docBegrebsmæssige redskaber
download 
Report Transcription
Begrebsmæssige redskaber
Roskilde Universitet imfufa BEGREBSMÆSSIGE REDSKABER Vejleder: Forfattere: Tinne Hoff Kjeldsen Asger Senbergs Henrik Wessel Hortensia C. Ursta Anghel Peter fristrup Januar, 2015 Resumé Dette projekt forsøger at få et indblik i hvordan matematikken udvikler sig. Vi besøger tre matematikere i deres værksted gennem de publikationer de har efterladt til eftertiden. Disse tre matematikere er Geraloma Cardano (1501-1576), John Wallis (1616-1703) og Hermann Minkowski (1864-1909). Vi undersøger den rolle deres begrebsmæssige redskaber har haft i deres matematiske arbejde. Vi udvikler to begrebspar par til forståelsen, forklarende - fordybende og Generator – terminator. Vi finder at disse to begrebspar hjælper os med at bedre at forstå hvordan matematikere skaber matematisk viden. Abstract This project is an investigation into the development of mathematics. We travel back in time to meet mathematicians in their own work-shop through their publications. We visit Geraloma Cardano (1501-1576), John Wallis (1616-1703) of Hermann Minkowski (1864-1909). We investigate the role of their conceptual artefacts in relation to their production of mathematical knowledge. To do so, we develop two pairs of concepts, explaining-exploring and generator-terminator. Our study finds that these concepts improve the understanding of the production of mathematical knowledge 1 Indhold Resumé ....................................................................................................................................................... 1 Abstract ....................................................................................................................................................... 1 Klangbund ................................................................................................................................................... 3 Indledning ................................................................................................................................................... 3 Problemformulering .................................................................................................................................... 6 Afgrænsning ................................................................................................................................................ 6 Metodisk tilgang .......................................................................................................................................... 7 Repræsentationer .................................................................................................................................... 8 Kognitive artefakter ................................................................................................................................12 Heersminks taxonomi .........................................................................................................................12 Normans begrebsapparat....................................................................................................................16 Begrebsmæssige redskaber .................................................................................................................19 Vores cases .................................................................................................................................................23 Cardanos komplekse tal ..........................................................................................................................23 Historisk baggrund ..............................................................................................................................23 Kildeteksten ........................................................................................................................................25 Analyse af Cardano .............................................................................................................................33 Wallis......................................................................................................................................................38 Historisk baggrund ..............................................................................................................................38 Kildeteksten ........................................................................................................................................41 Analyse af Wallis .................................................................................................................................48 Minkowskis gitter ...................................................................................................................................51 En moderne version ............................................................................................................................51 I Minkowskis værksted ........................................................................................................................58 Analyse af Gitteret ..............................................................................................................................63 Diskussion...................................................................................................................................................65 Konklusion ..................................................................................................................................................67 Perspektivering ...........................................................................................................................................68 Bibliografi ...................................................................................................................................................69 2 Klangbund Vores nysgerrighed tager udgangspunkt i en undren over, hvordan matematik opstår. Denne nysgerrighed har vi af praktiske og tidsmæssige grunde valgt at fokusere. Vi forsøger i dette projekt at være til stede i ”det matematiske værksted” under nogle udvalgte matematiske opdagelser. Vi dykker ned i Cardanos værksted og ser på negative tal, i Wallis’ værksted og de komplekse tal, og i Minkowskis værksted med de kvadratiske former, som udvikler sig til konvekse legemer. Denne ”tidsrejse” foretager vi ved at udfolde både erkendelsen og de erkendelser, erkendelsen bygger på eller gå op imod. Tidsrejserne struktureres i forhold til de begreber og perspektiver, vi sætter i spil i projektet. På forsiden findes Janushovedet et billede som er taget fra Andreas Alciato: Emblemata (Det kongelige Bibliotek, 2015) og repræsenterer et hoved med to ansigter der vender til hver sin side. Janus karakteriseres ved sit dobbelte hoved, der giver ham overblik og gør ham i stand til at se både frem og tilbage på samme tid. Han kan se en sag fra to sider – han er objektiv og uvildig. Fra vores perspektiv symboliserer Janushovedet at på den ene side præsenteres matematikken via arbejdsmetoden, som den professionelle matematiker anvender i udviklingen af matematikken -den induktive og eksperimentelle tilgang. På den anden side presentæres matematikkens landvindinger, systematisk, logisk og deduktivt. Desuden symboliserer billedet at matematik er resultatet af matematikernes arbejde gennem tiden. Indledning Søren