Løsninger til eksamensopgaver juni 2015

Beregningsteknik for EIT4+ITC4/15
Opgavesæt 32
150602HEb
Skriftlig prøve i
Beregningsteknik indenfor elektronikområdet 2
Prøve d. 8. juni 2015 kl. 09.00 - 13.00.
Ved bedømmelsen vægtes de 7 opgaver således:
Opgave 1:
Opgave 2:
Opgave 3:
Opgave 4:
Opgave 5:
Opgave 6:
Opgave 7:
17 %
16 %
9%
12 %
13 %
15 %
18 %
(Kompleks funktionsteori mv.)
(Kompleks funktionsteori mv.)
(Tidsdiskrete systemer)
(Tidsdiskrete systemer)
(Tidsdiskrete systemer)
(Lineær algebra)
(Lineær algebra)
Denne side skal afleveres sammen med opgavebesvarelsen.
Alle afleverede besvarelsesark til bedømmelse skal være påført navn og cpr-nummer.
Opgaveteksten kan beholdes.
Påfør venligst herunder tydelig navn, cpr-nummer og eksamensnummer. Hvis disse data
ikke er korrekte og tydelige, kan opgavesættet ikke blive bedømt.
Navn:
Cpr. nr.:
Eksamensnummer:
Praktiske bemærkninger
Generelle bemærkninger:
Disse hjælpemidler er tilladte under eksamen: Lærebøger, formelsamlinger, notater, lommeregner og pc.
Pc og lommeregner må ikke kommunikere med omverdenen. Man kan ikke påregne at kunne få 230 V
tilslutning under eksamen. Maskinerne må ikke støje, og skærmen skal vippes mindst 135 grader op i
forhold til sammenklappet tilstand. Printerudskrifter accepteres ikke som besvarelse.
Eksamenssnyd behandles efter universitetets regler.
Ang. den ønskede angivelse af resultater:
Besvarelsen skal afleveres på separate papirark for hver opgave. Mellemregninger skal medtages i
det omfang, det er nødvendigt for at forstå eksaminandens tankegang i løsningsmetoden. Det er ikke
nødvendigt at medtage alle detaljer.
Det giver ikke pluspoint at angive mange decimaler i resultatet. Det er en vurderingssag, hvormange,
der er nødvendigt, men højst 3 decimaler er almindeligt. Decimaltegnet er komma (og ikke punktum!).
Ang. bedømmelsen af opgaverne:
Besvarelserne udsættes for en helhedsvurdering baseret på sammentællingen af opnåede point. Vurderingen omsættes til en karakter efter 7-trinsskalaen. Man kan ikke bestå, hvis man er helt blank i et af
delområderne, idet man ikke opfylder det forud fastsatte kursusmål.
Helt simple regnefejl trækker ikke ned. Regnefejl, som giver et helt åbenlyst forkert resultat, trækker
ned. Metodefejl trækker meget ned. Fejl tæller kun med 1 gang, selv om de bevirker at efterfølgende
spørgsmål også vil blive besvaret forkert.
Det er vigtigt, at tankegangen i løsningen af opgaven klart fremgår af besvarelsen. Den blotte angivelse
af et facit er ingen god besvarelse, og hvis talværdien oven i købet er forkert, vil eksaminatoren være
nødsaget til at vurdere, at opgaven ikke er besvaret.
Derudover er det vigtigt, at man skriver med en tydelig og letlæselig håndskrift og laver en overskuelig
opstilling af løsningen. Ting, som eksaminatoren ikke kan læse, kan man ikke blive krediteret for.
En god opstilling af løsningen og en klar håndskrift giver pluspoint!
Opgave 1
Givet den komplekse funktion
z2 + 1
f (z ) = 2
z
1
;
a. Bestem funktionens singulariteter og angiv deres art
b. Beregn residuerne for f (z )
c. Beregn integralet
I
C
f (z ) dz
hvor C er cirklen med centrum i 1 og radius 1/2.
Opgave 2
Bevis ved induktion at
n
X
4n+1 ; 1
4k =
3
k=0
Opgave 3
Et LTI-system H påtrykkes et input x1 [n] og giver derved følgende output y1 [n]:
x1 [n] = 2 [n
; 4] ; [n ; 1]
y1 [n] = 6 [n + 1] + 4 [n] + 2 [n
; 1] ; 12[n ; 2] ; 8[n ; 3] ; 4[n ; 4]
a. Bestem impulsresponset h[n] for systemet H
b. Er H kausalt?
Opgave 4
Der er for to LTI-systemer givet følgende overføringsfunktioner:
H1 (z ) =
1
1 + 0 9z ;1
H2 (z ) = 5
f j jzj < 0 9g
ROC= z
2
5z92z;+06 5zz+;1 1
f j jzj > 0 5g
ROC= z
a. Bestem de inverse Z-transformerede for såvel H1 (z ) som H2(z )
(Den inverse Z-transformerede for H2 (z ) skal findes ved partialbrøksopdeling (eventuelt suppleret med polynomiedivision))
b. Er H1 (z ) og H2 (z ) stabile?
Opgave 5
Et kausalt LTI-system har følgende z-transformerede:
H (z ) =
a1.
a2.
b.
c.
1 + z ;1
2 ; 1 8z ;1
j j 0 95
ROC: z
Bestem differensligningen, som beskriver systemoutputtet y [n] i forhold til system inputtet x[n]
Bestem impulsresponset h[n] for systemet
Plot pol-nulpunkts diagrammet og bestem stabilitetsforholdene for H (z )
Bestem systemets forstærkning (værdierne af amplitudekarakteristikken) ved 0 Hz, 5 kHz og 10
kHz, idet systemet opererer med samplingsfrekvensen 20 kHz.
Opgave 6
En ligning i x1 og x2 er givet ved:
10x21 +
p
40x1x2 + 19x22 = 100
A der svarer til den kvadratiske form i ligningen. y1
Opskriv den kvadratiske form på kanonisk form, hvor hovedakserne kaldes y =
.
y2
Find sammenhængen mellem de gamle koordinater x og de nye y .
Vis at similaritetstransformationen defineret ved matrixen B , hvis søjler er egenvektorerne for A,
diagonaliserer A
a. Find en symmetrisk matrix
b.
c.
d.
Opgave 7
Betragt matrixen
a.
b.
c.
d.
e.
f.
A, givet ved: p
2
( 15 + j )
A = (p15 ; j )
4
Find ud af om A er hermitisk, skævhermitisk eller unitær.
Vis at A er normal
Find determinanten samt sporet for A
Vil egenværdierne for A være reelle, imaginære eller generelt komplekse?
Find egenværdier og egenvektorer for A
Find en egenbase, der danner et unitært system for A.
Beregningsteknik indenfor elektronik 2
EKSAMENSSÆT 32 JUNI 2015
OPGAVELØSNINGER PRØVE
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
150607HEb
2
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
3
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
4
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
5
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
6
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
N
N
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger
BIE-2 opgavesæt 32 løsninger