Lektion 6: Taylor- og Laurentrækker
Transcription
Lektion 6: Taylor- og Laurentrækker
Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Engineering Mathematics for Electronic Engineers 1 Kursusoversigt: Lektion 1: Lektion 2: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier Potensrækker og Cauchy-Hadamards formel Taylor og Maclaurin rækkeudvikling Periodiske funktioner, Fourier rækkeudvikling Lektion 3: Fourier rækkeudvikling (fortsat). Lige og ulige funktioner. Lektion 4: 4 Den tidskontinuerte Fouriertransformation Fourier-transformation <> Laplace-transformation Lektion 5: Sampling og den tidsdiskrete Fouriertransformation, Diskret Fourier- og Fast Fourier-transformation (DFT/FFT) Lektion 6: 6 Fouriertransformation af periodiske og tidsdiskrete signaler Sampling og periodicitet i tid <> Periodicitet og samp. i frekvens Ingeniøranvendelser af rækketeori samt Fouriertransformation -------Lektion 7: Repetition, opsamling og opgaveregning for lektion 1-6 1 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Oversigt over dagens forelæsning • Taylor og Maclaurin rækkeudvikling (Maclaurin rækker er Taylor rækker med centrum z0 = 0) - Potensrækker som Taylor rækker - Særlige/vigtige Taylor rækker: * geometriske rækker * rækker for exponentielle funktioner * rækker for trigonometriske og hyperbolske funktioner * logaritmiske rækker • Konvergenstest for potens-, Taylor og Maclaurin rækker • Udvikling af Fourier rækker (herunder Fourier analyse) - periodiske funktioner - trigonometriske funktioner - bestemmelse af Fourier koefficienter 2 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Potensrækker En potensrække har formen a (z z ) n 0 n 0 n a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 hvor z0 er rækkens centrum og {an} rækkens koefficienter. Rækkens konvergensradius |z - z0| < R findes som R = lim |an /an+1| n hvor R kan være 0, endelig og uendelig. 3 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Funktioner beskrevet ved potensrækker Det store spørgsmål: Kan potensrækker repræsentere analytiske funktioner – samt respektere de normale fire regningsarter samt differentiation og integration? Vi antager z0 = 0 og skriver generelt potensrækken: a n 0 n z n (generelt er: z z z 0) Terminologi og notation: * f ( z ) an z n a0 a1 z a2 z 2 for R >0 n 0 f(z) kan repræsenteres ved (eller udvikles i) en potensrække Entydighed for potensrække repræsentation: En givet funktion f(z) kan ikke repræsenteres af to forskellige potensrækker med samme centrum! 4 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Potensrækkers konvergensradius 5 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Cauchy-Hadamards formel 6 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Cauchy-Hadamard (eksempel) 7 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Vedrørende Potensrækker: Theorem 1 Kontinuitet i potensrækkesummen: Hvis en funktion f(z) kan repræsenteres ved en potensrække* med en konvergensradius R>0, så er f(z) kontinuert for z=0. Theorem 2 Identitetssætningen for potensrækker (entydighed): Hvis potensrækkerne a0 + a1z + + a2z2 + + + og b0 + b1z + + b2z2 + + + begge er konvergente for |z|<R (hvor R er positiv), og begge har samme sum for alle z, så er rækkerne identiske (a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2,...). Hvis en funktion f(z) kan repræsenteres som potensrække med et vilkårligt z0, er repræsentationen entydig! 8 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Vedrørende brug af potensrækker: Ledvis addition og subtraktion af to eller flere potensrækker? Ledvis multiplikation af potensrækker? (herunder af særlige potensrækker Cauchy produkter) Ledvis differentiation og integration giver for differentiation anledning til ”afledte” rækker. 