Ramseyn teoria - Helsingin yliopisto

Transcription

Ramseyn teoria
Kevät 2003
Dos. Kerkko Luosto
Matematiikan laitos, Helsingin yliopisto
I
arellisten joukkojen Ramseyn teoriaa
A
Ramseyn teoria on kombinatoriikan haara, jossa isoista matemaattisista rakenteista
etsitään järjestyneitä eli homogeenisia osia. Laatikkoperiaatetta, erityisesti sen yleistä
muotoa, voidaan pitää triviaalina erikoistapauksena Ramseyn teorian tuloksista. Alan
tulosten arvon ymmärtää, kun huomaa, että jo laatikkoperiaate on erittäin hyödyllinen
kombinatorinen periaate.
0.1. Lause. (Laatikkoperiaate) Jos vähintään r + 1 alkion joukko ositetaan r osaan,
niin jossakin osassa on vähintään 2 alkiota eli jotkin eri alkiot ovat samassa osassa.
0.2. Lause. (Yleinen laatikkoperiaate) Olkoot m, n ∈ N∗ = N r {0}. Jos mn + 1
alkion joukko ositetaan n osaan, niin jossakin osista on vähintään m + 1 alkiota.
Todistus. Jos jokaisessa osista on korkeintaan m alkiota, niin ositettavassa joukossa
on korkeintaan mn alkiota.
Esimerkiksi kymmenpuoluejärjestelmässä jokin puolue saa vähintään tuhat ääntä,
kunhan uurnille saadaan riittävästi äänestäjiä, nimittäin vähintään 9991. Äänestäjien
jakautumista useisiin puolueihin voi pitää järjestymättömänä kokonaisuutena, josta voidaan poimia tuhannen ihmisen järjestäytynyt, samaa puoluetta äänestänyt joukko.
Sen selittämiseksi, miten laatikkoperiaatteesta yleistetään Ramseyn teoriaa, on suotavaa ottaa käyttöön sopivia käsitteitä.
0.3. Määritelmä. Joukon A väritys χ väreillä C on kuvaus χ: A → C. (Alkion a ∈ A
väri on χ(a).)
Jatkossa käytetään myös sitä yleistä joukko-opillista tapaa, että luonnollinen luku
samastetaan edeltäjiensä joukon kanssa eli m = {0, . . . , m−1}, kun m ∈ N. Positiivisten
luonnollisten lukujen joukosta käytetään merkintää N∗ .
0.4. Lause. (Yleinen laatikkoperiaate, uusi muotoilu) Olkoon χ: A → n väritys, missä
n ∈ N. Jos |A| = mn + 1, missä m ∈ N, niin jollakin B ⊂ A, |B| = m + 1, rajoittuma
χ B on vakiokuvaus eli B on yksivärinen.
Laatikkoperiaate puhuu perusjoukon osajoukoista. Ramseyn teorian puolelle siirrytään, kun osajoukkojen sijasta käsitellään relaatioita. Tämä merkitsee sitä, että
värityksen χ: A → n sijasta tarkastellaan värityksiä χ: Ak → n, missä k ∈ N∗ . Havainnollisuuden vuoksi seuraavassa on yksinkertaisin epätriviaali Ramseyn teorian tulos.
1
0.5. Lause.
Jokaisessa 6 ihmisen joukossa on kolme, jotka joko tuntevat kaikki
toisensa tai eivät lainkaan tunne toisiansa.
Todistus. Kiinnitetään yksi henkilö, A.
Tapaus 1: A tuntee vähintään 3 muista henkilöistä, olkoot nämä B, C, D. Jos nämä
eivät tunne toisiaan lainkaan, niin {B, C, D} on haluttu joukko. Muuten jotkut kaksi
näistä tuntevat toisensa, vaikkapa B ja C, jolloin {A, B, C} on 3 tutun joukko.
Tapaus 2: A tuntee korkeintaan 2 muista. Olkoot E, F, G henkilöitä, joita A ei tunne.
Jos E, F, G tuntevat kaikki toisensa, niin {E, F, G} on halutunlainen joukko. Muuten
esim. E ja F eivät tunne toisiaan ja {A, E, F } on kolmen toisiaan tuntemattoman
joukko.
Pál Erdős on viljellyt tätä esimerkkiä osoittaakseen matemaattisen todistuksen
voimaa. Edellinen todistushan on hyvin yksinkertainen ja ymmärrettävä, mutta sisältää
kuitenkin runsaasti matemaattista tietoa, minkä voi todeta osoittamalla lauseen raa’alla
voimalla: Kiinnitetään kuuden alkion perusjoukko, esim. 6, ja muodostetaan kaikki
6
verkot, joilla on nämä solmuinaan. Näitä on 2(2) = 215 = 32 768. Käydään nämä
yksitellen läpi, ja todetaan, että jokaisessa on kolmen alkion klikki tai riippumaton
joukko. Menettely on työläs ja valitettavan altis virheille.
Käsiteltävien verkkojen määrää voisi periaatteessa karsia käymällä läpi vain verkkojen isomorfiatyypit. Näitä on kaikkiaan 156. Lisäksi tilanteen symmetrisyyden vuoksi
riittää tarkastella verkkoja, joissa on korkeintaan b 62 /2c = 7 särmää, jolloin tarkasteltavien isomorfiatyyppien lukumäärä putoaa 78:aan. Näiden kuvat ovat seuraavassa.
•
•
•
•
•......
•
•
•
...
.•
.....
•.......................•..
•.... •
•
.........
..•
...... ....
•.................. ...•...
•.. •
•
.........
..•
...... ....
•.............. ...•........
•. •.
•
.........
..•
...... ....
•.............. ...•...
•. .........•...
•...
........
..•
.... ....
•..........................•...
•...................•..
•
........
..•
.... ....
•..............................•....
•.... •
•
•..........
•.
..........
..•
.................
•.............. ........ ..........•.....
•. ....... •.
•.
.........
..•
.......... .....
•.................. ........ ..•...
•.. ....... •
•.
........
..•
........ .......
•.............. ..........•.....
•............ •.
•...
.......
..•
........ .....
•....................................•....
•..... •
•
.......
..•
........ .....
•.................. ..•........
•.. •..
•
.......
..•
........ .....
•.................. ..•...
•.............. •
•...
.......
..•
........ .....
•.................. ..•...
•.. .........•...
•...
.......
.•
........ .....
•............... ...•........
•............. •.
•..
.......
.•
........ .....
•............... ...•........
•. .........•...
•...
.......
.•
........ .....
•............... .......•..........
•. .......•.
•..
.......
.•
..... .....
•...........................•...
•...............................•..
•..
.......
.•
..... .....
•..............................•....
•.... .........•...
•...
.......
.•
..... .....
•........... ...•........
•............. •.
•..
.......
.•
..... .....
•........... ...•........
•...................•..
•
....
.....
•
•
•......
•
..........
..•
...... ......
•.............. ...........•....
•. •..
•
•
•
•
•
•
.........
..... ........
..
•
........
.•
....... .....
•............... ..•...
•.. •
•
2
.......
.•
..... .....
•...........................•...
• •
•
•
..........
.... ........
...
...
..
•
•
•
•
..........
.... ........
..
•..........
•.
•
.........
..... ........
..
•...........
•.
•
...
....•
.
.
.
.
•....
.......
..•
........ .....
•.............. ..•........
•...................•...
•
•
•
•
.......
.•
..... .....
•...... ...•...
•...................•..
•
........
..•
.... ....
•..... ...•...
•...............................•..
•..
...
.•
.....
•.......................•..
•.... .........•...
•...
•
•
•
•
•
•
..
.................
......... ......
........... .... .........
...... ... ...
.. .. ..
...
..
...
..............
...... ... ....
........... .... .......
...... ... ...
.. ... ....
.....
...
•
•
...
...........
....... ....
........... ............
...............
.........
.....
.....
.
•
•
.
...........
........ ........
......... ..........
.....
...
....
.......
.....
.....
•
•
.
...........
........ ........
......... ........
...
...
.
...........................
.....
.....
•
•
.
...........
........ ........
......... ........
...
...
...
.......
..... ........
..........
•
•
•
•
.....
.•
..... ...
•..................................................•....
•.....................•..
•
...
.•
.....
•............................................•..
•..............................•...
•...
........
.•
..... ....
•...............................................•...
•.... .........•...
•...
........
.•
....... .....
•..................... ......•.....
•.................... ...... •
•...
........
.•
....... .....
•............... ......•.....
•.............................•...
•...
........
.•
....... .....
•.................... ..•........
•. .........•....
•...
...........
..•
................
•.............. ........ ..........•.....
•..............................•...
•....
...........
..•
................
•................... ........ ..........•..........
•.. ...... •..
•..
...
..•
.....
•...........................................................•...
•.................................•...
•..
....
..•
.......
•..................................................................•...
•......................•...
•
.........
..•
....... .......
•............................................................•......
•..... •.
•
........
.•
....... .......
•............... .............•.......
•................................•...
•..
........
.•
....... .......
•............................................•.....
•...................... •.
•..
........
.•
....... .......
•............................................•.....
•.. .........•...
•...
........
.•
....... .......
•.................... ..........•..........
•.. .........•....
•...
.......
..•
........ .....
•.....................................•.........
•.. .........•....
•...
.......
..•
..... .....
•.............................•..........
•..............................•....
•...
.......
..•
..... .....
•.............................................•..........
•............... .•...
•...
........
..•
..... .......
•....................................•............
•............... •.
•...
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.
.........
..... .....
..................................
.. ..........
...........
.....
.....
.
..
.....
.....
...................................
. ....... ...
............
.
.....
.....
.
•
•
•
•
........
.•
....... .....
•......................................•.....
•............. ........•...
•...
........
.•
....... .....
•............... ..•........
•............. .........•....
•....
........
.•
..... ....
•.......... ...•........
•............. .........•....
•....
........
.•
..... ....
•..........................•...
•........................................•...
•....
.........
..•
....... .......
•............................................•..........
•.. •..
•
.........
..•
....... .......
•.............. ..........•.....
•.........................................•...
•....
.........
..•
....... .......
•...............................................•.......
•.. .......•.
•..
........
.•
....... .......
•.......................................•.....
•.............. .........•...
•....
.......
.•
....... .....
•.......................................•........
•....................•..
•
.......
.•
....... .....
•......................................................•....
•..... .........•...
•...
.......
.•
....... .....
•.......................................•........
•.............. •.
•..
.......
..•
..... .....
•..............................•........
•............. .........•....
•.....
.......
..•
..... .....
•..............................•........
•............. ...........•.....
•.....
.......
..•
..... .....
•..............................•...
•........................................•....
•....
.....
..•
..... ..
•............................................................•...
•.....................................•...
•....
•
•
•
•
•
•
•
•
..................................
.. .................. ..
................................
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.
.........
..... .....
.............................
..
.........................
.....
.....
•
•
•
•
..
.....
.....
...........................
..
.
...........................
.....
.....
•
•
•
•
•
Isomorfiatyyppeihin rajoittuminenkaan ei oleellisesti helpota työtä: Ensinnäkin
kahden verkon isomorfisuuden testaaminen on hyvin epätriviaali tehtävä. Toisekseenkin
isomorfiatyyppejä ei ole oleellisesti vähemmän kuin kiinteän perusjoukon verkkoja, kun
n
perusjoukon koko on suuri. Verkkoja, joiden solmujoukko on n, on näet 2( 2 ) kappan
letta, kun taas isomorfiatyyppien lukumäärä on asymptoottisesti 2( 2 ) /n! (katso esim.
Fagin 1973). Voidaan siis väittää, että edellisen kaltaisiin lauseisiin on koodattuna
merkittävästi tietoa.
Edellisessä lauseessa esiintyvät epäsuorasti seuraavat parametrit: 1) homogeenisen
joukon haluttu koko n = 3, 2) relaation (tuttuus) paikkaluku k = 2, 3) vaihtoehtoja
(värejä) tuttu/ei tuttu c = 2 kappaletta. Tässä luentojen osassa I nämä parametrit ovat
äärellisiä, minkä vuoksi puhutaan äärellisestä Ramseyn teoriasta. Kun perusjoukon
koko on 6, halutunlainen homogeeninen joukko on aina olemassa. Ensimmäisen parametrin vaikutus perusjoukon kokoon on vähäisin. Kolmas vaikuttaa selvästi enemmän,
mutta suuremmasta värien lukumäärästäkin selvitään helpolla induktioargumentilla.
Toisen parametrin eli paikkaluvun merkitys on dramaattisin. Parametrien erilainen vaikutus näkyy luentojen rakenteessa niin, ettei seuraavassa osassa II muutetakaan muuta
kuin halutun homogeenisen joukon koko äärettömäksi. Lisäksi havainnollisuuden vuoksi
tulokset esitetään ensin tapauksessa k = c = 2.
3
1.
Verkkojen Ramseyn lause
1.1. Määritelmä. Verkko on pari (V, E), missä V on epätyhjä solmujen joukko ja
E ⊂ V × V on särmärelaatio, joka on symmetrinen ja irrefleksiivinen. Joukko K ⊂ V
on verkon (V, E) klikki, jos kaikilla eri x, y ∈ K pätee (x, y) ∈ E. Joukko I ⊂ V on
verkon (V, E) riippumaton joukko, jos jokaisella x, y ∈ I pätee (x, y) ∈
/ E.
1.2. Ramseyn lause äärellisille verkoille Olkoon n ∈ N∗ . Tällöin on olemassa
sellainen r ∈ N∗ , että jos verkossa (V, E) on vähintään r solmua, niin siinä on n alkion
klikki tai n alkion riippumaton joukko.
Todistus. Osoitetaan induktiolla, että jokaisella k, l ∈ N∗ on olemassa sellainen r ∈ N∗ ,
että vähintään r solmun verkossa on k solmun klikki tai l solmun riippumaton joukko.
Todistus etenee induktiolla summan k + l suhteen.
1) Tapauksessa k = 1 havaitaan, että jokaisessa verkossa on yhden solmun klikki,
joten voidaan valita r = 1. Tapaus l = 1 on samanlainen.
2) Induktio-oletuksen mukaan on olemassa sellaiset rk−1,` , rk,`−1 ∈ N∗ , että jos
verkossa on vähintään rk−1,` alkiota, niin siinä on k − 1 alkion klikki tai ` alkion riippumaton joukko; vastaavasti määritellään rk,`−1 . Valitaan r = rk−1,` + rk,`−1 . Olkoon
G = (V, E) verkko, jossa on vähintään r solmua. Kiinnitetään a ∈ V ja merkitään
V+ = { x ∈ V | (a, x) ∈ E }
ja
V− = { x ∈ V | x 6= a, (a, x) 6∈ E }.
Koska V+ ∪V− = V r{a} ja siis |V+ ∪ V− | ≥ r−1 = rk−1,` +rk,`−1 −1, niin |V+ | ≥ rk−1,`
tai |V− | ≥ rk,`−1 .
a) Jos |V+ | ≥ rk−1,` , niin aliverkossa G|V+ on k − 1 alkion klikki K tai ` alkion
riippumaton joukko I. Jälkimmäisessä tapauksessa I on riippumaton joukko myös
laajemmassa verkossa G. Edellisessä tapauksessa K ∪{a} on k solmun klikki G:ssä.
b) Vastaavasti jos |V− | ≥ rk,`−1 , niin induktio-oletuksen mukaan aliverkossa G|V− on
k solmun klikki K tai ` − 1 solmun riippumaton joukko I. Edellisessä tapauksessa
K on G:n k solmun klikki, jälkimmäisessä tapauksessa I ∪ {a} on G:n ` solmun
riippumaton joukko.
2.
Ramseyn funktio
Ramseyn lauseen mukaan luku
R(n) = min{ r ∈ N∗ | r solmun verkossa on aina n solmun klikki tai r.j. }
