Vektorer i planen

Vektorer
Ib Michelsen
Ikast 2014
Forside: Daniel (og Kristian) demonstrerer "kræfternes parallelogram".
Bemærkninger om tegningen og notation: Vektorerne er v, w1 og w2. GeoGebra (som
tegningen er lavet med) viser her vektorernes koordinater som rækkevektorer (på
tegninger med Vis navn og værdi.) Normalt foretrækkes søjlevektorer, som GeoGebra
viser vektorerne i algebravinduet.
Mht. notation: vektorer navngives her i teksten ofte med danske bogstaver som a og b eller
u, v, w …. For at markere, at der er tale om vektorer benyttes enten fed skrift (v) eller
markering med en overliggende pil( ⃗v ).
18-01-15
Enkelte trykfejl rettet i beviserne øverst side 18 og øverst side 21.
14-06-15
C:\Arkiver\A-Bog-2014\Vektorer\vektor-8-Elev.odt
Indholdsfortegnelse
Vektorer i planen................................................................................................................................5
Definition af vektor..................................................................................................................5
Addition af vektorer (Definition)...........................................................................................6
Længdeformlen........................................................................................................................7
Flytning ved parallelforskydning..........................................................................................7
Nulvektor og modsat vektor (Definitioner).........................................................................8
Differens mellem vektorer (Definition).................................................................................8
Multiplikation med skalarer (Definition).............................................................................8
Linearkombinationer og lineær afhængighed (Definition)................................................9
Skalarprodukt (Definition)...................................................................................................10
Definition af enhedsvektor...................................................................................................11
Vinkel mellem vektorer (Sætning).......................................................................................11
Projektionsvektor...................................................................................................................12
Øvelse 16: Vektorøvelser med papir og blyant samt GeoGebra......................................13
Tværvektor..............................................................................................................................14
Matrix definition....................................................................................................................15
Determinant (n=2)..................................................................................................................15
Determinant-sætning.............................................................................................................15
Arealsætninger.......................................................................................................................16
Beregning af det(u,v).............................................................................................................16
Linjens ligning........................................................................................................................17
Produktet af to hældningskoefficienter (Sætning)............................................................18
Afstande.......................................................................................................................................19
Mellem 2 punkter...................................................................................................................19
Mellem punkt Q og linje l.....................................................................................................19
Cirklens ligning......................................................................................................................20
Determinantmetoden (Sætning)..........................................................................................21
Find linjers skæringspunkter................................................................................................22
Stikordsregister................................................................................................................................23
vektor-8-Elev
4
Vektorer i planen
I gymnasiet beskæftiger man sig normalt kun med vektorer i rum og i plan. Vi kan arbejde
med vektorer som geometriske vektorer (uden noget koordinatsystem) eller som vektorer
tilhørende Rn (n=2 eller n=3). I det sidste tilfælde skrives vektorerne som talpar eller
taltripler. Det kan vises, at de geometriske vektorrum og Rn er isomorfe, hvilket betyder, at
"alt, hvad der foregår i det ene vektorrum, foregår fuldstændig tilsvarende i det andet."
Man kan godt arbejde med vektorer uden at have defineret et koordinatsystem, men med
et koordinatsystem gøres mange beregninger lettere.
Definition af vektor
En egentlig vektor har en længde (et reelt tal større end nul) og en retning. Den tegnes som
en pil.
Nulvektoren er ikke en egentlig vektor; den har længden nul og ingen retning. Den tegnes
som et punkt.
Tegnes vektoren fra origo kaldes vektoren en stedvektor; tegnes den fra ethvert andet punkt
med samme længde og retning kaldes den en repræsentant for vektoren.
Et eksempel
Til højre ses i koordinatsystemet den røde stedvektor u fra O til A. Desuden
ses 5 andre repræsentanter for den samme vektor.
A har koordinaterne (3,2).