Kirkegård sagde at ” Livet leves forfra, men forstårs bagfra” men hvis man skal placere udtrykket i sammenhæng med vores projekt, vil jeg sige at ”Matematikken udvikles forfra, men forstås bagfra”. Hvis vi betragter den første del af sætningen: ”Matematikken udvikles forfra…”, vil det næste spørgsmål være, Hvordan udvikles matematikken og hvordan startede man med at udvikle matematikken? Inden vi svare på det spørgsmål vil vi se på hvordan udviklingen forholder sig inden for andre grene af naturvidenskab, for kan vi sige at matematikken udvikler sig på samme måde som andre grene af naturvidenskaben, da matematikken som oftest lægger til grund for udviklingen inde for de andre grene. Dannelse af ny viden inden for naturvidenskab er forholdsvis enkelt. Naturvidenskab i den her kontekst er fysik, kemi, geovidenskab og biologi, altså ser vi bort fra matematik som et naturvidenskabeligt fag lige nu. Dannelse af naturvidenskabelig viden er antageligt lige så gammelt som menneskeligheden. Fra kalendere der kunne forudsige høj og lav vande, til forudsigelser af solformørkelser. Disse opdagelser eller 3 forudsigelser har det tilfældes at de er lavet på baggrund af det man kalder den naturvidenskabelige metode. Den naturvidenskabelige metode er den metode man bruger inden for naturvidenskab for at danne ny viden. Naturvidenskab er i sin reneste form upersonlig og uafhængig af kultur, og er derfor objektiv. Måden ny viden bliver dannet inden for naturvidenskab er bygget på empiri og teori. Den naturvidenskabelige metode er bygget op af at man stiller et problem, laver observationer, opstiller en hypotese, efterprøver sin hypotese (laver forsøg) og laver danner en konklusion. Ofte vil man få en underen når man ser et naturfænomen, man ikke helt kan forstå. Man har måske en forudgående viden man kan koble sin underen op på uden at det passer helt. Ud fra sin underen og sin eksisterende viden danner man sig en hypotese om hvordan sammenhængen. Man kan nu efterprøve sin hypotese igennem et eller flere forsøg og se om ens hypotese passer. Efter man har lavet sine forsøg må man sammenholde sine resultater med sin hypotese. Hvis observationerne eller resultaterne ikke passer med hypotesen forkaster vi hypotesen og starter forfra med en ny eller modificeret hypotese. Hvis vores observationer eller resultaterne, der imod passer med vores hypotese kan vi nu ophøje vores hypotese til en gældende teori. Inden for naturvidenskab er en teori kun gældende ind til der kommer resultater som teorien ikke kan forklare og derefter må teorien forkastes og en ny hypotese dannes. Et eksempel på en gennemgang af den naturvidenskabelige metode kunne være; findes der kun hvide svaner. Hypotesen kunne være ja der findes kun hvide svaner. Man tager rundt og observere alle de svaner man kan finde. Man konkluderer at observationerne passer med hypotesen og ophøjer der ved sin hypotese til den gældende teori. På et tidspunkt kommer der en sort svane flyvende. Den sorte svane passer ikke ind i teorien og derfor må vores teori forkastes og en ny hypotese formuleres. Det vil sige at en teori kun er gældende ind til den kan modbevises. Den moderne naturvidenskab er bygget op omkring den naturvidenskabelige metode, hvor alle gældende teorier skal kunne forklare bestemte typer forudsigelser. Matematikken derimod er ikke opbygget på baggrund af observationer, men derimod på baggrund af beviser. Det vil sige at man skal kunne bevise alle sine påstande inden for matematik. Hvis vi kigger på eksemplet med svanerne, så er det ikke et bevis hvis man observere alle svaner i Danmark, da man stadig ikke helt generelt kan sige at der ikke findes andre farver svaner. Så hver gang man skal videre inden for matematikken skal man kunne bevise sit næste skridt. Hvis man spørg en matematiker hvad matematik er for en videnskab kan man få at vide at matematik er en aksiomatisk deduktiv videnskab (Kjeldsen, 2011). Hvis matematikken er bygget op omkring beviser må den være starter et sted. Matematikken starter med aksiomer som er sætninger vi går ud fra er sande og som vi ikke kan bevise. Ud fra vores aksiomer kan man langsomt bygge matematikkens regler og beviser op. Det sker ved deduktion, altså en ud ledelse fra vores aksiomer og tidligere beviser. De nye beviser og sætninger der kommer frem i matematikken kommer frem ved hjælp af logik og deduktion. 4 Selv om matematikken ikke er bygget op på samme måde som den naturvidenskabelige metode, kan man godt bruge elementer fra den naturvidenskabelige metode. Selv om alle tingene inden for matematikken skal bevises, skal man have en undren eller en interesse et sted fra, hvad det er man gerne vil bevise efterfølgende. Et eksempel kunne være at man så at der var en sammenhæng mellem en cirkels radius og dens omkreds. Man kunne nu danne en hypotese om hvad den sammenhæng ville være. Dette ville lede hen til forsøget i den naturvidenskabelige metode, eller beviset inden for matematik. Hvis man kan lave beviset er vores hypotese bekræftet ellers er det afkræftet. Vi vil nu kunne bruge den viden vi nu har opnået til at lave flere observationer og nye beviser. Det kunne også være man undrede sig over hvad sammenhængen var mellem to af siderne i en retvinklet trekant og den sidste side i den retvinklede trekant. Vi danner os en hypotese, der kunne være at der er en sammenhæng mellem siderne i trekanten, ud fra vores baggrundsviden, som i det her tilfælde kunne være viden om arealer i et kvadrat. Man udfører nu forsøget eller laver beviset og kommer frem til sit resultat. Man kommer nu frem til at der er en sammenhæng (Pythagoras sætning) og vi kan derved ophøje vores hypotese til vores matematiske sætning. En mulig undren kunne også være en ny måde at anskue matematikken på, hvad ville der ske hvis man anskuede det på en ny måde. Denne undren eller nye måde at anskue matematikken på, kunne udspille sig fra en fremstille konstruktion, man vil anskue matematikken ud fra. Disse konstruktioner kunne være en så kaldt kognitiv artefakt. Et kognitiv artefakt er et menneskeskabt hjælpemiddel der gør at man kan anskue ting på en ny måde (Heersmink, 2013). Selv om det er menneskeskabt skal man ikke kun se et kognitivt artefakt som værende et fysisk objekt, det kan også være et tanke objekt. Det kognitive artefakt løser ikke i sig selv problemet for en, men sætter en i stand til at anskue problemet på en ny måde. Det er ikke kun inde for matematikken der findes kognitive artefakter, men inde for alle dele af vores hverdag. Et eksempel kunne være en GPS. GPS’en hjælper os med at finde vej, men den fører os ikke automatisk frem, vi skal stadig selv være i stand til at forstå hvad det er GPS’en fortæller os. Inden for matematikken ville et kognitivt artefakt kunne være tallene. I stedet for at lægge 50 sten op foran os for at have styr på antallet af f.eks. får, kan man skrive med tal 50. Her hjælper tallet 50 til at anskueliggøre problemet bedre, men samtidig kan vi se at det ikke er tallet i sig selv der løser vores problem med at holde styr på antallet af får. Vi skal stadig kunne forstå hvad 50 står for. Det er ikke tallet 50 vi ser som et kognitivt artefakt, men mere den måde tallet bliver brugt i sammenhængen (Heersmink, 2013). Ved at danne disse kognitivt artefakt kan matematikken muligvis udvikle sig, da man kan danne ny viden, ved at få en ny undren som i den naturvidenskabelige metode. I denne opgave vil vi gerne undersøge