Osa 5

Luku 5
Löwenheimin ja Skolemin lause,
kompaktisuuslause
Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen)
seurauksiin.
Löwenheimin ja Skolemin lause
Sanomme, että kaavajoukko Φ ⊆ LS on toteutuva joukossa B, jos on olemassa
S-tulkinta I = (A, β), jonka universumi on B, ja jolla pätee I |= Φ.
Löwenheimin ja Skolemin lauseesta on useita eri versioita. Ensimmäinen näistä
on seuraavanlainen:
Lause 5.1 (Numeroituva Löwenheim-Skolem) Jos Φ ⊆ LS on numeroituva
toteutuva kaavajoukko, niin se on toteutuva jossakin numeroituvassa tai äärellisessä joukossa.
Todistus. Oletetaan, että Φ ⊆ LS on numeroituva ja toteutuva. Koska jokaisessa
kaavassa ϕ ∈ Φ esiintyy vain äärellinen määrä eri symboleja X ∈ S, on joukko
S ∗ := {X ∈ S | X esiintyy jossain ϕ ∈ Φ} numeroituva. Nyt Φ ⊆ LS ∗ ja Φ on
toteutuva, joten se on ristiriidaton.
Lauseen 4.16 ehdot ovat siis voimassa, ja sen todistuksesta (Apulauseet 4.12, 4.13,
Seuraukset 4.11, 4.14) nähdään, että on olemassa numeroituva S � ja Θ ⊆ LS � s.e.
I Θ |= Φ. Määritelmän 4.3 mukaan tulkinta I Θ on muotoa (A, β), missä mallin A
universumi on A = {[t] | t ∈ TS � }. Koska S � on numeroituva, on TS � numeroituva.
Edelleen, kuvaus TS � → A, t �→ [t], on selvästi surjektio, joten A on numeroituva
tai äärellinen.
�
Merkitsemme jatkossa joukon A mahtavuutta symbolilla card(A). Käyttämällä
täydellisyyslauseen yleisen muodon todistusta, edellinen lause voidaan yleistää
seuraavasti:
Lause 5.2 (Alaspäinen Löwenheim-Skolem) Jos Φ ⊆ LS on toteutuva kaavajoukko, niin se on toteutuva jossakin joukossa A, jolla card(A) ≤ card(LS ).
41
Todistus. Oletetaan, että Φ ⊆ LS on toteutuva. Tällöin Φ on ristiriidaton, ja
Seurauksen 4.19 todistuksesta
nähdään, että Φ on toteutuva S � -tulkinnassa I Θ =
�
�
(A, β), missä S = i∈N Si . Edelleen S0 = S ja kullakin i ∈ N joukko Si+1 on
saatu joukosta Si lisäämällä uusi vakiosymboli c∃xϕ jokaista muotoa ∃xϕ olevaa
LSi -kaavaa kohti. Nyt jokaisella i ∈ N pätee
card(TSi+1 ) = card(TSi ) + card({c∃xϕ | ∃xϕ ∈ LSi })
= card(TSi ) + card(LSi )
= card(LSi ).
Toisaalta koska Si+1 ei sisällä enempää relaatio-symboleja kuin Si , voidaan helposti osoittaa, että card(LSi+1 ) = card(TSi+1 ) jokaisella i ∈ N. Induktiolla voidaan
nyt todistaa, että card(TSi+1 ) = card(LS ) jokaisella i ∈ N. Koska TS � on yhdiste
joukoista TSi , tästä seuraa edelleen, että card(TS � ) = card(LS ).
Kaavajoukko Φ on siis tosi S � -tulkinnassa I Θ = (A, β), missä mallin A universumi on ekvivalenssiluokkien joukko A = {[t] | t ∈ TS � }. Ylläolevan perusteella
card(A) ≤ card(TS � ) = card(LS ).
�
Kompaktisuuslause
Annamme kompaktisuuslauseelle kaksi eri muotoilua:
Lause 5.3 (Kompaktisuuslause) Olkoon Φ ⊆ LS ja ϕ ∈ LS .
(a) Φ on toteutuva jos ja vain jos jokainen äärellinen Φ0 ⊆ Φ on toteutuva.
(b) Φ |= ϕ jos ja vain jos Φ0 |= ϕ jollain äärellisellä Φ0 ⊆ Φ.
Todistus. (a) Jos Φ on toteutuva, on olemassa S-tulkinta I s.e. I |= Φ. Tällöin
I |= Φ0 jokaisella (äärellisellä) Φ0 ⊆ Φ.