4
on hyvin määritelty, kun n ∈ N∗ . Näin muodostuvaa kuvausta R: N∗ → N∗ kutsutaan
Ramseyn funktioksi (äärellisille verkoille). Lisäksi merkitään
R(k, `) = min{ r ∈ N∗ | r solmun verkossa on aina k solmun klikki tai ` solmun r.j. },
kun k, ` ∈ N∗ . Ramseyn lauseen todistuksesta saadaan epäyhtälö
R(k, `) ≤ R(k − 1, `) + R(k, ` − 1),
kun k, ` ∈ N, k, ` ≥ 2. Koska R(k, 1) = 1 ≤ k + 1 = k+1
1 , saadaan induktiolla
R(k, `) ≤
k+`
k+`
=
,
`
k
kun k ∈ N∗ . Siis
R(n) = R(n, n) ≤
2n
n
≤ 22n = 4n .
Nopeita havaintoja pienistä Ramseyn luvuista:
•
R(3) > 5:
..
.................
......
......
......
......
.
.
.
.
.
......
.....
.....
........
...
..
...
...
...
...
.
...
..
...
...
...
...
........................................
•
•
•
•
R(3, 4) ≤ R(2, 4) + R(3, 3) = 4 + 6 = 10.
Harjoitustehtäväksi jätetään sen osoittaminen, että itse asiassa R(3, 4) = 9.
R(4, 4) ≤ R(3, 4) + R(4, 3) = 2 · R(3, 4) = 2 · 9 = 18.
Harjoitustehtäväksi jätetään myös sen osoittaminen, että eräässä 17 solmun verkossa ei
ole 4 solmun klikkejä eikä riippumattomia joukkoja. Siis R(4) = 18. Vasta vuonna 1995
McKay ja Radziszkowski saivat selville, että R(4, 5) = 25. Luvun R(5) tarkkaa arvoa
ei vielä tunneta.
Ramseyn luvun tarkka laskeminen on vaikeata, koska n solmun verkkoja on paljon.
n
Jos perusjoukko kiinnitetään, läpikäytäviä verkkoja on 2( 2 ) kappaletta. Isomorfiatyyppejä on asymptoottisesti
n
2( 2 )
n!
Stirling
≈
(n−1) n
n(n−1)
2 2
1
e2 2
√
=√
.
n
2πnnn e−n
2πn
(Fagin 1973)
Ramseyn funktion asymptoottisen käyttäytymisenkin selvittämisessä on ongelmansa.
Verkkojen konstruktioon perustuvat menetelmät alarajojen löytämiseksi eivät vaikuta
tehokkailta, mutta Erdős keksi, että esimerkkiverkon voi valita umpimähkään.
√ n
2.1. Lause. (Erdős 1947) R(n) > 2 kaikilla n ∈ N, n ≥ 3.
5
Todistus. Olkoon R r solmun satunnaisverkko, jossa särmätodennäköisyys on 12 . Olkoon n ∈ N∗ . Merkitään satunnaisverkon R klikkien
Pja riippumattomien joukkojen
lukumäärää satunnaismuuttujalla X. Tällöin X =
A∈[r]n IA , missä IA on tapahn
∼
∼
tuman ”R|A = Kn tai R|A = Kn ” indikaattori ja [r] = [{0, . . . , r − 1}]n = { A ⊂
{0, . . . , r − 1} | |A| = n }. Odotusarvoksi saadaan siis
EX = E(
X
X
IA ) =
A∈[r]n
EIA
A∈[r]n
1 (n2 )
r
rn
≤
=
·2·
· 2 · 2−n(n−1)/2
n
2
n!
n−1
2
= (r · 2− 2 )n .
n!
√ n
Erityisesti tapauksessa r = 2 ja n ≥ 3 saadaan
P(”R:ssä on n:n kokoinen klikki tai riippumaton joukko”)
n−1
2 n
= P(X > 0) ≤ EX ≤ (2 2 · 2− 2 )n
n!
√
2√ n
2√ 3
≤
2 ≤
2 = 4 2/6 < 1,
n!
3!
joten
P(”R:ssä ei ole n:n kokoista klikkiä tai riippumatonta joukkoa”) > 0.
Tästä voi päätellä, että on olemassa r √
alkion verkko G, jossa ei ole n alkion klikkiä
n
eikä riippumattomia joukkoa. Siis R(n) > 2 , kun n ≥ 3.
Kaikkiaan pätee
√
kun n ∈ N, n ≥ 3, joten
Siis
√
√
n
2 ≤ R(n) ≤ 4n ,
2 ≤ R(n)1/n ≤ 4.
2 ≤ lim inf R(n)1/n ≤ lim sup R(n)1/n ≤ 4.
n→∞
n→∞
Näissä luennoissa esitettyihin tuloksiin tunnetaan vain vaatimattomia parannuksia. Ei
edes tiedetä, onko
lim R(n)1/n
n→∞
olemassa, vaikka raja-arvon olemattomuus merkitsisi kokolailla intuition vastaista heittelemistä Ramseyn funktion käyttäytymisessä. Varsinainen ongelma tietenkin on, jos
raja-arvo on olemassa, niin mikä on tämä
α = lim R(n)1/n ?
n→∞
6
Ala- ja ylärajojen kantalukujen
edistysaskeleeksi.
3.
√
2 ja 4 parantaminen tunnustettaisiin jo huomattavaksi
Äärellinen Ramseyn lause
3.1. Määritelmä. Olkoon S joukon A
n-paikkainen relaatio eli S ⊂ An =
∗
{ (a0 , . . . , an−1 ) | a0 , . . . , an−1 ∈ A } (n ∈ N ). Relaatio S on täysin symmetrinen, jos
kaikilla indeksijoukon n = {0, . . . , n − 1} permutaatioilla σ ja kaikilla a0 , . . . , an−1 ∈ A
pätee, että
(a0 , . . . , an−1 ) ∈ S ⇐⇒ (aσ(0) , . . . , aσ(n−1) ) ∈ S.
Relaatio S on toistoton, jos kaikilla (a0 , . . . , an−1 ) ∈ S alkiot a0 , . . . , an−1 ovat eri
alkioita.
Huom.
Jos relaatio S on täysin symmetrinen ja toistoton, niin jonon ā =
(a0 , . . . , an−1 ) kuuluminen relaatioon S riippuu vain joukosta {a0 , . . . , an−1 }.
3.2. Määritelmä. Olkoon S täysin symmetrinen ja toistoton n-paikkainen joukon A
relaatio. Joukko H ⊂ A kutsutaan homogeeniseksi relaation S suhteen, jos jompikumpi
seuraavista pätee:
1) kaikilla eri a0 , . . . , an−1 ∈ H on voimassa (a0 , . . . , an−1 ) ∈ S. (H on positiivisesti
homogeeninen)
2) kaikilla a0 , . . . , an−1 ∈ H pätee (a0 , . . . , an−1 ) 6∈ S (eli H n ∩ S = Ø). (H on
negatiivisesti homogeeninen)
3.3. Lause. Olkoot k, n ∈ N∗ . Tällöin on olemassa sellainen r ∈ N∗ , että jos S on
k-paikkainen vähintään r alkion joukon A toistoton ja täysin symmetrinen relaatio, niin
on olemassa n alkion joukko H ⊂ A, joka on homogeeninen relaation S suhteen.
Todistus. Kun k, m, n ∈ N∗ , merkitään Rk (m, n):llä pienintä sellaista r ∈ N∗ , että
jos S on k-paikkainen r alkion joukon A toistoton ja täysin symmetrinen relaatio, niin
on olemassa m alkion positiivisesti homogeeninen H ⊂ A tai n alkion negatiivisesti
homogeeninen H ⊂ A. Lauseen väite on yhtäpitävää sen kanssa, että Rk (m, n) on
määritelty kaikilla k, m, n ∈ N∗ . Osoitetaan sopivalla induktioargumentilla, että tämä
pätee.
1) Tapaus k = 1 vastaa yleistettyä laatikkoperiaatetta (R1 (m, n) = m + n − 1),
tapaus k = 2 Ramseyn lausetta äärellisille verkoille.
2) Oletetaan, että k ≥ 3 ja että väite on todistettu (k − 1)-paikkaisille relaatioille.
Todistetaan induktiolla summan m + n suhteen, että Rk (m, n) on määritelty. Kun
m < k tai n < k, on selvää, että Rk (m, n) = min{m, n}.
Oletetaan siis, että m ≥ k ja n ≥ k sekä että väite on todistettu pienemmille
summan m + n arvoille. Asetetaan
r = Rk−1 (Rk (m − 1, n), Rk (m, n − 1)) + 1,
7
joka on määritelty induktio-oletuksen mukaan. Tarkastellaan täysin symmetristä toistotonta relaatiota S ⊂ Ak , missä |A| ≥ r. Kiinnitetään a ∈ A. Määritellään
T = { b̄ ∈ (A r {a})k−1 | b̄ˆ(a) ∈ S }
(kun b̄ = (b0 , . . . , bk−1 ), merkintä b̄ˆ(a) tarkoittaa jonoa (b0 , . . . , bk−1 , a)). Huomataan,
että T on (k − 1)-paikkainen, täysin symmetrinen, toistoton joukon A r {a} relaatio.
Koska
|A r {a}| ≥ r − 1 = Rk−1 (Rk (m − 1, n), Rk (m, n − 1)),
on olemassa
+) H+ ⊂ A r {a}, joka on positiivisesti homogeeninen relaation T suhteen
ja jolle |H+ | = Rk (m − 1, n)
tai
−) H− ⊂ A r {a}, joka on negatiivisesti homogeeninen relaation T suhteen
ja jolle |H− | = Rk (m, n − 1).
Edellisessä tapauksessa on edelleen olemassa H++ ⊂ H+ , joka on positiivisesti homogeeninen relaation S suhteen ja jolle H+− = m − 1 tai H+− ⊂ H+ , joka on negatiivisesti
homogeeninen relaation S suhteen ja jolle H+− = n.
Jos tällainen H+− on olemassa, se on vaaditunlainen homogeeninen joukko. Jos
joukko H++ taas on olemassa, niin H = H++ ∪ {a} on positiivisesti homogeeninen m
alkion joukko. Tapaus − etenee symmetrisesti.
3.4. Määritelmä. Suunnatulla verkolla tarkoitetaan paria (V, E), missä V 6= Ø ja
E ⊂ V 2 . Suunnattu verkko on turnaus, jos se on silmukaton eli kaikilla x ∈ V pätee
(x, x) 6∈ E, ja eri solmuilla x, y ∈ V pätee joko (x, y) ∈ E tai (y, x) ∈ E. (Intuitiivisesti:
joko x voittaa y:n tai y voittaa x:n.)
3.5. Esimerkki. 18 jalkapallojoukkuetta pelaa yksinkertaisen sarjan. Oletetaan, että
pelit pelataan aina ratkaisuun saakka, joten ne eivät voi päättyä tasan. Tällöin (J, E)
on turnaus, missä J on joukkueiden joukko ja
E = { (x, y) ∈ J × J | x voitti y:n },
mutta myös (J, E 0 ), missä
E 0 = { (x, y) ∈ J × J | x kotijoukkue x:n ja y:n kohtaamisessa }.
Olkoon ≤ joukon J lineaarijärjestys, esim. jonkinlainen paremmuusjärjestys. Määritellään joukkoon J erilaisia suuntaamattoman verkon särmärelaatioita:
E0 = { (x, y) ∈ J
= { (x, y) ∈ J
E1 = { (x, y) ∈ J
E2 = { (x, y) ∈ J
×J
×J
×J
×J
| kotijoukkue voitti x:n ja y:n välisen pelin }
| x 6= y ja ((x, y) ∈ E ⇐⇒ (x, y) ∈ E 0 ) }
| (x, y) ∈ E ⇐⇒ x ≥ y }
| (x, y) ∈ E 0 ⇐⇒ x ≥ y }.
8
Koska R(4) = 18, sarjassa on:
0) On olemassa 4 joukkueen klikki tai riippumaton joukko E0 :n suhteen eli joukko
A0 ⊂ J, |A0 | = 4, jolle pätee, että
a) kotijoukkue voitti aina A0 :n joukkeiden välisen pelin
tai
b) vierasjoukkue voitti aina A0 :n väliset pelit.
1) On olemassa 4 joukkueen joukko A1 , jolle pätee, että
a) peli vastasivat paremmuusjärjestystä
tai
b) pelit päättyivät aina huonomman voittoon.
2) On olemassa sellainen A2 ⊂ J, |A2 | = 4, että
a) A2 :n välisissä peleissä parempi joukkue oli kotijoukkue.
b) A2 :n välisissä peleissä parempi joukkue oli vierasjoukkue.
3.6. Esimerkki. Olkoon k ∈ N∗ ja S ⊂ X × X, missä |X| ≥ R(k). Relaatiosta S
voidaan määritellä suuntaamattomia särmärelaatioita, esim.
E0 = { (x, y) ∈ X × X | (x, y) 6∈ S ja (y, x) 6∈ S }
E1 = { (x, y) ∈ X × X | joko (x, y) ∈ S tai (y, x) ∈ S }
E2 = { (x, y) ∈ X × X | (x, y) ∈ S ja (y, x) ∈ S }.
Soveltamalla Ramseyn lausetta saadaan
0) A0 ⊂ X, |A0 | = k, jolle (A0 × A0 ) ∩ S = Ø tai jokaisella eri x, y ∈ A0 on voimassa
(x, y) ∈ S tai (y, x) ∈ S.
1) A1 ⊂ X, |A1 | = k, jolle (A1 , S ∩ (A1 × A1 )) on turnaus tai S ∩ (A1 × A1 ) on
symmetrinen.
2) Kuten 0, mutta komplementoituna.
Entä jos haluttaisiinkiin tuntea relaatiota S vielä tarkemmin ja löytää A ⊂ X, jolle
jokin seuraavista pätee?
0) (A × A) ∩ S = Ø.
1) (A, S ∩ (A × A)) on turnaus.
2) Kaikilla eri x, y ∈ A pätee (x, y) ∈ S ja (y, x) ∈ S.
Joukon A väritys on kuvaus χ: A → C. Yo. tilannetta vastaa implisiittisesti väritys
χ: [X]2 → 3, missä kukin väreistä vastaa yo. kohtia.
Äärellisten verkkojen Ramseyn lauseen muotoilu väritysten avulla. Kaikilla
n ∈ N∗ on olemassa sellainen r ∈ N∗ , että kaikilla vähintään r alkion joukoilla X ja
kaikilla värityksillä χ: [X]2 → 2 on olemassa sellainen A ⊂ X, että |A| = n ja χ[A]2 on
vakiokuvaus eli [A]2 on yksivärinen.
3.7. Äärellinen Ramseyn lause. Olkoon n, k, c ∈ N∗ . Tällöin on olemassa sellainen
r ∈ N∗ , että jos joukossa A on vähintään r alkiota ja χ: [A]k → c, niin on olemassa
H ⊂ A, |H| = n, jolle [H]k on yksivärinen χ:n suhteen.
Todistus. Tämä on jo todistettu tapauksessa c = 2: Asetetaan tällöin
S = { (x0 , . . . , xk−1 ) ∈ Ak | χ({x0 , . . . , xk−1 }) = 1 },
9
joka on täysin symmetrinen ja toistoton k-paikkainen relaatio. Aiemmin todistetun
lauseen nojalla on olemassa sellainen r ∈ N∗ , että jos |A| ≥ r, niin on olemassa H ⊂ A,
joka on homogeeninen S:n suhteen eli [H]k on yksivärinen.
Voidaan olettaa, että c = 2u jollakin u ∈ N∗ . Todistetaan väite induktiolla luvun
u suhteen; aloitusaskel u = 1 on jo käsitelty. Olkoon u > 1. Induktio-oletuksen mukaan
on olemassa sellainen Rk (n; 2u−1 ) ∈ N∗ , että jos joukossa X on vähintään näin monta
alkiota ja ξ: [X]k → 2u−1 , niin on olemassa H ⊂ X, jolle ξ[H]k on vakiokuvaus.
Asetetaan
r = Rk (Rk (n; 2u−1 )).
Olkoon A vähintään r alkion joukko ja χ: [A]k → 2u . Määritellään
1, jos χ(U ) ≥ 2u−1
k
ψ: [A] → 2, ψ(U ) =
0, muuten.
Luvun r valinnan perusteella on olemassa X ⊂ A, jolle [X]k on yksivärinen ψ:n suhteen
ja |X| = Rk (n; 2u−1 ). Olkoon v ∈ 2 [X]k :n väri eli ψ[[X]k ] = {v}. Määritellään
ξ: [X]k → 2u−1 ,
ξ(U ) = χ(U ) − v2u−1 .
Induktio-oletuksen mukaan (koska |X| = Rk (n; 2u−1 )) on olemassa H ⊂ X, |H| = n,
jolle [H]k on yksivärinen ξ:n suhteen ja siten myös χ:n suhteen.
4.
Van der Waerdenin sekä Halesin ja Jewettin lauseet
Äärellinen aritmeettinen jono on lukujono, joka on muotoa
(x, x + d, x + 2d, . . . , x + (k − 1)d),
missä x, d ∈ R, k ∈ N. Tällainen on toistoton, jos d 6= 0. Jokaisessa kokonaislukujen
toistottomassa aritmeettisessa jonossa esiintyvät joillakin vakioilla a, b, d, r ∈ Z, d 6= 0,
täsmälleen luvut x ∈ Z, joille x ≡ r (mod d) ja a ≤ x ≤ b.
Motivaatio tarkastella tällaisia lukujonoja tullee lähinnä lukuteoriasta. Malliksi
pari tapausta:
Dirichlet’n lause. Olkoot r, d ∈ N∗ , syt(r, d) = 1. Tällöin on olemassa äärettömän
monta alkulukua p, jotka ovat muotoa p ≡ r (mod d) eli p = r + k · d jollain k ∈ N.
Avoin ongelma: Kuinka pitkiä alkulukujen aritmeettisia jonoja on olemassa?
Tämän luvun päätavoite on osoittaa ääretön van der Waerdenin lause, jonka mukaan luonnollisten lukujen jokaisessa osituksessa äärellisen moneen osaan jokin osista
sisältää mielivaltaisen pitkiä aritmeettisia jonoja.
Kaksipaikkainen van der Waerdenin funktio W : N∗ × N∗ → N∗ määritellään niin,
että W (k, c) on pienin sellainen w ∈ N∗ , että jokaista väritystä χ: w → c vastaa yksivärinen pituutta k oleva toistoton aritmeettinen jono. Äärellinen van der Waerdenin
10
lause osoittaa, että tämä funktio on hyvinmääritelty. Alkuperäisessä todistuksessa (van
der Waerden 1928) W (k + 1, c) osoitetaan olemassaolevaksi lukujen W (k, c0 ), c0 ∈ N∗
avulla. Tästä todistuksesta seuraa, että W on laskettava eli rekursiivinen, mutta ei
funktion W primitiivirekursiivisuutta. Jonkin aikaa spekuloitiin sillä mahdollisuudella,
että W olisi esimerkki luonnollisesta kombinatorisesta funktiosta, joka ei olisi primitiivirekursiivinen, mutta Shelahin todistus vuodelta 1987 vaiensi nämä arvailut: W on
primitiivirekursiivinen ja varsin alhaisella ns. Grzegorczykin tai Ackermanin hierarkian
tasolla.
4.1. Määritelmä. Olkoon n, t ∈ N∗ . Merkitään Ctn = n t = { x | x: n → t }; tätä kutsutaan kombinatoriseksi kuutioksi. Kombinatorisen kuution Ctn kombinatorinen suora on
mikä tahansa joukko { x̄` | ` = 0, . . . , t − 1 }, missä jollakin I ⊂ n, I 6= Ø ja c̄: n r I → t
pätee
`,
kun i ∈ I
x̄` (i) =
c̄(i), muuten.
4.2. Esimerkki. Tapauksessa n = 5 ja t = 3
{(2, 2, 0, 0, 1), (2, 2, 1, 1, 1)(2, 2, 2, 2, 1)}
on kombinatorinen suora, missä I = {2, 3} ja c̄(0) = c̄(1) = 2, c̄(4) = 1.
4.3. Merkintöjä
Ctn = n t = n {0, . . . , t − 1}
= { f | f : {0, . . . , n − 1} → {0, . . . , t − 1} }
= { (x0 , . . . , xn−1 ) | ∀i = 0, . . . , n − 1(xi ∈ {0, . . . , t − 1}) }
4.4. Määritelmä. Olkoot n, t ∈ N∗ . Kombinatorisen kuution Ctn Shelahin suora on
kombinatorinen suora L = { x̄` | ` ∈ t }, missä x̄` = c̄ ∪ { (i, `) | i ∈ I }, c̄ ∈ nrI t on
vakio ja seuraavat ehdot ovat voimassa:
(i) I = {j, j + 1, . . . , j 0 } joillakin j, j 0 ∈ n, j ≤ j 0 ;
(ii) c̄(i) = t − 2, kun i ∈ n, i < j;
(iii) c̄(i) = t − 1, kun i ∈ n, i > j 0 .
Shelahin piste on mikä tahansa Shelahin suoran alkio.
Shelahin aliavaruus V ⊂ Ctn on oleellisesti karteesinen tulo Shelahin suorista, ts.
luvun n voi hajottaa summaksi n = n0 +n1 +· · ·+ns−1 ja on olemassa sellaiset Shelahin
suorat Li ⊂ Ctni , i = 0, . . . , s − 1, että
V = { x̄0 ˆx̄1 ˆ · · · ˆx̄s−1 | ∀i ∈ s(x̄i ∈ Li ) }
∼
= L0 × · · · × Ls−1 .
4.5. Määritelmä. Olkoon χ: Ctn → F väritys. Osajoukko V ⊂ Ctn on käännökäs χ:n
suhteen, jos seuraava ehto pätee. Merkitään
i,
kun i < t − 1
p: t → t − 1, p(i) =
.
t − 2, kun i = t − 1
11
Tällöin kaikille x̄, ȳ ∈ V , jos p ◦ x̄ = p ◦ ȳ, niin χ(x̄) = χ(ȳ).
4.6. Lemma. Olkoon n, c, t ∈ N∗ . Oletetaan, että n ≥ c. Olkoon χ: Ctn → c väritys.
