MM4: Fourier-rækker / -integraler /
Transcription
MM4: Fourier-rækker / -integraler /
MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Rækkeudvikling Rækkeudvikling og og Fourieranalyse Fourieranalyse Engineering Mathematics for Electronic Engineers 1 Kursusoversigt: MM 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier Potensrække- og Taylorrækkeudvikling - Cauchy-Hadamards formel MM 2: (a) Potensrækkeudvikling og konvergensundersøgelse (afslutning) (b) Periodiske funktioner, Approximation på basis af Fourier rækkebestemmelse MM 3: Fourier rækkeudvikling (fortsat), Lige og ulige funktioner Periodicitetsændring: 2π til 2L – Intervalændríng fra L til perioden 2L MM 4: Bestemmelse af Fourierkoefficienter – afsluttende orientering efter MM3 Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Lige (cosinus) og ulige (sinus) symmetri. Foldningssætningen MM 5: Fourierrækker ift. Fourierintegraler ift. Fouriertransformation; /eksempler Foldning; /eksempler MM 6: Fourier- og Laplacetransformation i s-planet, amplitude- og fasespektre Sampling og periodicitet i tid <> Periodicitet og sampling i frekvens Diskret Fouriertransformation (DFT) og Fast Fouriertransformation (FFT) -------MM 7: Repetition, opsamling og opgaveregning for minimodul 1-6 1 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Oversigt over dagens forelæsning – introduktionsdelen Afsluttende bemærkninger om: • betydningen af trigonometriske funktioners orthogonalitet • periodeskift fra 2π til en vilkårlig periode/interval-længde 2L • bestemmelse af Fourier koefficienter for lige og ulige funktioner • Fourier rækkers sum og konvergens 2 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Trigonometriske funktioners orthogonalitet 3 Periodeskift fra 2π til en vilk årlig periode/interval -længde 2L MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Fourierrækken: Fourierrækken: Fourierkoefficienter: Fourierkoefficienter: 4 Periodeskift fra 2π til en vilk årlig periode/interval -længde 2L MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer 2π-periode > 2L-periode: cos(nx) cos( 2 nx) cos( nx) 2L L 5 MM4: / -integraler / -transformationer FourierFourier-rækker koefficienter for lige og ulige funktioner Rækkeudvikling for lige og ulige funktioner: g(x) = - g(-x) g(x) = g(-x) 6 MM4: / -integraler / -transformationer FourierFourier-rækker koefficienter for lige og ulige funktioner; Periode: –L<x<L 7 MM4: / -integraler / -transformationer FourierFourier-rækker rækkers sum og konvergens 8 MM4: / -integraler / -transformationer FourierFourier-rækker rækkers sum og konvergens 9 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer 10 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Oversigt over dagens forelæsning: Fourier-rækker / -integraler / -transformation • Intervalsammensætning for Fourierrækker - udvidelse af intervallet L til perioden 2L - Fourier cosinus rækker (lige) og Fourier sinus rækker (ulige) • Fourier rækker <> Fourier integraler - fra Fourier rækker til Fourier integraler - anvendelser af Fourier integraler - Fourier cosinus og Fourier sinus integraler • Fourier cosinus og Fourier sinus transformationer • Fourier transformation (komplekse Fourier integraler) - den Fourier transformerede samt dens inverse • Foldningssætningen 11 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Halv-interval udvidelse (udvidelse af intervallet L til perioden 2L) 12 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer 13 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer 14 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Fra Fourier rækker til et Fourier integraler Fourierrækker er generelt beskrevet således: n n f ( x) a 0 a n cos x bn sin x L L n 1 15 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Til opstilling af Fourier-integralet anvendes koefficientbestemmelsen fra Eulers formel: 16 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer n n x bn sin x f ( x) a 0 a n cos L L n 1 n x f ( x) a0 an cos L n 1 Opstilling af Fourier cosinus rækker for ”lige” funktioner n x f ( x) bn sin L n 1 Opstilling af Fourier sinus rækker for ”ulige” funktioner 17 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer 18 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer Fra Fourier rækker til et Fourier integraler Fourierrækker er generelt beskrevet således: n n f ( x) a 0 a n cos x bn sin x L L n 1 19 MM4:Fourier Fourier-rækker MM4: Integraler / -integraler / -transformationer 20 MM4:Fourier Fourier-rækker MM4: Integraler / -integraler / -transformationer Fourier integralet A( w) 1 f ( ) cos(w )d B( w) 1 f ( ) sin( w )d f ( x) A( w) cos( wx ) B( w) sin( wx)dw 0 21 MM4: Fourier-rækker MM4: Fourier Integraler / -integraler / -transformationer Fourier Cosinus integraler og Fourier Sinus integraler f(x) lige: f(x) ulige: 22 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer 23 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer MM4: Fourier Transformation Fourier Cosinus Transformation (af lige funktioner) Fourier Cosinus integralet er udgangspunktet: - normalt skrevet Fc(f) eller Fc(ω) 24 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer MM4: Fourier Transformation Fourier Sinus Transformation (af ulige funktioner) Fourier Sinus integralet er udgangspunktet: - normalt skrevet Fs(f) eller Fs(ω) 25 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer MM4: Fourier Transformation Fourier transformation (med udgangspunkt i komplekse Fourier integraler) (det reelle Fourier integrale) (det komplekse Fourier integrale) 26 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer MM4: Fourier Transformation Fourier transformation (komplekse Fourier integraler) 1 F (iw) f ( ) e iw d 2 27 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer 28 MM4: Fourier-rækker / -integraler / -transformationer MM4: Foldningssætningen Foldning Foldningssætningen (side 527) 29