Oletetaan sitten, että jokainen äärellinen Φ0 ⊆ Φ on toteutuva. Tällöin Apulauseen 4.4 perusteella jokainen äärellinen Φ0 ⊆ Φ on ristiriidaton, ja edelleen
Apulauseen 4.3 nojalla Φ on ristiriidaton. Lauseesta 4.19 seuraa nyt, että Φ on
toteutuva.
(b) Selvästi Φ |= ϕ jos ja vain jos Φ ∪ {¬ϕ} ei ole toteutuva. Kohdan (a) perusteella tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että Φ0 ∪ {¬ϕ} ei ole toteutuva jollain
äärellisellä Φ0 ⊆ Φ. Tämä on puolestaan yhtäpitävää sen kanssa, että Φ0 |= ϕ
jollain äärellisellä Φ0 ⊆ Φ.
�
Kompaktisuuslauseella on lukuisia mielenkiintoisia seurauksia. Tyypillisesti sen
avulla todistetaan, että monia keskeisiä matemaattisia käsitteitä ei voi määritellä
predikaatilogiikan kaavoilla tai kaavajoukoilla.
Täydennämme kompaktisuuslauseen avulla aluksi Löwenheim-Skolem tyyppisten
tulosten luetteloa.
42
Lause 5.4 Olkoon Φ ⊆ LS kaavajoukko. Jos Φ on toteutuva mielivaltaisen suurissa äärellisissä joukoissa, niin se on toteutuva myös jossakin äärettömässä joukossa.
Todistus. Määritellään kullakin n ∈ N lause ϕ≥n ∈ L∅ seuraavasti:
ϕ≥n := ∃x1 . . . ∃xn
�
1≤i<j≤n
¬xi ≈ xj .
Selvästi jokaisellla S-mallilla A pätee tällöin A |= ϕ≥n ⇐⇒ card(A) ≥ n.
Tarkastellaan nyt kaavajoukkoa Ψ := Φ ∪ {ϕ≥n | n ∈ N}. Olkoon Ψ0 joukon Ψ
äärellinen osajoukko. Tällöin on olemassa m ∈ N, jolla Ψ0 ⊆ Φ ∪ {ϕ≥n | n ≤ m}.
Oletuksen perusteella on olemassa S-tulkinta I0 = (A0 , β0 ), jolla I0 |= Φ ja
card(A0 ) ≥ m. Mutta tällöin I0 |= ϕ≥n jokaisella n ≤ m, ja siten I0 |= Ψ0 .
Olemme siis osoittaneet, että jokainen joukon Ψ äärellinen osajoukko on toteutuva, joten kompaktisuuslausen nojalla on olemassa I = (A, β), jolla I |= Ψ. Nyt
I |= Φ ja card(A) ≥ n jokaisella n ∈ N, joten A on ääretön.
�
Lause 5.5 (Ylöspäinen Löwenheim-Skolem) Olkoon Φ ⊆ LS on kaavajoukko, joka on toteutuva äärettömässä joukossa ja olkoon B joukko. Tällöin Φ on
toteutuva jossakin joukossa A, jolla card(A) ≥ card(B).
Todistus. Kiinnitetään vakiosymbolit cb , b ∈ B; oletamme tässä, että cb �∈ S ja
cb �= cb� , kun b, b� ∈ B ja b �= b� . Tarkastellaan kaavajoukkoa
Ψ := Φ ∪ {¬cb ≈ cb� | b, b� ∈ B, b �= b� }.
Osoitetaan ensin kompaktisuuslauseen avulla, että Ψ on toteutuva. Oletetaan
siis, että Ψ0 ⊆ Ψ on äärellinen. Tällöin on olemassa äärellinen B0 ⊆ B, jolla
pätee Ψ0 ⊆ Φ ∪ {¬cb ≈ cb� | b, b� ∈ B0 , b �= b� }. Oletuksen mukaan on olemassa
S-tulkinta I0 = (C, γ), jonka universumi C on ääretön. Koska C on ääretön, I0
voidaan laajentaa S ∪ {cb | b ∈ B0 }-tulkinnaksi I0� = (C� , γ) valitsemalla jokaiselle
�
cb , b ∈ B0 , eri tulkinnat cCb ∈ C. Tällöin on selvää, että I0� |= Φ ja I0� |= ¬cb ≈ cb�
kaikilla b, b� ∈ B0 s.e. b �= b� , joten I0� |= Ψ0 .