Tällöin on olemassa käännökäs Shelahin suora L ⊂ Ctn .
Todistus. Merkitään jokaisella ` = 0, . . . , n ja i ∈ n
t − 2, kun i < `
x̄` (i) =
t − 1, kun i ≥ `.
Vektorit x̄` , ` = 0, . . . , n ovat tällöin Shelahin pisteitä. Koska niitä on n + 1 kappaletta, jotkin kaksi ovat samanvärisiä, olkoot ne x̄j ja x̄j 0 (j < j 0 ), ts. χ(x̄j ) = χ(x̄j 0 ).
Molemmat sijaitsevat samalla Shelahin suoralla
L = { c̄ ∪ { (i, m) | i ∈ n, j ≤ i < j 0 } | m ∈ t }.
Ehto x̄, ȳ ∈ L, p ◦ x̄ = p ◦ ȳ, x̄ 6= ȳ toteutuu vain, kun {x̄, ȳ} = {x̄j , x̄j 0 }. Koska
χ(x̄j ) = χ(x̄j 0 ), L on siis käännökäs.
n
4.7. Lemma. Olkoot n, c, t ∈ N∗ . Oletetaan, että t ≥ 2 ja kun χ: Ct−1
→ c on
n
mikä tahansa väritys, niin Ct−1 sisältää yksivärisen kombinatorisen suoran. Olkoon
Ctn käännökäs värityksen ξ: Ctn → c suhteen. Tällöin Ctn sisältää värityksen ξ suhteen
yksivärisen kombinatorisen suoran.
n
Todistus. Kiinnitetään χ = ξCt−1
. Tiedetään, että on olemassa yksivärinen kombin
natorinen suora L ⊂ Ct−1 . Olkoon
L = { x̄` | ` ∈ t − 1 },
missä x̄` = c̄ ∪ { (i, `) | i ∈ I }, I 6= Ø, c̄ ∈ nrI t − 1 vakio. Merkitään x̄t−1 =
c̄ ∪ { (i, t − 1) | i ∈ I }. Tällöin L ∪ {x̄t−1 } on kombinatorinen suora Ctn :ssä. Koska
Ctn on käännökäs ξ:n suhteen ja p ◦ x̄t−2 = p ◦ x̄t−1 , niin ξ(x̄t−2 ) = ξ(x̄t−1 ). Toisaalta
kaikilla i, j = 0, . . . , t − 2 pätee χ(x̄i ) = χ(x̄j ) eli ξ(x̄i ) = ξ(x̄j ).
Q
i−1 nj +1 s−1
4.8. Lause. Olkoot c, s, t ∈ N∗ . Merkitään ni = cai , missä ai =
t ,
j=0
2
Ps−1
kun i = 0, . . . , s − 1, ja n = i=0 ni . Olkoon χ: Ctn → c väritys. Tällöin on olemassa
käännökäs Shelahin s-ulotteinen aliavaruus.
Todistus. Valitaan käänteisellä induktiolla Shelahin suorat Li ⊂ Ctni , i = s − 1, . . . , 0,
niin että
V = { x̄0 ˆx̄1 ˆ · · · ˆx̄s−1 | ∀i = 0, . . . , s − 1(x̄i ∈ Li ) }
on käännökäs s-ulotteinen Shelahin aliavaruus. Olkoon i < s ja oletetaan, että
Ls−1 , . . . , Li+1 on jo valittu. Valitaan Li seuraavasti. Kun x̄, ȳ ∈ Ctni , merkitään
x̄ ≡ ȳ, joss kaikilla Shelahin pisteillä x̄i ∈ Ctni , j = 0, . . . , i − 1, ja kaikilla x̄j ∈ Lj ,
j = i + 1, . . . , s − 1, pätee
χ(x̄0 ˆx̄1 ˆ · · · ˆx̄i−1 ˆx̄ˆx̄i+1 ˆ · · · ˆx̄s−1 ) = χ(x̄0 ˆx̄1 ˆ · · · ˆx̄i−1 ˆȳˆx̄i+1 ˆ · · · ˆx̄s−1 ).
12
Relaatio ≡ on ekvivalenssirelaatio, jolla on ni ekvivalenssiluokkaa (kukin xj ,
j = 0, . . . , i − 1 voidaan valita nj2+1 · t tavalla, kukin xj , j = i + 1, . . . , s − 1 taas
t tavalla.) Koska siis pi : Ctni → Ctni / ≡ on väritys ni värillä, on olemassa käännökäs
Shelahin suora Li ⊂ Ctni värityksen pi suhteen.
On vielä osoitettava, että V on halutunlainen Shelahin aliavaruus. Olkoot x̄, ȳ ∈ V
sellaisia, että σ ◦ x̄ = σ ◦ ȳ, missä
σ: t → t − 1, σ(i) =
t − 2, kun i = t − 1
.
i,
muuten
Merkitään x̄ = x̄0 ˆx̄1 ˆ · · · ˆx̄s−1 ja ȳ = ȳ0 ˆȳ1 ˆ · · · ˆȳs−1 , missä x̄i , ȳi ∈ Li , i = 0, . . . , s −
1. Jokaisella i = 0, . . . , s − 1 pätee
χ(ȳ0 ˆȳ1 ˆ · · · ˆȳi−1 ˆȳi ˆx̄i+1 ˆ · · · ˆx̄s−1 ) = χ(ȳ0 ˆȳ1 ˆ · · · ˆȳi−1 ˆx̄i ˆx̄i+1 ˆ · · · ˆx̄s−1 ),
sillä ȳ0 , . . . , ȳi−1 ovat Shelahin pisteitä ja x̄j ∈ Lj , j = i + 1, . . . , s − 1, sekä siksi, että
x̄i ≡ ȳi (x̄i , ȳi ∈ Li ja σ ◦ x̄i = σ ◦ ȳi ). Siis
χ(x̄) = χ(x̄0 ˆ · · · ˆx̄s−1 = χ(ȳ0 ˆ · · · ˆȳs−1 ) = χ(ȳ).
4.9. Halesin ja Jewettin lause. Olkoot c, t ∈ N∗ . Tällöin on olemassa sellainen
n ∈ N∗ , että kun Ctn väritetään c värillä, niin se sisältää yksivärisen kombinatorisen
suoran.
Todistus. Kiinnitetään värien lukumäärä c ja todistetaan väite induktiolla luvun t
suhteen.
Tapaus t = 1 on triviaali. Oletetaan, että t > 1 ja väite on todistettu arvolla t − 1.
s
Induktio-oletuksen mukaan on olemassa sellainen s ∈ N∗ , että kun Ct−1
väritetään
c värillä, niin se sisältää yksivärisen kombinatorisen suoran. Valitaan n ∈ N∗ kuten edellisessä lauseessa. Olkoon χ: Ctn → c. Edellisen lauseen nojalla on olemassa
käännökäs Shelahin s-ulotteinen aliavaruus V . Tämä on kanonisella tavalla bijektiivisessä suhteessa kombinatoriseen kuutioon Cts , ts. on olemassa muotoa
ϕ: V → Cts , ϕ(x̄) = x̄ ◦ f
oleva bijektio, missä f : s → n on injektio. (f kerää vektorista vaihtelevia koordinaatteja
vastaavia indeksejä.) Bijektio ϕ indusoi kombinatoriseen kuutioon Cts värityksen
ξ: Cts → c, ξ(x̄) = χ(ϕ−1 (x̄))
s
ja Cts on käännökäs värityksen ξ suhteen. Tiedetään, että Ct−1
sisältää kombinatorisen
s
suoran L0 , joka on yksivärinen värityksen ξCt−1
suhteen. Koska Cts on käännökäs,
joukko L0 voidaan jatkaa kombinatoriseksi suoraksi L, joka on yksivärinen ξ:n suhteen.
Huomataan, että ϕ−1 [L] on yksivärinen kombinatorinen suora värityksen χ suhteen.
13
4.10. Äärellinen van der Waerdenin lause.
Olkoot c, k ∈ N∗ . Tällöin on
∗
olemassa sellainen w ∈ N , että kaikilla χ: w → c on olemassa a ∈ w ja d ∈ N∗ , joille
a + (k − 1)d < w ja χ(a) = χ(a + d) = · · · = χ(a + (k − 1)d).
Todistus. Kuvataan kombinatorinen kuutio Ckn joukkoon N sopivalla tavalla, missä n
on niin suuri, että jokaista Ckn :n väritystä c värillä vastaa yksivärinen kombinatorinen
suora. Kyseinen kuvaus on
f : Ckn
n
→ k , f (x0 , . . . , xn−1 ) =
n−1
X
xi k i .
i=0
Merkitään w = k n . Olkoon χ: w → c. Valitaan L, joka on värityksen χ ◦ f −1 suhteen yksivärinen kombinatorinen suora. Siis L = { x̄j | j = 0, . . . , k − 1 }, missä
x̄j = c̄ˆ{ (i, j) | i ∈ I }, I 6= Ø, c̄ ∈ nrI k. Huomataan, että f [L] on yksivärinen χ:n
suhteen ja f [L] koostuu aritmeettisesta pituutta k olevasta jonosta:
X
X
f (x̄j ) = (
c̄(i)k i ) + j
k i = a + jd,
i∈nrI
missä a =
P
i∈nrI
c̄(i)k i ja d =
P
i∈I
i∈I
k i 6= 0.
4.11. Ääretön van der Waerdenin lause. Olkoon A joukon N ositus äärellisen
moneen osaan. Tällöin jossakin osassa A ∈ A on mielivaltaisen pitkiä (toistottomia)
aritmeettisia jonoja.
Todistus. Merkitään χ: N → A, χ(n) on yksikäsitteinen A ∈ A, jolle n ∈ A. Merkitään
lisäksi c = |A| ∈ N. Äärellisen van der Waerdenin lauseen nukaan jokaisella k ∈ N∗
on olemassa sellainen w ∈ N∗ , että väritykseen χw liittyy yksivärinen pituutta k oleva
aritmeettinen jono. Valitaan Ak ∈ A niin, että kyseinen jono sisältyy Ak :hon. Koska A
on äärellinen, niin jollakin A ∈ A pätee A = Ak mielivaltaisen suurilla k.
4.12. Esimerkki. Edellisessä lauseessa ei ”mielivaltaisen pitkää” voi korvata ”äärettömällä”.
Olkoon f : N → N aidosti kasvava ja f (0) = 0. Asetetaan
A = { n ∈ N | Parillisella m ∈ N pätee f (m) ≤ n < f (m + 1) }
B = { n ∈ N | Parittomalla m ∈ N pätee f (m) ≤ n < f (m + 1) }.
Tällöin {A, B} on joukon N ositus. Kumpikaan joukoista A, B ei sisällä (toistotonta)
ääretöntä aritmeettista jonoa, jos f kasvaa riittävän nopeasti,
esim. jos limn→∞ (f (n + 1) − f (n)) = ∞.
5.
Sovelluksia
Äärellisen Ramseyn lauseen sovelluksena on mitä luonnollisinta tarkastella Frank
Ramseyn alkuperäissovellusta. Hän oli ensimmäisiä, joka tarkasteli ns. spektriongelmaa
14
eli minkäkokoisia malleja ensimmäisen kertaluvun lauseella voi olla. Ramseyn sovellus
koskee äärellisiä relationaalisia aakkostoja τ ja universaaleja lauseita, ts. lauseita, jotka
ovat muotoa
∀x0 ∀x1 · · · ∀q−1 ϕ(x0 , . . . , xq ),
missä kaava ϕ on kvanttoriton. Esimerkiksi ekvivalenssirelaation aksiomatisoinnissa
aakkosto on {E} ja aksioomat (refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus) ovat
universaaleja. Vastaavasti osittaisilla järjestyksillä on universaalinen aksiomatisointi.
Tällaisilla lauseilla ψ on seuraava ominaisuus: Jos A on τ -malli, jossa on totta ψ eli A |=
ψ, ja B on A:n alimalli, niin B |= ψ. Jos siis ψ:llä on malli, jossa on n alkiota, ja m ∈ N∗ ,
m < n, niin ψ:llä on malli, jossa on m alkiota. (Tämä ei enää pidä paikkaansa, jos
aakkostossa on funktiosymboleja, esim. jos τ = {·, 1, −1 }, niin ryhmät, joissa alkioiden
kertaluku on korkeintaan kaksi eli elementaariset Abelin ryhmät, voidaan aksiomatisoida
universaaleilla aksioomilla.)
5.1. Merkintöjä: Olkoon τ = {R0 , . . . , Rn } äärellinen relationaalinen aakkosto. Merkitään relaatiosymbolin R ∈ τ paikkalukua nR :llä. τ -malliin A liittyy seuraavia asioita:
- Perusjoukko Dom(A)
- Mallin mahtavuus card(A) = |Dom(A)|
- Jokaisella R ∈ τ relaatiosymbolin R tulkinta eli RA ⊂ Dom(A)nR
B ≤ A tarkoittaa, että B on mallin A alimalli, ts. Dom(B) ⊂ Dom(A) ja kaikilla
R ∈ τ pätee RB = RA ∩ (Dom(B))nR . Kun B ≤ A ja B = Dom(B), merkitään myös
B = A|B ja mallia B kutsutaan mallin A suhteellistumaksi joukkoon B. (Vertailun
vuoksi: C = A% tarkoittaa mallin A rajoittumaa aakkostoon % eli %-mallia C, jolle
Dom(C) = Dom(A) ja RC = RA kaikilla R ∈ % ⊂ τ .)
Ramseyn idea oli seuraavanlainen: Jos lauseella ψ on riittävän iso malli A, niin
sillä on malli B, joka on hyvin homogeeninen. Tästä homogeenisesta mallista saadaan
rakennuspalikat, joiden avulla voidaan muodostaa mielivaltaisen suuria malleja. Nämä
ovat lauseen ψ malleja, kunhan ψ on universaalinen. Jotta rakentaminen onnistuisi
ristiriidattomalla tavalla, mallissa täytyy olla järjestys.
5.2. Määritelmä. Olkoon A τ -malli ja ≤∗ joukon Dom(A) (eli A:n universumin)
lineaarijärjestys. Jonoilla (a0 , . . . , ak−1 ) ja (b0 , . . . , bk−1 ) ∈ Dom(A)k on sama tyyppi,
jos kaikilla i, j ∈ k
ai ≤∗ aj ⇐⇒ bi ≤∗ bj .
Samantyyppisyys yleistyy myös luonnollisella tavalla tilanteeseen, jossa jonot ovat eri
malleissa. Mallin A sanotaan olevan kanoninen järjestyksen ≤∗ suhteen, jos kaikilla
R ∈ τ ja ā, b̄ ∈ Dom(A)nR pätee: Jos ā:lla ja b̄:llä on sama tyyppi, niin ā ∈ RA ⇐⇒
b̄ ∈ RA .
5.3. Esimerkki. Jos edellä τ = {R}, nR = 2, niin seuraavat mallit ovat kanonisia
joukon {0, 1, 2} luonnollisen järjestyksen suhteen:
h{0, 1, 2, 3}, Øi
h{0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}2 i
h{0, 1, 2, 3}, {(0, 1), (0, 2), (1, 2)}i
h{0, 1, 2, 3}, {(1, 0), (2, 0), (2, 1)}i
15
5.4. Määritelmä. Olkoon τ relationaalinen aakkosto ja k ∈ N∗ . τ -mallin A sanotaan
olevan k-kohtalokas, jos kaikilla B, C ≤ A, missä card(B) = card(C) ≤ k, pätee
B∼
= C ⇐⇒ card(B) = card(C).
(Käsitteen nimi liittyy Fraı̈ssén menetelmään, jonka yhteydessä käytetään käsitettä
’mallin ikä’, millä tarkoitetaan mallin äärellisesti viritettyjen alimallien isomorfiatyyppien kokoelmaa.)
5.5. Lemma. Olkoon τ äärellinen relationaalinen aakkosto, k, n ∈ N∗ . Tällöin on
olemassa sellainen r ∈ N∗ , että jos τ -mallissa A on vähintään r alkiota, niin on olemassa
B ≤ A, card(B) = n, jolle pätee seuraavaa: Jos C, C0 ≤ B ja card(C) = card(C0 ) = k,
niin C ∼
= C0 .
Todistus. Koska τ on äärellinen relationaalinen aakkosto, on olemassa isomorfiaa
vaille vain äärellisen monta k:n kokoista τ -mallia. Olkoon A joukko epäisomorfisia
kokoa k olevia τ -malleja, joka sisältää edustajan jokaisesta isomorfialuokasta. Merkitään
c = |A|. Äärellisen Ramseyn lauseen nojalla on olemassa r ∈ N∗ , jolle pätee: Jos
χ: [A]k → c on väritys, missä |A| ≥ r, niin on olemassa B ⊂ A, jolle |B| = n ja χ[B]k
on yksivärinen.
Olkoon A τ -malli, missä card(A) ≥ r. Määritellään χ: [Dom(A)]k → A, missä χ(C)
on se yksikäsitteinen malli, jolle AC ∼
= χ(C) ∈ A. Luvun r määritelmän mukaan on
olemassa B ⊂ Dom(A), jolle |B| = n ja [B]k on yksivärinen. Merkitään B = AB ≤ A.
Jos C, C0 ≤ B ja card(C) = card(C0 ) = k, niin C = Dom(C) ⊂ B, C 0 = Dom(C0 ) ⊂ B
ja |C| = |C 0 | = k, joten C ja C 0 ovat samanvärisiä. Siis C = A|C ∼
= χ(C) = χ(C 0 ) ∼
=
A|C 0 = C0 .
5.6. Ramseyn lause äärellisille malleille.
Olkoon τ äärellinen relationaalinen
aakkosto, k, n ∈ N∗ . Tällöin on olemassa sellainen r ∈ N∗ , että jokainen vähintään r
alkion τ -malli A sisältää n alkion k-kohtalokkaan alimallin.
Todistus. Väite todistetaan induktiolla edellisen lemman avulla. Aloitusaskel k = 1 on
lemman suora sovellus. Oletetaan siis, että k > 1 ja että väite pätee luvulle k − 1 luvun
k asemasta. Siis on olemassa sellainen r0 ∈ N∗ , että jokainen vähintään r0 alkion τ -malli
sisältää k − 1-kohtalokkaan alimallin, jossa on r alkiota. Lemman nojalla on olemassa
sellainen r ∈ N∗ , että jokainen vähintään r:n kokoinen τ -malli sisältää r0 :n kokoisen
mallin B ≤ A, jolle C, C0 ≤ B, card(C) = card(C0 ) = k ⇒ C ∼
= C0 . Induktio-oletuksen
nojalla B:llä on n:n kokoinen k − 1-kohtalokas alimalli B∗ . Tämä B∗ on k-kohtalokas.
5.7. Seuraus. Olkoon τ ja n kuten edellä. Olkoon ≤ uusi kaksipaikkainen relaatiosymboli ja σ = τ ∪ {≤}. Tällöin on olemassa r ∈ N∗ , jolle pätee seuraavaa: Olkoon A
vähintään r alkion σ-malli, jossa ≤ on tulkittu koko perusjoukon lineaarijärjestykseksi.
Tällöin on olemassa n alkion B ≤ A, joka on kanoninen lineaarijärjestyksen ≤B suhteen.
Todistus. Sovelletaan edellistä lausetta aakkostoon σ aakkoston τ sijasta. Merkitään
k = max{ nR | R ∈ σ }. Olkoon r kuten lauseessa ja A oletuksen mukainen malli.
Tällöin A sisältää k-kohtalokkaan n alkion alimallin B. Selvästi B on kanoninen ≤B :n
16
suhteen: Olkoon R ∈ σ ja ā = (a0 , . . . , anR −1 ), b̄ = (b0 , . . . , bnR −1 ) ∈ Dom(B)nR .
Oletetaan, että ā ja b̄ ovat samantyyppisiä ≤B :n suhteen.
Koska B on k-kohtalokas ja k ≥ nR , niin f : B|{a0 , . . . , anR −1 } ∼
= B|{b0 , . . . , bnR −1 },
missä f (ai ) = bi kaikilla i ∈ nR , koska ā ja b̄ ovat samantyyppisiä. Siis
ā ∈ RB ⇐⇒ b̄ = f ◦ ā ∈ RB .
5.8. Lause. (Ramsey 1930) Olkoon τ äärellinen relationaalinen aakkosto ja q ∈ N∗ .
Tällöin on olemassa seuraavanlainen r ∈ N∗ : Olkoon Ψ äärellinen joukko korkeintaan
kvanttoriastetta q olevia universaaleja aksioomeja. Jos tällöin Ψ:llä on r alkion malli,
niin sillä on kaikenkokoisia malleja.
Todistus. Olkoon σ ja ≤ kuten seurauksessa. Valitaan n = max({ nR | R ∈ σ } ∪ {q}).
Olkoon r ∈ N∗ seurauksen antama luku.
Tarkastetaan, että r on halutunlainen. Olkoon Ψ äärellinen joukko korkeintaan
kvanttoriastetta q olevia universaaleja lauseita. Olkoon A τ -malli, jolle card(A) ≥ r ja
A |= Ψ. Laajennetaan A σ-malliksi A∗ , jossa A∗ on lineaarijärjestys.
Seurauksen mukaan A∗ :lla on alimalli B∗ , jolle card(B∗ ) = n ja joka on kanoninen
∗
≤B :n suhteen. Tällöin B∗ |= Ψ, koska Ψ on joukko universaaleja lauseita.
Olkoon C 6= Ø ja v joukon C lineaarijärjestys. Määritellään σ-malli C, jolle
Dom(C) = C, ≤C =v ja jokaisella R ∈ τ
∗
RC = { ā ∈ C nR | ā on samantyyppinen kuin jokin b̄ ∈ RB }.
Nyt kaikilla D ≤ C, card(D) ≤ q, on olemassa D0 ≤ B∗ , jolle D ∼
= D0 . Tästä seuraa
C |= Ψ.
Seuraava geometrinen sovellus on Erdősiltä ja Szekeresiltä 1930-luvulta.
•
•
.....
............................. ....
.............................
...
............................
...
.............................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.......
...
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
...
...
............
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.
.....
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................
•
•
•
•
•
•
•
•
17
Tasossa on äärellinen määrä pisteitä, joista mitkään kolme eivät ole samalla suoralla. Tutkitaan, kuinka monikärkisiä kuperia monikulmioita näistä voi muodostaa.
