 0 , ja koska taso on L2:n suuntainen, on myös n ⋅ s 2 = 0 . Saadaan yhtälöpari
a + b + c = 0 ja a – 2b + 2c = 0. Näistä a = – 4b ja c = 3b. Normaalivektoriksi voidaan valita n = 4i − j − 3k , joten tason yhtälö on muotoa 4x – y – 3z + d = 0. Koska
L1: n piste (–5, 0, 2) on tasossa, on d = 26. Tason yhtälö on 4x – y – 3z + 26 = 0.
Kertauskoe 2 (MAA5)
1.
Määritä yksikkövektori, joka on samansuuntainen pisteen (7, –4, –4) paikkavektorin
kanssa.
Ratkaisu:
Pisteen (7, –4, –4) paikkavektorin a = 7i − 4 j − 4k kanssa samansuuntainen yksiko
kövektori on a =
a
a
=
7
4
4
i− j− k.
9
9
9
E
C
2.
Oheinen piirros esittää kolmisivuista prismaa OABCDE. Sen
pohjat ovat yhtenevät ja yhdensuuntaiset. Särmävektorit a , b
ja c on valittu kuvan osoittamalla tavalla, ja piste P on sivu-
c
D
P
→
tahkon ABED lävistäjien leikkauspiste. Lausu vektori OP
vektoreita a , b ja c käyttäen.
B
O
b
a
A
Ratkaisu:
→
OP saadaan lisäämällä pohjatahkon mediaanivektoriin vektori
→
OP =
1
c eli
2
1
1
1
( a + b) + c = ( a + b + c ) .
2
2
2
© Lukion Calculus 3
6
3.
Vektorit (MAA5)
Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Suunnikkaan yhtenä sivuna on vektori 4i + 3 j ja toisena lävistäjänä samasta pisteestä alkava vektori 5i + 10 j . Laske suunnikkaan lyhyemmän lävistäjän pituus.
Ratkaisu:
Jos suunnikkaan sivuvektorit ovat kuvan mukaisesti a = 4i + 3 j
d
ja b , lävistäjänä on vektori d = 5i + 10 j = a + b . Silloin b = i + 7 j
b
c
ja toinen lävistäjä a − b = 3i − 4 j . Se on lyhyempi lävistäjä ja sen
pituus on 5.
4.
a
Laske vektorin 2a + 3b pituus, kun a = 2 , b = 3 ja ∠( a, b) = 120° .
Ratkaisu:
2
2a + 3b = ( 2a + 3b) 2 = 4a + 12a ⋅ b + 9b
2
= 4 ⋅ a + 12 a b cos( a, b) + 9 b
→
5.
2
2
1
2
= 4 ⋅ 4 + 12 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ( − ) + 9 ⋅ 9 = 61
→
B
Kolmiossa OAB on OA = a , OB = b , a = 2 b , piste
b
C on sivun OA keskipiste ja piste D jakaa janan AB
suhteessa 2 : 1. Osoita, että OD on kohtisuorassa
BC:tä vastaan.
(1)
D
(2)
O
C
a
A
Ratkaisu:
→
Oletuksista seuraa, että BC =
→
1
a + 2b
a − b ja OD =
. Silloin
3
2
→
→
1
1
BC ⋅ OD = ( a − b) ⋅ (a + 2b)
2
3
2
1 1 2
= ( a + a ⋅ b − b ⋅ a − 2b )
3 2
2
2
2
1 1 2
1 1
= ( a − 2 b ) = ( ⋅ 4 b − 2 b ) = 0.
3 2
3 2
Saatu tulos merkitsee, että OD on kohtisuorassa BC:tä vastaan.
6.
x + 2 y −1
x − 4 y −1 z + 2
leikkaavat toisensa
=
= z − 3 ja
=
=
−1
−3
−6
2
2
ja laske suorien välinen kulma.
Osoita, että suorat
Ratkaisu:
x − 4 y −1 z + 2
x + 2 y −1
Suorien
suuntavektorit ovat
=
= z − 3 ja
=
=
2
−1
2
−3
−6
− i + 2 j + k ja − 3i − 6 j + 2k . Koska ne eivät ole yhdensuuntaisia, suorat leikkaavat
toisensa tai ovat ristikkäiset. Suorien parametriesitykset ovat x = –2 – t, y = 1 + 2t,
z = 3 + t, t ∈ R ; x = 4 – 3s, y = 1 – 6s, z = –2 + 2s, s ∈ R . Jos suorilla on yhteinen
© Lukion Calculus 3
Vektorit (MAA5)
Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
7
⎧− 2 − t = 4 − 3s
⎪
piste, yhtälöryhmä ⎨ 1 + 2t = 1 − 6 s toteutuu jollakin parametriparilla t, s. Näin
⎪⎩ 3 + t = −2 + 2 s
käy, kun t = –3 ja s = 1. Siis suorat leikkaavat toisensa.
Lasketaan suuntavektoreiden välinen kulma: cos α =
3 − 12 + 2
6 ⋅7
=−
1
6
, josta
α ≈ 114,1° . Suorien välinen kulma on noin 65,9°.
7.
Mikä tason 2x – y – 3z + 7 = 0 piste on lähinnä pistettä (3, 2, –1)? Laske tämä lyhin
välimatka.
Ratkaisu:
Tason 2x – y – 3z + 7 = 0 piste, joka on lähinnä pistettä (3, 2, –1), on tämän pisteen
kautta kulkevan tason normaalin ja tason leikkauspiste. Kyseisen suoran suuntavektori on tason normaalivektori 2i − j − 3k . Koska suora kulkee pisteen (3, 2, –1) kautta suoran parametriesitys on x = 3 + 2t, y = 2 – t, z = –1 – 3t, t ∈ R . Sijoitus tason
yhtälöön antaa 2(3 + 2t) – (2 – t) – 3(–1 – 3t) + 7 = 0, josta t = –1. Pisteeksi saadaan
(1, 3, 2).
Lyhin välimatka on
8.
(3 − 1) 2 + ( 2 − 3) 2 + (−1 − 2) 2 = 14 ≈ 3,7 .
Kuution muotoinen rakennus on vaakasuoralla maalla. Ajatellaan koordinaatisto sijoitetuksi niin, että kuution kolme särmää on positiivisilla koordinaattiakseleilla ja
maanpintaa edustaa xy-taso. Auringon säteiden suunta tietyllä hetkellä on
s = i + 2 j − 2k . Määritä rakennuksen varjon muoto, kun kuution särmä on 5,0 m.
Ratkaisu:
Pisteen (5, 0, 5) kautta kulkeva valonsäde on suora x = 5 + t, y = 2t, z = 5 – 2t, t ∈ R .
1
2
Kun asetetaan z = 0, saadaan t = 2 . Silloin x = 7
1
2
ja y = 5. Tuloksena on piste
1
2
( 7 , 5, 0). Vastaavasti kärjen (5, 5, 5) kautta kulkevalle suoralle saadaan xy-tason
1
2
pisteeksi ( 7 , 10, 0). Kärjen (0, 5, 5) kautta kulkeva suora puolestaan leikkaa xytason pisteessä ( 2
1
2
10, 0). Nämä kolme pistettä yhdessä pisteiden (5, 0, 0), (5, 5, 0)
ja (0, 5, 0) kanssa määräävät kuvaan piirretyn varjomonikulmion.
z
5
5
5
y
x
© Lukion Calculus 3