om disse kognitivt artefakt kan være med til at bringe matematikken frem af. Måden vi vil gøre det på er at lave case analyser af tre forskellige tilfælde hvor vi mener vi har tale om kognitive artefakter. Vi vil i hver case se om der er tale om et kognitivt artefakt og der efter se på hvordan de kognitive artefakter har haft af indflydelse på den matematik der er 5 kommet ud af de tre cases. Hvis der er tale om kognitive artefakter i vores cases håber vi at vi kan se om der har været en udvikling inden for matematikken, som ellers ikke ville kunne have fundet sted. Ved hjælp af et begrebspar vil vi undersøge indvirkningen af de kognitive artefakter i vores cases, i forhold til udviklingen inden for matematikken, for at se om de kan generere ny matematik ud fra dem. Problemformulering Giver det ny erkendelse om, hvordan matematikere skaber matematisk viden, når man analyserer matematisk kildetekster med begrebsparrene Forklarende-Fordybende og Generator-Terminator som forståelsesramme? Afgrænsning Da der ikke er mange, der har beskæftiget sig med kognitive artefakter i den kontekst, som vi er interesseret i at undersøge, har vi ikke haft en stor mængde anerkendt litteratur at læne os op af. Vi har derfor brugt det, der har været til rådighed, samt hentet inspiration fra forskere og teoretikere, der beskæftiger sig med lignende emner. Derfor er det nødvendigt at vi her, fastslår hvad man kunne have gjort, hvilket kunne have givet projektet et andet præg, men som vi ikke kan gå i dybden med her. Vi har som sagt hentet inspiration fra forskellige forskere og teoretikere, der beskæftiger sig med emner, vi har fundet relevant at sætte os ind i og redegøre for i vores projekt, for at besvare vores problemformulering. Vi vil redegøre for vores valg af teorier i vores afsnit metodisk tilgang, men vi er klar over at de teoretikere vi har udvalgt, ikke nødvendigvis karakterisere hele forskningsfeltet. Vores projekt kunne dermed muligvis have fået en anderledes udformning, hvis vi havde brugt en anden litteratur, som grundlag. Tilsvarende har vi, for at kunne besvare vores problemformulering, udvalgt os nogle cases, som vi analysere med vores dannede begreber, og disse begreber vi har dannet på baggrund af vores litteratur. Disse cases er udvalgt, fordi vi mener, der foregår noget i dem, vi er interesseret i, nemlig brugen af kognitive artefakter. Lignende tendenser kunne vi muligvis også have fundet i andre cases, og hvordan analysen af disse andre cases ville have påvirket vores problemformulering, kan vi ikke udtale os om. Vi er således klar over, at man kunne strukturere projektet anderledes og bygge det op om andre teorier og analysere andre cases med andre metoder. Men vi påstår heller ikke, at vores konklusion nødvendigvis rækker ud over projektets rammer, men kun at vi, med vores valgte teori, er i stand til at analysere de udvalgte cases med vores valgte teori. 6 Metodisk tilgang I dette afsnit vil vi forklare hvordan vi agter at besvare vores problemformulering og gennemgå den teori vi benytter for at kunne gøre det. Grundlæggende ønsker vi at få en forståelse for, hvad der i vores tre udvalgte cases, gjorde at den givne matematiker har kunnet løse en opgave eller opnå en bestemt erkendelse. Dette er udspecificeret i vores problemformulering og problemfelt. For at få denne forståelse vil vi analysere hver enkelt case, hvor vi har specielt fokus på, hvordan de egentlig arbejder og kommer igennem, de opgaver og beviser de arbejder med. Vi ender dermed op med tre analyser, som vi i vores diskussions afsnit vil sammenligne, for at kunne se forskelle og ligheder, hvilket vil gøre os i stand til at besvare vores problemformulering. For at kunne svare på om begrebsmæssige redskaber og kognitive artefakter bidrager med forståelse af, hvordan matematik udvikler sig og hvad der i bestemte cases hjælper matematikere til at løse en opgave og opnå forståelse har vi valgt at danne to begrebspar. Disse to begrebspar, vil vi bruge til at analysere vores tre cases med, hvilket vil give os tre analyser, hvor disse to begrebspar danner grundlag for en sammenligning og samlende diskussion, vi kan konkludere på. På denne måde vil vores to begrebspar både give os en ensartet måde at snakke om vores cases på og samtidig, kan vi diskutere om brugen af disse begrebspar giver os ny viden og indsigt i vores cases, eller om de ikke gør en mærkbar forskel. Disse to begrebspar har vi dannet igennem en længere iteration, som vi ikke gennemgår, men vi fortæller hvordan denne proces foregik, hvad vi har brugt og hvad slutresultatet blev. Først har vi læst relevant litteratur om kognitive artefakter og repræsentationer, for at danne os et overblik over, hvad der bliver forsket i på feltet og hvordan andre beskriver og snakker om kognitive artefakter. Derefter har vi læst vores udvalgte kildetekster og sat os ind i hvilken historisk kontekst de er skrevet i, for at blive i stand til at analysere dem uden at læse vores matematiske viden ind i kildeteksten. Så har vi dannet vores begreber ud fra vores teoretiske forståelse for den læste litteratur og vores forståelse for den matematik der bliver præsenteret og gennemgået i kildeteksterne. Herefter har vi så benyttet vores begreber til at analysere vores cases med, hvilket har givet en ny forståelse af teorien, casene og vores begreber, hvilket har ført til evaluering af vores begreber, der endte i en ændring af begreber. På denne måde fik vi dannet nye begreber, der igen kunne bruges til en ny analyse, der igen kunne give ny viden og indsigt og så fremdeles. Så vores begreber er altså dannet igennem en iteration, hvor viden fra litteraturen og erfaring med kildeteksterne har spillet sammen og dannet det grundlag vi har dannet vores begreber ud fra. Så det vi præsentere her i dette afsnit er et stilbillede af det, der har været en dynamisk proces igennem projektskrivningen. 7 Vi vil starte med at præsentere det litteratur vi har sat os ind i, samt hvorfor vi mener det givne litteratur er relevant i forhold til vores problemformulering. Derefter vil vi præsentere, hvordan vores begrebspar endte med at se ud, efter den sidste af vores ovenfor beskrevne iterationer. Men altså som sagt, først en gennemgang af den litteratur vi har brugt som teorigrundlag i vores projekt. Repræsentationer Inden vi går i gang med beskrivelsen af vores to begrebspar vil besøge den forståelsesramme, der hedder repræsentationer. Vi har valgt at tage denne tilgang med fordi den på visse områder beskriver nogle af de samme tendenser og processer, som vi ønsker at udtale os om, men ud fra en helt anden grundlæggende ide. Denne tilgang er forholdsvis velbeskrevet i litteraturen. Det er ikke vores intention at positionere os i forhold til repræsentationstankegangen, men derimod at se, om vores tilgang bringer nyt i forhold til forståelse af vores problemformulering. Vores cases er udvalgt, fordi de lagde grundstenene til noget, der var større end det problem, de oprindeligt søgte at adressere. Vi har derfor en ide om at, der i vores cases er noget andet og mere på færde end, hvad der kan forklares med repræsentationer, hvilket naturligvis er årsagen til vores underen og lyst til at arbejde med dette projekt. Men for at kunne konkludere om vi har ret, må vi forstå, hvad der menes med repræsentationer og hvad disse begreber kan indfange i vores udvalgte cases, hvilket vi så kan diskuterer i forhold til