Kaavajoukko Ψ on siis toteutuva, eli on olemassa S ∪ {cb | b ∈ B0 }-tulkinta
I � = (A� , β), jolla I |= Ψ. Koska I � |= ¬cb ≈ cb� kaikilla eri alkioilla b, b� ∈ B, on
�
kuvaus B → A� , b �→ cAb , injektio, joten card(A� ) ≥ card(B). Edelleen tulkinnasta
I � saadaan S-tulkinta I = (A, β) jättämällä vakiosymbolien cb , b ∈ B, tulkinnat
pois. Nyt nähdään, että I |= Φ ja card(A) = card(A� ) ≥ card(b), sillä A = A� . �
Lause 5.6 (Löwenheim-Skolem-Tarski) Olkoon Φ ⊆ LS on kaavajoukko, joka on toteutuva äärettömässä joukossa, ja olkoon κ ≥ card(Φ) ääretön kardinaali.
Tällöin Φ on toteutuva jossakin joukossa A, jolla card(A) = κ.
Todistus. Ylöspäisen Löwenheimin ja Skolemin lauseen persuteella Φ on toteutuva jossakin joukossa C, jolla card(C) ≥ κ. Olkoon B joukko, jolla card(B) = κ,
43
ja olkoon S � := S ∪ {cb | b ∈ B}, missä vakiosymbolit cb , b ∈ B, ovat kuten
Lauseen 5.5 todistuksessa. Tarkastellaan S � -kaavajoukkoa
Ψ := Φ ∪ {¬cb ≈ cb� | b, b� ∈ B, b �= b� }.
Koska card(Φ) ≤ κ, on selvästi card(LS � ) = κ. Siispä alaspäisen Löwenheimin ja
Skolemin lauseen perusteella on olemassa S � -tulkinta I � = (A� , β), jolla I � |= Ψ
ja card(A� ) ≤ κ. Toisaalta, kuten Lauseen 5.5 todistuksessa nähdään taas, että
card(A� ) ≥ card(B) = κ, joten card(A� ) = κ. Jättämällä mallista A� taas pois
vakiosymbolien cb , b ∈ B, tulkinnat, saadaan S-tulkinta I = (A, β), jolla pätee
I |= Φ ja card(A) = card(A� ) = κ.
�
Tarkastellaan vielä lopuksi yhtä esimerkkiä kompaktisuuslauseen soveltamisesta
graafiteoriassa. Tässä graafi on {E}-malli G = (V, E G ), jonka särmärelaatio E G
on symmetrinen ja irrefleksiivinen solmujen joukossa V .
Esimerkki 5.1 Graafin G = (V, E G ) k-väritys on joukon V jako erillisiin osajoukkoihin1 U1 , . . . , Uk s.e. kaikilla u, v ∈ V ja i ∈ {1, . . . k} pätee ehto:
(∗) jos u, v ∈ Ui , niin (u, v) �∈ E G .
Idea on siis, että graafin G solmut on jaettu värien mukaan luokkiin Ui , ja jos
solmujen u ja v välillä on särmä, niin niiden on oltava erivärisiä. Graafi G on
k-värittyvä, jos sillä on olemassa k-väritys.
Graafien k-väritykset voidaan määritellä predkaattilogiikan lauseilla seuraavasti:
Olkoot P1 , . . . , Pk 1-paikkaisia relaatiosymboleja, ja olkoon ϕkC lauseiden
ϕ := ∀x∀y(Exy
→ Eyx)
��
�
� ∧ ∀x¬Exx,
ψ := ∀x �
1≤i≤k Pi x ∧
1≤i<j≤k ¬(Pi x ∧ Pj x) , ja
θ := ∀x∀y 1≤i≤k (Pi x ∧ Pi y → ¬Exy)
konjunktio. Tällöin jokaisella E ∪ {P1 , . . . , Pk }-mallilla A pätee:
A |= ϕ joss (A, E A ) on graafi,
A |= ψ joss P1A , . . . , PkA on joukon A jako erillisiin osajoukkoihin, ja
A |= θ joss joukot PiA toteuttavat ehdon (∗) kaikilla a, b ∈ A.
Siispä A |= ϕkC jos ja vain jos (A, E A ) on graafi, ja P1A , . . . , PkA on sen k-väritys.