Da u er en stedvektor, får
den koordinaterne fra
punktet:
u= 3
⃗
2
()
Bemærk, at "samme retning" medfører, at alle vektorerne ligger på parallelle linjer.
Øvelse 1
•
Tegn i GeoGebra punktet O = (0,0) og et vilkårligt andet punkt A. Tegn en række
vektorer fra O til A.
◦ er vektorerne ens eller forskellige?
◦ hvor lange er de? (Kontroller med kommandoen længde[objekt])
vektor-8-Elev
()
v1
v2
•
Lad der være givet vektoren v⃗ =
. Tegn den som stedvektor.
•
Tegn en vektor mellem to tilfældige punkter i koordinatsystemet. Hedder
AB
punkterne A og B (og er retningen fra A til B) kaldes vektoren ⃗
◦ Konstruer stedvektoren svarende hertil
◦ Hvad er vektorens koordinater?
◦ Hvorledes kunne de beregnes med kendskab til de to punkter?
Hjælp til tegning af vektorer og punkter
()
Stedvektoren ⃗
v= 5
2
indtastes som v=(5,2). Punktet A = (5,2) indtastes som A=(5,2)
Det er afgørende, om du anvender store eller små bogtaver.
Når du vil finde et nyt punkt B ved at følge vektoren v fra A, skrives: B = A+v
Når du vil tegne en repræsentant for en vektor fra et punkt, kan du vælge sidste
menupunkt i billedmenuen eller kommandoen: vektor[A,A+v]. Bemærk, at A+v er et
punkt (som det fremgik lige ovenfor.)
Øvelse 2
•
Undersøg ovenstående påstande og kommandoer.
Addition af vektorer (Definition)
Vektorer adderes ved at
addere deres koordinater:
v +u
w=v+u= 1 1
v 2 +u 2
( )
6
Vektorer i planen
Øvelse 3
•
Vis, at vektoraddition som defineret her er kommutativ (a+b = b+a) og associativ ((a+b)
+c = a+(b+c)).
Øvelse 4
•
Vis, at man kan finde summen af 2 vektorer ved at tegne repræsentanter for dem i
forlængelse af hinanden. Summen er så vektoren der begynder i
begyndelsespunktet for den første og slutter i endepunktet for den sidste.
•
Vis, at summen w svarer til diagonalen i parallelogrammet med sider v og u
•
AB =⃗
AP+⃗
PB (Indskudssætningen)
Vis, at det gælder for alle punkter i planen P, at ⃗
◦ Illustrer det også i GeoGebra med en tegning, hvor du kan flytte rundt med P
Længdeformlen
Længden af en vektor u fås som: |u|=
√ u +u
2
1
2
2
Øvelse 5
•
Bevis længdeformlen
Flytning ved parallelforskydning
Det kan indses,at forskydes alle punkter af et objekt med vektoren v, er der tale om en
parallelforskydning.
Øvelse 6
•
Sæt dit elevbillede (fra Lectio) ind i GeoGebra; nu skal du finde en vektor til at
flytte billedet med, så din næsetip er placeret i (0,0).
7
vektor-8-Elev
Nulvektor og modsat vektor (Definitioner)
Nulvektoren o er en
vektor med
egenskaben
(gældende for
enhver vektor u):
u+o=u.
Vektoren (-u)
kaldes den modsatte
vektor til u, hvis u +
(-u) = o.
Øvelse 7
•
•
()
Vis, at o= 0 er en nulvektor, og vis, at der ikke findes andre
0
Find den modsatte vektor til u, og vis, at der ikke findes andre
Differens mellem vektorer (Definition)
a-b = a+(-b)
Dvs. differensen er summen af a og b's modsatte element.
Øvelse 8
•
Beregn differensen med koordinater
Multiplikation med skalarer (Definition)
Ligesom de vektorer, vi arbejder har koordinater, der er reelle tal, er de skalarer, vi
benytter, reelle tal. Så når du møder ordet "skalar", skal du blot tænke på et alm. tal. I
andre sammenhænge kunne skalarer være rationelle tal, komplekse tal eller noget helt
tredje.