vores eget begrebsapparat. Dette vil endeligt lede os til en diskussion om vores begrebsapparat kan bidrage til den diskussion, der er på feltet om hvad der i visse tilfælde driver og hjælper den matematiske udvikling, eller om vores begrebsapparat i virkeligheden er en anden måde at tale om repræsentationer på. Jessica Carter (Carter, 2012, s. 147) siger, at en af de vigtigste matematiske handlinger er repræsentationerne, idet de både simplificerer og afdækker skjulte strukturer. Dermed bliver repræsentationerne nærmest en forudsætning for at lave matematik. Man laver derfor ikke matematik med teknisk kunnen, men ved at være god til at vælge de rigtige repræsentationer. En af styrkerne ved repræsentationer er at de kan beskrive et matematisk objekt, så man bedre kan forstå hvad dette objekt egentlig er og kan. Repræsentationerne kan også skabe overblik over en sammenhæng mellem flere matematiske objekter, så man kan se forbindelser, der før lå skjult. Til et eksempel på, hvor vigtige repræsentationerne kan være henter vi inspiration fra (Katz, 2009, pp. 409-11). Eksemplet tager udgangspunkt i Francois Viétes (1540-1603) algebraiske arbejde. Den matematiske notation i algebraen bruger endnu ikke så mange tegn og symboler, så Viete skriver ligningen , som A cubus + C plano in A aequetus D solido. To ting støjer her. Dels brugen af de (lange) 8 latinske navne, dels hans insisteren på det fysiske i matematikken, nemlig at det er vigtigt at holde øje med enhederne (plano og solido). Udover, at det er (i alt fald for os) unødigt besværligt, så er der stor fare for, at strukturer overses. Et tænkt eksempel kunne være udregningen af I moderne notation ville vi få: I Viétes notation ville resultatet nok være “A quadrato-quadratum + A cubus in B in 4 + A quadratum in B quadratum in 6 + A in B cubus in 4 + B quadrato-quadratum.” I den skrivemåde kan det være svært at på øje på binomialformlen, fordi strukturerne ikke træder så tydeligt frem. En åbenlys fordel ved en moderne fremstilling er, hvor meget mindre plads det tager at skrive det helt ud. Her tillader repræsentationer af ord og sammenhæng altså, at man kan give en masse information ved brug af få simple symboler, der ikke bruger meget plads, hvilket giver læseren overblik. Dette overblik tillader læseren både hurtigt at få øje på relevante informationer og sammenhæng, samt se bort fra ligegyldige detaljer. Så det at være i stand til at repræsenterer givne sammenhæng, på en bestemt måde, kan altså være utroligt vigtigt for, hvordan man forstår disse sammenhæng og hvilke spørgsmål man så kan stille og endvidere, hvilke svar man kan give. Næste naturlige spørgsmål vil så være, hvad en repræsentation så er? Carters (Carter, 2012) repræsentationsforståelse hvilker på den amerikanske logiker og semiotiker Charles Sanders Pierce (1839-1914) arbejder med at systematisere vores forståelse af tegn og repræsentationer. Pierce introducerede (Pierce C. S., 1868) et begrebsapparat til forståelse af logikkens væsen. Pierce arbejdede med en tredeling: et logisk system består af tre dele: selve repræsentationen , det repræsenterede objekt og fortolkningen af den givne repræsentation. I hans kategori ”Quality (Reference to a Ground) indgår begrebet tegn. En vigtig forudsætning, for overhovedet at kunne tale om tegn er, at det givne tegn også bliver fortolket og forstået, som et tegn. Pierce formulerer en underopdeling i tre kategorier som tegn kan tilhøre, alt efter hvilket forhold der er mellem de førnævnte tre dele. De tre kategorier er: ikoner, indicier og symboler, hvilket han illustrerer således ( (Pierce C. S., 1932, s. 307): De uddybende definitioner hos Pierce bygger på hele hans store begrebsapparat, men følgende citater giver en forståelse af hvad, der er på spil. 9 An Icon is a sign which refers to the Object that it denotes merely by virtue of characters of its own and which it possesses, just the same, whether any such Object actually exists or not. It is true that unless there really is such an Object, the Icon does not act [as] a sign; but this has nothing to do with its character as a sign. Anything whatever, be it quality, existent individual, or law, is an icon of anything, in so far as it is like that thing and used as a sign of it. (Pierce C. S., 1998, s. 291) Et ikon repræsenterer et givent objekt ved at ligne dette objekt, for eksempel når vi snakker om en trekant, som så benævnes . Så vil være et ikon, da denne repræsentation ligner det den repræsenterer og dermed viser læseren, at der er tale om en trekant. An Index is a sign which refers to the Object that it denotes by virtue of being really affected by that Object. It cannot, therefore, be a Qualisign, because qualities are whatever they are independently of anything else. In so far as the Index is affected by the Object, it necessarily has some Quality in common with the Object, and it is in respect to these that it refers to the Object. It does, therefore, involve a sort of Icon, although an Icon of a peculiar kind; and it is not the mere resemblance of its Object, even in these respects which makes it a sign, but it is the actual modification of it by the Object. (Pierce C. S., 1998, s. 291-2) Indicier er tegn, der bærer på mere information om det underliggende objekt end ikonet gør. Et tegn for en retvinklet trekant er tættere forbundet til objektet trekant, end tegnet trekant er. Pierces eget eksempel er, at en vejrhane peger på vindretningen. A Symbol is a sign which refers to the Object that it denotes by virtue of a law, usually an association of general ideas, which operates to cause the Symbol to be interpreted as referring to that Object. It is thus itself a general type or law, that is, is a legisign. As such it acts through a replica. Not only is it general itself, but the Object to which it refers is of a general nature. Now that which is general has its being in the instances which it will determine. There must, therefore, be existent instances of what the symbol denotes, although we must here understand by “existent,” existent in the possibly imaginary universe to which the symbol refers. The symbol will indirectly, through the association or other law, be affected by those instances; and thus the symbol will involve a sort of index, although an index of a peculiar kind. It will not, however, be by any 10 means true that the slight effect upon the symbol of those instances accounts for the significant character of the symbol. (Pierce C. S., 1998, s. 292) Symboler er repræsentationer, der er forbundet med det de repræsenterer via regler og lovmæssigheder. For eksempel hvis man kigger på tegnet for uendelig, . Dette tegn repræsenter et begreb, fordi vi har vedtaget at det gør det og så har vi opstiller nogle regler for, hvordan vi skal bruge det i forskellige sammenhæng. Så både bogstaver, ord og mange matematiske tegn, vil altså i denne sammen karakteriseres, som symboler. Pierce formulerer en yderligere under opdeling af ikoner, som er relevante i en matematik sammenhæng, disse underkategorier er: billeder, diagrammer og metaforer. Vi bruger (Carter, 2012, s. 140-2) til at folde det ud. Billede: Når et ikon fungerer som et billede, er der fordi billedet deler nogle lighedstræk med det objekt som billedet repræsenterer. Dette kunne for eksempel være en skitse, som en matematiker laver af en situation vedkommende ønsker at undersøge. Skitsen er som sådan ikke baseret på eksakte love, men deler vise ligheder, med det den repræsenterer. Ligheder som matematikeren har bedømt til at være vigtige for undersøgelsen. Diagram: Et diagrams sammenhæng med det objekt som det repræsenter er, at der er en given relation mellem diagrammet og selve objektet. Søljediagrammer, grafbilleder og skemaer er eksempler på diagrammer. Hvis vi for eksempel ser på funktion givet ved sammenhængen mellem og grafbilledet af denne funktion, så er og grafbilledet ikke, at de som sådan ligner hinanden, men der er en relation mellem disse to repræsentationer, som følger eksakte og veldefinerede matematiske love. Metafor: En metafor fungerer igennem parallelisme. Et eksempel på parallelisme kunne være følgende omskrivning af formel 1 (1) Vi ville sige at begge sider af lighedstegnet repræsenter det sammen, selv om det er tydeligt at de tegn, der bliver brugt på de to sider, ikke er ens. Men fordi vi kender de regler og lovmæssigheder, der gør sig gældende i denne situation, ved vi at den omskrivning er lovlig, hvorved der står det samme (Carter, 2012, s. 140-1). 