Väite: Graafi G on k-värittyvä jos ja vain jos sen jokainen äärellinen alimalli (eli
indusoitu aligraafi) on k-värittyvä.
Osoitetaan ensin, että jos graafi G on k-värittyvä, niin jokainen alimalli G0 ⊆ G
on myös k-värittyvä. Oletetaan tätä varten, että joukot U1 , . . . , Uk muodostavat graafin G k-värityksen. Jos G0 = (V0 , E G0 ) on graafin G alimalli, niin on
helppo todeta, että joukot U1 ∩ V0 , . . . , Uk ∩ V0 muodostavat tällöin graafin G0
k-värityksen.
Oletetaan sitten, että jokainen äärellinen G0 ⊆ G on k-värittyvä. Otetaan taas
käyttöön uudet vakiosymbolit cv , v ∈ V , ja 1-paikkaiset relaatiosymbolit P1 , . . . , Pn .
1. Siis
�
1≤i≤k
Ui = V ja Ui ∩ Uj = ∅ aina kun 1 ≤ i < j ≤ k.
44
Olkoon S � symbolijoukko {E} ∪ {cv | v ∈ V } ∪ {P1 , . . . , Pk }. Määritellään lausejoukko Φ ⊆ LS � seuraavasti:
Φ := {ϕkC }∪{Ecu cv | (u, v) ∈ E G }∪{¬Ecu cv | (u, v) �∈ E G }∪{¬cu ≈ cv | u �= v}.
Nyt riittää osoittaa, että Φ on toteutuva. Jos nimittäin A |= Φ, niin (A, E A ) on
k-värittyvä graafi, koska A |= ϕkC . Tällöin myös sen alimalli B = (B, E A ∩ B 2 ),
missä B := {cAv | v ∈ V }, on ylläolevan päättelyn nojalla k-värittyvä. Koska
A |= Ecu cv joss (u, v) ∈ E G , on suoraviivaista todeta, että kuvaus f : V → B,
v �→ cAv , on tällöin isomorfismi G → B, joten myös G on k-värittyvä.
Todistetaan lopuksi lausejoukon Φ toteutuvuus kompaktisuuslauseen avulla. Oletetaan tätä varten, että Φ0 ⊆ Φ on äärellinen. Tällöin on olemassa äärellinen
V0 ⊆ V s.e. kaikki joukon Φ0 lauseissa esiintyvät vakiosymbolit ovat joukossa
{cv | v ∈ V0 }. Olkoon G0 = (V0 , E G0 ) joukon V0 määräämä graafin G alimalli.
Oletuksen mukaan G0 on k-värittyvä, joten on olemassa sen k-väritys U1 , . . . , Uk .
G�
Siis G�0 |= ϕkC , missä G�0 on saatu graafista G0 lisäämällä tulkinnat Pi 0 = Ui ,
1 ≤ i ≤ k. Selvästi myös G�0 |= Ecu cv aina kun Ecu cv ∈ Φ0 , ja sama pätee myös
muotoa ¬Ecu cv ja ¬cu ≈ cv oleville joukon Φ0 lauseille. Siispä G�0 |= Φ0 .
Elementaariset luokat
Olkoon Φ ⊆ LS lausejoukko. Käytämme merkintää
ModS (Φ) := {A | A on S-malli ja A |= Φ}.
Tapauksessa Φ = {ϕ} merkitsemme lyhyesti ModS (ϕ) := ModS ({ϕ}).
Määritelmä 5.1 Olkoon K luokka S-malleja.
(a) K on elementaarinen luokka, jos on olemassa lause ϕ ∈ LS s.e. K = ModS (ϕ).
(b) K on ∆-elementaarinen luokka, jos on olemassa lausejoukko Φ ⊆ LS s.e.
K = ModS (Φ).
Huomaa, että jokainen elementaarinen luokka
� on automaattisesti myös ∆-elementaarinen. Toisaalta selvästi ModS (Φ) = {ModS (ϕ) | ϕ ∈ Φ}, joten jokainen
∆-elementaarinen luokka on elementaaristen luokkien leikkaus.
Monet keskeiset matemaatiset käsitteet eivät ole elementaarisia tai edes ∆-elementaarisia. Yksi tällainen käsite on äärellisyys:
Lause 5.7 Äärellisten S-mallien luokka KSfin ei ole ∆-elementaarinen.
