docTentti 23.9.2015
download 
Report Transcription
Tentti 23.9.2015
MEI-50100 Materiaalien mekaniikka Tentti 23.9.2015 / Reijo Kouhia 1. Erään materiaalipisteen jännitystila on karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa esitettävissä seuraavana jännitysmatriisina √ σ − 3σ 0 0 0 √ σ = − 3σ0 3σ0 0 , 0 0 −2σ0 jossa σ0 on jokin positiivinen jännitysarvo. (a) Piirrä jännityselementti ja merkitse sen positiivisiin tahkoihin jännityskomponentit. (b) Määritä pääjännitykset ja suurinta pääjännitystä vastaavan tason normaalin suunta. (c) Määritä suurin leikkausjännitys. (d) Märitä deviatorinen jännitysmatriisi sij = σij − 13 σkk δij ja von Misesin tehol√ linen jännitys σeff = 3J2 , jossa J2 on jännitysdeviaattorin toinen invariantti J2 = 12 sij sij . (e) Määritä normaali- ja leikkausjännitys tasolla, jonka normaalin suunta on (0, 4, 3)T . 2. Alla olevan kuvan mukainen neliölevy ABCD, jonka sivumitta on L, deformoituu tilaan AB’C’D. Määritä pienten siirtymien mukainen muodomuutosmatriisi εij = 1 2 (∂ui /∂xj + ∂uj /∂xi ), i, j = 1, 2. Määritä muodonmuutostensorin avulla lävistäjän AC deformoitunut pituus AC’. Vertaa tulosta tarkkaan ratkaisuun. Mitä voit sanoa tuloksesta? x2 , y C’ D C L B’ A 2∆ B L ∆ x1 , x Käännä! 1 q t 3. Tarkastellaan alla olevan kuvan mukaista kaksiaukkoista palkkia. Palkin poikkileikkaus on hoikka I-profiili, joten voidaan olettaa, että uuma kantaa leikkausvoiman ja laipat taivutusmomentin. Laskujen yksinkertaistamiseksi voidaan otaksua leikkausjännityksen jakautuvan tasan uumalle ja normaalijännitys laipoissa vakioksi. Taivutusmomentin arvo keskituella on M = −qL2 /8 ja tukireaktio on T = 5qL/4. Palkin korkeus on 2h, laipan leveys b = h/2 ja uuman sekä laippojen paksuus t = h/20. Keskituen laakerin kontaktipituus on h/2 ja suhde L/h = 10. Materiaalin myötöraja on Re ja materiaalin plastisen käyttäytymisen otaksutaan √ noudattavan von Misesin myötöehtoa 3J2 − Re = 0, jossa J2 = 12 sij sij on jännitysdeviaattorin toinen invariantti. Kuinka suuri on jakautunut kuormaintensiteetti q kun palkin rasitetuin kohta saavuttaa myötörajan? Missä palkin rasitetuin kohta sijaitsee? Mikä on tulos jos vain taivutuksesta aiheutuvat normaalijännitykset otetaan huomioon? q t h L L b T 4. Kirveen terä on lyöty oheisen kuvan mukaisesti puukalikkaan. Terän aiheuttaman raon aukenema ∆ = 7, 5 mm, kun raon pituus on a = 60 mm. Osoita, että jännitysintensiteettikertoimella on lauseke √ √ 3 h h KI = E∆ 2 . 4 a Laske, kuinka paljon rako vielä kasvaa, kun aukenemaa ∆ pidetään vakiona? Kimmokertoimella on arvo E = 11, 8 GPa, murtumissitkeys on KIc = 8, 7 MPam1/2 ja palkin korkeus on 2h = 30 mm. Palkin paksuus on b. Ohje.√Jännitysintensiteettikerroin voidaan määrittää säröä ajavan voiman G avulla KI = GE. Säröä ajava voima voidaan helposti määrittää joustokertoimen C avulla, sillä F 2 dC . G= 2b da Ulokepalkin (pituus L) pään taipuma palkin päässä olevasta pistevoimasta F on 1 v = F L3 /(3EI). Tentissä ei sallita kaavakokoelmaa eikä muutakaan kirjallista materiaalia. Laskin (funktio tai ohjelmoitava) saa olla mukana. 2