( )( )
Er α en skalar og u en vektor er produktet defineret ved α⋅
8
u1
α⋅u1
=
u2
α⋅u 2
Vektorer i planen
Øvelse 9
Bevis de følgende sætninger vedr. produkt af skalar og vektor, hvor α og β er skalarer og
u og v er vektorer:
• α(u + v) = αu + αv
• (α + β) u = αu + β u
• α (β u) = (α β)u
Linearkombinationer og lineær afhængighed (Definition)
w = αu + βv er et eksempel på en linearkombination af to vektorer; i princippet kan antallet
være ethvert naturligt tal.
Hvis der findes en linearkombination af disse vektorer, hvor ikke alle skalarer er nul, men
o , siges vektorerne at være lineært afhængige.
w= ⃗
o medfører, at alle skalarer er nul, siges vektorerne at være lineært uafhængige.
Hvis w = ⃗
Til højre ses en linearkombination af v og u: w.
Linearkombinationen
afhænger af de to skalarer,
der kan ændres med skyderne.
Øvelse 10
•
Undersøg om følgende mængder af vektorer er lineært afhængige (3 opgaver!)
◦ ⃗
u = 1 ; ⃗v = 0
0
1
◦ ⃗
u = 1 ; ⃗v = 0
1
1
◦ u og -u
() ()
() ()
9
vektor-8-Elev
Skalarprodukt (Definition)
Givet to vektorer u og v defineres deres skalarprodukt (prikproduktet): u⃗⋅v⃗ =u 1⋅v 1+u 2⋅v 2
Øvelse 11
Bevis de følgende sætninger vedr. skalarproduktet hvor α er en skalar og u og v og w er
vektorer:
u ⋅⃗v =⃗v ⋅⃗
u
•
⃗
u ⋅( ⃗v +w
u ⋅⃗
v +⃗
u ⋅w
•
⃗
⃗ )= ⃗
⃗
α( ⃗
u ⋅⃗
v )=(α ⃗
u )⋅⃗
v =⃗
u ⋅(α ⃗v )
•
2
•
∣⃗
u∣ =⃗u ⋅⃗
u
•
∣⃗
u −⃗v ∣2=∣⃗
u ∣2+∣⃗v ∣2−2 ⃗
u ⋅⃗v
Tip: Den sidste bevises ved hjælp af de øvrige sætninger. Hvilken kendt sætning minder
den i øvrigt om?
u⋅⃗
v . Bemærk, at i
Find ved hjælp af den sidste sætning en formel for skalarproduktet: ⃗
formlen indgår kun længder af vektorer. Det benyttede koordinatsystem har altså ingen
betydning for skalarproduktet.
Skriv beregningen og formlen (fremhævet) her:
10
Vektorer i planen
Definition af enhedsvektor
En egentlig vektor med længden en (= 1) kaldes en enhedsvektor.
Øvelse 12
På tegningen til højre ses 2 enhedsvektorer:
u og v.
Der er tilføjet oplysning om skalarproduktet
og cos(α), altså cos til den mellemliggende
vinkel. De er tilsyneladende ens for denne
vinkel og disse vektorer!
•
Undersøg om det altid gælder
(eksperimentelt).
•
Beregn generelt cos(α) ved hjælp af
vektorernes koordinater (Benyt
additionsreglerne).
Vinkel mellem vektorer (Sætning)
Givet to vilkårlige egentlige vektorer u og v, vil der gælde for vinklen α mellem dem, at
u ⋅⃗v
⃗
cos (α)=
og at skalarproduktet u
⃗ ⋅⃗v =∣⃗u ∣⋅∣⃗v ∣⋅cos(α)
∣⃗u ∣⋅∣⃗v ∣
Øvelse 13
Benyt dette resultat i sætning 5 i øvelse 11 (se side 10). Hvilken sætning har du nu bevist?
