Julehilsen fra Helle Martensen

Egenskaber ved Krydsproduktet
Frank Nasser
12. april 2011
c 2008-2011.
Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som
abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis
ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold
1 Introduktion
2 Grundlæggende egenskaber
2.1 Antikommutativitet . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Distributivitet og homogenitet med skaleringer
2.3 Krydsprodukt af to parallelle vektorer . . . .
2.4 Tripelprodukter . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
4
5
6
3 Retningen af krydsproduktet
11
4 Længden af krydsproduktet
4.1 Det udspændte parallellogram . . . . . . . . . . . . .
4.2 Parallelle vektorer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
14
15
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Resumé
I dette dokument beviser vi nogle sætninger om krydsproduktet (også kendt som vektorproduktet) af vektorer i rummet.
1
Introduktion
Vi skal bevise nogle af de vigtigste egenskaber ved krydsproduktet
af tredimensionelle vektorer.
Lad os starte med at minde om definitionen af krydsproduktet:
Definition 1
Hvis




x1

v =  y1 

z1
og
x2

w =  y2 

z2
er to vektorer i rummet, så defineres krydsproduktet eller vektorproduktet af v og w som vektoren:






x1
x2
y1 · z2 − y2 · z1

 



v × w =  y1  ×  y2  =  z1 · x2 − z2 · x1 
z1
z2
x1 · y 2 − x2 · y 1
side 1
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Forudsætninger
For at læse dette dokument får du brug for at kende til tredimensionelle vektorer1 . Du skal især kende til prikproduktet og de resultater
som gælder om dette.
2
Grundlæggende egenskaber
Alle resultater i dette afsnit er kun interessante ud fra et teoretisk
synspunkt. Det betyder at de meget sjældent er nyttige i praksis når
man regner med konkrete vektorer. Men til gengæld kan de bruges
til at bevise andre (nyttige) sætninger om generelle vektorer.
Derfor kalder vi alle sætninger i dette afsnit for „lemmaer“ – altså
„hjælpesætninger“.
2.1
Antikommutativitet
Det første generelle resultat er i virkeligheden en „ikke–regel“. Det
viser sig nemlig at den allermest almindelige regneregel som vi kender
fra andre produkter (f.eks. prikproduktet eller produktet af to reelle
tal), nemlig den kommutative lov, ikke gælder for krydsproduktet.
Lemma 1
Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så er:
v × w = −w × v
Med andre ord: Hvis man bytter om på faktorerne i et krydprodukt, så skifter resultatet fortegn. Eftersom resultatet er en vektor
betyder det at den vender den modsatte retning.
1
Læs om vektorer i rummet her.
side 2
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Bevis. Dette bevis er meget let, fordi man overhovedet ikke har brug
for nogen ideer. Til gengæld er fremgangsmåden meget typisk for
de fleste beviser i dette afsnit, så derfor tager vi det alligevel i alle
detaljer.
Vi navngiver koordinaterne i de to vektorer:




x1


v =  y1 
z1
og
x2

w=
 y2 
z2
Dermed er pr. definition:






y1 · z2 − y2 · z1
x2
x1




 
v × w =  y1  ×  y2  =  z1 · x2 − z2 · x1 
x1 · y2 − x2 · y1
z2
z1
Mens den „omvendte“ udregning giver:






y2 · z1 − y1 · z2
x1
x2




 
w × v =  y2  ×  y1  =  z2 · x1 − z1 · x2 
x2 · y1 − x1 · y2
z1
z2
Og nu er det tydeligt at se at alle koordinaterne ganske enkelt skifter
fortegn ved at vi bytter om på de to vektorer.
En direkte konsekvens af antikommutativiteten er følgende:
Lemma 2
Hvis v er en tredimensionel vektor, så giver dens krydsprodukt
med sig selv altid nulvektor:
→
−
v×v = 0
side 3
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Bevis. Hvis man bytter om på de to faktorer (som er ens), så giver
det på den ene side nøjagtigt den samme beregning (og derfor samme
resultat), men på den anden side skal resultatet skifte fortegn ifølge
lemma 1.
Så:
v × v = −(v × v)
Den eneste vektor som er uændret når man skifter fortegn på den
er nulvektoren. Derfor må vi have at:
→
−
v×v = 0
(Man kunne selvfølgelig også bevise denne egenskab ved at navngive koordinaterne i v og se hvad udregningen giver.)
2.2
Distributivitet og homogenitet med skaleringer
De to næste egenskaber kender vi allerede fra alle andre produkter.
Den første siger at vi må „gange ind i parenteser“:
Lemma 3 (Den distributive lov)
Hvis u, v og w er tredimensionelle vektorer, så er:
u × (v + w) = u × v + u × w
Bevis. Hvis vi navngiver de tre vektorers koordinater og udregner
både venstresiden og højresiden, så kan vi se at de er ens hvis man
husker at reelle tal kan ganges ind i parenteser.
Det vil vi ikke gøre, fordi det er dødkedeligt og meget nemt. (Når
du har læst beviserne for de næste hjælpesætninger, vil du være
enig.)
side 4
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Den anden siger at skaleringer kan flyttes rundt i forhold til
krydsprodukter som man har lyst til:
Lemma 4 (Homogenitet med skalering)
Hvis v og w er tredimensionelle vektorer og r er en skalar, så er:
(r · v) × w = r · (v × w) = v × (r · w)
Bevis. Dette bevis springer vi også over fordi jeg er så umådeligt
doven. Det er igen bare et spørgsmål om at navngive koordinaterne
i de to vektorer, skrive alle tre udregninger op ved hjælp af disse
koordinater og konstatere at de giver det samme.
Øvelse 1
Nej, nu må det være nok! Bevis lige et af de to lemmaer i dette
afsnit ved at følge den „opskrift“ som er angivet. (Lemma 4 er det
nemmeste).
Så lover jeg til gengæld at jeg ikke springer flere beviser over.
2.3
Krydsprodukt af to parallelle vektorer
Med regnereglerne fra det sidste afsnit kan vi udvide reglen fra lemma
2 til noget som du sikkert allerede har indset:
Lemma 5
Hvis v og w er to parallelle vektorer i rummet, så er:
→
−
v×w = 0
side 5
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Bevis. Hvis v og w er parallelle, så findes enten 2 en skalar r sådan
at:
v =r·w
eller sådan at:
w =r·v
Vi tager udgangspunkt i det første tilfælde, men det andet tilfælde
håndteres på nøjagtigt samme måde.
Vi beregner:
→
−
→
−
v × w = (r · w) × w = r · (w × w) = r · 0 = 0
Til allersidst i dette dokument kan vi bevise at logikken også går
den anden vej: Hvis et krydsprodukt af to vektorer giver nul, så er
de nødvendigvis parallelle.
2.4
Tripelprodukter
Nu kommer der to små hjælpesætninger som virkelig kan forekomme
sære. Og beviserne er oven i købet et frygteligt bogstavrod. Men du
vil opdage styrken i disse hjælpesætninger når du ser hvor nemt vi
til gengæld kan bevise hovedsætningerne i de næste afsnit.
Det handler om hvad man kan finde på hvis man har tre vektorer
som man vil gange med hinanden.
Lemma 6
Hvis u, v og w er tre vektorer i rummet, så er:
u • (v × w) = (u × v) • w
2
Den eneste grund til at vi tillader to muligheder er at den ene vektor kunne
være nulvektor, og den anden forskellig fra nulvektor. I dette tilfælde er det kun
en af de to muligheder som kan lade sig gøre.
side 6
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Den kræver lige lidt forklaring: Hvis man først laver et krydsprodukt (hvilket giver en vektor) og derefter prikker resultatet med en
tredje vektor, så kan man åbenbart „flytte parentesen“ hvis man samtidigt bytter om på de to produkter.
Bemærk at det ikke ville give mening hvis man kun flyttede parentesen, eftersom prikproduktet ville give et tal som resultat, og det
kan ikke indgå i et krydsprodukt med en tredje vektor.
Beviset for denne regel er „lige ud ad landevejen“, men det bliver
efterhånden temmeligt rodet. Sørg for at holde øje med hvor de enkelte bogstaver kommer fra, og prøv endelig ikke på at lære beviset
uden ad.
Bevis. Vi navngiver de tre vektorers koordinater:






x1


u =  y1 
z1
x2


v =  y2 
z2
og
x3

w=
 y3 
z3
og regner begge sider af lighedstegnet ud.
Først venstresiden:
side 7
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv




x1
y2 · z3 − y3 · z2

 

u • (v × w) =  y1  •  z2 · x3 − z3 · x2 
z1
x2 · y3 − x3 · y2
= x1 · (y2 · z3 − y3 · z2 )
+ y1 · (z2 · x3 − z3 · x2 )
+ z1 · (x2 · y3 − x3 · y2 )
= x1 y2 z3 − x1 y3 z2 + y1 z2 x3 − y1 z3 x2 + z1 x2 y3 − z1 x3 y2
og så højresiden:




x3
y1 · z2 − y2 · z1


 
(u × v) • w =  z1 · x2 − z2 · x1  •  y3 
z3
x1 · y2 − x2 · y1
= (y1 · z2 − y2 · z1 ) · x3
+ (z1 · x2 − z2 · x1 ) · y3
+ (x1 · y2 − x2 · y1 ) · z3
= y1 z2 x3 − y2 z1 x3 + z1 x2 y3 − z2 x1 y3 + x1 y2 z3 − x2 y1 z3
Men hvis man tager brillerne ordentligt på og kigger efter, så er
det præcis de samme led der kommer frem i begge udregninger (og
med de samme fortegn). Jeg har farvelagt leddene for at gøre det lidt
nemmere at opdage hvem der hører sammen.
Den næste sætning er endnu værre. Den handler i stedet om hvad
der sker hvis man først udregner et krydsprodukt og derefter laver
krydsprodukt mellem resultatet og en tredie vektor. Regnereglen er
kendt under navnet „Laplace–identiteten“, og den bliver faktisk brugt
ofte i fysik når man arbejder med f.eks. elektromagnetiske felter.
side 8
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Lemma 7
Hvis u, v og w er tre vektorer i rummet, så er:
u × (v × w) = (u • w) · v − (u • v) · w
Beviset er helt forfærdeligt. Men vi bliver glade for lemmaet senere, så vi må hellere få det overstået:
Bevis. Vi navngiver koordinaterne i de tre vektorer:






x1


u =  y1 
z1
x2

v =  y2 

z2
og
x3

w =  y3 

z3
og regner begge sider af lighedstegnet ud. Først venstresiden:
side 9
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv









x1
x2
x3

 
 

u × (v × w) =  y1  ×  y2  ×  y3 
z1
z2
z3

x1
y2 · z3 − y3 · z2

 
=  y1  ×  z2 · x3 − z3 · x2 

z1
x2 · y3 − x3 · y2


y1 · (x2 · y3 − x3 · y2 ) − (z2 · x3 − z3 · x2 ) · z1


=  z1 · (y2 · z3 − y3 · z2 ) − (x2 · y3 − x3 · y2 ) · x1 
x1 · (z2 · x3 − z3 · x2 ) − (y2 · z3 − y3 · z2 ) · y1


y1 x2 y3 − y1 x3 y2 − z2 x3 z1 + z3 x2 z1


#
=

#
(Jeg har undladt at skrive de to nederste koordinater fordi jeg er
doven).
Nu til højresiden:


x2

(u • w) · v − (u • v) · w = (x1 x3 + y1 y3 + z1 z3 ) ·  y2 

z2


x3


− (x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) ·  y3 
z3
Igen er jeg doven og nøjes med at udregne den første koordinat. Det
giver:


x1 x3 x2 + y1 y3 x2 + z1 z3 x2 − (x1 x2 x3 + y1 y2 x3 + z1 z2 x3 )


#


#
Eftersom leddene x1 x2 x3 både er lagt til og trukket fra i førstekoor-
side 10
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
dinaten, så kan denne vektor omskrives til:


y1 y3 x2 + z1 z3 x2 − y1 y2 x3 − z1 z2 x3


#


#
Og det er sandelig det samme som i den anden udregning.
Øvelse 2
Nu har jeg så brug for din hjælp igen: Opskriv de to andre koordinater i begge udregninger og se at de også bliver ens.
3
Retningen af krydsproduktet
Nu bliver det sjovt, fordi vi har tilpas mange hjælpesætninger på
plads til at vi kan begynde at vise sætninger som rent faktisk er
interessante. Og den bedst nyhed er: Beviserne bliver enormt nemme
fordi vi allerede har lavet alt det besværlige arbejde.
I første omgang har lemma 6 en meget vigtig konsekvens, nemlig
følgende:
Sætning 8
Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så er krydsproduktet
v × w en vektor som står vinkelret på både v og w.
Bevis. Husk at to vektorer er vinkelrette præcis hvis deres prikprodukt giver nul. Derfor undersøger vi hvad de to prikprodukter giver:
v • (v × w)
og
w • (v × w)
side 11
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Det første kan vi omskrive ved hjælp af lemma 6:
→
−
v • (v × w) = (v × v) • w = 0 • w = 0
(I det andet lighedstegn brugte vi lemma 2.)
Det andet prikprodukt kræver en ekstra dribling:
→
−
w • (v × w) = (v × w) • w = v • (w × w) = v • 0 = 0
(Hvor vi startede med at bruge at prikproduktet opfylder den kommutative lov, så vi kan bytte om på de to vektorer som er prikket
med hinanden.)
Eftersom de to prikprodukter giver nul, kan vi konkludere at v×w
er vinkelret på både v og w.
Det betyder at vi har nogenlunde styr på hvilken retning krydsproduktet peger: Hvis man forestiller sig to vektorer indtegnet fra det
samme punkt, så vil de – medmindre de er parallelle – forløbe i en
entydigt bestemt plan. Og krydsproduktet af de to vektorer vil så
pege vinkelret ud fra denne plan.
4
Længden af krydsproduktet
Den næste sætning er utroligt smuk. Hvis man læser andre beviser
for den, vil man se at de næsten altid er vildt besværlige3 .
Men fordi vi har lavet vores forarbejde ordentligt, så er det en ren
fornøjelse at lave beviset. Inden vi formulerer sætningen minder jeg
lige om en sætning om prikproduktet:
Sætning 9
Hvis v og w er to vektorer, så gælder:
v • w = |v| · |w| · cos(α)
3
Du kan se en rigtig god gennemgang af et sådant bevis her
side 12
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
hvor α er vinklen imellem v og w.
Den sætning vi skal bevise ligner ganske meget:
Sætning 10
Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så gælder:
|v × w| = |v| · |w| · sin(α)
Prikproduktet og (længden af) krydsproduktet er altså to sider af
samme sag: Prikproduktet handler om cosinus til vinklen, og (længden af) krydsproduktet handler om sinus til vinklen.
Udover at de to sætninger ser godt ud ved siden af hinanden skal
vi også bruge sætning 9 til at bevise sætning 10:
Bevis. Vi udregner længden af krydsproduktet i anden potens, fordi
vi på den måde kan lave en smart omskrivning:
|v × w|2 = (v × w) • (v × w)
Men lemma 6 handler om hvordan man prikker en vektor på et
krydsprodukt (vi betragter hele den sidste parentes som en tredje
vektor):
= v • (w × (v × w))
og så har vi noget som vi kan bruge lemma 7 på (det w som står
længst til venstre spiller rollen som u):
= v • (w • w) · v − (w • v) · w
Hvis vi så bruger den distributive lov for prikproduktet til at „prikke“
side 13
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
v ind i parentesen, får vi:
|v × w|2 = (w • w) · (v • v) − (w • v) · (v • w)
= |v|2 · |w|2 − (v • w)2
Så bruger vi sætning 9:
|v × w|2 = |v|2 · |w|2 − (|v| · |w| · cos(α))2
= |v|2 · |w|2 − |v|2 · |w|2 · cos(α)2
Og sætter |v|2 · |w|2 uden for parentes:
|v × w|2 = |v|2 · |w|2 · 1 − cos(α)2
Og til allersidst ringer vi til „idiotformlen“ for cosinus og sinus, som
jo siger at:
cos(α)2 + sin(α)2 = 1
dvs.
sin(α)2 = 1 − cos(α)2
Så nu har vi at:
|v × w|2 = |v|2 · |w|2 · sin(α)2
Og ved at tage kvadratroden på begge sider, får vi det ønskede!
4.1
Det udspændte parallellogram
Nogle gange formulerer man sætning 10 som følgende:
side 14
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Sætning 11
Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så er længden af
krydsproduktet:
|v × w|
lig med arealet af det parallellogram som de to vektorer udspænder
hvis de indtegnes fra det samme punkt.
Bevis. Hvis man tegner v og w ind fra det samme punkt, så vil højden
i det udspændte parallellogram være:
h = |w| · sin(α)
Og dermed er arealet af dette parallellogram:
A = |v| · h = |v| · |w| · sin(α)
4.2
Parallelle vektorer 2
Til sidst kan vi bevise udvidelsen af lemma 5
Sætning 12
Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så gælder:
v og w er parallelle
m
→
−
v×w = 0
Dermed kan krydsproduktet bruges til at kontrollere om to vektorer er parallelle eller ej: Hvis krydsproduktet giver nul, så er de to
vektorer parallelle, og ellers er de ikke!
side 15
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Bevis. Vi mangler kun pilen opad, eftersom pilen nedad allerede er
bevist i lemma 5.
Men hvis krydsproduktet af v og w giver nulvektor, så må længden
af krydsproduktet også være nul. Det betyder at:
|v| · |w| · sin(α) = 0
Dermed må en vektorerne af vektorerne være nulvekter, eller også
må sinus til vinklen imellem dem give nul. Det sidste betyder at
vinklen må være enten 0◦ eller 180◦ .
Uanset hvilken af disse muligheder der er tilfældet, er de to vektorer parallelle (eftersom nulvektor siges at være parallel med alle
vektorer).
side 16