11 Så repræsentationer kan altså have forskellige udformninger, hvilket kan gøre en i stand til at fokusere på vigtige detaljer, se udover uinteressante detaljer, hvorved man kan få en bedre forståelse for den givne sammenhæng eller opdage nye ukendte strukturer i det man betragter. Nogle matematikere ville nok mene, at når en sådan repræsentation gør én i stand til at opnå forståelse eller til at indse nye sammenhæng, så har denne repræsentation en anden rolle, end en repræsentation der bare bruges til at videregive information. Et eksempel kunne være et matematisk udtryk som et teorem, altså en symbolsk repræsentation af en matematisk sammenhæng, der i nogle tilfælde bare vil videre givne den indlejrede viden til en observatør, men i enkelt tilfælde, vil dette teorem måske hjælpe en given observatør til at indse, sammenhæng, der før lå skjult for vedkommende. Her ville man kunne indvende, at denne repræsentation har en grundlæggende anden rolle og denne rolle, som repræsentationer og andre begreber og objekter kan antager, bliver i nogle kredse kaldt for Kognitive artefakter. Kognitive artefakter I dette afsnit vil vi beskrive, hvordan to forskere har beskrevet kognitive artefakter og hvordan de virker i forskellige situationer, samt hvilke objekter der kan virker som et kognitivt artefakt. Vi mener selv at der i vores tre case, er tale om at der bliver benyttet kognitive artefakter, til at løse en opgave og opnå en form for erkendelse. Men for at kunne udtale os om dette og altså besvar vores problemformulering, bliver vi nød til at sætte os ind i, hvordan andre har karakteriseret disse kognitive artefakter, så vi om muligt kan genkende dem i vores cases. Heersminks taxonomi Vi har valgt at bruge filosoffen Richard Heersminks beskrivelse kognitive artefakter, fordi han i dannelsen af sin taxonomi bruger Pierces arbejde, der ligeledes blev brugt i vores beskrivelse af repræsentationer. Så ved at bruge Heersminks arbejde, kan vi trække på allerede gennemgået materiale hvorved sammenhængen mellem et objekt og den funktion dette objekt har, bliver tydelig. Noget af det første Heersmink uddyber, er brugen af selve ordet ”cognitive artifact”, som vi har oversat til kognitive artefakt. I denne sammenhæng er en artefakt noget kunstigt, altså menneskeskabt og i den forbindelse, beskriver han distinktionen mellem ”teknisk” og ”teknik”. Begge begreber refererer til noget menneskeskabt, men teknisk har en helt klar fysisk dimension og til en vis grad også mekanisk dimension. Hvorimod teknik er metode man kan have tilegnet sig, for at udfører en handling på en bestemt måde. Her 12 siger Heersmink at ordet ”evne”, kan bruges som synonym for ”teknik” i denne sammenhæng (Heersmink, 2013, s. 468). Et eksempel kunne være en pianist, der spiller på sit klaver. Her vil man sige at selve klaveret er et teknisk artefakt, da klaveret består af en masse komponenter der virker på en meget bestemt måde, for at der kommer de rigtige toner ud. Men selve pianisten er i besiddelse af en speciel teknik, altså en viden og kunnen, der gør vedkommende i stand til at forstå hans instrument og noderne, hvormed vedkommende kan spille det rigtigt. Men en sådan teknik, behøves ikke at være en teknik der udmønter sig i fysiske handlinger, for Heersmink er teknik nok nærmere tænkt som en måde at huske og/eller forstå noget på. Så de objekter som Heersmink, i sit artikel fremhæver som kognitive artefakter, er objekter der indgår i en tanketeknik, altså en kognitiv teknik. Dette kunne for eksempel være et kort over geografisk område. Et sådan kort kan hjælpe en bruger til at navigere i det givne område, fordi kortet er en overskuelig repræsentation, der gør brugeren i stand til at overskue hvorhenne vedkommende befinder sig, så man kan finde vej. Man kunne også bare have spurgt en stedkendt om hvordan området så ud, men sådan en mundtlig berettet kan man for det første ikke være sikker på er korrekt og for det andet, kan de allerfærreste holde så mange informationer i hovedet på en gang, samtidig med at man skal placere sig selv og tage bestik af hvilken retning man skal bevæge sig. Så kortet gør, som sådan ikke en bruger klogere, men den løfter en arbejdsopgave, som brugen ellers selv skulle have løftet, hvilket formentlig ville resultere i dårligere resultat, for eksempel at man fór vild. Så kortet medvirker altså i en kognitiv teknik, som gør brugen i stand til at klare en opgave, som ellers ville have været svær eller umulig, og det er i denne rolle som kortet har, som Heersmink ville karakterisere som et kognitivt artefakt. Selve teknikken ligger i at personen der bruger kortet ved hvordan vedkommende skal tolke de forskellige repræsentationer af virkelige objekter der er på kortet og overfører denne viden til omgivelserne. Så i dette tilfælde vilde man sige at selve kortet i sig selv er et kognitivt artefakt, fordi det medvirker i en kognitiv teknik, hvor ingen af delene giver mening uden hinanden (Heersmink, 2013, s. 468). Herefter kommer han med en mere formel definition af et kognitivt artefakt, som at ”… a cognitive artifact is neither defined by intrinsic properties of the artifact nor by the intentions of the designer, but by its function, which is established by the intentions of the user and by how it is used.” (Heersmink, 2013, s. 471). Så for Heersmink, er det altså selve funktionen, et givent objekt optræder i, der er afgørende for om han vil kategorisere dette objekt som et kognitivt artefakt, i den pågældende situation. Ser vi på det forrige eksempel, hvor vi omtalte klaveret som et teknisk artefakt, ville man godt kunne forestille sig en situation, 13 hvor det faktisk godt kunne kategoriseres som et kognitivt artefakt. Dette kunne for eksempel være, hvis klaveret blev brut til at forklare tonernes indbyrdes sammenhæng og en person, ud fra tangenterne på klaveret kunne få opbygget en forståelse af musikkens væsen, som vedkommende ikke ville kunne have fået før. Så et teknisk artefakt, kan sagtens fungere som en del i en kognitiv teknik. I eksemplet med musik, kunne man forestille sig at den givne person, ville være i stand til at huske hvordan noderne hænger sammen ved genkalde sig tangenternes placering for sit indre øje og bruge dette til at udfører en opgave. Således kan et teknisk artefakts fysiske tilstedeværelse blive overflødig, for en