Lemma
Hvis vinklen mellem vektorerne er hhv. 0°, spids, ret, stump eller lige følger at
skalarproduktet er hhv. 1, mellem 0 og 1, 0, mellem -1 og nul eller -1 (og omvendt!)
11
vektor-8-Elev
Projektionsvektor
Definition
En repræsentant for projektionen af u på v fås
ved at tegne de to (egentlige) vektorer med
samme begyndelsespunkt P og nedfælde den
vinkelrette fra u's endepunkt på en linje
gennem v (til punktet Q).
PQ
Projektionen er u⃗⃗v =⃗
Sætning
For ovennævnte vektorer gælder:
u ⋅v
u⃗⃗v = ⃗ ⃗2 ⃗v
∣⃗
v∣
og
u ⋅v
∣u⃗⃗v ∣= ⃗ ⃗
∣⃗v ∣
Bevis
u =u⃗⃗v + ⃗
n og (2) u⃗⃗v =α ⋅⃗v fås ved indsætning af (2) i (1)
Da (1) ⃗
v +⃗n ⇒
⃗u =α ⃗
u ⋅⃗v =(α ⃗v +⃗n )⋅⃗
⃗
v⇔
u ⋅⃗
⃗
v =α ⃗v ⋅⃗v +0⇔
u ⋅⃗v =α∣⃗
⃗
v∣2 ⇔
u ⋅⃗v
⃗
=α
∣⃗v∣2
α indsættes i (2):
u⃗ ⋅⃗v
v
(3) u⃗⃗v = 2 ⋅⃗
∣⃗v∣
Heraf følger umiddelbart
∣ ∣
u ⋅v⃗
∣⃗
u ⋅⃗
v∣
∣⃗
u ⋅⃗v∣
⋅⃗v = 2 ⋅∣⃗
v ∣=
2
∣⃗v∣
∣⃗v∣
∣⃗v∣
∣u⃗⃗v ∣= ⃗
(4)
Øvelse 14
•
12
Tilføj i ovenstående bevis ALLE sætninger, der er benyttet (ordlyd og reference)
Vektorer i planen
Øvelse 15
Bevis længdeformlen for ∣u⃗⃗v ∣ direkte ved at benytte sætningen for vinkler mellem
u
vektorer (se side 11) sammen med en sætning der gælder for trekanten udspændt af ⃗
og u⃗⃗v (se figuren side 12)
Øvelse 16: Vektorøvelser med papir og blyant samt GeoGebra
A
Tegn i GG (GeoGebra) O = (0,0), A = (5,2) og B = (-1,4).
OA + ⃗
OA - ⃗
Beregn (i hovedet) og skriv på papir (pp) vektorerne ⃗
OB og ⃗
OB .
OA (u) og ⃗
Tegn ⃗
OB (v) i GG som vektor fra punkt til punkt. Indtast w=u+v og a=u-v.
Kontroller, at resultaterne stemmer overens.
Hvis a skal tegnes som vektor mellem A og B: hvilket punkt er begyndelsespunkt? Tegn
vektoren i GG. Kontroller, at resultaterne stemmer overens.
Vis med en vektorligning, at sammenhængen er rigtig og noter: hvilken sætning er
benyttet.
Indtegn C=(7,4) og fra dette punkt vektoren c= 0,5*w. (Find endepunktet med
kommandoen: D = C+0.5*w)
Undersøg, om linjerne, vektorerne w og c ligger på, er parallelle. Vis beregningerne.
B
Lav en ny tegning i GG. Lad O =(0,0) og tegn to vilkårlige stedvektorer u og v (men gerne
med heltallige koordinater), der ikke er parallelle.
Indtast skalarerne α =1 og β =1 og lav linearkombinationen w= αu + βv. Indsæt punktet P et
OP Det
vilkårligt sted. Lav skydere for skalarerne og prøv at ændre værdierne, så w=⃗
behøver ikke at passe helt nøjagtigt; det kan være umuligt.