Käykö erityisesti niin, että saamme kuperaan monikulmioon halutun määrän kärkiä,
kun pisteitä on riittävän monta?
5.9. Lemma.
Tasossa on viisi pistettä, joista mitkään kolme eivät ole samalla
suoralla. Tällöin näistä voidaan valita neljä, jotka muodostavat kuperan monikulmion.
Todistus. Olkoon A näiden viiden pisteen joukko. Muodostetaan näiden kupera peite
C = Σa∈A λa · a Σa∈A λa = 1, ∀a ∈ A(λa ≥ 0) .
Tämän joukon C reunalla ∂C on vähintään 3 joukon A pistettä, ja C on kupera. Jos
näitä pisteitä on vähintään neljä, ne muodostavat halutunlaisen kuperan monikulmion.
Voidaan siis olettaa, että |∂C ∩ A| = 3.
c
•
.
.....
... ..
... .....
.
...
..
...
...
...
...
..
...
.
.
.
.
...
.
..
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
..
...
.
.
.
...
.
.
.
... ......................
.
..
.
................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.....
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.. .............
...
.............
...
..................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
......
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
...
..........
...
..........
... ............
...............
a
.............•..........
..•....
......
.
.
...
..
.
.
............•
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
b
.... .................
.•................
Merkitään ∂C ∩ A = {a, b, c} ja A r ∂C = {d, e}. Piirretään pisteiden d ja e kautta
suora; se jakaa tason kahteen osaan, joista toiseen jää kaksi pisteistä a, b, c; olkoot nämä
a ja b. Pisteet a, b, d ja e ovat kuperan nelikulmion kärkiä.
5.10. Lause. Kaikilla n ∈ N, n ≥ 3, on olemassa sellainen r ∈ N, että jos tasossa on
r pistettä, joista mitkään kolme eivät ole samalla suoralla, niin niistä voidaan valita n,
jotka muodostavat kuperan n-kulmion.
Todistus. Valitaan r = R4 (n). Olkoon A tasojoukko, jolle |A| = r ja jonka pisteistä
mitkään kolme eivät ole samalla suoralla. Tarkastellaan väritystä
4
χ: [A] → {0, 1}, χ(B) =
1, jos pisteet B ovat kuperan nelikulmion kärkiä
0, muuten.
Voidaan olettaa, että n ≥ 5. Ramseyn lauseen mukaan on olemassa
H ⊂ A, |H| = n,
4
4
jolle [H] on yksivärinen. Edellisen lemman mukaan χ [H] = {0} on mahdotonta,
koska on olemassa H0 ⊂ H, |H0 | = 4, jolle χ(H0 ) = 1. Siis χ [H]4 = {1}. Tästä
seuraa, että joukon H pisteet muodostavat kuperan n-kulmion.
18
II
1.
arettomien joukkojen Ramseyn teoriaa
A
Ääretön Ramseyn lause
Tarkastellaan tässä äärellisen Ramseyn teorian yleistystä, jossa äärelliset homogeeniset joukot korvataan äärettömillä.
1.1. Määritelmä. F ⊂ P (I) on joukon I filtteri (eli seula), jos seuraavat ehdot ovat
voimassa:
1) Ø ∈
/ F ja I ∈ F
2) ∀X, Y ⊂ I (X ∈ F, X ⊂ Y ⇒ Y ∈ F )
3) ∀X, Y ∈ F (X ∩ Y ∈ F )
Joukon I filtteri F on ultrafiltteri, jos lisäksi
4) ∀X ⊂ I (X ∈ F ∨ I T
r X ∈ F ).
Filtteri F on vapaa, jos F = Ø.
1.2. Esimerkki. Olkoon I ääretön joukko. Tällöin
F = { X ⊂ I | I r X äärellinen }
on filtteri, ns. Frechet’n filtteri. Se ei kuitenkaan ole ultrafiltteri, sillä joukon I voi
osittaa kahdeksi äärettömäksi joukoksi J ja K, joista kumpikaan ei kuulu F :ään: I rJ =
K ja I r K = J ovat äärettömiä.
1.3. Lemma. Olkoon F joukon I vapaa filtteri. Tällöin F ei sisällä äärellisiä joukkoja.
Todistus. Oletetaan vastoin väitettä, että
F ∩ [I]<ω 6= Ø
<ω
(missä [I]<ω = { X ⊂
TI | X äärellinen }). Olkoon X0 joukon F ∩[I] mahtavuudeltaan
pienin alkio. Koska F = Ø, on olemassa sellainen Y , että X0 * Y . Mutta tällöinhän
X0 ∩ Y ∈ F ja |X0 ∩ Y | < |X0 |, mikä on ristiriita.
1.4. Seuraus. Vapaa ultrafiltteri sisältää Frechet’n filtterin.
Todistus. Jos F on joukon I vapaa ultrafiltteri ja X ⊂ I on sellainen, että I r X
on äärellinen, niin edellisen nojalla I r X ∈
/ F . Koska toisaalta F on ultrafiltteri, niin
joukoista X ja I r X toinen kuuluu F :ään, siis X ∈ F .
1.5. Lemma. Olkoon A ⊂ P(I) epätyhjä. Oletetaan, että perheellä
T A on äärellisten
leikkausten ominaisuus, ts. kaikilla äärellisillä B ⊂ A on voimassa B =
6 Ø. Tällöin
F = hAi = { X ⊂ I | ∃B ⊂ A(B on äärellinen ja
19
\
B ⊂ X) }
on filtteri.
Todistus. Koska A:lla on äärellistenTleikkausten ominaisuus, niin Ø 6= F . Koska A on
epätyhjä, on olemassa A ∈ A, joten {A} = A ⊂ I ja I ∈ F . Selvästi F on ylöspäin
suljettu.
on olemassa äärelliset B, B 0 ⊂ A,
T Lopuksi
T havaitaan,
Tettä jos0 X, YT ∈ F ,Tniin
0
0
joille B ⊂ X, B ⊂ Y ⇒ (B ∪ B ) = B ∩ B ⊂ X ∩ Y ⇒ X ∩ Y ∈ F (B ∪ B 0 on
äärellinen)
1.6. Lause.
Olkoon A ⊂ P(I) epätyhjä joukko, jolla on äärellisten leikkausten
ominaisuus. Tällöin on olemassa joukon I ultrafiltteri D, jolle A ⊂ D.
Todistus. Luetellaan joukon P(I) alkiot: P(I) = { Xα | α < κ }, missä κ = |P(I)| =
2|I| on P(I):n mahtavuus. Määritellään kasvava jono filttereitä Dα , α < κ, transfiniittisellä induktiolla ordianaalin α < κ suhteen.
1) Asetetaan D0 = hAi ⊃ A.
2) Olkoon α < κ; määritellään Dα+1 , kun Dα on määritelty. Osoitetaan, että I r
Xα ∈ Dα tai joukolla Dα ∪ {Xα } on äärellisten leikkausten ominaisuus. Oletetaan
nimittäin,
että I r X
T
Tα 6∈ Dα . Olkoon B ⊂ Dα ∪ {Xα } äärellinen. Jos B ⊂ Dα ,
niin
B
∈
D
⇒
B =
6 Ø, sillä DαTon filtteri. Muuten B = B0 ∪ {Xα } ja
α
T
T
B = B0 ∩ Xα = Y ∩ Xα , missä Y = B0 ∈ Dα . Nyt Y ∩ Xα 6= Ø, sillä muuten
Y ⊂ I r Xα , mistä seuraa I r Xα ∈ Dα , mikä on vastoin oletusta. Siis perheellä
Dα ∪ {Xα } on äärellisten leikkausten ominaisuus. Asetetaan
Dα ,
jos I r Xα ∈ Dα
Dα+1 =
hDα ∪ {Xα }i, muuten.
S
3) Olkoon γ < κ rajaordinaali. Tällöin asetetaan Dγ = α<γ Dα . Tämä Dγ on
filtteri.
S
Lopuksi asetetaan D = α<κ Dα . D on selvästi filtteri, ja jokaisella X ⊂ I on
olemassa α < κ, jolle X = Xα . Konstruktion mukaan joko X = Xα ∈ Dα ⊂ D tai
I r X = I r Xα ∈ Dα ⊂ D.
1.7. Seuraus. Jokaisella äärettömällä I on olemassa joukon I vapaa ultrafiltteri.
Todistus. Olkoon F joukon I Frechet’n
lauseen mukaan on olemassa
T filtteri.
T Edellisen
T
joukon I ultrafiltteri D ⊃ F . Koska D ⊂ F ⊂ i∈I I r {i} = Ø, niin ultrafiltteri
D on vapaa.
1.8. Ramseyn lause äärettömille verkoille.
ääretön klikki tai ääretön riippumaton joukko.
Äärettömässä verkossa on aina
Todistus. Olkoon G = (V, E) ääretön verkko. Edellisen seurauksen mukaan on olemassa V :n vapaa ultrafiltteri D. Merkitään jokaisella x ∈ V
Nx = { y ∈ V | (x, y) ∈
E }. Asetetaan A = { x ∈ V | Nx ∈ D }. Osoitetaan, että jos A ∈ D, niin verkossa G
on ääretön klikki, muuten ääretön riippumaton joukko.
1) Oletetaan, että A ∈ D. Valitaan induktiolla alkiot
ai ∈ Ai = A ∩
i−1
\
j=0
20
Naj ,
kun i ∈ N. Kyseinen joukko Ai on epätyhjä, sillä se on äärellinen leikkaus ultrafiltteriin
D kuuluvista joukoista A, Nai (j = 0, . . . , i−1) ja V r{a0 , . . . , ai−1 }. (Viimeisen joukon
kohdalla tämä pätee, koska D on vapaa.) Valituista alkioista voidaan muodostaa ääretön
klikki
K = { ai | i ∈ N }.
Nimittäin aj 6∈ {a0 , . . . , aj−1 } ⇒ ai 6= aj ja aj ∈ Nai ⇒ (ai , aj ) ∈ E, kun i < j.
2) Oletetaan sitten, että A 6∈ D. Havaitaan, että V r A = { x ∈ V | Nx 6∈ D } =
{ x ∈ V | V r Nx ∈ D }. Riippumaton joukko voidaan siis rakentaa kuten edellä
valitsemalla nyt
ai ∈ ((V r A) ∩
i−1
\
(V r Naj ) r { aj | j = 0, . . . , i − 1 },
j=0
kun i ∈ N. Tässä tapauksessa I = { ai | i ∈ N } on ääretön riippumaton joukko.
1.9. Ääretön Ramseyn lause.
Olkoot k, c ∈ N∗ . Olkoon χ: [N]k → c väritys.
Tällöin on olemassa ääretön H ⊂ N, jolle [H]k on yksivärinen.
Todistus. Olkoon D joukon N vapaa ultrafiltteri. Määritellään värityksen χ eräänlaiset
projektiot D:n suhteen:
χk = χ
χ` : [N]` → c, χ` (A) = v,
missä v on se yksikäsitteinen v, jolla
Uv = { b ∈ N r A | χ`+1 (A ∪ {b}) = v } ∈ D,
` = 0, . . . , k − 1. (Joukot Uv muodostavat joukon N r A osituksen { Uv | v ∈ c } r {Ø}.)
Merkitään v ∗ :llä sitä väriä, jolle χ0 (Ø) = v ∗ . Valitaan induktiolla luvut ai ∈ N niin,
että kaikilla ` = 0, . . . , k ja eri alkioilla i0 , . . . , i`−1 ∈ N pätee χ` ({ai0 , . . . , ai`−1 }) = v ∗ .
Oletetaan, että a0 , . . . , ai−1 on jo valittu niin, että ehto pätee niiden kohdalla. Olkoon
S ∈ [{a0 , . . . , ai−1 }]<k . Induktio-oletuksen mukaan
NS = { b ∈ N | b > ai−1 , χ|S|+1 (S ∪ {b}) = v ∗ } ∈ D,
sillä χ|S| (S) = v ∗ . Siis
N=
\
S∈[{a0 ,...,ai−1
NS ∈ D,
}]<k
joten voidaan valita ai ∈ N , joka toteuttaa vaaditut ehdot. Asetetaan H = { ai | i ∈ N }.
Tällöin H on ääretön, koska jono (ai )i∈N on kasvava. Lisäksi
χ[[H]k ] = χk [[H]k ] = {v ∗ }.
21
1.10. Äärettömästä Ramseyn lauseesta seuraa äärellinen.
Vastaoletus: On olemassa sellaiset k, n, c ∈ N∗ , että kaikilla r ∈ N on olemassa
sellainen väritys χ∗r : [r]k → c, että ei ole olemassa joukkoa H ⊂ r, |H| = n, jolle [H]k
olisi yksivärinen.
Laajennetaan jokainen χ∗r , r ∈ N, kuvaukseksi χr : [N]k → c, χ∗r ⊂ χr . Näitä
k
värityksiä voidaan ajatella topologisena avaruutena X = [N] c, missä värien avaruus c
on diskreetti. Koska c on äärellinen, se on kompakti ja Tihonovin lauseen mukaan X on
kompakti. X on myös Hausdorffin avaruus. Tämän avaruuden kantana on
B = { Bξ | ξ : A → c, A ⊂ [N]k äärellinen },
missä Bξ = { χ ∈ X | ξ ⊂ χ }.
Jonolla (χr )r∈N∗ on avaruudessa X kosketuspiste, sillä joko { χr | r ∈ N } on
äärellinen tai {χr |r ∈ N} on ääretön, joten sillä on kompaktissa Hausdorffin avaruudessa
kasaantumispiste. Olkoon tämä kosketusarvo χ. Äärettömän Ramseyn lauseen mukaan
väritystä χ : [N]k → c vastaa ääretön H0 ⊂ N, jolle [H0 ]k on yksivärinen. Erityisesti
mielivaltaisesti valitulle H ⊂ H0 , |H| = n kuvaus ξ = χ[H]k on vakio.
Tarkastellaan värityksen χ ympäristöä Bξ . Koska χ on jonon (χr )r∈N kosketusarvo,
on olemassa äärettömän monta r ∈ N∗ , jolle χr ∈ Bξ . Valitsemalla riittävän suuri
tällainen r ∈ N∗ , pätee siis H ⊂ r ja χr ∈ Bξ eli ξ ⊂ χr eli χ∗r [H]k = χr [H]k on vakio,
mikä on ristiriidassa χ∗r :n valinnan kanssa.
2.
Malliteoreettinen sovellus
2.1. Määritelmä. Olkoon τ aakkosto ja A τ -malli sekä ≤ Dom(A):n lineaarijärjestys.
X ⊂ Dom(A) on joukko erottumattomia alkioita mallissa järjestyksen ≤ suhteen, jos
aina kun ā, b̄ ∈ X <ω ovat samantyyppisiä järjestyksen ≤ suhteen, niin
hA, āi ≡ hA, b̄i
eli jokaiselle aakkoston τ ensimmäisen kertaluvun kaavalle ϕ(x̄), missä |x̄| = |ā|, pätee
A |= ϕ[ā] ⇐⇒ A |= ϕ[b̄].
Kvanttoriaste:
qr(ϕ) = 0, jos ϕ on kvanttoriton
qr(¬ϕ) = qr(ϕ)
qr(ϕ ∧ ψ) = max{qr(ϕ), qr(ψ)}
qr(∃xϕ(x)) = qr(ϕ) + 1
22
2.2. Määritelmä. Olkoon A τ -malli, q ∈ N, ≤ Dom(A):n lineaarijärjestys. X ⊂
Dom(A) on joukko erottumattomia alkioita mallista A järjestyksen ≤ suhteen kvanttoriasteeseen q saakka k muuttujan suhteen, jos kaikilla järjestyksen ≤ suhteen samantyyppisillä ā, b̄ ∈ X <ω ja FO-kaavoilla ϕ(x̄) (|x̄| = |ā|), qr(ϕ) ≤ q on voimassa
A |= ϕ[ā] ⇐⇒ A |= ϕ[b̄].
2.3. Lemma. Olkoon τ äärellinen aakkosto, A ääretön τ -malli ja ≤ Dom(A):n lineaarijärjestys. Tällöin jokaisella q ∈ N on olemassa ääretön joukko X kvanttoriasteeseen
q k muuttujan suhteen erottumattomia alkioita.
Todistus. (hahmotelma) Kiinnitetään q ∈ N, |x̄| = k ja olkoon Φ äärellinen joukko korkeintaan kvanttoriastetta q olevia aakkoston τ FO-kaavoja ϕ(x̄), joka sisältää loogista
ekvivalenssia vaille kaikki tällaiset kaavat. Väritetään [Dom(A)]k seuraavasti kuvauksella χ : [Dom(A)]k → P (Φ) :
χ(A) = { ϕ ∈ Φ | A |= ϕ(ā) }
missä A = {a0 , . . . , ak−1 }, a0 < a1 < · · · < ak−1 ja ā = (a0 , . . . , ak−1 ). Koska χ on
äärellinen väritys, Ramseyn lauseen mukaan on olemassa ääretön X ⊂ Dom(A), jolle
[X]k on yksivärinen.
2.4. Lause.
Olkoon τ äärellinen relationaalinen aakkosto ja A ääretön τ -malli.
Tällöin on olemassa B ≡ A ja Dom(B):n lineaarijärjestys ≤ jolle on olemassa ääretön
joukko X erottumattomia alkioita.
Todistus. (hahmotelma) Olkoon T = T h(A). Tarkastellaan seuraavaa teoriaa laajennetussa aakkostossa σ = τ ∪ {≤} ∪ { cn | n ∈ N }.
T 0 = T ∪ {”≤ on lineaarijärjestys”}
∪ {ϕ(ci0 , . . . , cin−1 ) ↔ ϕ(cj0 , . . . , cjn−1 ) | i0 < i1 < . . . < ik−1 ,
j0 < j1 < . . . jk−1 , iu , ju ∈ N, ϕ aakkoston τ kaava}
Edellisen lemman mukaan T 0 :n äärellisillä osajoukoilla on malli. Kompaktisuuslauseen
mukaan on olemassa B |= T 0 .
3.
Hindmanin lause
Tavoitteena on osoittaa, että jokaiseen luonnollisten lukujen joukon N äärelliseen
väritykseen liittyy ääretön joukko, jonka alkioista muodostetut äärelliset summat ovat
samanvärisiä. Tämän ns. Hindmanin lauseen todistamiseen käytetään Glazerin ideaa.
Tämä perustuu sellaisen ultrafiltterin D käyttöön, joka toteuttaa symbolisesti ehdon
D + D = D. Tällaisen olemassaolo perustuu viime kädessä seuraavaan lauseeseen:
23
3.1. Lause.
(Idempotenssilause) Varustetaan joukko E sekä topologialla T että
laskutoimituksella ·: E × E → E. Oletetaan, että (E, T ) on kompakti Hausdorffin
avaruus ja (E, ·) on puoliryhmä eli · on liitännäinen. Oletetaan, että kaikilla g ∈ E
kuvaus ψg : E → E, ψg (f ) = f · g on jatkuva. Tällöin on olemassa g ∈ E, jolle g 2 = g.
Todistus. Olkoon A niiden osajoukkojen A ⊂ E joukko, joille A on suljettu (E, T ):ssä
ja A on suljettu laskutoimituksen · suhteen sekä A 6= Ø. Koska E ∈ A, niin A 6= Ø.
T
Olkoon C ⊂ A ketju, ts. (C, ⊂) on lineaarijärjestys ja C =
6 Ø. Merkitään C = C.
C on tietenkin suljettujen joukkojen leikkauksena suljettu, mutta koska C:n alkiot ovat
kompaktin Hausdorffin
T avaruuden suljettuja osajoukkoja, joiden äärelliset leikkaukset
ovat C:ssä, niin C = C 6= Ø. C on tietenkin suljettu laskutoimituksen suhteen, joten
C ∈ C.
Zornin lemmasta seuraa siis, että A:ssä on minimaalinen alkio X. Valitaan g ∈ X
mielivaltaisesti. Tarkastellaan joukkoa
Xg = { xg | x ∈ X } = ψg [X].
Koska X on kompaktin Hausdorffin avaruuden suljettuna osajoukkona kompakti ja ψg
on jatkuva, niin Xg = ψg [X] on suljettu. Tietenkin Xg 6= Ø. Kaikilla x, y ∈ X pätee
(xg)(yg) = (xgy)g ∈ Xg, joten Xg on suljettu laskutoimituksen suhteen. Siis Xg ∈ A.
Lisäksi Xg ⊂ X, joten X:n minimaalisuuden nojalla Xg = X. Siis jollakin f ∈ X pätee
f g = g. Merkitään
B = { f ∈ X | f g = g }.
Joukko B on suljettu laskutoimituksen · suhteen, sillä kaikilla f0 , f1 ∈ B
(f0 f1 )g = f0 (f1 g) = f0 g = g.
Toisaalta
B = { f ∈ X | ψg (f ) ∈ {g} } = ψg−1 [{g}]
on yksiön alkukuvana jatkuvassa kuvauksessa suljettu. Koska B 6= Ø, saadaan B ∈ A,
B ⊂ X, mistä seuraa X:n minimaalisuuden nojalla B = X. Koska g ∈ X = B, niin
g · g = g.
3.2. Määritelmä. Olkoon D joukon I ja E joukon J filtteri. Filtterien D ja E tulo
D ⊗ E on niiden A ⊂ I × J joukko, joille
{ j ∈ J | { i ∈ I | (i, j) ∈ A } ∈ D } ∈ E.
(Intuitiivisesti: E-m.k. j pätee, että D-m.k. i pätee (i, j) ∈ A.)
3.3. Lemma. Filtterien tulo on filtteri ja ultrafiltterien tulo on ultrafiltteri.
Todistus. Olkoon D joukon I ja E joukon J filtteri. Merkitään
p:P(I × J) → P(J),
p(A) = { j ∈ J | { i ∈ I | (i, j) ∈ A } ∈ D }.
24
