R → C energ - MyCourses - Aalto

MS-C1420 Fourier-analyysi (Aalto-yliopisto)
Turunen / Mustonen
Harjoituskierros 5/12 (21.-23.9.2015)
Signaalin s : R → C energia on
2
ksk =
ksk2L2
Z
|s(t)|2 dt,
=
R
ja äärellisenergiaisten signaalien r, s sisätulo on
Z
hr, si =
r(t) s(t)∗ dt.
R
Seuraavia tehtäviä nro 1–4 lasketaan paikalla harjoituksessa
(1p aktiivisesta osallistumisesta: keskity erityisesti itsellesi uusiin asioihin).
1. Todista, että xy ≤ 21 (x2 + y 2 ), kun x, y ∈ R. Selitä, miksi tästä seuraa
krskL1
=
krk ksk
Z
R
|r(t)| |s(t)|
dt ≤
krk ksk
Z
R
1
2
|r(t)|2
|s(t)|2
+
krk2
ksk2
dt = 1.
2. Todista:
a) Hölder-epäyhtälö
krskL1 ≤ krk ksk.
b) Cauchy–Schwarz-epäyhtälö
|hr, si| ≤ krk ksk.
c)
Minkowski-epäyhtälö
kr + sk ≤ krk + ksk.
3. Signaalien r, s : R → C korrelaatio on signaali COR(r, s) : R → C, jolle
Z
COR(r, s)(u) :=
r(t + u) s(t) dt.
R
Miten signaalien r, s, COR(r, s) Fourier-muunnokset liittyvät toisiinsa?
Erityisesti: miten signaalin s Fourier-muunnos liittyy ns. autokorrelaation
COR(s, s) Fourier-muunnokseen?
4. Olkoon ψσ (t) := 2σ/(σ 2 + (2πt)2 ), kun σ > 0. Näytä, että ψρ ∗ ψσ = ψρ+σ .
(Vihje: laske sb(ν), missä s(t) = e−a|t| , kun a > 0.)
1
—————————————————————————————————
Kotitehtävä 5. (3p) Tarkastetaan harjoituksessa nro 7/12:
a) Näytä, että
kr ∗ skL∞ ≤ krkL∞ kskL1 .
Siis: r ∗ s on olennaisesti rajoitettu,
jos r on olennaisesti rajoitettu ja s itseisesti integroituva.
b) Näytä, että
kr ∗ skL2 ≤ kb
rkL∞ kskL2 ≤ krkL1 kskL2 .
Siis: r ∗ s on energialtaan äärellinen,
jos s on energialtaan äärellinen ja rb olennaisesti rajoitettu
(erityisesti, kun r itseisesti integroituva).
STACK-tehtävät 3. (2p) Tee verkossa (su 27.9.2015 klo 23:00 mennessä).
—————————————————————————————————
2