Derefter viser du pp, hvorledes værdierne af α og β kan beregnes. Kontroller, at resultatet
er rigtigt i GG.
C
OA (u) og
Lav en ny tegning i GG. Lad O =(0,0) og tegn to vilkårlige stedvektorer: Tegn ⃗
13
vektor-8-Elev
⃗
OB (v) i GG som vektor fra punkt til punkt.
Tegn to enhedsvektorer med samme retninger og kald dem eu og ev.. Lad enhedsvektorerne
være grønne og have bredden 5 (så de bliver tydelige.) Zoom ind, så du tydeligt ser origo
og enhedsvektorerne.
Beregn pp med vektorregning både vinklen mellem de oprindelige vektorer og mellem
enhedvektorerne. Beregn derefter i GG. Kontroller, at resultaterne stemmer overens.
D
OA (u) og
Lav en ny tegning i GG. Lad O =(0,0) og tegn to vilkårlige stedvektorer: Tegn ⃗
⃗
OB (v) i GG som vektor fra punkt til punkt.
Find den vinkelrette projektion af punktet B på vektor u. (Benyt hjælpelinjer gennem
punkterne; gør dem usynlige, når du har fundet skæringspunkterne.) Kald punktet S.
Tegn vektoren v⃗u⃗ =⃗
OS .
Beregn v⃗⃗u =⃗
OS pp. Kontroller, at resultaterne stemmer overens.
Tværvektor
Definition
En tværvektor til en vektor u er en vektor af
samme længde drejet 90° mod urets retning.
Bemærkninger
v er en tværvektor til u. Oftest benævnes
û (u hat).
tværvektoren ⃗
Øvelse 17
•
Vis, at
( )
−u2
û =v =
⃗
u1
Huskeregel: (minus den sidste, komma den første).
•
14
Overvej, at selvom der ikke drejes om begyndelsespunktet for vektoren u, vil
Vektorer i planen
tværvektoren blive den samme, omend der fås en anden repræsentant for
tværvektoren.
Matrix definition
Ved en matrix forstås et rektangulært ordnet sæt
{
m11 m12
M = m21 m22
⋮
⋮
mm1 mm2
… m1n
… m2n
… ⋮
… mmn
}
hvor matricens elementer i denne sammenhæng er reelle tal.
Det ses let, at matricen består af n m-dimensionale søjlevektorer (eller m rækkevektorer.).
For kvadratiske matricer (hvor n=m), kan vi definere matricens determinant; her defineres
den kun i det specielle tilfælde, hvor n=2.
Determinant (n=2)
Definition
Lad M =
{
m11 m12
m21 m22
}
∣ ∣
det (M )=
m11 m12
=m11⋅m 22−m21 ⋅m12
m21 m22
Determinant-sætning
Lad a og b være to søjlevektorer og M den tilsvarende matrix; så kan det(M) beregnes som:
det (M )=⃗
â ⋅⃗b
Øvelse 18
Bevis ovennævnte sætning.
15
vektor-8-Elev
Arealsætninger
Et parallelogram (som ABCD) udspændt af
vektorerne u og v har et areal P, hvor
∣ ( )∣ ∣
P= det
u1 v1
= u1 v 2−u 2 v1∣=∣⃗
û ⋅⃗v∣=∣⃗
u ⋅⃗
v̂ ∣
u2 v2
Bevis
Arealet er produktet af længderne af v og h. Længden af h fås som længden af
projektionen af u på tværvektoren til v.