Tällöin D ⊗ E = { A ⊂ I × J | p(A) ∈ E } ja projektiolla on seuraavia ominaisuuksia:
1) p(Ø) = { j ∈ J | Ø ∈ D } = Ø ja p(I × J) = { j ∈ J | I ∈ D } = J.
2) Jos A ⊂ B ⊂ I × J, niin jokaisella j ∈ J pätee
{ i ∈ I | (i, j) ∈ A } ⊂ { i ∈ I | (i, j) ∈ B },
3)
mistä seuraa p(A) ⊂ p(B).
Olkoot A, B ⊂ I × J. Merkitään jokaisella j ∈ J Aj = { i ∈ I | (i, j) ∈ A },
Bj = { i ∈ I | (i, j) ∈ B } ja Cj = { i ∈ I | (i, j) ∈ A ∩ B }. Tällöin
Cj = Aj ∩ Bj , joten Cj ∈ D ⇐⇒ Aj ∈ D ∧ Bj ∈ D. Siis
p(A ∩ B) = { j ∈ J | Cj ∈ D } = p(A) ∩ p(B).
Näistä ominaisuuksista seuraa, että D ⊗ E on filtteri,
Jos D ja E ovat ultrafilttereitä, niin lisäksi on voimassa
p((I × J) r A) = { j ∈ J | { i ∈ I | (i, j) 6∈ A } ∈ D }
= { j ∈ J | I r { i ∈ I | (i, j) ∈ A } ∈ D }
= J r { j ∈ J | { i ∈ I | (i, j) ∈ A } ∈ D }
= J r p(A)
4)
ja
A ∈ D ⊗ E ⇐⇒ p(A) ∈ E ⇐⇒ J r p(A) 6∈ E
⇐⇒ p((I × J) r A) 6∈ E ⇐⇒ (I × J) r A 6∈ D ⊗ E,
kun A ⊂ I × J.
3.4. Määritelmä. Olkoon f : I → J kuvaus ja D joukon I filtteri. Filtteri E saadaan
Rudin–Keisler-palautuksella f filtteristä D, jos
E = { A ⊂ J | f −1 [A] ∈ D } = f −1 [[D]].
3.5. Lemma. Olkoon f : I → J kuvaus ja D joukon I filtteri. Tällöin
E = { A ⊂ J | f −1 [A] ∈ D }
on joukon J filtteri. Jos D on ultrafiltteri, niin myös E on ultrafiltteri.
Todistus. Ø 6∈ E, koska f −1 [Ø] 6∈ D. J ∈ E, koska f −1 [J] = I ∈ D. E on selvästi
ylöspäin suljettu. E on myös leikkausten suhteen suljettu, koska
f −1 [A ∩ B] = f −1 [A] ∩ f −1 [B],
kun A, B ⊂ J. Jos D on ultrafiltteri, myös E on, koska f −1 [J r A] = I r f −1 [A], kun
A ⊂ J.
25
3.6. Määritelmä. Joukon N filttereiden D ja E summa on se filtteri D + E, joka
saadaan Rudin–Keisler-palautuksella +: N × N → N filtteristä E ⊗ D.
3.7. Lemma.
joukossa.
Filtterien summa on liitännäinen laskutoimitus joukon N filtterien
Todistus. Olkoot D, E ja F joukon N filttereitä. Kun A ⊂ N,
A ∈ D + E ⇐⇒ +−1 [A] ∈ E ⊗ D
⇐⇒ { m ∈ N | { n ∈ N | (n, m) ∈ +−1 [A] } ∈ E } ∈ D
⇐⇒ { m ∈ N | { n ∈ N | m + n ∈ A } ∈ E } ∈ D.
. m = { n ∈ N | m + n ∈ A }. Asetetaan jokaisella
Kun A ⊂ N ja m ∈ N, merkitään A −
joukon N filtterillä U
. m∈U}
ψU : P(N) → P(N), ψU (A) = { m ∈ N | A −
Tällöin
A ∈ D + E ⇐⇒ ψE (A) ∈ D
(1)
A ∈ D ⇐⇒ 0 ∈ ψD (A).
(2)
Lisäksi havaitaan, että
Näistä saadaan yhdistämällä
0 ∈ ψD+E (A) ⇐⇒ A ∈ D + E
(2)
⇐⇒ ψE (A) ∈ D
(1)
⇐⇒ 0 ∈ ψD (ψE (A)) = ψD ◦ ψE (A)
(2)
Lisäksi jokaisella n ∈ N
. n) ⇐⇒ (A −
. n) −
. m∈U
m ∈ ψU (A −
. (m + n) ∈ U
⇐⇒ A −
⇐⇒ m + n ∈ ψU (A)
. n
⇐⇒ m ∈ ψU (A) −
Siis kaikilla m ∈ N
. m)
m ∈ ψD+E (A) ⇐⇒ 0 ∈ ψD+E (A −
. m)) = ψ (ψ (A) −
. m) = ψ (ψ (A)) −
. m
⇐⇒ 0 ∈ ψD (ψE (A −
D
E
D
E
⇐⇒ m ∈ ψD (ψE (A)) = ψD ◦ ψE (A),
joten ψD+E (A) = ψD ◦ ψE (A). Tästä seuraa, että
ψD+E = ψD ◦ ψE ,
26
joten
ψD+(E+F ) = ψD ◦ ψE ◦ ψF = ψ(D+E)+F .
Lopuksi saadaan
A ∈ D + (E + F ) ⇐⇒ 0 ∈ ψD+(E+F ) (A) = ψ(D+E)+F (A)
⇐⇒ A ∈ (D + E) + F
3.8. Hieman topologiaa. Kun X on joukko, niin avaruus P(X) voidaan varustaa
topologialla, jonka indusoi kanoninen bijektio
f : P(X) → X 2, f (A) = χA ,
missä χA on karakteristinen funktio
χA : X → 2 = {0, 1}, χA (x) =
1, kun x ∈ A
0, muuten.
Tässä 2 varustetaan diskreetillä topologialla. Avaruudessa
X
2 topologian kanta
B = { Bg | dom g äärellinen , rg(g) ⊂ 2 }
missä
Bg = { f : X → 2 | g ⊂ f }
Merkitään P = g −1 [{1}], N = g −1 [{0}]; tällöin
f −1 [Bg ] = U (P, N ),
missä
U (P, N ) = { A ⊂ X | P ⊂ A, A ∩ N = Ø }.
Avaruuden P(X) kannaksi saadaan siis
{ U (P, N ) | P, N ⊂ X äärellisiä , P ∩ N = Ø }
Merkitään U:lla joukon N ultrafiltterien joukkoa. Tiedetään jo, että (U, +) on puoliryhmä. U perii topologian avaruudesta P(P(N)).
3.9. Lemma. Kun E ∈ U, kuvaus
ΨE : U → U, ΨE (D) = D + E
on jatkuva.
Todistus. Olkoon ψE kuten edellisen lemman todistuksessa. Tällöin
A ∈ ΨE (D) = D + E ⇐⇒ ψE (A) ∈ D
27
Kun P, N ⊂ P(N) ovat äärellisiä, P ∩ N = Ø, niin
Ψ−1
E [U (P, N )] ={ D ∈ U | ΨE (D) ∈ U (P, N ) }
={ D ∈ U | P ⊂ ΨE (D), ΨE (D) ∩ N = Ø }
={ D ∈ U | ψE [P ] ⊂ D, ψE [N ] ∩ D = Ø }
=U (ψE [P ], ψE [N ]) ∩ U
Peruskantajoukkojen alkukuvat ovat siis peruskantajoukkoja, joten ΨE on jatkuva.
3.10. Lemma. U on kompakti Hausdorffin avaruus.
Todistus. Koska Hausdorffin ehto säilyy tuloissa ja on perinnöllinen, U on Hausdorffin
avaruus. Tihonovin lauseen mukaan P(P(N)) on kompakti. Pitää siis osoittaa, että U
on suljettu avaruudessa P(P(N)). Olkoon V ∈ P(P(N)) \ U. Tällöin jokin seuraavista
pätee:
1) Ø ∈ V
2) P(N) 6∈ V
3) on olemassa X, Y ⊂ P(N), X ⊂ Y , mutta X ∈ V ja Y 6∈ V .
4) on olemassa X, Y ⊂ P(N), joilla X, Y ∈ V , mutta X ∩ Y 6∈ V ,
5) on olemassa X ⊂ P(N), joilla X 6∈ V ja P(N) \ X 6∈ V .
Huomataan, että tapauskohtaisesti sopivilla valinnoilla P, N ⊂ P(N) pätee
V ∈ U (P, N ) ⊂ P(P(N)) \ U:
1) P = {Ø}, N = Ø
2) P = Ø, N = {P(N)}
3) P = {X}, N = {Y }
4) P = {X, Y }, N = {X ∩ Y }
5) P = Ø, N = {X, P(N) \ X}
Siis P(P(N)) \ U on avoin, U on suljettu ja kompakti.
3.11. Lause. On olemassa joukon N vapaa ultrafiltteri, jolle D + D = D.
Todistus. Merkitään U 0 = U \ {D0 }, missä D0 = { A ⊂ N | 0 ∈ A }. Tällöin U 0 on
suljettu ja siis kompakti. U 0 on suljettu filtterien summan suhteen (HT). (U 0 , +) on
siis puoliryhmä, jokaisella E ∈ U 0 ΨE U 0 on jatkuva ja U 0 on kompakti Hausdorffin
avaruus, joten idempotenssilauseen mukaan on olemassa D ∈ U 0 , jolle D + D = D. D
on vapaa, sillä muuten se olisi muotoa D = { A ⊂ N | m ∈ A } jollakin m ∈ N∗ . Helppo
lasku osoittaa, että D + D = { A ⊂ N | 2m ∈ A }, ristiriita.
3.12. Hindmanin lause. Olkoon A joukon N ositus äärellisen moneen osaan. Tällöin
on olemassa
sellainen A ∈ A ja ääretön S ⊂ N, että kaikilla äärellisillä epätyhjillä S0 ⊂ S
P
pätee a∈S0 a ∈ A.
Todistus. Edellisen lauseen mukaan on olemassa vapaa ultrafiltteri D, jolle D+D = D.
Määritellään induktiivisesti joukot Ai ∈ D ja alkiot ai ∈ N, kun i ∈ N. Asetetaan
joukoksi A0 se yksikäsitteinen A ∈ A, jolle A ∈ D. Kun Ai on jo valittu, valitaan
. a ∈ D. Tämä on mahdollista, koska kaikilla B ⊂ N pätee
ai ∈ Ai , jolle Ai −
i
. m ∈ D} ∈ D
B ∈ D = D + D ⇐⇒ { m ∈ N | B −
. m ∈ D } ∈ D.
⇐⇒ { m ∈ B | B −
28
. a ) r { m ∈ N | m ≤ a }, jolloin A
Asetetaan Ai+1 = Ai ∩ (Ai −
i
i
i+1 ∈ D. Asetetaan
lopuksi S = { ai | i ∈ N }.
P
Osoitetaan induktiolla äärellisen epätyhjän joukon S0 koon suhteen, että a∈S0 a ∈
Ai , missä i ∈ N on se indeksi,
jolle ai = min S0 .
P
1) Jos S0 = {ai }, niin a∈S0 a = ai ∈ Ai .
2) Oletetaan, että |S0 | ≥ 2.
P Olkoon j ∈ N indeksi, jolle aj = min(S0 r{ai }). Induktiooletuksen mukaan s = a∈S0 r{ai } a ∈ Aj . Koska jono (Ak )k∈N on laskeva ja i < j,
P
. a , joten P
pätee s ∈ Ai+1 ⊂ Ai −
= ai + a∈S0 r{ai } a = ai + s ∈ Ai .
i
a∈S0 a P
Erityisesti kaikilla äärellisillä S0 6= Ø pätee a∈S0 a ∈ A0 .
4.
Erdősin ja Radon osituslaskenta
Erdős ja Rado rupesivat käyttämään seuraavaa merkintää: Olkoot k, c, n, r kardinaaleja. Merkintä
r −→ (n)kc
tarkoittaa, että jos joukolle X pätee |X| = r ja χ: [X]k −→ C on väritys, missä |C| = c,
niin on olemassa H ⊂ X, jolle |H| = n ja [H]k on yksivärinen. Oletusarvoisesti c = 2,
joten r −→ (n)k on sama kuin r −→ (n)k2 .
Kurssin kuluessa saatuja tuloksia voidaan siis merkitä
6 −→ (3)22 , 18 −→ (4)22 ,
∀n ∈ N∗ ∃r ∈ N∗ (r −→ (n)22 ),
(verkkojen Ramseyn lause)
∗
∗
k
∀n, k ∈ N ∃r ∈ N (r −→ (n)2 ),
(äärellinen Ramseyn lause relaatioille)
∗
∗
k
∀n, k, c ∈ N ∃r ∈ N (r −→ (n)c ),
(äärellinen Ramseyn lause)
2
ℵ0 −→ (ℵ0 )2 ,
(ääretön verkkojen Ramseyn lause)
∗
k
∀k, c ∈ N (ℵ0 −→ (ℵ0 )c ),
(ääretön Ramseyn lause).
Äärellinen Ramseyn lause saatiin relaatioiden vastaavasta lauseesta seuraavalla havainnolla:
r −→ (s)k2 & s −→ (n)k2k ⇒ r −→ (n)k2k+1
4.1. Hieman kardinaaleista. Jokaista joukkoa A vastaa yksikäsitteinen kardinaali
κ, jolle on olemassa bijektio f : A → κ. Tätä merkitään |A| = κ (A:n mahtavuus on κ.)
Tiedetään, että |P(κ)| = 2κ > κ (todistetaan Cantorin diagonaaliargumentilla).
Jokaisella κ on olemassa pienin kardinaali λ, jolle λ > κ. Tätä merkitään λ = κ+ .
Transfiniittisellä rekursiolla määritellään ℵ- ja i-hierarkiat
ℵ0 = ω
ℵα+1 S
= ℵ+
α
ℵγ = α<γ ℵα
i0 = ω
iα+1 S
= 2iα
iγ = α<γ iα ,
29
kun γ on rajaordinaali.
Yleisemmin merkitään myös, kun κ on kardinaali:
ℵ0 (κ) = i0 (κ) = κ
ℵα+1 (κ) S
= ℵα (κ)+
iα+1 (κ) S
= 2iα (κ)
ℵγ (κ) = α<γ ℵα (κ) iγ (κ) = α<γ iα (κ),
kun γ on rajaordinaali.
Seuraavassa on esimerkki siitä, että ylinumeroituvat mahtavuudet käyttäytyvät
toisin kuin numeroituvat osituslaskennassa.
4.2. Esimerkki. Valinta-aksioomasta seuraa, että joukon R voi hyvinjärjestää eli on
olemassa joukon R hyvinjärjestys . Määritellään väritys χ: [R]2 → 2,
1, jos x ≤ y ⇐⇒ x y
χ({x, y}) =
0, muuten.
Osoitetaan, ettei ole olemassa ylinumeroituvaa homogeenista H ⊂ R. Muutenhan (H, ) olisi hyvinjärjestetty joukko, |H| ≥ ω1 , ja joko
(1) kaikilla x, y ∈ H pätee x ≤ y ⇐⇒ x y
tai
(2) kaikilla x, y ∈ H on voimassa x ≤ y ⇐⇒ x y.
Tällöin on olemassa järjestyksen suhteen aidosti kasvava jono (xα )α<ω1 H:n
alkioita. Valitaan jokaisella α < ω1 lukujen xα ja xα+1 välistä rationaaliluku qα ∈
Q. Nämä alkiot ovat eri lukuja, koska (xα )α<ω1 on joko aidosti kasvava tai laskeva
luonnollisen järjestyksen suhteen. Siis Q on ylinumeroituva, mikä on ristiriita.
Siis värityksen χ homogeeniset joukot ovat numeroituvia ja
2ω−→
6
(ω1 )22 .
Positiivisia tuloksia saadaan, kun tarkastellaan riittävän suuria perusjoukkoja. Tätä
varten tarvitaan seuraava aputulos.
4.3. Lemma. Olkoon κ ääretön kardinaali, n ∈ N∗ ja |X| ≥ 2κ . Olkoon jokaisella
a ∈ X fa : [X]n → ω. Tällöin on olemassa A ⊂ X, jonka mahtavuus on 2κ ja jolle pätee
seuraavaa: Kaikilla C ⊂ A, u ∈ X r C, missä |C| = κ, on olemassa a ∈ A r C, jolle
fu [C]n = fa [C]n .
Todistus. Ensiksi havaitaan, että kaikilla A ⊂ X, |A| = 2κ , on olemassa sellainen
A∗ ⊂ X, |A∗ | = 2κ , että kaikilla C ⊂ A ja u ∈ X r C, |C| = κ, on olemassa a ∈ A∗ r C,
jolle fu [C]n = fa [C]n . Tämä pätee, koska joukon
F = { fu [C]n | C ∈ [A]κ , u ∈ X r C }
mahtavuus on korkeintaan
ω |[C]
n
|
· |[A]κ | = (2κ )κ · ω κ = 2κ · ω κ = 2κ · 2κ = 2κ .
Valitaan jokaisella y ∈ F sellainen ay , että jos dom(y) = [C]n , niin fay [C]n = y ja
ay 6∈ C. Tällöin A∗ = A ∪ { ay | y ∈ F } on halutunlainen.
Määritellään nyt joukko A transfiniittisellä
induktiolla: A0 ⊂ X, |A0S
| = 2κ on
S
∗
mielivaltainen, Aα+1 = Aα , Aγ = α<γ Aα , kun γ on rajaordinaali ja A = α<κ+ Aα .
Tällöin |A| = 2κ . Jos C ∈ [A]κ , u ∈ X r C, niin C ⊂ Aα jollakin α < κ+ . Siis on
olemassa a ∈ Aα+1 r C ⊂ A r C, jolle fu [C]n = fa [C]n .
30
4.4. Erdősin ja Radon osituslause. Kaikilla n ∈ N
n+1
i+
.
n −→ (ω1 )ω
Todistus. Edetään induktiolla luvun n ∈ N suhteen.
+
1) Kun n = 0, i+
= ω1 , joten tarkistettavana on ω1 −→ (ω1 )1ω . Tämä on
0 = ω
yksi yleistetyistä laatikkoperiaatteista: Jos nimittäin |X| > ω ja χ: X → ω, niin jokin
χ−1 [{k}] on ylinumeroituva, sillä muuten kaikki olisivat numeroituvia ja X numeroituva.
n+1
2) Oletetaan, että i+
. Olkoon χ: [X]n+2 → ω, missä |X| ≥ i+
n −→ (ω1 )ω
n+1 .
Merkitään jokaisella a ∈ X fa : [X]n+1 → ω,
fa (x) =
0,
jos a ∈ X
χ(x ∪ {a}), muuten.
Sovelletaan lemmaa tapauksessa κ = in : On olemassa A ⊂ X, jolle |A| = 2in = in+1
ja kaikilla C ⊂ A, u ∈ X r C voidaan valita a ∈ A r C, jolle fu [C]n+1 = fa [C]n+1 .
Kiinnitetään u ∈ X r A ja valitaan transfiniittisellä induktiolla alkiot aα ∈ A, kun
+
α < i+
n . Valitaan a0 ∈ A mielivaltaisesti. Oletetaan, että α < in , α 6= 0 ja Cα = { aβ |
β < α } on jo määritelty. Valitaan aα niin, että fu [Cα ]n+1 = faα [Cα ]n+1 . Merkitään
+
+
n+1
B = { aα | α < i+
, väritykseen fu [B]n+1 liittyy
n }. Koska |B| = in ja in −→ (ω1 )ω
H ⊂ B, jolle fu [H]n+1 on vakio. Olkoon v ∈ N se luku, jolle fu (x) = v kaikilla x ∈
[H]n+1 . Olkoon x ∈ [H]n+2 ; tällöin x = {aα0 , . . . , aαn+1 }, missä α0 < · · · < an+1 < i+
n,
joten
χ(x) = χ({aα0 , . . . , aαn } ∪ {aαn+1 })
= faαn +1 ({aα0 , . . . , aαn })
= fu ({aα0 , . . . , aαn }) = v.
31
III
Verkkojen Ramseyn teoriaa
Kun äärellisen Ramseyn lauseen todistuksessa analysoidaan verkkoja, käytetään
hyväksi vain pientä osaa tarjolla olevasta informaatiosta: kiinnitetään solmu a0 ja jaetaan loput verkosta solmun a0 naapureihin ja muihin, sitten unohdetaan joko naapurit
tai muut, kiinnitetään lopusta verkosta solmu a1 ja jatketaan samaan tapaan. Koska
Ramseyn funktion tunnettujen ylä- ja alarajojen ero on suuri, on luonnollista ajatella,
että käytettyä tekniikkaa pystyttäisiin oleellisesti vahvistamaan. Tällainen ajattelutapa
on synnyttänyt yleistyksen, jota kutsutaan verkkojen Ramseyn teoriaksi. Alkuperäinen
tavoite, Ramseyn lukujen tarkempi arviointi, ei ole onnistunut, mutta alalla on huomattu olevan omakin arvonsa.
Tässä esitellään sekalainen valikoima tuloksia alalta.
1.5. Määritelmä. Verkko G = (V, E) on verkon G0 = (V 0 , E 0 ) aliverkko, jos V ⊂ V 0 ja
E ⊂ E 0 . Aliverkko G on indusoitu, jos E = E 0 ∩ (V × V ). Verkon G komplementtiverkko
on G = (V, E ∗ ), missä E ∗ = { (x, y) ∈ V ×V | x 6= y, (x, y) 6∈ E }. Verkkoa G kutsutaan
täydelliseksi, jos E = { (x, y) ∈ V × V | x 6= y }. Solmujoukkoa n = {0, . . . , n − 1}
vastaavaa täydellistä verkkoa merkitään Kn :llä.
Huom. Aliverkko ei yleensä ole alimalli, vaan aliverkko on alimalli täsmälleen silloin,
kun se on indusoitu aliverkko.
1.6. Esimerkki. Verkon K3 aliverkot ovat
0
•
1
2
0
1
1
2
•
•
•
•
•
•
(1 ja 2 alkion indusoidut aliverkot)
0
•
1
•
1
2
0
•
•
•
(muut 2 alkion aliverkot)
2
2
•
...
.•
.
.
.
2
•
.
......
... ....
... .....
.
.
...
..
..
...
................................
•
0
•
1
2 0
•......
.
... ...
...
...
...
...
•
0
.
...
...
...
.
..............................
•
•
1
•............................•..
1
...
...
...
..
................................
...
...
...
...
..
•
•
1
2 0
•.......
0
•
•
0
1
0
•
2
•
2
•
2
•
2 0
•.......
.
...
...
...
.
.
..
...
..
•
•
1
...
...
...
...
..
•
•
1
0
2
•
•
1
(3 alkion aliverkot)
1.7. Määritelmä. Olkoon m ∈ N∗ ja G0 , . . . , Gm−1 äärellisiä verkkoja. Näitä vastaava
verkkojen Ramseyn luku r(G0 , . . . , Gm−1 ) on pienin sellainen u ∈ N∗ , että kun χ: [X]2 →
m ja |X| = u, niin jollakin i ∈ m on olemassa i-värinen verkon Gi kopio:
32
Merkitään Gχi = (X, Ei ), missä
Ei = { (x, y) ∈ X × X | χ({x, y}) = i },
kun i ∈ m. Tällöin siis jollakin i ∈ m on olemassa Gχi :n aliverkko G0i ∼
= Gi .
Huom. Värityksen χ voi tietenkin määrätä antamalla verkot Gχi , i ∈ m.
1.8. Esimerkki. Määritetään pienimmät epätriviaalit verkkojen Ramseyn luvut
r(G, G) ja r(G, K3 ), kun G on kolmen solmun verkko, jossa on kaksi särmää (tämä
on isomorfiaa vaille yksikäsitteinen). Tällöin r(G, G) = 3, koska jos kolmen solmun
verkossa ei ole vähintään kahta särmää, niin sen komplementissa on. r(G, K3 ) > 4, sillä
väritys χ, jolle
•
•
•
•.................................................•...
•
•
•
χ
G1 = Gχ0
..... ....
........
....