Todistus. Olkoon Φ ⊆ LS lausejoukko. Jos on olemassa A ∈ KSfin s.e. A �|= Φ, niin
KSfin �= ModS (Φ). Oletetaan siis, että A |= Φ jokaisella A ∈ KSfin . Tällöin Lauseen
5.4 perusteella on olemassa ääretön S-malli A s.e. A |= Φ. Koska A �∈ KSfin , tästä
seuraa taas, että KSfin �= ModS (Φ).
�
45
Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkiä elementaarisesta ja ∆-elementaarisesta luokasta. Kaikkien kuntien luokka F on elementaarinen: Kuntien teoria muodostuu
äärellisen monesta aksioomasta (yhteenlaskun + ja kertolaskun · liitännäisyys ja
vaihdannaisuus, neutraalialkiot 0 ja 1, vasta-alkion −x ja käänteisalkion x−1 olemassaolo, sekä osittelulaki). Siis F = ModS (ϕF ), missä S = {+, ·, 0, 1} ja ϕF on
konjunktio näistä aksioomista.
Jokaisella kunnalla F on karakteristika χ(F), joka on pienin (alku)luku p ∈ Z+
s.e. p · 1F = 0F , tai 0, jos tällaista lukua ei ole olemassa. Tässä p · 1F määritellään
rekursiolla: 1 · 1F = 1F ja (n + 1) · 1F = n · 1F + 1F .
Selvästi jokaisella p ∈ Z+ on olemassa lause ψp ∈ LS s.e. F |= ψp ⇐⇒ χ(F) = p.
Siispä luokka Fp = {F | F on kunta ja χ(F) = p} on elementaarinen jokaisella alkuluvulla p. Edelleen luokka F0 = {F | F on kunta ja χ(F) = 0} on ∆elementaarinen, sillä F0 = ModS ({ϕF } ∪ {¬ψp | p ∈ Z+ }).
Toisaalta F0 ei ole elementaarinen. Tämä seuraa välittömästi allaolevasta tuloksesta:
Lause 5.8 Jos ϕ ∈ LS on lause s.e. F0 |= ϕ, niin on olemassa n ∈ Z+ , jolla
Fp |= ϕ aina kun p ≥ n.
Todistus. Oletetaan, että F0 |= ϕ. Tällöin {ϕF } ∪ {¬ψp | p ∈ Z+ } |= ϕ, joten
kompaktisuuslauseen perusteella on olemassa n ∈ Z+ , jolla pätee
{ϕF } ∪ {¬ψp | p < n} |= ϕ.
Jos nyt F on kunta, jolla χ(F) ≥ n, niin F |= {ϕF } ∪ {¬ψp | p < n}, joten F |= ϕ.
Siispä Fp |= ϕ jokaisella p ≥ n.
�
Elementaarinen ekvivalenssi
Määritelmä 5.2 (a) S-mallit A ja B ovat elementaarisesti ekvivalentit, A ≡ B,
jos kaikilla lauseilla ϕ ∈ LS pätee
A |= ϕ ⇐⇒ B |= ϕ.
(b) S-mallin A (täydellinen) teoria on lausejoukko Th(A) := {ϕ ∈ L0S | A |= ϕ}.
Apulause 5.9 Olkoot A ja B S-malleja. Tällöin A ≡ B joss B |= Th(A).
Todistus. Oletetaan ensin, että A ≡ B. Jos ϕ ∈ Th(A), niin A |= ϕ, joten
oletuksen perusteella B |= ϕ. Siispä B |= Th(A).
Oletetaan sitten, että B |= Th(A). Olkoon ϕ ∈ LS . Jos A |= ϕ, niin ϕ ∈ Th(A),
ja siten B |= ϕ. Jos taas A �|= ϕ, niin A |= ¬ϕ, jolloin ¬ϕ ∈ Th(A). Tästä taas
seuraa, että B |= ¬ϕ, ja siis B �|= ϕ. Siispä A ≡ B.
�
46
Huomaa, että elementaarinen ekvivalenssi on selvästi symmetrinen: A ≡ B joss
B ≡ A. Siispä myös pätee ekvivalenssi: B |= Th(A) joss A |= Th(B). Elementaarinen ekvivalenssi on lunnollisesti myös refleksiivinen ja transitiivinen: A ≡ A,
ja jos A ≡ B ja B ≡ C, niin A ≡ C.
