Jakso 7: Vetyatomi

Jakso 7: Vetyatomi
Näytä tai palauta tämän jakson tehtävät viimeistään maanantaina 8.6.2015.
Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 6. Suunnilleen samat asiat ovat
Aalto-yliopiston suomenkelisessä oppimateriaalissa linkissä
http://www.lce.hut.fi/teaching/S-114.1327/opetusmoniste/KM_Luku4.pdf
kappaleessa 4.9.
T 7.1 (pakollinen): Alla olevassa kuvassa on esitelty vedynkaltaisten atomien elektronin
aaltofunktioista laskettuja todennäköisyystiheyksiä. Miten nämä kvanttimekaanisen mallin mukaiset
elektronin ”radat” eroavat Bohrin mallin mukaisista radoista?
Kuva sivulta http://vladimirkalitvianski.wordpress.com/
T 7.2 (pakollinen): Tarkastele vedyn elektronin radiaalisia todennäköisyystiheyksiä alla olevasta
kuvasta. (Tässä ei ole siis huomioitu kulmariippuvuutta niin kuin edellisessä kuvassa.) Mitä yhteistä
on niillä todennäköisyystiheyksillä, joilla on sama l-kvanttiluku tai sama n-kvanttiluku? Miten
todennäköisyystiheydet muuttuvat näiden kvanttilukujen kasvaessa?
Kuva sivulta http://teacher.pas.rochester.edu/PHY237/Exams/Exam2/Exam2.htm, alkuperäistä lähdettä ei ole mainittu.
T 7.3: Osoita, että vetyatomin elektronin aaltofunktio ψ211 toteuttaa ajasta riippumattoman
Schrödingerin yhtälön.
Opastus: Käytä kolmiulotteista Schrödingerin yhtälöä ja pallokoordinaatteja.
1   2   1 1  
 
1
 2
Pallokoordinaateissa    2
r

 sin 

  r 2 sin 2  
r r  r  r 2 sin   
2
1  1
 
Aaltofunktio on muotoa  211 
8   a0 
e2
Potentiaalienergia on V  
4 0 r
3/ 2
r
r 2 a0
e sin  e i
a0
me 4
Energiaominaisarvo tilalle ψ211 on E 2  
8(4 0 ) 2  2
T 7.4: Laske todennäköisyys sille, että vetyatomin perustilassa (1s-tilassa) elektronin etäisyys
ytimestä on suurempi kuin Bohrin säde a0.
Opastus: Muista kolmiulotteisuus. Tilavuusalkio ei ole dr vaan 4πr2dr. Miksi?
T 7.5: Laske
1
:n odotusarvo vetyatomin perustilassa.
r
T 7.6: Laske vetyatomin perustilan energia käyttämällä vastaavaa radiaalista aaltofunktiota
 1
R10  2 
 a0 
ja efektiivistä potentiaalia
U 
e2
4 0 r

3/ 2
e  r / a0
 2 l (l  1)
2mr 2
T 7.7: Millä etäisyydellä ytimestä löytää todennäköisimmin vetyatomin
1s-elektronin.
Opastus: Käytä aaltofunktiota
1s = ()()R(r) =
1
2
1 2  r / a0
e
3/ 2
2 a0
Todennäköisyystiheys on P(r )   12s (4r 2 )
Jakso 7: Vastauksia
T 7.4: 0.68
1
T 7.5:
a0
T 7.6: E 
 2
2ma0 
T 7.7: r = a0
2