..... .........
.
.
.
.
.....
...
.
.
.
..................................
Gχ0
ei sisällä 0-väristä G:tä eikä 1-väristä K3 :a. Osoitetaan, että r(G, K3 ) ≤ 5, jolloin
r(G, K3 ) = 5. Olkoon χ: [X]2 → 2, missä |X| = 5. Gχ0 sisältää G:n kopion alimallinaan,
joss jonkin solmun aste on vähintään 2. Siis
X
2s =
degGχ0 (x) ≤ 5,
x∈X
missä s on verkon Gχ0 särmien lukumäärä, jotta Gχ0 ei sisältäisi G:tä. Toisaalta G:ssä
on vähemmän kuin 3 erillistä solmua ja siis 2s > 5 − 3 = 2, jotta Gχ1 = Gχ0 ei sisältäisi
K3 :a. Siis s = 2, joten jos Gχ0 ei sisällä G:tä, niin ainoa mahdollisuus on
•........
•
Gχ0
...
...
...
...
...
...
...
..
....
..
..
....
..
....
...
.....
.....
..
......
...
.......
.
.
.
.
....... ..
..........
.
............
...
.........
.............................
•
•
•
•......................................................................•.........
Gχ1
... .........
..... ....
..... .........
...
...
..... .....
..
...
.........
...
...
.. ......
.
.
..
.
.
.
.....
.
.
..
.
.
.
..... ....
... .........
..... ...
... .....
..... ..
...........................................................
•
•
•
Mutta tällöinhän Gχ1 sisältää K3 :n.
1.9. Määritelmä. Verkon G = (V, E) väritysluku on pienin sellainen m ∈ N∗ , että
solmujoukko V voidaan värittää m värillä niin, että samanväristen solmujen välillä ei ole
särmiä, ts. on olemassa väritys ξ: V → m, jolle ξ(x) 6= ξ(y), kun (x, y) ∈ E. Verkon G
värityslukua merkitään χ(G):llä. Merkitään G:n suurimman (yhtenäisen) komponentin
kokoa c(G):llä.
Vaativuusteoriassa 3COL = { G | G verkko, jolle χ(G) ≤ 3 } on tunnettu esimerkki
NP-täydellisestä ongelmasta. Jos onnistuu osoittamaan, että 3COL ∈ P, tai osoittamaan, että tämä ei pidä paikaansa, luvassa on 106 $.
33
1.10. Lause. Olkoot G ja H äärellisiä verkkoja. Tällöin
r(G, H) ≥ (χ(G) − 1)(c(H) − 1) + 1.
Todistus. Merkitään n = (χ(G)−1)(c(H)−1) ja osoitetaan, että väritykseen χ: [n]2 →
2 ei välttämättä liity 0-väristä G:tä tai 1-väristä H:ta. Merkitään
x
ψ: n → χ(G) − 1, ψ(x) =
c(H) − 1
ja
2
ξ: [n] → 2, ξ({x, y}) =
1, kun ψ(x) = ψ(y)
0, muuten.
Verkon Gξ0 voi värittää ψ:llä niin, että jos Gξ0 :ssa särmä solmujen x ja y välillä, niin
ψ(x) 6= ψ(y). Siis χ(Gξ0 ) ≤ χ(G)−1, joten Gξ0 ei sisällä G:n kopiota aliverkkonaan. Gξ1 :n
komponentit ovat c(H) − 1-alkioisia, joten Gξ1 ei voi sisältää H:n kopiota aliverkkonaan.
Huom. Jos tarkastelee verkkojen Ramseyn teoriaa äärellisen Ramseyn teorian yleistyksenä, tulos on vaatimaton:
R(n) = r(Kn , Kn ) ≥ (n − 1)(n − 1) + 1 = n2 − 2n + 2.
On kuitenkin tapauksia, jolloin lauseen epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus.
1.11. Lause. Olkoot m, n ∈ N∗ ja olkoon T m-solmuinen puu. Tällöin
r(Kn , T ) = (m − 1)(n − 1) + 1.
Todistus. Koska χ(Kn ) = n ja c(T ) = m, edellisestä lauseesta seuraa
r(Kn , T ) ≥ (m − 1)(n − 1) + 1.
Käänteinen epäyhtälö todistetaan induktiolla summan m + n suhteen. Tapauksiessa
m = 1 pätee r(Kn , T ) = 1 = 0 · (n − 1) + 1 ja tapauksessa n = 1 vastaavasti r(Kn , T ) =
1 = (m − 1) · 0 + 1, joten induktio pääsee alkuun.
Oletetaan, että m > 1 ja n > 1. Olkoon c puun T = (VT , ET ) lehti ja T 0 = T |(VT r
{c}) puu, joka saadaan, kun lehti c poistetaan puusta T . Olkoon b se yksikäsitteinen
solmu, jolle (b, c) ∈ ET . Olkoon G = (V, E) verkko, jossa on ainakin (m − 1)(n − 1) + 1
solmua. Koska induktio-oletuksesta seuraa (m − 1)(n − 1) + 1 ≥ (m − 2)(n − 1) + 1 =
r(Kn , T 0 ), G sisältää n solmun klikin tai G puun T 0 kopion (aliverkkonaan). Edellisessä
tapauksessa ei ole enää mitään todistettavaa, joten oletetaan, että G sisältää puun T 0
kopion, ts. jollakin f pätee f : T 0 ∼
= Te0 , missä Te0 on G:n aliverkko. Merkitään A =
Dom(Te0 ) ja sovelletaan induktio-oletusta nyt verkkoon G|(V r A), jossa on ainakin
(m − 1)(n − 1) + 1 − (m − 1) = (m − 1)(n − 2) + 1 solmua. Induktio-oletuksen mukaan
(m−1)(n−2)+1 = r(Kn−1 , T ), joten tämä verkko sisältää joko n−1 solmun klikin K tai
G|(V rA) puun T kopion. Jälkimmäisessä tapauksessa ei ole enää mitään todistettavaa,
joten oletetaan edellinen. Tarkastellaan solmun f (b) suhdetta klikkiin K. Jos kaikista
K:n solmuista on yhteys solmuun f (b), niin saadaan n solmun klikki K ∪ {f (b)}. Jos
taas jostain solmusta c0 ∈ K tällaista yhteyttä ei ole, niin f ∪ {(c, c0 )} upottaa puun T
verkon G aliverkoksi.
34
1.12. Määritelmä. Verkkojen G = (V, E) ja G0 = (V 0 , E 0 ) summa on verkko G∗ =
(V ∗ , E ∗ ), jonka solmujoukko on erillinen yhdiste V ∗ = V t V 0 = ({0} × V ) ∪ ({1} × V 0 )
ja särmärelaatio
E ∗ = { (0, x), (0, y) | (x, y) ∈ E } ∪ { (1, x), (1, y) | (x, y) ∈ E 0 }.
Merkitään G∗ = G + G0 ja määritellään
1·G=G
(n + 1) · G = n · G + G, kun n ∈ N∗ .
1.13. Lemma. Kaikilla n ∈ N∗ pätee r(nK3 , nK3 ) ≥ 5n.
Todistus. Olkoot X ja Y erillisiä joukkoja, joille |X| = 3n − 1 ja |Y | = 2n − 1 ja olkoon
a 6∈ X ∪ Y . Asetetaan V = X ∪ Y ∪ {a} ja
2
χ: [V ] → 2, χ({x, y}) =
0, x, y ∈ X tai x = a, y ∈ Y tai y = a, x ∈ Y
1, muuten.
Verkossa Gχ0 joukon Y ∪ {a} pisteet eivät sisälly yhteenkään 3 solmun klikkiin.
Koska |X| < 3n, niin nK3 ei ole verkon Gχ0 aliverkko. Verkossa Gχ1 solmu a ei sisälly
yhteenkään 3 solmun klikkiin. Kolmen solmun klikissä on korkeintaan yksi X:n alkio,
joten tällaisessa on vähintään kaksi Y :n alkiota. Koska |Y | < 2n, niin nK3 ei ole verkon
Gχ1 aliverkko.
1.14. Lemma. r(2K3 , 2K3 ) = 10.
Todistus. Edellisen lemman nojalla r(2K3 , 2K3 ) ≥ 10. Oletetaan vastoin väitettä, että
on olemassa sellainen 10 solmun verkko G = (V, E), että 2K3 ei suppoa verkkoon G eikä
verkkoon G. G:ssä ei tietenkään ole 6 solmun klikkiä, koska tästä saataisiin 2K3 :n kopio.
Osoitetaan, että G:ssä ei ole edes 5 solmun klikkiä. Oletetaan nimittäin, että tällainen
klikki K olisi olemassa. G|K sisältää tietenkin K3 :n kopion. V r K ei voi olla klikki,
koska silloin 2K3 uppoaisi G:hen. Siis on olemassa eri a, b ∈ V r K, joille (a, b) 6∈ E.
(V r K) r {a, b} ei voi olla klikki, joten on olemassa c, d ∈ V r K, joille (c, d) 6∈ E
ja a, b, c, d ovat eri alkioita. Huomataan, että mistään x ∈ V r K ei voi lähteä kahta
särmää K:hon, koska muuten olisi olemassa sellaiset y, z ∈ K, että G|{x, y, z} ∼
= K3 ja
∼
G|(Kr{y, z}) = K3 . Siis on olemassa vähintään kolme alkiota k ∈ K, joille (a, k) 6∈ E ja
35
(b, k) 6∈ E. Valitaan näistä yksi. Samoin huomataan, että on olemassa vähintään kaksi
solmua v ∈ K r {k}, joille (c, v) 6∈ E ja (d, v) 6∈ E. Siis G|{a, b, k} ∼
= K3 ∼
= G|{c, d, v},
∼
joten G|{a, b, k, c, d, v} = 2K3 . Tämä on ristiriidassa alkuoletuksen kanssa, joten G:ssä
ei ole 5 solmun klikkiä. Tilanteen symmetrisyyden vuoksi G:ssä ei luonnollisestikaan
ole 5 solmun riippumatonta joukkoakaan.
Koska R(3) = r(K3 , K3 ) = 6, G:ssä on kolmen solmun klikki tai riippumaton
joukko. Symmetrian vuoksi voidaan olettaa, että ∆ ⊂ V on kolmen solmun klikki.
Koska |V r ∆| ≥ 7, verkossa G|(V r ∆) on edelleen kolmen solmun klikki tai riippumaton joukko. Vastaoletuksen mukaan jälkimmäisen on toteuduttava; olkoon ∆0 ⊂ V r ∆
3 solmun riippumaton joukko.
∆
•
•
.......
... ...
... .....
.
.
...
..
..
...
..................................
•
•
•
•
•
•
.
..
..
...
.
..
..
...
.
..
..
∆0
•
•
•
•
•
•
.
..
..
...
.
..
..
...
.
..
..
•.............
•
•
•
...
.....
..... ........
........
..
..... .....
..... ........
.....
.....
.
....
Aliverkossa G0 = G|(V r (∆ ∪ ∆0 )) = (V0 , E0 ) on korkeintaan neljä särmää, sillä
muuten se sisältäisi K3 :n kopion, ja vähintään kaksi, jottei se sisältäisi K 3 :n kopiota.
Symmetrian vuoksi voidaan olettaa, että särmien lukumäärä G0 :ssa on vähintään 3 (ks.
kuva yllä).
Tapaus 1: G0 :ssa on neljä särmää. Merkitään V0 = {a0 , a1 , b0 , b1 }, missä (ai , bj ),
kun i, j ∈ {0, 1}.
∆
•
.
.......
... ...
... .....
.
.
...
..
..
...
................................
•
•
a0
•
•
•
∆0
•
• b1
•
•
a1
b0
0
Jokaisella x ∈ ∆ pätee (x, a0 ), (x, a1 ) 6∈ E tai (x, b0 ), (x, b1 ) 6∈ E, sillä muuten
{x, ai , bj } olisi klikki joillakin i, j ∈ 2 ja 2K3 :n kopio G:n aliverkko. Itse asiassa joko
edellisen tai jälkimmäisen ehdon on oltava voimassa jokaisella x ∈ ∆0 , muutenhan joillakin eri x, y ∈ ∆0 {x, a0 , a1 } ja {y, b0 , b1 } olisivat riippumattomia joukkoja ja 2K3 :n kopio verkon G aliverkko. Voidaan olettaa, että jokaisella x ∈ ∆0 pätee (x, a0 ), (x, a1 ) 6∈ E.
Siis ∆0 ∪ {a0 , a1 } on 5 solmun riippumaton joukko, mikä on mahdotonta.
Tapaus 2: G0 :ssa on 3 särmää. Tässä tapauksessa on oltava x ∈ ∆0 , jolle (x, b0 ) ∈ E
ja (x, a1 ) ∈ E, missä solmut ai , bj on valittu niin, että
V r (∆ ∪ ∆0 ) = {a0 , a1 , b0 , b1 } ja (a0 , b0 ), (a0 , b1 ), (a1 , b1 ) ∈ E.
36
Jos niin nimittäin ei olisi, niin todistus etenisi ristiriitaan kuten tapauksessa 1. Huomataan, että tästä solmusta x ei ole särmiä solmuihin a0 ja b1 . Muutetaan merkintöjä
niin, että
{x, a0 , a1 , b0 , b1 } = {x0 , x1 , x2 , x3 , x4 } = P
ja (xi , xj ) ∈ E, jos ja vain jos i ≡ j + 1 (mod 5). Merkitään lisäksi
V r (∆ ∪ P ) = {y, y 0 },
jolloin (y, y 0 ) 6∈ E ja (valitsemalla x0 = x) (x0 , y) 6∈ E ja (x0 , y 0 ) 6∈ E.
..
y •...........
•. 0
∆ ...•........
.. y
.
.
... ....
..
...
...
...
.
.
...
...
..................................
•
.
..
.. ...
.. ..
..
.......
...... ........... 0
......
......
.
.
.
.
.
......
....
......
......
..
.......
...
...
...
...
.
.
...
..
...
...
...
..
...
...
.
......................................
• x
•
x1 •
• x4
•
x2
•
x3 P
Tutkitaan solmujen y ja y 0 yhteyksiä joukkoon P :
U = { v ∈ P | (y, v) 6∈ E }, U 0 = { v ∈ P | (y 0 , v) 6∈ E }.
Tällöin |U | ≥ 3 ja |U 0 | ≥ 3, muuten 2K3 uppoaa verkkoon G. Toisaalta voidaan
muodostaa kaksi kolmen alkion riippumatonta joukkoa, ellei U = U 0 ja |U | = |U 0 | = 3.
Voidaan olettaa, että P r U = {x1 , x4 }, jolloin G:ssä on seuraavanlainen indusoitu
aliverkko G|(P ∪ {y, y 0 }).
• x
..........
...... ........... 0
......
......
.
.
.
.
.
......
....
....
......
..
...... ..................... ..................... ...........
.
.
.
.
.
........... .....
..................
.
.
.
.................
.
......................
...........
... ...............
.......... ....
.
.
.
.
.
...........
.
.
.
...
.
.
............................
...
...
...
...
...
...
.
.
...
0
...
...
...
...
...
...
.
.
...
.
...
...
...........................................................
•
y
•
y
x1 •
•
x2
• x4
•
x3
P
Tarkastellaan klikin ∆ yhteyksiä joukkoon P ∪ {y, y 0 }. Koska {x0 , y, y 0 } on riippumaton joukko, niin jokaisella v ∈ ∆
(v, x1 ) ∈ E ∨ (v, x3 ) ∈ E
ja
(v, x2 ) ∈ E ∨ (v, x4 ) ∈ E,
muuten on olemassa kaksi erillistä 3 solmun riippumatonta joukkoa. On olemassa v ∈ ∆,
josta on yhteydet solmuihin x1 ja x4 , muutenhan kaikilla v ∈ ∆ jokin seuraavista olisi
voimassa:
37
i) v:stä on särmät xi :hin ja xi+1 :een, i = 1, 2, 3.
Jos jokin ehdoista toteutuu kolme kertaa, saadaan 5 solmun klikki. Jos 1) ja 3),
saadaan 2K3 :n kopio. Siis jokin ehdoista toteutuu kaksi kertaa ja jokin toinen kerran,
jolloin saadaan myös 2 kolmen solmun erillistä klikkiä.
Olkoon a ∈ ∆ solmu, jolle (a, x1 ), (a, x4 ) ∈ E. Olkoot b, c muut klikin ∆ alkiot.
Merkitään jokaisella v ∈ ∆ Nv = { x ∈ P r {x0 } | (v, x) ∈ E }. Havaitaan, että
Nb ∩ Nc ⊂ {x1 , x4 }. Muutenhan jollakin x ∈ (Nb ∩ Nc ) r {x1 , x4 } {b, c, x} olisi klikki
ja solmusta a ei voisi olla yhteyttä yhteenkään solmuun w ∈ {x0 , x2 , x2 , y, y 0 }, koska
tällöin {a, x1 , w} olisi tämän kanssa erillinen klikki. Siis {a, x0 , x2 , x2 , y} olisi 5 solmun
riippumaton joukko, mikä on mahdotonta.
Havainnosta Nb ∩ Nc ⊂ {x1 , x4 } taas seuraa suoraan Nb ∩ {x1 , x4 } =
6 Ø tai Nc ∩
{x1 , x4 } 6= Ø, muutenhan Nb ∩ {x1 , x4 } = Nc ∩ {x1 , x4 } = Ø ⇒ Nb = Nc = {x2 , x3 } ⇒
Nb ∩ Nc = {x2 , x3 }. Itse asiassa Nb ∩ {x1 , x4 } ja Nc ∩ {x1 , x4 } molemmat ovat epätyhjiä.
Muussa tapauksessa nimittäin voidaan olettaa x1 ∈ Nb ja Nc ∩ {x1 , x4 } = Ø. Tällöin
Nc = {x2 , x3 } ja {a, b, x1 }, {c, x2 , x3 } ovat erillisiä klikkejä, mikä on mahdotonta.
Seuraava havainto on, että Nb ∩Nc ∩{x1 , x3 } =
6 Ø. Tämä seuraa siitä, että {b}∪Nb
ja {c} ∪ Nc eivät voi olla erillisiä 3 solmun klikkejä.
Siis voidaan olettaa, että x1 ∈ Nb ∩ Nc ja x4 ∈ Nb . Nyt x4 6∈ Nc on mahdotonta,
sillä tällöin {a, b, x4 } ja {c, x1 , x2 } olisivat klikkejä. Siis {x1 , x4 } ⊂ Na ∩ Nb ∩ Nc .
Samoin kuin aiemmin saadaan jopa {x1 , x4 } = Na ∩ Nb ∩ Nc . Jokaisesta v ∈ ∆ on
yhteys johonkin solmuun w ∈ {x0 , y, y 0 }, sillä muuten {v, x0 , y, y 0 , x2 } olisi 5 solmun
riippumaton joukko. Voidaan olettaa, että (a, x0 ) ∈ E. Tästä seuraa, että (v, w) 6∈ E,
kun v ∈ {b, c} ja w ∈ {y, y 0 }. Toisaalta on oltava (b, x0 ), (c, x0 ) ∈ E. Siis {a, b, c, x0 , x1 }
on 5 solmun klikki, mikä on mahdotonta.
1.15. Lause. Kun n ∈ N, n ≥ 2, niin r(nK3 , nK3 ) = 5n.
Todistus. Edellinen lemma oli induktion aloitusaskel. Olkoon siis n ≥ 3. Aiemmassa lemmassa on jo todistettu alaraja r(nK3 , nK3 ) ≥ 5n, joten riittää osoittaa
r(nK3 , nK3 ) ≤ 5n. Olkoon G 5n solmun verkko. Tarkastellaan eri tapauksia.
1) Oletetaan, että verkossa ei ole lainkaan kolmen solmun riippumattomia joukkoja.
Tällöin käyttämällä toistuvasti tulosta R(3) = 6 löydetään b 5n−3
3 c ≥ n erillistä kolmen
solmun klikkiä.
1’) Vastaavasti G sisältää nK3 :n kopion, jos G ei sisällä 3 solmun klikkejä.
2) G sisältää kolmen solmun klikin ∆ ja 3 solmun riippumattoman joukon ∆0 .
Loppu todistuksesta sujuu rusettitekniikalla: osoitetaan, että voidaan valita ∆∩∆0 6= Ø.
•..................
•
. ..
.. .
... .....
.
.
.
.....
...
.
.....
.
...
.....
..
.
...
..... . .
.
...
.....
.
..
...
.
.
.
.
.
... . .
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
. . ..
... ........
... .......
.. .
........
. ..
....
•
•
•
Jos nimittäin ∆ ∩ ∆0 = Ø, niin pareja (x, y) ∈ ∆ × ∆0 on 9 kappaletta. Symmetrian
vuoksi voidaan olettaa, että särmiä (x, y), x ∈ ∆, y ∈ ∆0 on vähintään 5. Siis jollakin
y ∈ ∆0 on olemassa x0 , x1 ∈ ∆, x0 6= x1 , joille (x0 , y), (x1 , y) ∈ E. Tällöin ∆∗ =
38
{x0 , x1 , y} on klikki ja ∆∗ ∩ ∆0 = {y}.
Oletetaan siis ∆ ∩ ∆0 6= Ø. Verkossa G0 = G|(V r (∆ ∪ ∆0 )) on 5n − 5 solmua.
Induktio-oletuksen mukaan G0 sisältää (n − 1)K3 :n kopion tai G0 sisältää (n − 1)K3 :n
kopion. Lisäämällä edellisessä tapauksessa joukon ∆ solmut ja jälkimmäisessä tapauksessa joukon ∆0 solmut löydetään G:stä tai G:stä nK3 :n kopio.
Verkkojen Ramseyn teoriassa on tarkasteltu myös värien lukumäärän vaikutusta.
Merkitään
k kpl
z }| {
r(G, . . . , G) = r(G; k).
Kun k ∈ N∗ , asetetaan Pk = (k + 1, { (i, j) | |i − j| = 1, i, j ∈ k + 1 }) eli Pk on
k:sta särmästä muodostuva polku. Vastaavasti kun k ∈ N, k ≥ 3, määritellään Ck =
(k, { (i, j) ∈ k × k | i ≡ j ± 1 (mod k) }) eli Ck on k alkion sykli. Seuraavanlaisia
tuloksia on todistettu:

 2k + 2, kun k ≡ 1 (mod 3)
r(P3 ; k) = 2k + 1, kun k ≡ 2 (mod 3) ja joillakin 3 | k

2k,
muilla 3 | k.
r(C4 ; k) ≤ k 2 + k + 2
r(C4 ; k) ≥ k 2 − k + 2, jos k − 1 on alkuluvun potenssi.
39
IV
1.
Deskriptiivista Ramseyn teoriaa
Topologiaa ja deskriptiivistä joukko-oppia
Palautetaan mieleen Erdősin ja Radon ositusmerkintä
r → (n)kc ,
joka tarkoittaa, että aina kun |X| = r, χ: [X]k → c on väritys, niin on olemassa H ⊂
X, |H| = n, jolle χ[H]k on vakiokuvaus (r, n, k, c kardinaaleja).
Erityisesti
ω → (ω)ω
2
merkitsisi, että aina kun χ: [ω]ω → 2 on väritys, olisi olemassa ääretön H ⊂ ω, jolle
χ[H]ω olisi vakiokuvaus; tai mikä on yhtäpitävää, jokaisella S ⊂ [ω]ω olisi olemassa
ääretön H ⊂ ω, jolle [H]ω ⊂ S tai [H]ω ∩ S = Ø. Tämä vain ei pidä paikkaansa:
1.1. Esimerkki. Osoitetaan vastaesimerkillä, että
ω 9 (ω)ω
2.
Koska |[ω]ω | = |P(ω)| = 2ω , voidaan joukko [ω]ω luetella seuraavasti
[ω]ω = {Hα |α < 2ω }.
Pyritään tappamaan jokainen Hα , α < 2ω .
Muodostetaan joukot Sα , Tα , α < 2ω , transfiniittisellä induktiolla:
S0 = T0 = Ø;
[
Sγ =
Sα
α<γ
Tγ =
[
Tα , kun γ on rajaordinaali.
α<γ
Seuraajaordinaalin α + 1 kohdalla tapetaan Hα . Valitaan sellaiset Yα , Zα ⊂ Hα , Yα 6=
Zα , |Yα | = |Zα | = ω, että
Yα , Zα ∈
/ Sα ∪ T α .
Asetetaan Sα+1 = Sα ∪ {Yα }, Tα+1 = Tα ∪ {Zα }. Valinta on mahdollinen, koska |Sα | =
ω
|T
joten |[Hα ]ω r (Sα ∪ Tα )| = |[Hα ]ω | = 2ω . Asetetaan lopuksi S =
Sα | = |α| < 2 , S
α<2ω Sα ja T =
α<2ω Tα . Tällöin S ∩ T = Ø ja jokainen H ⊂ ω, |H| = ω, on jollakin
α < 2ω Hα = H, joten Yα ∈ [H]ω ∩ Sα+1 ⊂ [H]ω ∩ S ja Zα ∈ [H]ω ∩ T ⇒ [H]ω * S.
Siis ei ole olemassa ääretöntä H ⊂ ω, jolle [H]ω ⊂ S tai [H]ω ∩ S = Ø.
40
Edellisessä esimerkissä käytettiin valinta-aksioomaa, joten epäonnistuminen voi
liittyä siihen, että esimerkki on jollakin tavion epäsiisti. Pyritään luomaan siistien
tapausten Ramseyn teoriaa eli deskriptiivistä Ramseyn teoriaa. Tarkempi tarkastelu
osoittaa, että siisteyden voi jakaa kahteen osaan:
1) varsinaiset siistysoletukset, joiden topologisia muotoiluja ovat: avoimuus, olla Borelin joukko, analyyttisyys jne.
2) voidaan myös sallia pieniä häiriöitä: harvat, laihat joukot jne.
1.2. Määritelmä. T ⊂ P(X) on joukon X topologia, jos
1) Ø, X ∈ T ;
S
2) jokaisella U ⊂ T pätee U ∈ T ; ja
T
3) kaikilla äärellisillä U0 ⊂ T , U0 6= Ø on voimassa U0 ∈ T .
Topologian T alkioita kutsutaan avoimiksi joukoiksi. Joukko F ⊂ X on suljettu,
jos X r F ∈ T . Joukon A ⊂ X sisus on
[
Int A = {U ⊂ A|U ∈ T },
sulkeuma
A=
\
{F ⊂ X|A ⊂ F, F suljettu}
ja reuna
∂A = A ∩ X r A.
1.3. Määritelmä. Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Joukko A on tiheä, jos A = X.
Avaruus (X, T ) on separoituva, jos on olemassa numeroituva tiheä A ⊂ X.
Avaruus (X, T ) on metristyvä, jos on olemassa topologian T indusoiva metriikka,
ja täydellisesti metristyvä, jos joku tällainen metriikka on täydellinen eli Cauchy-jonot
suppenevat. Avaruus (X, T ) on puolalainen, jos se on täydellisesti metristyvä ja separoituva.
1.4. Määritelmä. Topologisen avaruuden (X, T ) osajoukko A on harva, jos Int A = Ø.
Joukko A on laiha (engl. meagre), jos se on numeroituva yhdiste harvoista joukoista.
Joukolla B ⊂ X on Bairen ominaisuus, jos on olemassa avoin U ⊂ X, jolle B∆U =
(B r U ) ∪ (U r B) on laiha.
1.5. Lemma.
Jos F on topologisen avaruuden (X, T ) suljettu osajoukko, niin
F r Int F on harva, joten F :llä on Bairen ominaisuus.
Todistus. Tarkastellaan joukkoa
∂F = F ∩ X r F
= F ∩ (X r Int F )
= F r Int F
= (F r Int F ) ∪ (Int F r F )
= F ∆ Int F.
Reunan sisukselle pätee toisaalta
Int ∂F ⊂ Int F,
41
toisaalta
Int ∂F ⊂ ∂F ⊂ X r Int F,
joten Int ∂F = Int ∂F = Ø. Siis ∂F on harva.
1.6. Lause. (Baire) Olkoon (X, d)Ttäydellinen metrinen avaruus ja Un , n ∈ N, sen
avoimia tiheitä osajoukkoja. Tällöin n∈N Un on epätyhjä.
Todistus. Valitaan induktiolla pisteet xn , n ∈ N ja säteet rn < 2−n niin, että
Bd (xn , rn ) ⊂ Un
ja
Bd (xn+1 , rn+1 ) ⊂ Bd (xn , rn ).
Tämä on mahdollista, sillä Un on tiheä ja siis leikkaa avointa epätyhjää joukkoa Bd (xn−1 , rn−1 ),
kun n ∈ N∗ tai X:ää, kun n = 0. Valitaan xn ∈ Bd (xn−1 , rn−1 ) ∩ Un (tai x0 ∈ U0 ).
Koska Un on avoin, on olemassa sellainen rn ∈]0, 2−n [, että halutut ehdot toteutuvat.
Nyt (xn )n∈N on Cauchy-jono, joten on olemassa x = limn→∞ xn . Kun n, k ∈ N, k > n,
pätee
xk ∈ Bd (xn , rn ) ⊂ Un
⇒ x ∈ Bd (xn , rn ) ⊂ Un .
Siis x ∈
S
n∈N
Un .
1.7. Bairen kategorialause Täydellisesti metristyvä avaruus ei ole laiha.
Todistus. Olkoon (X, T ) täydellisesti metristyvä avaruus, ja d vastaava täydellinen
metriikka.
Olkoon A laiha; osoitetaan, että A ( X. Valitaan harvat An , n ∈ N, joille
S
A = n∈N An . Joukot An , n ∈ N, ovat edelleen harvoja, ja niiden komplementit X r An
ovat avoimia sekä tiheitä:
U ⊂ X avoin ⇒ U * An ⇒ U ∩ (X r An ) 6= Ø.
Edellisen nojalla
T
n∈N (X
r An ) 6= Ø ⇒ A ⊂
S
n∈N
An ( X.
1.8. Määritelmä. I ⊂ P(X) on joukon X ideaali, jos
1) Ø ∈ I, X 6∈ I;
2) kun A ⊂ B ∈ I, niin A ∈ I;
3) kun A, B ∈ I, niin A ∪ B ∈ I.
Huom. 1) Joukko-opillinen ideaali on algebrallisen ideaalin erikoistapaus, sillä
joukon X ideaali I on Boolen renkaan (P(X), ∆, ∩) ideaali.
2) Nykyisin ideaalilta vaaditaan usein, että {x} ∈ I kaikilla x ∈ X. Toisaalta
yo.
S
määritelmän mukaan jos I on joukon X ideaali, niin se on myös joukon Y = I ideaali
ja {x} ∈ I, kun x ∈ Y .
1.9. Lause. Olkoon (X, T ) täydellisesti metristyvä avaruus. Tällöin
M = { A ⊂ X | A laiha }
42
on joukon X ideaali. Itse asiassa M on jopa ω1 -ideaali eli ideaali, joka on suljettu
numeroituvien yhdisteiden suhteen.
Todistus. 1) Ø on jopa harva, sillä Int Ø = Int Ø = Ø. Bairen kategorialauseen nojalla
X ei ole laiha.
2) Kaikilla C, D ⊂ X pätee sulkeuman ja sisuksen monotonisuuden nojalla
C ⊂ D ⇒ C ⊂ D ⇒ Int C ⊂ Int D.
Erityisesti jos Don
S harva, niin Int C ⊂ D = Ø, joten C on harva. Jos B on laiha ja
A ⊂ B, niin B = n∈N Bn joillakin harvoilla Bn , n ∈ N, joten
[
A=
(Bn ∩ A)
n∈N
on laiha.
3) Oletetaan, että joukot An , n ∈ S
N, ovat laihoja. Tällöin jokaisella n ∈ N on
olemassa harvat Ank , k ∈ N, joille An = k∈N Ank . Siis joukko
[
[ [
An =
Ank
n∈N
n∈N k∈N
on laiha.
1.10. Määritelmä. Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Tämän avaruuden Borelin
joukkojen perhe on pienin sellainen B, että T ⊂ B ja B on suljettu sekä komplementin
että numeroituvien yhdisteiden suhteen.
Borelin hierarkia eli Σ0α - ja Π0α joukot määritellään seuraavasti induktiolla ordinaalin α < ω1 , α > 0, suhteen:
A on Σ01 -joukko
⇐⇒ A on avoin
A on Π0α -joukko
⇐⇒ X r A on Σ0α -joukko
joukot An , n ∈ N, joille
A on Σ0α -joukko (α > 1) ⇐⇒ on olemassa
S
A = n∈N An ja jokaisella n ∈ N
An on Π0β -joukko jollakin β < α.
1.11. Lemma. Topologisen avaruuden (X, T ) joukko A on Borelin joukko täsmälleen
silloin, kun se on Σ0α -joukko (tai Π0α -joukko) jollakin α < ω1 , α > 0.
Todistus. Transfiniittisellä induktiolla ordinaalin α < ω1 , α > 0, suhteen seuraa
helposti, että Σ0α - ja Π0α -joukot ovat Borelin joukkoja. Merkitään
B0 = { A ⊂ X | A on Σ0α -joukko jollakin α < ω1 , α > 0 }.
Tällöin B0 ⊂ B. Toisaalta avoimet joukot ovat Σ01 -joukkoja, joten T ⊂ B0 ja Π0α joukot ovat Σ0α+1 -joukkoja (yksityiskohdat harjoitustehtäväksi). Osoitetaan, että B0 on
numeroituvien yhdisteiden suhteen suljettu. Olkoot An ∈ B0 , kun n ∈ N, ts. An on
Σ0αn -joukko ja siten Π0αn +1 -joukko. Merkitään α = sup{ αn + 1 | n ∈ N } < ω1 . Tällöin
S
0
0
0
n∈N An on Σα -joukko. Siis B on perhe, jolle T ⊂ B ja joka on sekä komplementtien
että numeroituvien yhdisteiden suhteen suljettu. B ⊂ B0 ja B = B0 .
43
1.12. Lause. Topologisen avaruuden Borelin joukoilla on Bairen ominaisuus.
Todistus. Väite on selvä avoimille joukoille. Todistetaan väite induktiolla Borelin
joukon rakenteen suhteen. Oletetaan, että väite pätee avaruudessa (X, T ) Borelin joukolle B, ts. on olemassa avoin U , jolle B∆U on laiha. Koska X r U on suljettu,
(X r U )∆ Int(X r U ) on harva. Siis
(X r B)∆ Int(X r U )
= (X r B)∆(X r U ) ∆ (X r U )∆ Int(X r U )
= (B∆U )∆((X r U )∆ Int(X r U )
on laiha.
S
Tarkastellaan lopuksi Borelin joukkoa B = n∈N Bn , missä jokaisella n ∈ N
S on olemassa sellainenS
avoin Un , että Bn ∆Un on laiha. Tällöin avoimelle joukolle U = n∈N Un
pätee B∆U ⊂ n∈N (Bn ∆Un ). Oikeanpuoleinen on laihojen joukkojen numeroituvana
yhdisteenä laiha, joten B∆U on laiha.
1.13. Joukon [N]ω topologiat. Joukon [N]ω luonnollinen topologia T saadaan tulkitsemalla tämä joukko P(N):n aliavaruudeksi ([N]ω ⊂ P(N)). Joukkoon [N]ω indusoituu
kanta
B = { U (A, B) | A, B ⊂ N äärellisiä },
missä
U (A, B) = { X ∈ [N]ω | A ⊂ X, X ∩ B = Ø },
kun A, B ∈ [N]<ω .
Joukkoon [N]ω saadaan vaihtoehtoinen Vietoriksen (tai Ellentuckin) topologia TV ,
jonka virittää kanta
BV = { V (A, B) | A ∈ [N]<ω , B ∈ [N]ω , A ⊂ B },
missä
V (A, B) = { X ∈ [N]ω | A ⊂ X ⊂ B },
kun A ∈ [N]<ω , B ∈ [N]ω ja A ⊂ B.
BV on todella topologian kanta, sillä kaikilla B, B 0 ∈ [N]ω , A ∈ [B]<ω ja A0 ∈ [B 0 ]<ω
on voimassa
V (A ∪ A0 , B ∩ B 0 ), jos A ∪ A0 ⊂ B ∩ B 0 ∈ [N]ω
0
0
V (A, B) ∩ V (A , B ) =
Ø,
muuten.
Vietoriksen topologia on hienompi kuin tavanomainen, sillä jos A, B ∈ [N]<ω ja A∩B =
Ø, niin A ⊂ N r B ∈ [N]ω ja U (A, B) = V (A, N r B).
2.
Ellentuckin lause
2.1. Määritelmä. Olkoon S ⊂ [N]ω . Joukko H ∈ [N]ω on homogeeninen S:n suhteen,
jos [H]ω ⊂ S tai [H]ω ∩ S = Ø. S on Ramseyn joukko, jos on olemassa S:n suhteen
44
homogeeninen [H]ω . S on täysin Ramseyn joukko, jos kaikilla A ∈ [N]<ω , X ∈ [N]ω ,
A ⊂ X, on olemassa Y ∈ V (A, X), jolle V (A, Y ) ⊂ S tai V (A, Y ) ∩ S = Ø.
Huom. 1) Koska V (Ø, N) = [N]ω , niin täysin Ramseyn joukot ovat Ramseyn joukkoja.
2) Osan IV alussa oleva esimerkki osoittaa, että valinta-aksioomalla saadaan joukkoja, jotka eivät ole Ramseyn joukkoja.
2.2. Määritelmä. Olkoot A ∈ [N]<ω , X ∈ [N]ω ja S ⊂ [N]ω . Joukko X S-hyväksyy
joukon A, jos on olemassa sellainen Y ∈ V (A, X), että X rY on äärellinen ja V (A, Y ) ⊂
S. Joukko X S-hylkää joukon A, jos mikään Y ∈ V (A, X) ei hyväksy joukkoa A. X
on S-deterministinen, jos jokaisella A ∈ [X]<ω joukko X joko S-hyväksyy tai S-hylkää
joukon A.
Seuraavien helppojen havaintojen avulla rakennetaan hylkäämis-hyväksymis-laskentaa:
2.3. Lemma. Olkoot A, X ja S kuten määritelmässä.
a) Jos X S-hyväksyy joukon A ja Y ∈ V (A, X), niin myös Y S-hyväksyy joukon A.
b) Jos X S-hylkää joukon A ja Y ∈ V (A, X), niin myös Y S-hylkää joukon A.
c) On olemassa Z ∈ V (A, X), joka S-hyväksyy tai S-hylkää joukon A.
Todistus. a) Koska X S-hyväksyy joukon A, on olemassa X0 ∈ V (A, X), jolle erotus X r X0 on äärellinen ja V (A, X0 ) ⊂ S. Merkitään Y0 = Y ∩ X0 ; tällöin Y r Y0 on
äärellinen, Y0 ∈ V (A, Y ) ja V (A, Y0 ) ⊂ V (A, X0 ) ⊂ S. Siis Y S-hyväksyy joukon A.
Kohta b on ympäristöjen monotonisuuden vuoksi selvää.
c) Joko X ∈ V (A, X) itse S-hylkää joukon A tai ei, jolloin on olemassa Z ∈
V (A, X), joka S-hyväksyy joukon A.
2.4. Lemma. Olkoon S ⊂ [N]ω , X, Y ∈ [N]ω ja A ∈ [X ∩ Y ]<ω . Oletetaan, että
|X∆Y | < ω. Tällöin X S-hyväksyy joukon A, jos ja vain jos Y S-hyväksyy joukon A.
Vastaava pätee S-hylkäämiselle.
Todistus. Jos X S-hyväksyy joukon A, niin edellisen lemman nojalla X ∩Y S-hyväksyy
joukon A, joten jollakin X0 ⊂ X ∩ Y , |(X ∩ Y ) r X0 | < ω, pätee [X0 ]ω ⊂ S. Toisaalta
X0 ∈ [Y ]ω ja |Y r X0 | < ω, joten Y S-hyväksyy joukon A. Symmetrian vuoksi tämä
yksi suunta riittää.
Oletetaan vastaavasti, että X S-hylkää joukon A. Olkoon Y0 ∈ V (A, Y ); merkitään
X0 = X ∩ Y0 . Tällöin X0 ei S-hyväksy joukkoa A, joten Y0 ei edellisen kohdan mukaan
S-hyväksy joukkoa A, sillä X0 ∆Y0 ⊂ X∆Y on äärellinen. Siis Y S-hylkää joukon A.
2.5. Lemma. Kun S ⊂ [N]ω , X ∈ [N]ω ja A ⊂ [X]<ω on äärellinen, niin on olemassa
sellainen Y ∈ [X]ω , että A ⊂ [Y ]<ω ja jokaisella A ∈ A Y S-hylkää tai S-hyväksyy
joukon A.
Todistus. Todistetaan väite induktiolla perheen A koon |A| suhteen. Tapauksessa
|A| = 0 eli A = Ø voidaan selvästi valita Y = X. Oletetaan sitten, että A 6= Ø. Valitaan
A0 ∈ A mielivaltaisesti. Induktio-oletuksen mukaan on olemassa Y0 ∈ [X]ω , että A r
{A0 } ⊂ [Y0 ]<ω ja jokaisella A ∈ A r {A0 } Y0 S-hylkää tai S-hyväksyy joukon A.
Tiedetään, että on olemassa sellainen Y1 ∈ V (A0 , A0 ∪ YS
0 ), että Y1 joko
S S-hyväksyy tai
S-hylkää joukon A0 . Tarkastellaan joukkoa Y = Y1 ∪ A. Koska A on äärellinen
45
ja edellisen lemman mukaan äärelliset poikkeamat eivät vaikuta hyväksymiseen eikä
hylkäämiseen, niin Y joko S-hyväksyy tai S-hylkää joukon A0 . Vastaavasti huomataan,
että jokaisella A ∈ A r {A0 }
Y0
S-hylkää tai S-hyväksyy joukon A
⇒ A0 ∪ Y0 S-hylkää tai S-hyväksyy joukon A (äärelliset poikkeamat)
⇒ Y1
S-hylkää tai S-hyväksyy joukon A (perinnöllisyys)
⇒Y
S-hylkää tai S-hyväksyy joukon A (äärelliset poikkeamat)
2.6. Lemma. Kun S ⊂ [N]ω , X ∈ [N]ω ja A ∈ [X]<ω , on olemassa S-deterministinen
Y ∈ V (A, X).
Todistus. Määäritellään laskeva jono äärettömiä joukkoja (Xn )n∈N ja aidosti nouseva
jono (An )n∈N äärellisiä N:n osajoukkoja niin, että X0 = X, A0 = A ja jokaisella n ∈ N
Xn+1 S-hylkää tai S-hyväksyy joukon B, kun B ⊂ An . Joukot saadaan edellisestä
lemmasta soveltamalla sitä äärettömälle joukolle Xn ja perheelle P(An ). Jono (Ai )i∈N
saadaan aidosti kasvavaksi valitsemalla mielivaltainen n ∈ Xi rAi ja asettamalla Ai+1 =
Ai ∪ {n}.
S
Asetetaan lopuksi Y = i∈N Ai . Tällöin Y ∈ V (A, X). Jokaisella äärellisellä
B ⊂ Y on olemassa i ∈ N, jolle B ⊂ Ai . Siis Xi+1 S-hyväksyy tai S-hylkää joukon B,
joten Y S-hyväksyy tai S-hylkää myös joukon B. Siksi Y on S-deterministinen.
2.7. Lemma. Olkoon X S-deterministinen joukko ja A ∈ [X]<ω . Jos X S-hylkää
joukon A, niin X S-hylkää joukon A ∪ {n} melkein kaikilla n ∈ X (ts. jostakin n0 ∈ N
lähtien).
Todistus. Oletetaan vastoin väitettä, että X ei S-hylkää ja siten deterministisyyden
vuoksi S-hyväksyy joukon A ∪ {n} mielivaltaisen suurilla n ∈ X. Määritellään alkiot
ai ∈ N ja äärelliset joukot Bi ⊂ X induktiolla
seuraavasti: Jokaisella i ∈ N ai on pienin
S
luku m ∈ N, jolle m 6∈ { aj | j ∈ i }∪ j∈i Bj ja X S-hyväksyy joukon A∪{m}. Koska X
S-hyväksyy joukon A∪{m}, on olemassa äärellinen Bi ⊂ X, jolle V (A∪{m}, X rBi ) ⊂
S.
Merkitään Y = { ai | i ∈ N }∪A. Olkoon Z ∈ V (A, Y ). Merkitään b = min(Z rA).
Tällöin b = ai jollakin i ∈ N ja V (A ∪ {b}, X r Bi ) ⊂ S. Koska aj 6∈ Bi , kun j ∈ N,
j ≥ i, niin Z r A ⊂ X r Bi , joten Z ∈ V (A ∪ {b}, X r Bi ) ⊂ S. Siis V (A, Y ) ⊂ S ja Y
S-hyväksyy joukon A, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että X:n piti S-hylätä A.
2.8. Lemma. Olkoon X S-deterministinen joukko ja A ∈ [X]<ω . Oletetaan, että X
S-hylkää joukon A. Tällöin on olemassa Y ∈ V (A, X), joka S-hylkää kaikki äärelliset
B ⊂ Y , joille A ⊂ B.
Todistus. Valitaan induktiolla kasvava jono äärellisiä joukkoja (Ai )i∈N . Asetetaan
aluksi A0 = A. Oletetaan, että Ai on valittu niin, että X S-hylkää jokaisen B, jolle
A ⊂ B ⊂ Ai . Edellisestä lemmasta seuraa, että jokaisella tällaisella B on olemassa
sellainen nB ∈ N, että X S-hylkää joukon B ∪ {n} jokaisella n ∈ X, n ≥ nB . Valitaan
m = max{ nB | A ⊂ B ⊂ Ai }. Asetetaan Ai+1 = Ai ∪ {m}.
Tällöin X S-hylkää
S
jokaisen B, jolle A ⊂ B ⊂ Ai+1 . Lopuksi merkitään Y = i∈N Ai . Tällöin jokainen
46
B ∈ [Y ]<ω , jolle A ⊂ B, sisältyy johonkin Ai :hin, joten X ja myös Y S-hylkää joukon
B.
2.9. Lause. Jokaisen Vietoriksen topologian suhteen avoin S (eli TV -avoin) on täysin
Ramseyn joukko.
Todistus. Olkoot X ∈ [N]ω ja A ⊂ [X]<ω . Valitaan (aiemman lemman avulla) Sdeterministinen Y ∈ V (A, X). Toinen mahdollisuus on, että Y S-hyväksyy joukon A,
jolloin on olemassa Z ∈ V (A, Y ) ⊂ V (A, X), |Y r Z| < ω, jolle V (A, Z) ⊂ S. Toinen
tapaus on, että Y S-hylkää joukon A. Tällöin voidaan valita Z ∈ V (A, Y ), joka Shylkää kaikki äärelliset B ⊂ Z, joille A ⊂ B. Olkoon W ∈ V (A, Z). Tällöin W 6∈ S,
sillä muuten joukon S avoimuuden vuoksi olisi olemassa C ∈ [W ]<ω , jolle V (C, W ) ⊂ S
ja siten V (A ∪ C, W ) ⊂ S, ts. W S-hyväksyisi joukon A ∪ C, vaikka Z S-hylkää joukon
A ∪ C, mikä on ristiriidassa hylkäämisen määritelmän kanssa. Siis V (A, Z) ⊂ [N]ω r S.
2.10. Seuraus. TV -suljetut joukot ovat täysin Ramseyn joukkoja.
