Matemaattiset apuneuvot I Syksy 2015 Kotiharjoitus 5 Palautus pe

Matemaattiset apuneuvot I
Syksy 2015
Kotiharjoitus 5
Palautus pe 2.10. klo 12 toisen kerroksen A-siiven palautuslokeroihin. Tehtävistä
keskustellaan harjoitusryhmissä 29.9 ja käsitellään 6.10.
Niittaa paperit yhteen, ja merkitse paperiin harjoitusryhmäsi numero ja
laskuharjoitusassistenttisi nimi!
1. Määritä parametrimuodossa annetun käyrän
x(t) = t3 − 5
y(t) = 6t + 2
derivaatta dy/dx parametrin arvolla t = 3.
2. Suhteellisuusteorian mukaan on havaitsijan suhteen nopeudella v liikkuvan
kappaleen kokonaisenergia
mc2
E(v) = q
2
1 − vc2
missä m on kappaleen massa ja c valon nopeus. Laske energian Taylorin sarja
kertalukuun v 4 . (Huomaa että energia on v 2 :n funktio, ts. riittää kehittää toiseen kertalukuun muuttujassa v 2 . Konkreettisemmin: korvaa esim. x = v 2 /c2
ja kehitä toiseen kertalukuun muuttujan x suhteen, ja korvaa takaisin v 2 /c2 .)
Tunnistatko ensimmäisen ja toisen (kertaluvut v 0 ja v 2 ) termin sarjassa? Kolmas termi on johtava relativistinen korjaus energiaan.
3. Kehitä Taylorin sarjaksi funktio f (x) = 1/x pisteen x0 > 0 suhteen. Mikä on
sarjan suppenemissäde?
4. Näytä suoraan laskemalla, että funktioiden ex , sin x ja cos x sarjakehitelmät
(mitkä löytyvät luentomuistiinpanoista) toteuttavat seuraavan Eulerin yhtälön:
eix = cos x + i sin x
Tässä imaginääriyksikölle i pätee i2 = −1, joten i3 = i2 i = −i, i4 = 1 jne.
Erota parilliset ja parittomat x:n potenssit!
Taylorin sarjoilla voidaan täten luontevasti laajentaa funktioiden määrittelyjoukko
kompleksilukuihin.
5. Laske seuraavat integraalit (ratkeavat “perusintegraalien” avulla)
Z √
√
3
2
a)
x2 + x3 dx
Z
b)
tan xdx
Z
c) (2x2 + 1)2 dx
P
1
Lisätehtävä, ei arvostella: Tutkitaan harmonista sarjaa ∞
n=1 n . Noin 1350 ranskalainen mukki Orseme osoitti että tämä ei suppene. Ryhmitellään termit seuraavasti:
1
1 1
1 1 1 1
1 + ( ) + ( + ) + ( + + + ) + ...
2
3 4
5 6 7 8
Siis otetaan 1,2,4,8,. . . termiä kerrallaan. Nyt jokainen ryhmä on ≥ kuin eräs vakio
c, mikä?
Miten tästä näkee että harmoninen sarja ei suppene?
P∞
1
Tulos
k=1 k(k+1) = 1 tiedettiin myös keskiajalla. Hajoita termi osamurtoihin –
mitä tapahtuu termien summalle?
P
1
Tätä tulosta käyttäen tiedettiin että sarja ∞
k=1 k2 suppenee – kuinka? Sarjan summan löytyminen osoittautui paljon hankalammaksi, ja vasta 1735 Leonhard Euler
näytti että se on π 2 /6. Mielenkiintoista tietoa näistä sarjoista löytyy mm. linkistä
http://plus.maths.org/content/infinite-series-surprises.