∣⃗v∣⋅∣u⃗⃗v̂ ∣=∣⃗v∣
∣u⃗ ⋅⃗v̂ ∣
=∣⃗u ⋅⃗
v̂ ∣=∣−⃗
û ⋅⃗v∣=∣⃗û ⋅⃗
v∣
̂
∣⃗v∣
Lemma
Kaldes vinklen mellem vektorerne α, kan h beregnes som:
h=∣⃗
u ∣⋅sin (α) hvoraf ses, at
P=∣⃗u∣⋅∣⃗
v∣⋅sin(α)
Lemma
Arealet af trekanten udspændt af vektorerne u og v (som CBD) har et areal T, hvor
T=
∣⃗û ⋅⃗v∣ ∣⃗u ⋅⃗v̂ ∣
2
=
2
Beregning af det(u,v)
Lad der være givet 2 vektorer u og v med
længderne a hhv. b. Vinklerne mellem x-aksen
og vektorerne (målt i den positive
omløbsretning, dvs. mod uret) er hhv. α og β;
vinklen mellem vektorerne er γ = β-α .
Så gælder:
det ( ⃗
u , ⃗v )=a b sin(γ )
16
Vektorer i planen
Bevis
(∣
∣)
det ( ⃗u , ⃗v )=det a cos(α) b cos (β) ⇔
a sin( α) b sin (β)
det (⃗
u ,⃗v )=a cos( α)b sin (β)−a sin(α)b cos(β)⇔
det (⃗
u , ⃗v )=a b(cos (α)sin(β)−sin(α) cos (β)) ⇔
det(⃗u ,⃗v )=a b sin(β−α)=a b sin( γ)
Lemma
Når γ er vinklen mellem to (egentlige) vektorer u og v, er
sin(γ)=
det( ⃗
u ,⃗
v)
∣u∣⋅∣v∣
Lemma
Når determinanten er positiv er 0<γ<π , når determinanten er negativ er π<γ<2⋅π ,
når determinanten er nul, vektorerne parallelle og omvendt.
Linjens ligning
17
vektor-8-Elev
Lad der være givet en ret linje gennem punktet P0 og med en retningsvektor r. En retningsvektor er en egentlig vektor med både begyndelsespunkt og endepunkt på linjen.
Stedvektoren til et vilkårligt punkt P på linjen fås som:
⃗
OP=⃗
OP 0+⃗
P 0 P=⃗
v +⃗
u ,
hvor u = t r, hvis og kun hvis P ligger på linjen.
Derfor kan linjens parameterfremstilling skrives:
()( ) ()
x = x 0 +t⋅ r 1
y
y0
r2
() ( )
−r 2
n= a =
Lad n være tværvektoren til retningsvektoren og lad ⃗
b
r1
. Punktet P ligger så
på linjen hvis og kun hvis P = P0 eller n og u er ortogonale (dvs. står vinkelret på hinanden).
n ⋅⃗
u =0 . Indsættes punkternes koordinater fås:
Men det er ensbetydende med, at ⃗
a⋅( x−x 0 )+b ( y− y 0 )=0 ⇔
a x+b y+(−a x0−b y 0)=0 ⇔
a x +b y+c=0
Linjens ligning kan derfor skrives som
()
a x+b y+c=0 , hvor c=(−a x 0−b y 0) og ⃗
n= a
b
Øvelse 19
Overvej: er c som defineret ovenfor afhængig af P0?
Øvelse 20
()
Lad en linje være bestemt af ligningen a x+b y+c=0 . Vis, at ⃗
n= a
b
til en vilkårlig retningsvektor.
er en tværvektor
Hint: Lad P og Q være punkter på linjen; indsæt deres koordinater i ligningen.
Produktet af to hældningskoefficienter (Sætning)
Lad der være givet 2 linjer, der begge har en hældningskoefficient. Så står de vinkelret på
hinanden hvis og kun hvis produktet af hældningskoefficienterne er -1.
Bevis
Lad linjens ligning være skrevet som: a x+b y+c=0 . Det ses, at hældningskoefficienten
18
Vektorer i planen
a
. Desuden gælder, at
b
en normalvektor.)
i så fald er
−
()
a
b
er en vektor, der står vinkelret på linjen (dvs.