2.11. Lemma. Olkoon S ⊂ [N]ω TV -harva. Tällöin kaikilla A ∈ [N]<ω , X ∈ [N]ω ,
missä A ⊂ X, on olemassa W ∈ V (A, X), jolle V (A, W ) ∩ S = Ø. Erityisesti S on
täysin Ramseyn joukko.
Todistus. Tiedetään, että S on täysin Ramseyn joukko ja Int S = Ø, koska S on harva,
joten jokaisella X ∈ [N]ω ja A ∈ [X]<ω on olemassa Y ∈ V (A, X), jolle V (A, Y )∩S = Ø,
joten V (A, Y ) ⊂ [N]ω r S ⊂ [N]ω r S.
2.12. Lause.
Olkoon S ⊂ [N]ω TV -laiha. Tällöin S on täysin Ramseyn joukko
ja TV -harva. Itse asiassa kaikilla A ∈ [N]<ω , X ∈ [N]ω , missä A ⊂ X, on olemassa
W ∈ V (A, X), jolle V (A, W ) ∩ S = Ø.
Todistus. Koska S on TV -laiha, on olemassa TV -harvat joukot Sn ⊂ [N]ω , n ∈ N, joille
[
S=
Sn .
n∈N
Valitaan induktiolla aidosti kasvava jono äärellisiä joukkoja (An )n∈N ja laskeva
jono
T
(Xn )n∈N niin, että A0 = A, X0 = X ja kaikilla n ∈ N An ⊂ Xn ja V (A, Xn+1 ) Sn = Ø.
Osoitetaan, että Xn+1 ja An+1 voidaan valita halutulla tavalla, kun Xn ja An on jo
valittu. Muodostetaan äärellinen luettelo
{ Bk | k = 0, . . . , m − 1 } = { B | A ⊂ B ⊂ An }.
Merkitään Z0 = Xn ja valitaan edellisen lemman avulla joukot Zk , k = 1, . . . , m niin,
että Zk ∈ V (Bk−1 , Zk−1 ∪ An ) ja V (Bk−1 , Zk ) ∩ Sn = Ø. Asetetaan Xn+1 = Zm .
Olkoon Y ∈ V (A, Xn+1 ). Merkitään B = Y ∩ An ; tällöin B = Bk jollakin k ∈ m. Siis
V (B, Zk+1 ) ∩ Sn = Ø. Koska (Zl r An )l∈m on laskeva jono, niin
Y r An ⊂ Xn+1 r An ⊂ Zk+1 r An ,
47
joten
Y = (Y r An ) ∪ B ⊂ Zk+1
⇒Y ∈ V (B, Zk+1 ) ⊂ [N]ω r Sn
⇒Y ∈
/ Sn .
Siis V (A, Xn+1 ) ∩ Sn = Ø. Koska Xn+1 on ääretön, voidaan valita äärellinen An+1 niin,
että An ( An+1 ⊂ Xn+1
T .
S
Asetetaan W = n∈N Xn ⊃ n∈N An . Koska jono (An )n∈N on aidosti kasvava, W
on ääretön ja W ∈ V (A, X). Toisaalta
[
V (A, W ) ∩ S = V (A, W ) ∩
n∈N
Sn =
[
(V (A, W ) ∩ Sn ) ⊂
n∈N
[
(V (A, Xn+1 ) ∩ Sn ) = Ø.
n∈N
2.13. Lause. (Ellentuck) Olkoon S ⊂ [N]ω . Tällöin S on täysin Ramseyn joukko
täsmälleen silloin, kun S:llä on Bairen ominaisuus Vietoriksen topologian suhteen.
Todistus. Oletetaan ensin, että joukolla S on Bairen ominaisuus TV :n suhteen. Olkoot
A ∈ [N]<ω , X ∈ [N]ω , missä A ⊂ X. Koska S:llä on Bairen ominaisuus, on olemassa
TV -avoin U , jolle M = S∆U on TV -laiha. Edellisen lauseen nojalla on olemassa Y ∈
V (A, X), jolle V (A, Y ) ∩ M = Ø. Tällöin S ∩ V (A, Y ) = U ∩ V (A, Y ). Koska U on
TV -avoin, se on täysin Ramseyn joukko, joten on olemassa
Z ∈ V (A, Y ) ⊂ V (A, X),
jolle
V (A, Z) ⊂ U ∨ V (A, Z) ∩ U = Ø
⇐⇒ V (A, Z) ⊂ S ∨ V (A, Z) ∩ S = Ø.
Oletetaan toisaalta, että S on täysin Ramseyn joukko. Osoitetaan, että S r Int S
on TV -harva. Jos nimittäin X ∈ [N]ω ja A ∈ [X]<ω , niin on olemassa Y ∈ V (A, X),
jolle
V (A, Y ) ⊂ S ∨ V (A, Y ) ∩ S = Ø
⇒Y ∈ Int S ∨ Y ∈ [N]ω r S
⇒Y ∈ (Int S) ∪ [N]ω r S.
Siis V (A, X) * S r Int S ja
Int(S r Int S) = Ø
⇒ Int S r Int S ⊂ Int(S r Int S) = Ø.
Siis S∆ Int S = S r Int S on TV -harva, joten joukolla S on Bairen ominaisuus TV :n
suhteen.
48
2.14. Seuraus.
Jos S ⊂ [N]ω on Borelin joukko (tavanomaisen tai Vietoriksen
topologian suhteen), niin S on täysin Ramseyn joukko.
Todistus. Jos S ⊂ [N]ω on Borelin joukko Vietoriksen topologian suhteen, niin sillä on
Bairen ominaisuus TV :n suhteen. Siis S on Ellentuckin lauseen mukaan täysin Ramseyn
joukko.
Jos taas S on Borelin joukko tavanomaisen topologian suhteen, niin S on Borelin
joukko myös TV :n suhteen, sillä Vietoriksen topologia on hienompi kuin tavanomainen ja
Borelin joukkojen kokoelma on pienin kokoelma, joka sisältää topologian ja on suljettu
komplementin ja numeroituvien yhdisteiden suhteen.
Huom. Seurausta voi parantaa deskriptiivisessä mielessä, ja todistaa, että ns.
analyyttiset joukot ovat täysin Ramseyn joukkoja.
3.
Sovellus Banachin avaruuksien teoriaan
Tavoitteena on esittää Rosenthalin lause, joka karkeasti ottaen sanoo, että joko
Banachin avaruudella on hyviä suppenemisominaisuuksia tai `1 uppoaa Banachin avaruuteen.
Banachin avaruuksista
3.1. Määritelmä. Reaalikertoiminen topologinen vektoriavaruus on R-vektoriavaruus,
joka on varustettu topologialla, joka on T1 (pisteet suljettuja) ja jonka suhteen yhteenlasku ja skalaarikerronta ovat jatkuvia. Reaalinen Banachin avaruus on täydellisesti
normittuva reaalikertoiminen topologinen vektoriavaruus. Banachin avaruudet X ja Y
ovat isomorfiset, jos on olemassa bijektio f : X → Y , joka on lineaarinen isomorfismi ja
homeomorfismi.
Huom. 1) Funktionaalianalyysissa tarkastellaan paitsi reaalisia, myös kompleksisia
Banachin avaruuksia. Näissä luennoissa pitäydytään reaalisissa Banachin avaruuksissa
vain yksinkertaisuuden vuoksi.
2) Banachin avaruudet on tapana määritellä täydellisinä normiavaruuksina. Isomorfismi kuitenkin määritellään kuten yllä, joten se ei välttämättä säilytä normirakennetta eli ei ole isometria. Vaikka tarkkuuden vuoksi Banachin avaruudet on määritelty
vain täydellisesti normittuvina, käytetään tässäkin kuitenkin yleistä tapaa liittää avaruuteen jokin sen täydellisesti normittava normi.
Banachin avaruuksien ominaisuuksia tarkastellaan tarkemmin Funktionaalianalyysin peruskurssilla, eikä kaikkia yksityiskohtia pystytä näissä luennoissa käsittelemään,
vaan jotkut asiat joudutaan olettamaan tunnetuiksi. Voidaan esim. osoittaa, että lineaarinen bijektio Banachin avaruudesta X avaruuteen Y on isomorfismi, jos ja vain jos
on olemassa vakiot a, b > 0, joille kaikilla x ∈ X pätee
akxk ≤ kf (x)k ≤ bkxk.
49
3.2. Esimerkki. hN R, +i on luonnollisesti vektoriavaruus: kun x, y ∈ N R ja n ∈ N,
λ ∈ R,
(x + y)(n) = x(n) + y(n) ja (λx)(n) = λx(n).
Merkitään
p
∞
X
N
` = {x ∈ R |
p
|x(n)| < ∞ },
n=0
kun p > 0, ja
`∞ = { x ∈ N R | x rajoitettu }.
Nämä voidaan osoittaa vektoriavaruuksiksi. Kun p ≥ 1 tai p = ∞, `p voidaan lisäksi
varustaa Banachin avaruuden rakenteella, sillä normit
kxkp =
∞
X
1
p p
(x ∈ `p , 1 ≤ p < ∞)
|x(n)|
n=0
ja
kxk∞ = sup{ |x(n)| | n ∈ N }
ovat täydellisiä.
Edellä esitetyn isomorfismin karakterisoinnin mukaan reaalikertoimiseen Banachin
avaruuteen X uppoaa `1 eli X:llä on aliavaruutena `1 :n kanssa isomorfinen avaruus
täsmälleen silloin, kun on olemassa sellaiset alkiot xn ∈ X, n ∈ N, ja vakiot a, b > 0,
että kaikilla k ∈ N, λ0 , . . . , λk−1 ∈ R pätee
a
k−1
X
i=0
k−1
k−1
X
X
|λi | ≤ λi xi ≤ b
|λi |.
i=0
(∗)
i=0
`1 :llä on nimittäin kanoninen kanta { en | n ∈ N }, missä
en (m) =
1, kun m = n
0, muuten.
Jos f : `1 → X on upotus, niin vektorille xn = f (en ), n ∈ N, on oltava voimassa (∗),
sillä
k−1
k−1
X
X
λi ei = k(λ0 , . . . , λk−1 , 0, 0, . . . , )k1 =
|λi |
i=0
i=0
1
ja
k−1
X
f(
i=0
λi ei ) =
k−1
X
λi f (ei ) =
i=0
k−1
X
i=0
50
λi xi .
Toisaalta jos (∗) on voimassa, niin Y = h{ xn | n ∈ N }i ∼
= `1 , sillä f : `1 → X, f (y) =
P
∞
y(n)xn on tällöin isomorfismi. (Kuten R:ssä, Banachin avaruudessakin määritellään
Pn=0
Pk−1
∞
n=0 y(n)xn = limk→∞
n=0 y(n)xn .)
Olkoon X Banachin avaruus ja (xn )n∈N jono X:n alkioita. Välttämätön ehto suppenemiselle on, että (xn )n∈N on rajoitettu eli sup{ kxn k | n ∈ N } on olemassa.
Funktionaalianalyysistä tiedetään, että jokaisella rajoitetulla (xn )n∈N on suppeneva
osajono, joss X on äärellisulotteinen eli sillä on äärellinen kanta. Äärellisulotteiset
reaaliset Banachin avaruudet ovat nimittäin isomorfisia euklidisten avaruuksien kanssa.
Ääretönulotteisista avaruuksista taas voidaan valita sopiva vapaa jono (xn )n∈N , jolla ei
ole suppenevaa osajonoa.
3.3. Määritelmä. Banachin avaruuden X duaali on
X ∗ = { y: X → R | y on jatkuva ja lineaarinen }
= { y: X → R | y on lineaarinen ja rajoitettu eli ∃a > 0∀x ∈ X(|y(x)| ≤ akxk) }.
Duaali voidaan varustaa normilla (y ∈ X ∗ )
n |y(x)| o
kyk = sup{ |y(x)| | x ∈ X, kxk = 1 } = sup
x ∈ X, x 6= 0 .
kxk
Jono (xn )n∈N avaruuden X alkioita suppenee heikosti, jos jollakin x ∈ X ja kaikilla y ∈ X ∗ pätee limn→∞ y(xn ) = y(x). Jono (xn )n∈N on heikko Cauchyn jono, jos
jokaisella y ∈ X ∗ jono (y(xn ))n∈N suppenee.
Tiedetään, että jonolla (xn )n∈N on heikosti suppeneva osajono, joss X on ns. refleksiivinen avaruus eli kanonisella tavalla isomorfinen biduaalinsa X ∗∗ = (X ∗ )∗ kanssa.
Rosenthalin lauseeseen liittyvä Ramseyn teoria
3.4. Lause. Olkoon A ⊂ [N]<ω . Oletetaan, että
∀M ∈ [N]ω ∃N ∈ [M ]ω ∀n ∈ N(N ∩ n ∈ A).
Tällöin ∃H ∈ [N]ω ([H]<ω ⊂ A).
Todistus. Merkitään
S = {M ∈ [N]ω |∀n ∈ N(M ∩ n ∈ A)}.
Joukko S ⊂ [N]ω on suljettu tavanomaisen topologian suhteen, sillä jokaisella X ∈
[N]ω r S on olemassa n ∈ N, jolle X ∩ n ∈
/ A; tällöin U (A, B) ⊂ [N]ω r S, missä
A = X ∩ n ja B = n r X. Ellentuckin lauseen mukaan S on siis Ramseyn joukko.
Oletuksen nojalla
∀M ∈ [N]ω ∃N ∈ [M ]ω ∀n ∈ N(N ∩ n ∈ A)
⇔∀M ∈ [N]ω ∃N ∈ [M ]ω (N ∈ S)
⇔∀M ∈ [N]ω ([M ]ω ∩ S 6= ∅).
Siis on olemassa H ∈ [N]ω , jolle [H]ω ⊂ S. Jokainen äärellinen A ∈ [H]<ω on alkuosa
jostakin joukosta M ∈ [H]ω . Koska M ∈ S, saadaan A ∈ A.
51
3.5. Määritelmä. Olkoon (xn )n∈N Banachin avaruuden rajoitettu jono ja ε > 0.
ω
Jonon (xn )n∈N sanotaan sallivan ε − l1 -lohkoja,
P jos jokaisella MP∈ [N] on olemassa
äärellinen C ⊂ M ja kertoimet ai , i ∈ C, joille i∈C |ai | = 1 ja k i∈C ai xi k ≤ ε.
Huom. Jono (yn )n∈N on jonon (xn )n∈N osajono, jos on olemassa aidosti kasvava
f : N → N, jolle yn = xf (n) , kun n ∈ N (usein merkitään nk = f (k) ja (yn )n∈N =
(xnk )k∈N ). Havaitaan, että jos (xn )n∈N sallii ε − l1 -lohkoja, niin sen jokainen osajonokin
sallii.
3.6. Lemma. Olkoon ε, δ, τ > 0. Oletetaan, että reaalisen Banachin avaruuden X
rajoitettu jono (xn )n∈N sallii ε-l1 -lohkoja. Oletetaan toisaalta, että jokaista (xn )n∈N :n
osajonoa (zn )n∈N vastaa sellainen x∗ ∈ X ∗ , että kx∗ k = 1 ja
lim sup x∗ (zn ) − lim inf x∗ (zn ) > 2ε + 2δ.
n→∞
n→∞
Tällöin (xn )n∈N :lla on osajono (yn )n∈N , jolla on seuraavat ominaisuudet:
1) Jos C, D ⊂ N ovat erillisiä, äärellisiä ja epätyhjiä, niin on olemassa x∗ ∈ X ∗ ,
kx∗ k = 1, jolle
min{x∗ (yn )|n ∈ D} − max{x∗ (yn )|n ∈ C} > 2ε + δ.
2) On olemassa A ∈ [N]<ω ja ai ∈ R, i ∈ A, joille
X X
|ai | = 1, ai ≤ τ ja
i∈A
i∈A
X
ai yi ≤ ε.
i∈A
Todistus. Koostukoon A sellaisista A ∈ [N]<ω , että on olemassa x∗ ∈ X ∗ , kx∗ k = 1,
jolle
min{ x∗ (xn ) | n ∈ D } − max{ x∗ (xn ) | n ∈ C } > 2ε + δ,
missä C = { ak | k parillinen, k ∈ m }, D = A r C, A = {a0 , . . . , am−1 } (järjestyksessä
lueteltuna).
Osoitetaan, että edellistä Ramseyn teorian lausetta voidaan soveltaa, ts. A toteuttaa lauseen oletuksen. Olkoon M ∈ [N]ω ja f : N → M aidosti kasvava bijektio.
Merkitään (zn )n∈N = (xf (n) )n∈N . Osajonoa (zn )n∈N vastaa sellainen x∗ ∈ X ∗ , että
kx∗ k = 1 ja
lim sup x∗ (zn ) − lim inf x∗ (zn ) > 2ε + 2δ.
n→∞
n→∞
Valitsemalla sopivasti vuorotellen alkioita, löydetään sellainen (zn )n∈N :n osajono (tn )n∈N ,
että
inf{x∗ (t2n+1 )|n ∈ N} − sup{x∗ (t2n )|n ∈ N} > 2ε + δ.
Jono (tn )n∈N on jonon (xn )n∈N osajono, joten jollakin aidosti kasvavalla g : N → N
pätee tn = xg(n) , kun n ∈ N. Merkitään N = g[N]. Huomataan, että kaikki joukon N
alkuosat ovat A:ssa. Edellisen lauseen mukaan on olemassa H ∈ [N]ω , jolle [H]<ω ⊂ A.
Valitaan H:n ääretön osajoukko M ⊂ H, joka ei sisällä H:n peräkkäisiä alkioita. Olkoon
52
(yn )n∈N joukkoa M vastaava osajono, ts. (yn )n∈N = (xf (n) )n∈N , missä f : N → M on
aidosti kasvava bijektio.
Havaitaan, että kaikilla A ∈ [H]<ω on olemassa x∗ ∈ X ∗ , kx∗ k = 1, jolle
min{ x∗ (xn ) | n ∈ D } − max{ x∗ (xn ) | n ∈ C } > 2ε + δ,
missä C sisältää joka toisen ja D joka toisen joukon A alkioista suuruusjärjestyksessä.
Olkoot C, D ∈ [N]<ω erillisiä ja epätyhjiä. Tällöin f [C], f [D] ⊂ M , missä M ⊂ H
ei sisällä joukon H peräkkäisiä alkioita, joten voidaan valita C 0 , D0 ∈ [H]<ω , joille
f [C] ⊂ C 0 , f [D] ⊂ D0 ja C 0 , D0 lomittuvat keskenään: kun luetellaan A = C 0 ∪ D0 =
{a0 , . . . , am−1 } suuruusjärjestyksessä, niin C 0 = { ai | i ∈ n parillinen } ja D0 = { ai |
i ∈ n pariton }. Siis on olemassa sellainen x∗ ∈ X, kx∗ k = 1, että
min{ x∗ (yn ) | n ∈ D } − max{ x∗ (yn ) | n ∈ C }
= min{ x∗ (xf (n) ) | n ∈ D } − max{ x∗ (xf (n) ) | n ∈ C }
≥ min{ x∗ (xm ) | m ∈ D0 } − max{ x∗ (xm ) | n ∈ C 0 }
> 2ε + δ,
ts. ehto 1 on voimassa.
Tarkistetaan vielä, että ehto 2 on voimassa. Valitaan m ∈ N niin, että mτ ≥ 1.
Valitaan erilliset joukot Ai , i = 0, . . . , m, niin, että jokaisella i = 0, . . . , m on olemassa
kertoimet ain ∈ R (n ∈ Ai ), joille
X
X
ain xn ≤ ε.
|ain | = 1 ja n∈Ai
n∈Ai
Tällaiset
ε-`1 -lohkoehtoa vuoroin äärettömään joukkoon
S saadaan valittua soveltamalla
P
N r j∈i Ai . Merkitään ηi = n∈Ai ain ∈ [−1, 1], kun i = 0, . . . , m. Laatikkoperiaatteen nojalla on olemassa eri i, j ∈ {0, . . . , m}, joille
ηi , ηj ∈ [−1 + k ·
2
2
, −1 + (k + 1) · ]
m
m
2
jollakin k ∈ m. Näille ηi , ηj pätee |ηi − ηj | ≤ m
≤ 2τ . Asetetaan A = Ai ∪ Aj . Kun
merkitään
1
a ,
kun s ∈ Ai
as = 2 1is
− 2 ajs , kun s ∈ Aj
huomataan, että
1 X
1 X
1
1
|ajs | = · 1 + · 1 = 1,
|ais | +
2
2
2
2
s∈A
s∈Ai
s∈Aj
X X 1
X
1 1
1 1
1
as = ais +
− ajs = ηi − ηj = |ηi − ηj | ≤ · 2τ = τ
2
2 2
2
2
2
X
|as | =
s∈A
s∈Ai
s∈Aj
ja
53
X
X
X
1
1
ais xs −
ajs xs as xs = 2
2
s∈A
s∈Ai
s∈Aj
X
X
1
1
1
1
ais xs + ajs xs ≤ ε + ε = ε.
≤ 2
2
2
2
s∈Ai
s∈Aj
3.7. Lause. Olkoon X reaalinen Banachin avaruus ja ε > 0. Oletetaan, että rajoitettu
jono (xn )n∈N sallii ε-`1 -lohkoja. Tällöin (xn )n∈N :llä on osajono (yn )n∈N , jolle
lim sup x∗ (yn ) − lim inf x∗ (yn ) ≤ 2ε,
n→∞
n→∞
kun x∗ ∈ X ∗ , kx∗ k = 1.
Todistus. Oletetaan, että tällaista osajonoa ei ole olemassa. Voidaan olettaa, että
tällöin on olemassa sellainen δ > 0, että jokaisella osajonolla (yn )n∈N on olemassa
x∗ ∈ X ∗ , kx∗ k = 1, jolle
lim sup x∗ (yn ) − lim inf x∗ (yn ) > 2ε + 2δ.
n→∞
n→∞
(Jos tätä rakoa 2δ ei nimittäin saataisi aikaan, niin diagonalisointitekniikalla saataisiin
väitteen mukainen osajono.) Edellisen lemman tilanne on siis voimassa. Olkoon (yn )n∈N
lemmasta saatava osajono. Merkitään λ = sup{ kxn k | n ∈ N }. Tällöin
lim (−λτ + ε + δ/2) = ε + δ/2 > ε,
τ →0+
joten on olemassa τ , jolle −λτ + ε + δ/2 > ε. Edellisen lemman nukaan on olemassa
äärellinen A ⊂ N ja kertoimet as ∈ R (s ∈ A), joille
X X
X
|as | = 1, as ≤ τ ja as ys ≤ ε.
s∈A
s∈A
s∈A
Valitaan C = { s ∈ A | as < 0 } ja D = { s ∈ A | as > 0 }. Edellisen lemman ehdon 1
mukaan on olemassa sellainen x∗ ∈ X ∗ , kx∗ k = 1, että λ+ − λ− > 2ε + δ, missä
λ+ = min{ x∗ (yn ) | n ∈ D } ja λ− = max{ x∗ (yn ) | n ∈ C }. Siis
X
X
X
ε≥
as ys ≥ x∗ (
as ys ) =
as x∗ (ys )
s∈A
s∈A
s∈A
X
X
X
X
=
as x∗ (ys ) +
as x∗ (ys ) ≥ λ+
as + λ−
as
s∈D
s∈C
s∈D
s∈C
λ+ + λ− X
λ+ − λ− X
λ+ + λ −
=
as +
|as | ≥
(−τ ) + ε + δ/2
2
2
2
s∈A
s∈A
≥ −λτ + ε + δ/2 > ε,
mikä on ristiriita.
54
3.8. Rosenthalin lause. Olkoon X reaalinen Banachin avaruus. Tällöin joko
1) `1 uppoaa avaruuteen X
tai
2) jokaisella X:n rajoitetulla jonolla (xn )n∈N on heikko Cauchyn osajono.
Todistus. Oletetaan, että `1 ei uppoa avaruuteen X. Olkoon (xn )n∈N rajoitettu X:n
jono, ts. λ = sup{ kxn k | n ∈ N } < ∞. Tällöin kaikilla A ∈ [N]<ω , as ∈ R (s ∈ A)
X
X
X
|as |kxs k ≤ λ
|as |.
as xs ≤
s∈A
s∈A
s∈A
Jotta en 7→ yn ei määrittäisi `1 :n upotusta X:ään millään osajonolla (yn )n∈N , on siis
jonon (xn )n∈N sallittava ε-`1 -lohkoja jokaisella ε > 0.
Valitaan induktiolla luvun k ∈ N suhteen sellaiset jonot (xkn )n∈N , että
a) (x0n )n∈N = (xn )n∈N
ja jokaisella k ∈ N
b) (xk+1,n )n∈N on jonon (xkn )n∈N osajono.
c) jokaisella x∗ ∈ X ∗ , kx∗ k = 1, pätee lim supn→∞ x∗ (xk+1,n )−lim inf n→∞ x∗ (xk+1,n ) ≤
2−k .
Edellisen lauseen avulla tämä saadaan tehtyä. Diagonalisoidaan: yn = xnn , kun
n ∈ N. Tällöin (yn )n∈N on (xn )n∈N :n osajono, jolle (x∗ (yn ))n∈N suppenee kaikilla
x∗ ∈ X ∗ eli (yn )n∈N on heikko Cauchyn jono.
55

Ramseyn teoria - Helsingin yliopisto

Transcription

Similar documents

Harjoitus 1.

Gripenberg/Karvonen MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

Ylimääräiset harjoitukset

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Harjoitus 1 7.9–11.9

P-tehtävät

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Gripenberg, Karvonen

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Gripenberg, Karvonen

R → C energ - MyCourses - Aalto

I Ympiiri Irlann n - The Ireland Whiskey Trail