Vektoreilla_laskeminen

PERUSKÄSITTEITÄ
VEKTOREISTA
• vektoriin liittyy 1) pituus ja 2) suunta,
mutta ei mitään tiettyä paikkaa
• vektorit ovat SAMAT eli IDENTTISET
täsmälleen silloin, kun niillä on sama
pituus ja sama suunta
a  b  a  b  a  b
1
a b
1) yhdensuuntaiset
vektorit
a  b
a) samansuuntaiset
vektorit
a  b
b) vastakkaissuuntaiset
vektorit
a
b
2) erisuuntaiset vektorit
2
• vektori, jonka pituus on nolla, on
NOLLAVEKTORI 0
• nollavektorin suunta on määrittelemätön
• vektori, joka ei ole nollavektori, on AITO
VEKTORI
• vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan
vastaan, jos niiden samasta pisteestä
alkavat edustajat muodostavat keskenään
suoran kulman: merkitään
ab
3
VEKTOREIDEN SUMMA
• Vektoreiden summa a  b
on vektori, jonka
alkupiste on a : n
alkupiste ja loppupiste b : n
loppupiste, kun
vektorit asetetaan
peräkkäin.
ab
a
• Summavektori saadaan
myös sellaisen
suunnikkaan lävistäjänä,
jonka sivuina ovat vektorit
.
a ja b
• Vektoreiden summaa
sanotaan resultantiksi ja
yhteenlaskettavia
komponenteiksi.
b
b
ab
a
4
VEKTOREIDEN EROTUS
• Vektoreiden a ja b
erotus saadaan, kun
vektoriin a lisätään b : n
vastavektori  b .
• Toisin sanoen
a  b  a  (b)
b
a
a b
• Erotusvektori a  b on myös
vektoreiden kärkiä yhdistävä
vektori, kun vektorit on
piirretty alkamaan samasta
pisteestä.
• Tällöin erotusvektorin kärki
osoittaa erotuksen
ensimmäistä jäsentä eli
vähenevää.
b
a b
b
a
5
YHTEENLASKUN LASKULAIT
• Vaihdantalaki
a b  ba
• Liitäntälaki
a  (b  c)  (a  b)  c  a  b  c
6
SULJETTU REITTI
• Suljetulla reitillä
vektoreiden summa
on nollavektori 0 .
c
d
c
b
a bcd  0
d
b
a
a
7
VEKTORIN KERTOMINEN
LUVULLA
Reaaliluvun k  0 ja aidon vektorin a
tulo on vektori, joka täyttää ehdot
ka  k a
1) pituus
2) suunta k a  a, k  0
•