Jos A on S-malli, merkitsemme malliluokkia {B | B ∼
= A} ja {B | B ≡ A}
∼
symboleilla KA= ja KA≡ . Osoitamme seuraavaksi, että mitään ääretöntä mallia ei
voi määritellä isomorfiaa vaille yksikäsitteisesti predikaattilogiikan lausejoukolla.
Toisaalta jokainen malli voidaan määritellä elementaarista ekvivalenssia vaille
yksikäsitteisesti.
∼
Lause 5.10 (a) Jos A on ääretön, niin KA= ei ole ∆-elementaarinen.
(b) Luokka KA≡ on ∆-elementaarinen; itse asiassa KA≡ = ModS (Th(A)).
∼
Todistus. (a) Olkoon Φ ⊆ LS lausejoukko. Osoitetaan, että KA= �= ModS (Φ). Jos
A �|= Φ, väite on triviaalisti tosi. Oletetaan siis, että A |= Φ. Tällöin ylöspäisen
Löwenheimin ja Skolemin lauseen perusteella on olemassa malli B, jolla B |= Φ
ja card(B) ≥ card(P(A)). Erityisesti card(B) > card(A), joten B ei voi olla
∼
isomorfinen mallin A kanssa. Siispä KA= �= ModS (Φ).
(b) Päättelemme seuraavasti: B ∈ KA≡ joss B ≡ A. Apulauseen 5.9 perusteella
tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että B |= Th(A), eli ehdon B ∈ ModS (Th(A))
kanssa.
�
Seuraus 5.11 Jokaisella äärettömällä mallilla A on olemassa malli B, jolla pätee B ≡ A, mutta B ∼
�= A.
∼
Todistus. Lauseen 5.10 perusteella on olemassa B �∈ KA= s.e. B |= Th(A). Siis
B ≡ A, mutta B ∼
�= A.
�
Erityisesti on olemassa epästandardeja reaalilukujen teorian Th(R) malleja, eli
malleja A ≡ R, jotka eivät ole isomorfisia standardimallin R = (R, +, ·, 0, 1, <)
kanssa. Ei-isomorfisuus voi johtua yksinkertaisesti siitä, että card(A) �= card(R),
mutta on mielenkiintoisempiakin esimerkkejä.
Olkoon S symbolijoukko, joka sisältää yhteenlaskun symbolin +, sekä vakiosymbolit 0 ja 1. Määritellään S-termit n, n ∈ N, rekursiolla seuraavasti:
0=0
n + 1 = n + 1.
Toisin sanoen n on termi, jossa n kappaletta vakiosymbolia 1 summataan yhteen.
Selvästi termin n arvo reaalilukujen järjestetyssä kunnassa R on luonnollinen
luku n: nR = n jokaisella n ∈ N.
Kunta R on tunnetusti Arkhimedeen kunta: jokaisella a ∈ R on olemassa n ∈ N,
jolla pätee a <R nR . Kompaktisuuslauseen avulla on kuitenkin helppo todistaa,
että on olemassa teorian Th(R) malli A, jossa on alkio a, joka ei toteuta ehtoa
a <A nA millään n ∈ N. Tästä seuraa, että A ei voi olla isomorfinen mallin
R kanssa: Suoraviivaisella induktiolla voidaan todistaa, että jos f : A → R on
47
isomorfismi, niin f (nA ) = nR jokaisella n ∈ N. Tällöin pitäisi olla f (a) ≥R nR
jokaisella n ∈ N, mikä on mahdotonta, koska R on Arkhimedeen kunta.
Lause 5.12 On olemassa epästandardi reaalilukujen teorian malli, joka ei ole
Arkhimedeen kunta.
Todistus. Olkoon ρn kaava ¬ x < n kullakin n ∈ N, ja olkoon Φ kaavajoukko
Th(R) ∪ {ρn | n ∈ N}. Osoitetaan kompaktisuuslauseen avulla, että Φ on toteutuva. Jos Φ0 ⊆ Φ on äärellinen, niin on olemassa m ∈ N, jolla Φ0 ⊆ Th(R) ∪ {ρn |
n < m}. Olkoon β mallin R tulkintafunktio, jolla β(x) = m. Tällöin selvästi
(R, β) |= ρn jokaisella n < m, ja (R, β) |= Th(R), joten (R, β) |= Φ0 .
Siispä on olemassa tulkinta I = (A, γ), jolla I |= Φ. Erityisesti I |= ρn jokaisella
n ∈ N, joten mallissa A ei päde a <A nA millään n ∈ N, missä a = γ(x).