bruger, men stadig hjælpe med at udfører en kognitiv opgave. Men en helt afgørende egenskab, der gør at artefakter overhovedet kan bruges til at udfører kognitive opgaver, er at der er struktur på den information, som den givne artefakt indeholder eller kan levere. I eksemplet med tangenterne, så er de jo netop placeret på en helt bestemt måde, hvilket netop gør at det kan bruges som kognitivt artefakt i nogle tilfælde. Heersmink skildre således mellem to typer af informationsstrukturer, som kognitive artefakter kan kategoriseres efter: repræsentationel og ikke-repræsentationel. Hvor repræsentationelle artefakter indeholder informationsstrukturer om verden, hvor ikke-repræsentationelle artefakter indeholder informationsstrukturer som verden (Heersmink, 2013, s. 476). I denne sondring vil et landkort, som tidligere omtalt, kategoriseres som et repræsentiationelt artefakt, da denne type artefakt indeholder en informationsstruktur om, hvordan et givent geografisk område ser ud. Et eksempel på et ikke-repræsentiationelt artefakt, som Heersmink også giver, er placering af givne objekter, hvilket kan hjælpe med at huske, hvilket kunne være altid at lægge ens bilnøgler på skabet i gangen. Hverken bilnøglerne eller skabet, indeholder i sig selv nogle information, der kunne hjælpe med at huske bilnøglerne. Men i det man indretter verden på helt bestemt måde, bliver kombinationen af bilnøgle og skab, samt en gentagelse af man altid lægger bilnøglerne der, til et kognitivt artefakt. Kategorien af repræsentationelle kognitive artefakter underopdeler Heersmink, så yderligere i følgende tre kategorier: ikoner, indicier og symboler. Hans definition på disse tre kategorier er baseret på Pierces arbejde, som vi har gennemgået i afsnittet om repræsentationer. Heersminks terminologi er udviklet til at beskrive fysiske artefakter der hjælper til en kognitivt opgave, som at huske eller forstå, så derfor er hans eksempler på hvilke objekter der tilhører de forskellige grupper naturligvis også fysiske objekter. Her nævner han landkortet som et ikonisk artefakt, et kompas som et indeks artefakt og en kugleramme som et symbolsk artefakt. Landkortet indeholder lighed med den verden som den repræsenterer, hvorved det ifølge Pierces kategorisering er et ikon. Et kompas er et aggregat som i bogstaveligste forstand peger på noget andet end sig selv, nemlig nord. Det giver information om noget, der ligger ud over dets egne grænser, på en anden 14 måde end et kort gør, da et kompas ikke nødvendigvis ligner det, det peger på. En kugleramme tilhører den symbolske gruppe da, kuglerne igennem love og regler kan bruges til at udfører meget mere komplekse udregninger, end en person ville have været i stand til uden dette hjælpemiddel. Figur 1 – En oversættelse af Heersminks taksonomi fra engelsk til dansk (Heersmink, 2013, s. 473) Den anden kategori ikke-repræsentationel, opdeler Heersmink i to kategorier: rummelig og strukturel. Hans eksempler på hver af de to kategorier er placering af bilnøgler, som er en rummelig kognitiv artefakt og så rotation af Tetris brikker, hvilket er et strukturelt kognitivt artefakt. Den rummelige kategori indeholder artefakter, der igennem deres placering i forhold til andre objekter eller artefakter, hjælper med at løfte en kognitiv opgave. Så selve artefaktet i dette tilfælde, er ikke alene selve objektet, men sammenhængen mellem objektet og en bestemt sekvens af tanker, der danner den kognitive artefakt. Kategorien med de strukturelle artefakter, indeholder som det nævnte eksempel rotation af Tetris blokke. Når man spiller Tetris gælder det om at udnytte de givne blokkes facon optimalt og får at finde ud af hvor den aktuelle bloks skal placeres, kan spilleren bruge tasterne til at roterer blokken. Denne rotation visualiserer de forskellige muligheder, spilleren har for at få den aktuelle blok, til at indgå i de eksisterende blokke. Spilleren kunne også bare udføre en rotation af blokken i hovedet, men det ville kræve mere tankekraft, som spilleren nu kan bruge til at udtænke placering af denne blok. Så idet blokken bliver roteret, kan spilleren overskue nogle strukturer og muligheder, der før var mere komplicerede at udtænke. 15 Dette var en beskrivelse af hvordan Heersmink, har valgt at kategorisere kognitive artefakter, men for at danne os et mere fyldestgørende billede af den litteratur, der omhandler kognitive artefakter, har vi valgt at beskrive endnu en måde at snakke om dem på. Normans begrebsapparat Vi har valgt at hente inspiration fra Donald A. Normans værk ”Things that makes us smart”, der, ligesom Heersmink, beskriver kognitive artefakter primært som fysiske objekter. Men selv om vi primært er interesserede i ikke fysiske kognitive artefakter, kan Normans kategorisering og generelle forståelse kan vise sig at være nyttig i vores analyse. Norman starter sin beskrivelse af kognitive artefakter med at beskrive to synsvinkler: Det personlige og det systemiske synspunkt. Det personlige synspunkt pointere at et kognitivt artefakt ikke gør den person, der bruger det klogere, men artefaktet ændrer selve opgaven. Hvis man for eksempel beder en person om at bestemme en given afstand mellem to punkter i et rum, hvor vedkommende ikke har nogen hjælpemiddel, vil denne person kun have sit øjemål og måske sin skridtlængde til at bestemme denne afstand. Her vil arbejdsopgaven altså være at tage så ensartede skridt som muligt, hvilket så vil være vedkommes svar. Hvis man giver personen et målebånd, er arbejdsopgaven ændret. Målebåndet bliver langt ud mellem de to punkter, men svaret er dermed ikke fundet, for personen skal være i stand til at oversætte de relevante informationer fra målebåndet til ord og begreber. Så hvor opgaven før var at bruge sin krop og sit øjemål til at bestemme en afstand, er opgaven nu at anvende sin viden om, hvordan et målebånd fungerer og oversætte disse informationer til et længdemål. Det systemiske synspunkt siger at en person, der har adgang til et kognitivt artefakt og som forstår at bruge det, vil være bedre i stand til at løse den givne opgave, end personen og artefaktet hver for sig. Hvilket igen er fordi at et kognitivt artefakt ikke gør en person klog, så hvis man mister sine kognitive artefakter, vil der være arbejdsopgaver, man ikke længere vil kunne udfører (Norman, 1993, s. 78). Efter denne indledning, definere Norman to sæt af to begreber, hvor hvert begreb i sættet er den andens modsætning. De to sæt er henholdsvis Aktiv – Passiv (på engelsk: Active – Passiv) Overflade – Indre (på engelsk: Surface – Internal) De første to begreber aktiv og passiv referer til om kognitive artefakter er i stand til at ændre hvilke informationer de giver. Ser vi på eksemplet fra før, så vil målebåndet være et passivt kognitivt artefakt, da 16 alle tallene står på målebåndet, uanset hvor langt, det man måler, er. En aktiv artefakt kunne for eksempel være et ur. Her vil viserne eller tallene på uret ændre sig, når tiden går, netop fordi at dette kognitive artefakt hjælper folk med at få en fornemmelse af tid. En lommeregner vil også være et eksempel på et aktivt kognitivt artefakt da displayet vil ændre sig, alt efter hvilken sekvens at taster du har trykket på. I begge tilfælde vil det kræve en form for afkodning, hvis en person ønsker at bruge et artefakt, til at udfører en opgave, så forskellen ligger i at de aktive selv vil komme med de informationer, det blev bedt om at