9 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Theorem 3 Ledvis differention af potensrækker Den afledte række af en potensrække har samme konvergensradius som den oprindelige række Theorem 4 Ledvis integration af potensrækker Ved ledvis integration af rækken a0 + a1z + a2z2 + + + fås potensrækken: an n1 a1 2 a2 3 z a0 z z z 2 3 n 0 n 1 Rækken har samme konvergensradius som den oprindelige rækken 10 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Theorem 5 Analytiske funktioner og deres afledede En potensrække med konvergensradius R forskellig fra 0 repræsenterer en analytisk funktion indenfor dens konvergenscirkel. De afledte af denne funktion findes ved ledvis differention af den originale række. Alle rækker beregnet på denne måde har samme konvergensradius, som de originale rækker. Iht. repræsenterer alle beregnede rækker således en selvstændig analytisk funktion. 11 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Taylor og Maclaurin rækker (for potensrækkeudvikling) fTaylor ( z ) f ( z0 ) an ( z z0 ) n n 1 hvor 1 (n) an f ( z 0 ) n! eller f (z* ) 1 dz * an n 1 * 2i C ( z z 0 ) (Maclaurin rækker er Taylor rækker med centrum z0 = 0) 12 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Taylors Theorem Lad f(z) være analytisk i et givet område D, og lad z=z0 være et hvilket som helst punkt i D. Der vil eksistere præcist en Taylor række med centrum i z0 som repræsenterer f(z). Denne repræsentation er gældende på den størst mulige åbne skive med centrum z0 og indenfor hvilken f(z) er analytisk. f(z) kan rækkeudvikles op til en given n-værdi. Restbidraget Rn(z) vil have følgende størrelse: ( z z 0 ) n 1 f (z ) Rn ( z ) dz * n 1 2i ( z z) C ( z z0 ) ( lim R ( z ) 0) n n For koefficienterne an vil der gælde: M |an| ≤ n r M er maksimum for |f(z)| på cirkelen |z - z0| = r i D – som også omslutter cirkelindholdet. 13 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Taylors theorem 2 (EK-10 side 693) En potensrække med en konvergensradius forskellig fra 0 er Taylor rækken af dens sum! 14 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Særlige Taylor rækker Vigtige eksempler: * geometriske rækker For f(z) = 1/(1-z) har vi: f ( n ) ( z ) n! /(1 z ) n 1 , f ( n ) (0) n! Ved Maclaurin udvikling af 1/(1-z) fås den geometriske serie: 1 zn 1 z z2 1 z n 0 (f(z)er singulær for z=1) 15 (|z|<1) Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling * rækker for exponentielle funktioner f(z) = ez (analytisk for enhver z-værdi) Ved Maclaurin udvikling for z0 =0 fås: n 2 z z ez 1 z 2! n 0 n! Ved substitution af ez med z og derefter z med iy fås: 2k iy n y 2 k 1 k y k i (1) (1) e (2k )! k 0 (2k 1)! n 0 n! k 0 iy (” eiy = cosy + i sin y” - Eulors formel) 16 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling * rækker for trigonometriske og hyperbolske funktioner z 2n z2 z4 cos z (1) 1 (2n)! 2! 4! n 0 n 2 n 1 3 5 z z z z sin z (1) n (2n 1)! 3! 5! n 0 ________ z 2n z2 z4 cosh z 1 2! 4! n 0 (2n)! z 2 n1 z3 z5 sinh z z 3! 5! n 0 ( 2n 1)! 17 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling * logaritmiske rækker z2 z3 Ln(1 z ) z 2 3 (|z|<1) 1 z2 z3 Ln(1 z ) Ln z (|z|<1) 1 z 2 3 1 z z3 z5 2 z Ln 1 z 3 5 (|z|<1) 18 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Eksempler på udvikling af Taylor og Maclaurin rækker <1) 19 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Eksempler på udvikling af Taylor og Maclaurin rækker 20 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Eksempler på udvikling af Taylor og Maclaurin rækker 21 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Periodiske funktioner - Fourierrækker 22 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling 23 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling 24 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Fourierrækken: Fourierkoefficienter: 25 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Eksempel 26 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Eksempel - fortsat 27 Lektion 2: Taylor -, Maclaurin - og Fourier rækkeudvikling Eksempel - fortsat 28