�
Huomaa, että kaavajoukko Φ Lauseen 5.12 todistuksessa on numeroituva, joten
Löwenheimin, Skolemin ja Tarskin lauseen nojalla tällainen epästandardi reaalilukujen teorian malli voidaan muodostaa missä hyvänsä äärettömässä mahtavuudessa κ.
Samalla tavalla nähdään, että on olemassa epästandardeja aritmetiikan malleja,
eli malleja A |= Th(N), joilla A ∼
�= N, missä N = (N, +, ·, 0, 1) on aritmetiikan
standardimalli.
Lause 5.13 (Skolemin lause) On olemassa numeroituva epästandardi aritmetiikan malli.
Todistus. Olkoon σn := ¬ x ≈ n, n ∈ N, ja olkoon Ψ := Th(N)∪{σn | n ∈ N}. Jos
Ψ0 ⊆ Ψ on äärellinen, niin on olemassa m ∈ N, jolla Ψ0 ⊆ Th(N) ∪ {σn | n < m}.
Selvästi (N, β) |= Th(N) ja (N, β) |= σn jokaisella n < m, ja siten (N, β) |= Ψ0 ,
kun β(x) = m.
Kaavajoukon Ψ jokainen äärellinen osajoukko on siis toteutuva, joten kompaktisuuslauseen nojalla Ψ on toteutuva. Numeroituvasta Löwenheimin ja Skolemin
lauseesta seuraa nyt, että on olemassa {+, ·, 0, 1}-tulkinta I = (A, γ), jolla I |= Ψ,
ja A on numeroituva. Siis A on numeroituva aritmetiikan malli.
Osoitetaan vielä lopuksi, että A ∼
�= N. Tehdään vastaoletus: g : A ∼
= N on isomorfismi. Helpolla induktiolla nähdään, että tällöin g(nA ) = nN = n jokaisella n ∈ N.
Olkoon a = γ(x) ∈ A, ja olkoon m = g(a) ∈ N. Koska I |= σm , on a �= mA .
Toisaalta g(a) = m = mN = g(mA ), joten g ei ole injektio, eikä siten voi olla
isomorfismi.
�
Jokainen teorian Th(N) malli N sisältää aina standardiosan AN := {nA | n ∈ N}
(mallin A standardit luonnolliset luvut). Joukon A \ AN alkioita sanotaan mallin
A epästandardeiksi luvuiksi. Standardiosa määrää aina mallin A alimallin AN ,
joka on isomorfinen standardimallin N kanssa: on helppo todistaa, että kuvaus
n �→ nA on isomorfismi N ∼
= AN .
Jos mallin A epästandardien lukujen joukko A \ AN on epätyhjä, niin kaikki sen
alkiot a ovat itse asiassa suurempia kuin mitkään mallin A standardiluvut nA .
48
Luonnollisten lukujen tavallinen järjestys y < x voidaan nimittäin määritellä
kaavalla θ< := ∃z(x ≈ y + z + 1). Käyttäen tätä kaavaa, voidaan kirjoittaa
lauseet ξn , n ∈ N, jotka ilmaisevat, että n on n:nneksi pienin alkio (kaavan θ<
määräämässä järjestyksessä). Jos siis a = γ(x) ∈ A on mallin A epästandardi
luku, niin (A, γ) |= θ< [n/y] jokaisella n ∈ N.
Jos a on mallin A epästandardi luku, niin mallissa A on myös alkiot a +A nA ,
n ∈ N; samoin siinä on alkiot a−A nA , n ∈ N. (Tässä a−A nA on se yksikäsitteinen
b ∈ A, jolla b +A nA = a.) Näiden alkioiden keskinäinen järjestys on sama kuin
kokonaisluvuilla:
. . . < A a − A 2 A < a − A 1 A < A a <A a + A 1 A < A a + A 2 A < A . . . ,
ja niiden väleissä ei ole muita alkioita: ei ole olemassa b ∈ A, jolla
a +A nA <A b <A a +A (n + 1)A
tai
a −A (n + 1)A <A b <A a −A nA .
Jokainen epästandardi aritmetiikan malli muodostuu siis standardeista luonnollisista luvuista, joiden perässä on kokoelma epästandardien lukujen ryppäitä, joista kukin on kokonaislukujen kanssa isomorfisessa järjestyksessä. Lisäksi voidaan
todistaa, että nämä ryppäät ovat toistensa seassa tiheässä järjestyksessä.
49