bringe. Det andet sæt af begreber overflade og indre referer til hvordan den information du skal afkoder fremkommer. I tilfældet af overflade artefakter, vil alle informationer være tilgængelig til at starte med, hvor der ved de indre artefakter, foregår processer inden i mekanikken du aldrig bliver involveret i. Tager vi målebåndet igen, så er det en passiv overflade artefakt, da alle informationerne står på det og den er præcis sådan som den fysisk fremstår. Hvorimod lommeregneren vil være en aktiv indre artefakt, da de algoritmer og systemer, den bruger til at processer de indtastede informationer, ikke er noget du får indblik i som bruger. Der foregår altså noget inden i dette artefakt, som du ikke blive bedt om at tage stilling til. Beslutningen om, hvad du ser og hvad du skal tage stilling til, er nemlig blevet taget før du interagere med artefaktet, af designeren. Det er dog ikke unikt for de indre artefakter, det er generelt sådan at designet af et givent artefakt, bestemme hvor effektiv den er til det givne formål og det vil sjældent være sådan, at der kan laves et artefakt, der er optimalt i alle henseende, til dette formål (Norman, 1993, s. 79-81). Hvor effektivt et artefakt er til et bestemt formål, afhænger blandt andet af om designeren har været i stand til at vælge effektive repræsentationer, til det givne artefakt. Norman beskriver at en forståelse for repræsentationer er helt essentiel til at forstå kognitive artefakter. Kognitive kan lette en tankemæssig opgave, fordi selve artefaktet ændre den måde du tænker det givne problem på, og det gør artefaktet ved at bruge repræsentationer, til at fremstille problemet på en ny måde. I tilfældet med målebåndet, skal du altså nu forstå, at de tal du ser på målebåndet, er en repræsentation af en given længde. De fleste målebånd er designet sådan at man bruge en standard og vedtaget enhed, til at opdele målebåndet, da en ubrugelig eller ugennemskuelig enhed ville forøge det kognitive arbejde. Der er dog flere forhold der gør sig gældende, for om en repræsentation er velegnet til et bestemt formål, for repræsentationen skal også udelade, ligegyldige detaljer. Derfor vil de fleste målebånd kun gå ned til millimeter, selv om skalaen principielt fortsætter, men her har man bedømt at denne del af virkeligheden, ikke er relevant for de fleste tilfælde, som målebåndet er tiltænkt at hjælpe i. Et effektivt kognitivt artefakt er altså bygget op omkring velvalgte repræsentation, der udelader ligegyldige detaljer, hvorved de vigtige detaljer fremstår tydeligt (Norman, 1993, s. 49). 17 Norman beskriver to typer af repræsentationer, der har hver sine fordele og ulemper, nemlig: eksperimentale og refleksive repræsentationer. Grundlæggende kan man sige at eksperimentale giver mulighed for at erfarer og handle i verden, hvor refleksive giver mulighed for at håndtere og manipulere andre repræsentationer. De fleste måleinstrumenter er eksempler på eksperimentale artefakter, da de giver informationer om et bestemt forhold i verden, som tillader dig at agere i forhold til det. Lyd optagelser og film af forskellig slags, er også eksempler på eksperimentale artefakter, da man igennem disse kan opleve begivenheder og handlinger, på tværs af tid og rum. Refleksive artefakter tillader at man ser bort fra den virkelige verden og kun beskæftiger sig med repræsentationer af forhold i den virkelig verden eller bare helt abstrakte repræsentationer. Brugen af symboler i algebra er et eksempel på netop refleksive artefakter. Her beskæftiger man sig med abstrakte symboler og operer med dem ud fra vedtagne regler og lovmæssigheder, hvilket ikke nødvendigvis giver viden om den om givne verden. Et eksempel på forskellen mellem disse to typer af repræsentationer kunne være, hvis man skulle regne ud, hvor mange kugler af en given diameter, der er en bestemt beholder. Man kunne hælde alle kuglerne ud og så tælle dem, ved at sætte en streg for hver kugle man lagde tilbage. Så ville disse streger være et eksempel på den eksperimentale repræsentation, fordi der er et et-til-et forhold mellem repræsentationen og det repræsenterede. Man kunne også gribe situationen anderledes an og måle både beholderen og kuglerne, hvor efter man kunne lave nogle antagelser og lave en udregning. Nu har man flyttet problemet fra virkeligheden og ind i abstrakte matematiske repræsentationer, som nu virker på og med hinanden igennem lovmæssigheder. Så når man analysere modeller og prognoser af forskellige forhold, er det altså et eksempel på refleksive repræsentationer. Styrken ved disse refleksive repræsentationer er at de tillader os at ignorer virkeligheden og fokusere på en kunstig verden, hvor man kan opdage nye sammenhæng og genere ny viden. Men Norman nævner også faren ved disse refleksive repræsentationer, nemlig at man kan glemme at disse repræsentationer ikke er direkte forbundet med den omgivne virkelighed. Denne fejlslutning kan fører til falske antagelser og en tvistet verdensopfattelse. Vi har nu gennemgået det litteratur vi har brugt, som vores teoretiske grundlag, så vi kunne analysere vores cases og danne vores begreber. Så vi vil nu gå videre til at beskrive hvordan vi endte med at beskrive vores begrebspar efter den sidste iteration. 18 Begrebsmæssige redskaber I dette afsnit vil vi komme med vores beskrivelse af de begreber, vi ønsker at anvende til vores analyse. Det er vigtigt at lægge mærke til at vores begreber er udviklet med henblik på at besvare vores problemformulering. Vi har ikke udviklet vores begreber til, nødvendigvis, at være i stand til at indfange detaljer om kognitive artefakter i alle tænkelige tilfælde. Det er muligt at vores begreber er i stand til at bruges i andre sammenhæng, men det ville kræve en yderligere analyse og undersøgelser, både af de nye cases de skal bruges i og vores begreber som genstand. I denne rapport er vores begreber ikke en genstand der som sådan står til undersøgelse, men et værktøj vi benytter til at kunne besvare vores problemformulering. Man kunne med rette indvende, hvordan vi vil påstå, vi er i stand til at konkludere noget, når man undervejs undre sit værktøj, hvormed man netop skal finde frem til konklusionen. Denne indvending vil vi vende tilbage til i diskussionsafsnittet. Vi har valgt at benytte et andet ord frem for kognitive artefakter, nemlig begrebsmæssige redskaber. Hvilket vi har valgt fordi det meste af det litteratur vi har beskæftiget os med, beskriver hvordan fysiske objekter som målebånd og kort, hjælper mennesker med at udfører svære kognitive opgave, hvor vi primært interesser os for ikke-fysiske objekter, der spiller samme rolle. Vi interesser os altså for ikke-fysiske objekter, der hjælper med at kunne udfører en opgave eller opnå en erkendelse, som en given person ikke ville have været i stand til at udfører eller opnå selv. Når vi siger ”ikke-fysiske” mener vi, at de ikke på samme måde er forankret i en konkret fysisk objekt, men selvfølgelig har en fysisk repræsentation. Et eksempel kunne være en kridtcirkel på en tavle. Det fysiske objekt her er selve kridtet og tavlen, men når en matematiker bruger denne kridtcirkel i sine udregninger, tænker han på det som noget andet end dens egentlige fysiske repræsentation. Så vil han se på det som en cirkel, der har nogle bestemte egenskaber og indgår i helt bestemte sammenhæng, og dette objekt er noget andet end den fysiske cirkel af kridt på tavlen. Det er således de