Linjer står vinkelret på hinanden hvis og kun hvis normalvektorerne står vinkelret på
hinanden og det er tilfældet hvis og kun hvis disses skalarprodukt er 0. Benyttes
fodtegnene 1 og 2 for de to linjer fås altså:
Linjerne står vinkelret på hinanden ⇔
a
a
n⃗1 ⊥ n⃗2 ⇔ 1 ⋅ 2 =0 ⇔
b1 b2
a1 ⋅a 2+b 1⋅b2 =0⇔ b1 ⋅b2= −a1 ⋅a 2 ⇔
−a 1 ⋅a 2
1=
⇔
b1 ⋅b 2
a
a
−1= − 1 ⋅ − 2
b1
b2
( )( )
( )( )
Afstande
Mellem 2 punkter
Afstanden d mellem A(a1, a2) og B(b1, b2) er
d =√(b1−a 1)2+(b 2−a 2 )2
Bevis:Pythagoras sætning
Mellem punkt Q og linje l
Afstanden mellem Q(x0,y0) og l (med ligningen
a x+b y+c=0 ) kaldes dist(Q,l) og er:
∣a x 0+b y 0+c∣
dist (Q , l )=
√ a 2+b2
Bevis
Af resultatet fra øvelse 19 ses, at defineres n
som ⃗
n = a , står den vinkelret på linjen.
b
Derfor er den søgte afstand lig med længden
x −x
PQ= 1 0 på n, hvor P
af projektionen af ⃗
y 1−y 0
()
( )
er et vilkårligt punkt på linjen; P=( x 0, y 0) ,Q=( X 1, y 1).
19
vektor-8-Elev
∣⃗
n ⋅⃗
PQ∣
dist (Q , l )=
⇔
∣⃗
n∣
∣(a ( x 1−x 0)+b( y 1−y 0 ))∣
dist (Q , l)=
⇔
√ a 2+b 2
∣(a x 1+b y 1+c)−(a x 0+b y 0+c)∣
dist (Q , l )=
⇔
√ a 2+b 2
∣(a x 1+b y 1+c)−0∣
dist (Q , l)=
⇔
√ a 2+b 2
∣(a x 1+b y 1+c)∣
dist (Q ,l )=
√ a 2+b 2
Nu benyttes sætningen side 12 om
længden af en projektion.:
Næste ligning følger af beregning af
skalarproduktet.
Dette opdeles i de to parenteser;
samtidigt er der adderet og subtraheret c.
Sidste parentes i tællleren er nul, da
P er et punkt på linjen.
Cirklens ligning
Lad der være givet en cirkel c med centrum O= (a,b) og radius r. Et vilkårligt punkt P på
cirkelperiferien har koordinaterne (x,y). Cirklen har så ligningen:
2
2
(x−a) +( y−b) =r
2
Bevis
Da en cirkel er det geometriske sted for alle punkter med en given afstand til et bestemt
punkt (centrum), følger sætningen umiddelbart af sætningen om afstanden mellem 2
punkter.
Bemærkning
Sommetider mødes cirklens ligning i en anden form; denne kan omskrives som vist
herunder i et eksempel:
x 2 +4 x + y 2−6 y−12=0 ⇔
2
2
2
2
(x+2) −2 +( y−3) −3 −12=0⇔
2
2
2
( x−(−2)) +( y−3) =5 ⇔
Heraf ses, at cirklen i eksemplet har centrum i (-2,3) og har radius 5.
Øvelse 21
Undersøg, om linjen t ( y=8−x ) er tangent til cirklen c ( x 2+4 x+ y 2−6 y−12=0 )
Øvelse 22
Idet c er cirklen med centrum i O og med ligningen ( x 2−12 x+ y 2−18 y+92=0 ) og P =
(10,6), skal du finde ligningen for cirklerne, der har linjen gennem O og P som tangent, og
20
Vektorer i planen
hvor P er et punkt på disses periferi.
Determinantmetoden (Sætning)
2 ligninger med 2 ubekendte
a⃗̂ ⋅⃗c
⃗ĉ ⋅⃗b
og y=
forudsat nævneren ikke er nul.