k a  a, k  0
Jos k = 0 tai a  0
, sovitaan, että
k a  0.
8
VEKTOREIDEN
YHDENSUUNTAISUUS
a b  a  kb
k  0, k  R
yhdensuuntaisuus
k  0, k  R
samansuuntaisuus
k  0, k  R
vastakkaissuuntaisuus
9
YKSIKKÖVEKTORI
• Vektoria, jonka pituus on yksi, sanotaan
yksikkövektoriksi.
• Vektorin a suuntaisesta yksikkövektorista
0
käytetään merkintää a
• Yksikkövektori saadaan jakamalla vektori
omalla pituudellaan
0
a 
a
a
10
VEKTOREIDEN
KERTOLASKULAIT
• Liitäntälaki
t ( s a )  (ts)a
• Osittelulait
(t  s )a  t a  s a
t ( a  b)  t a  t b
11
KOMPONENTIT JA KANTA
• Vektoreiden summa on RESULTANTTI ja
yhteenlaskettavat ovat KOMPONENTTEJA.
• Erisuuntaisten vektoreiden a  0 ja b  0
määräämän tason jokainen vektori v voidaan
esittää vektoreiden a ja b lineaarisena
yhdistelynä
v  t a  sb; t , s  R
a
v
b
ta
sb
• Vektorit a ja b muodostavat tason KANNAN ja
niitä sanotaan KANTAVEKTOREIKSI.
12
JAKOSUHDEVEKTORI
• Pisteen paikkavektori on origon ja pisteen
yhdysvektori. Se alkaa origosta ja päättyy
kyseiseen pisteeseen.
• Piste P jakaa janan AB suhteessa q : p
• Jakopisteen P paikkavektoria OP kutsutaan
janan jakosuhdevektoriksi.
B
p a  qb
OP 
pq
( p)
P
(q )
b
A
a
O
13
KOLMION MEDIAANI- ELI
KESKIJANAVEKTORI
p a  qb
OP 
pq
• Kun janan jakopistelauseessa
piste P on janan AB keskipiste, on
q=p=1, jolloin
ab
OP 
2
B
(1)
P
(1)
b
A
a
O
• Kyseessä on kolmion mediaani- eli
keskijanavektori.
14
VEKTORIT
TASOKOORDINAATISTOSSA
• Kantavektorit i ja j , i  j , i  1 , j  1
• Vektori r  xi  y j on pisteen P (x, y) paikkavektori OP
• Tason pisteet ja paikkavektorit vastaavat täysin
toisiaan
• Paikkavektorin r pituus on r  x  y
2
2
y
P ( x, y )
yj
r  xi  y j
j
O i
x
xi
15
KAHDEN PISTEEN VÄLINEN
VEKTORI
y
OA  x1 i  y1 j
B( x2 , y2 )
OB  x2 i  y2 j
AB  AO  OB  OA  OB
  x1 i  y1 j  x2 i  y2 j
 ( x2  x1 )i  ( y2  y1 ) j
x
O
A( x1 , y1 )
AB  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
16
VEKTOREIDEN VÄLINEN KULMA
a  b  (a, b)  0
0
a
(a, b) on terävä
a  b  (a, b)  90
b
b
a
0
b
a
(a, b) on tylppä
a  b  (a, b)  180
b
a
0
b
a
17
PISTETULO ELI SKALAARITULO
a  b  a b cos( a, b)
a  0, b  0
a b  0
00  kulma(a, b)  900
a b  0
90 0  kulma(a, b)  180 0
a b  0
kulma(a, b)  90 0
a  0  b  0  a b  0
18
VEKTOREIDEN VÄLINEN KULMA
cos  
a b
ab
00    900 : cos   0, a  b  0
  900 : cos   0, a  b  0
900    1800 : cos   0, a  b  0
19
PISTETULON JA VEKTORIEN
KOHTISUORUUDEN YHTEYS
a  b  a b  0
a  0, b  0
PISTETULON JA VEKTORIN
PITUUDEN VÄLINEN YHTEYS
2
2
a  a  a a cos 0  a 1  a 
0
a 
aa
20
PISTETULON ALGEBRALLINEN
ESITYS
a  b  (ax i  a y j )  (bx i  by j )  axbx  a y by
MUISTIKAAVAT
2
( a  b)  ( a  b)  a  b
2
2
2
2
2
( a  b)  a  2a  b  b
2
( a  b)  a  2a  b  b
2
21
PISTETULON LASKULAIT
a b  b  a
a  (b  c)  a  b  a  c
a  (t b)  t (a  b)
22
VEKTORIT
AVARUUSKOORDINAATISTOSSA
Kantavektorit
i, i  1
j, j  1
z
P
r  OP  xi  y j  z k
zk
O
k, k  1
y
xi
yj
x
r  x2  y2  z 2
23
KAHDEN PISTEEN VÄLINEN
VEKTORI AVARUUDESSA
z
B( x2 , y2 , z2 )
OA  x1 i  y1 j  z1 k
OB  x2 i  y2 j  z 2 k
A( x1 , y1 , z1 )
AB  AO  OB  ( x1 i  y1 j  z1 k )  x2 i  y2 j  z 2 k
y
O
 ( x2  x1 )i  ( y2  y1 ) j  ( z 2  z1 ) z
x
AB  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z 2  z1 )
2
2
2
24
AVARUUSVEKTOREIDEN
PISTETULO
a  ax i  a y j  az k
b  bx i  by j  bz k
Pistetulo
a  b  axbx  a y by  az bz
25
JANAN KESKIPISTE
AVARUUDESSA
Janan AB päätepisteet ovat
A  ( x1 , y1 , z1 ) ja B  ( x2 , y2 , z 2 ).
Tällöin janan AB keskipiste on
x1  x2 y1  y2 z1  z 2
M  ( x0 , y0 , z0 )  (
,
,
)
2
2
2
26
AVARUUSSUORAN YHTÄLÖT:
JOHTAMINENz
OP  OP0  t s
ts
OP  OP0  P0 P  OP0  t s, t  R
Koska s  s x i  s y j  s z k , saadaan
xi  y j  z k  x0 i  y0 j  z0 k  t ( s x i  s y j  s z k )
P0  ( x0 , y0 , z0 )
xi  y j  z k  ( x0  tsx )i  ( y0  ts y ) j  ( z0  tsz )k ,
s
josta kantavektoriesityksen ollessa yksikäsitteinen :
 x  x0  tsx

 y  y0  tsy
 z  z  ts
0
z

y
Ratkaistaan t :
O
 tsx  x  x0

ts y  y  y0
 ts  z  z
0
 z

x  x0
t 
sx

 y  y0
, joten
t 
sy

z  z0

t  s
z

x  x0 y  y0 z  z0


sx
sy
sz
P  ( x, y , z )
x
P0  ( x0 , y0 , z0 )  suoran
annettu piste
P  ( x, y, z )  suoran
yleinen piste
s  s x i  s y j  s z k  suoran
suuntavektori
27
AVARUUSSUORAN YHTÄLÖT
KOONTA
1) Vektoriyhtälö
OP  OP0  t s
P0  ( x0 , y0 , z0 )  suoran
2) Parametrimuoto
 x  x0  tsx

 y  y0  tsy
 z  z  ts
0
z

annettu piste
P  ( x, y, z )  suoran
yleinen piste
s  s x i  s y j  s z k  suoran
suuntavektori
3) Koordinaattiyhtälö
x  x0 y  y0 z  z0


sx
sy
sz
28
TASON YHTÄLÖT
1) Erisuuntaisten vektoreiden
määrittämä taso (tai toisin: kolmen
pisteen määräämä taso)
P(x,y,z)
sv
P0(x0,y0,z0)
tu
P0 P  t u  s v, t, s  R
z
OP  OP0  P0 P
y
O
Tason vektorimuotoinen yhtälö:
x
OP  OP0  t u  sv, t, s  R
29
TASON YHTÄLÖT
2) Pisteen ja normaalivektorin
määräämä taso
n  ai  b j  c k
P(x,y,z)
P0 P  ( x  x0 )i  ( y  y0 ) j  ( z  z0 )k
P(x0,y0,z0)
Tason koordinaattimuotoinen yhtälö:
O
n _ P0 P
n  P0 P  0
ai  b j  ck  ( x  x )i  ( y  y ) j  ( z  z )k   0
0
0
0
a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0
30
TASON YHTÄLÖT
3) Tason normaalimuotoinen yhtälö:
Tason koordinaattimuodosta
a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0
saadaan :
ax  ax0  by  by0  cz  cz0  0
ax  by  cz  ax0  by0  cz0  0,
merkitään  ax0  by0  cz0  vakio d
ax  by  cz  d  0
31