â ⋅⃗b
â ⋅⃗
b
⃗
⃗
Er det tilfældet er ligningerne ligninger for parallelle linjer, og der kan være en tom
løsningsmængde eller uendelig mange løsninger. (Bemærk, at tællere og nævnere i
løsningen er determinanter; deraf navnet.)
[ ]( ) ( )
a1 b1 x
c
⋅ = 1
a 2 b2 y
c2
har løsningen
x=
Bevis
Når nævneren ikke er nul, skærer de til ligningerne svarende linjer hinanden: dvs. at der
er præcis en løsning. Ved at indsætte den postulerede løsning i ligningen (at gøre prøve),
kan det ses, at ligningen er sand, hvormed sætningen er bevist. (Nemt hvis man er
omhyggelig, men besværligt.)
Eksempel
[
]( ) ( )
2 −4 ⋅ x = 2
−1 3
y
1
svarende til ligningerne
2 x−4 y=2
−x+3 y=1
De tre determinanter beregnes:
( )( )
( )( )
( )( )
d x = −1 ⋅ −4 =10
2
3
d y = 1 ⋅ 2 =4
2 1
d = 1 ⋅ −4 =2
2
3
Løsningen er så:
d x 10
= =5
d
2
dy 4
y= = =2
d 2
x=
21
vektor-8-Elev
Find linjers skæringspunkter
•
Er linjerne givet med linjens ligning: benyt metoden ovenfor.
•
Er linjerne givet med parameterfremstilling benyttes.
x1
r
x
s
+α⋅ 1 = 2 +β⋅ 1 ⇔
y1
r2
y2
s2
( ) ( )( ) ()
() ( )( )
[ ]( ) ( )
α⋅
r1
−s
x −x
+β⋅ 1 = 2 1 ⇔
r2
−s 2
y 2− y 1
r1
r2
⋅x = α
β
−s 1 −s 2 y
•
22
Er linjerne givet med en ligning og en parameterfremstilling indsættes den sidste i
den første
Stikordsregister
Stikordsregister
2 ligninger med 2 ubekendte.........................................................................................................21
Afstande............................................................................................................................................19
Afstande, mellem 2 punkter...........................................................................................................19
Afstande, mellem punkt Q og linje l.............................................................................................19
Arealsætninger.................................................................................................................................16
Arealsætninger, parallelogram......................................................................................................16
Arealsætninger, trekanten..............................................................................................................16
associativ.............................................................................................................................................7
Cirklens ligning................................................................................................................................20
cirklens ligning, omskrivning........................................................................................................20
Determinant......................................................................................................................................15
Determinantmetoden......................................................................................................................21
differensen..........................................................................................................................................8
egentlig vektor...................................................................................................................................5
enhedsvektor....................................................................................................................................11
Indskudssætningen...........................................................................................................................7
kommutativ........................................................................................................................................7
linearkombination.............................................................................................................................9
lineært afhængige..............................................................................................................................9
lineært uafhængige............................................................................................................................9
Linjens ligning..................................................................................................................................18
linjers skæringspunkter..................................................................................................................22
Længden af en vektor.......................................................................................................................7
Matrix definition..............................................................................................................................15
modsatte vektor.................................................................................................................................8
Nulvektoren....................................................................................................................................5, 8
ortogonale.........................................................................................................................................18
parallelforskydning...........................................................................................................................7
parameterfremstilling.....................................................................................................................18
positive omløbsretning...................................................................................................................16
prikproduktet...................................................................................................................................10
produktet af hældningskoefficienterne........................................................................................18
produktet, af skalar og vektor..........................................................................................................8
Projektionsvektor.............................................................................................................................12
retningsvektor .................................................................................................................................18
skalarprodukt...................................................................................................................................10
skæringspunkter, linjers ................................................................................................................22
stedvektor...........................................................................................................................................5
23
vektor-8-Elev
tværvektor.........................................................................................................................................14
tværvektor, huskeregel...................................................................................................................14
vektoraddition....................................................................................................................................7
24