tankebilleder man kan have og bruge i forskellige sammenhæng, vi ønsker at beskrive og undersøge Så for at tydeliggøre at vi beskæftiger os med noget lidt andet, end den øvrige litteratur, valgte vi at omtale disse objekter, som begrebsmæssige redskaber. Men selv om vi har valgt et andet ord, synes vi det ligger så tæt op af meningen i det oprindelige ord ”kognitive artefakter”, så det er tydeligt, vi beskæftiger os med objekter, der spiller samme grundlæggende rolle, som kognitive artefakter. For at blive i stand til at analysere vores cases og besvare vores problemformulering, har vi som sagt valgt at danne to begrebspar. Begge disse begrebspar er udledt af de forskellige situationer, som vi har 19 observeret i vores cases at begrebsmæssige redskaber kan indgå og hvilke effekter de kan have i disse situationer. Her har vi især set på hvordan Heersmink beskriver at det er konteksten og brugen, der er afgørende for om man kan snakke om at givent objekt fungere som et kognitivt artefakt. Selv samme tendens har vi kunnet observere i vores cases, da de objekter der bliver brugt her, i andre sammenhæng, ikke ville spille samme afgørende rolle. Vores begreber afhænger altså af hvilken matematisk kontekst, vi befinder os i. Men selv om begge vores begrebspar beskriver den matematiske kontekst, beskriver de ikke samme forhold i denne kontekst. De to begrebspar er: Forklarende – Fordybende Generator – Terminator. Det første begrebspar beskriver den rolle et givent redskab spiller i den helt konkrete matematiske kontekst, altså i selve kildeteksten. Det andet begrebspar beskriver hvilken rolle et givent redskab havde for matematikken, udover i den matematiske kontekst, altså inden for den matematiske udvikling fremafrettet. Vi starter med at uddybe forskellene mellem begreberne i det først par, Forklarende – Fordybende. Grundlæggende kan man sige at et forklarende redskab operer inden for den etablerede matematik, hvor et fordybende redskab peger på noget uden for den etablerede matematik. Når et redskab fungere forklarende er det altså fordi dette redskab gør matematikere i stand til at løse et veldefineret og anerkendt problem, som nu er blevet løst ved hjælp af dette redskab. Det kan også hjælpe med forståelse og erkendelse, hvis man har formuleret nogle problemer eller teori, som ikke hang sammen, men som pludselig giver mening, hvis man anvender dette redskab – så vil man også sige at det er et forklarende redskab. Men det behøver ikke løse et uløst problem eller skabe mening, hvor der ikke tidligere var mening, det kan også bare forbedre en allerede eksisterende løsning på et problem, eller være bedre til at skabe mening om noget bestemt teori. Billedet her er at et forklarende redskab kan forklare, hvordan en bestemt opgave kan løses eller forklare hvordan noget bestemt teori hænger sammen. Et fordybende redskab kan også løse et problem og hjælpe med forståelse og erkendelse, men de problemer og den erkendelse et sådan redskab kan hjælpe med, ligger uden for den etablerede matematik. Sådanne problemer der ligger uden for den etablerede matematik, kan i sagens natur være svære at have en forståelse for da de, netop ligger uden for vores etablerede matematik. Men man skal blot tænke på dem som problemer vi endnu ikke har formuleret, stødt på eller haft brug for at løse. Man kan således forestille sig at en matematiker, der arbejde på et givent emne og danner et begrebsmæssigt redskab til at hjælpe i vedkommendes arbejde. Hvis dette redskab i kraft af dets udformning og funktion i konteksten giver anledning til at til at stille nye spørgsmål og forsøge at løse en ny type problemstillinger, så ville vi kalde dette redskab for fordybende. Et andet scenarie kunne være hvis dette redskab igen i kraft af dets 20 udformning og funktion i konteksten gjorde matematikeren i stand til at se sammenhæng, strukturer og/eller matematiske objekter, vedkommende ikke var i stand til at beskrive og få en forståelse af før – så ville vi også kalde dette redskab for fordybende. Billedet her er at et fordybende redskab kan give en dybere forståelse af matematiske spørgsmål og problemstillinger, idet man ser dybere ind i matematikkens væsen. Det ovenfor forklarede begrebspar beskriver altså som sagt den rolle et redskab havde i en helt speciel kontekst, altså en kildetekst. Men den kildetekst er jo fremkommet i en helt bestemt historisk kontekst, og det er denne historiske kontekst det sidste begrebspar beskriver, nemlig Generator – Terminator. Når et redskab fungere som generator, mener vi at dannelse og brugen af dette redskab har affødt en masse andre spørgsmål og/eller bidraget til den matematiske udvikling. Et redskab kan fungere generende på mange måder. Hvis man for eksempel benytter et redskab til at kunne besvare et problem, man har haft inden for et givent matematisk felt, kan resultaterne som brugen af redskabet har medført give anledning til at man beskæftiger sig med andre problemstillinger, inden for dette felt. Man kunne også forestille sig at nogle matematikere så hvor effektivt dette redskab var til at løse et problem, så de forsøger at anvende dette redskab på andre problemstillinger i håb om at det også kan løse disse problemer. Andre kunne måske finde på at undersøge selve redskabet, som genstand for at finde ud af hvorfor det var i stand til at løse det givne problem. I disse tilfælde ville vi kategorisere redskabet som et generende redskab, da dannelsen og brugen dette redskab generede spørgsmål og viden, inden for et eller flere matematiske felter. En terminator er det modsatte af en generator. Det er altså et begrebsmæssigt redskab, vis dannelse og brug enten ikke har givet anledning til at stille nye spørgsmål eller bragt ny erkendelse med sig. Et redskab kan fungere terminerende i situationer, hvor der har været diskussioner om hvilken løsning der var rigtig eller bare bedst, til at løse en bestemt problemstilling. Her kan et nyt redskab vise sig at løse opgaven fuldstændigt eller bare være bedre end de andre muligheder, så yderligere diskussion om hvilken løsning man skal bruge, bliver overflødig. Her ville man sige at dette redskab fungerede terminerende, da man i tiden efter dannelsen og brugen af det givne redskab, ikke havde en grund til at debattere den givne problemstilling yderligere, da den mest optimale løsning var fundet. Et andet scenarie, hvor et redskab kan virker som terminator, er hvis en matematiker danner og bruger et redskab til at løse et problem eller opnå erkendelse, men dette problem eller denne erkendelse, har ingen almen interesse. Det ikke altid en matematiker ved præcis, hvad vedkommende ender med at konkludere når man kommer igennem med sit arbejde. Så nogle matematiske indsigter, som folk har gjort sig igennem tiden, må siges at være sande eller delvist sande, men uden den store interesse eller nyttevirkning for andre. Og dermed heller ikke affødt nye 21 spørgsmål eller ny viden, hvormed vi vil kategorisere sådanne artefakter, der har indgået denne sammenhæng, for terminerende. Det er vigtigt at notere sig at vores to begrebspar ikke udelukker hinanden, så et begrebsmæssigt redskab kan godt fungere forklarende og generende i en given kontekst. Men de er indbyrdes udelukkende, så et begrebsmæssigt redskab kan ikke fungere måde forklarende og fordybende i en given kontekst. Dette var vores gennemgang af de begreber vi vil anvende til at analysere vores tre cases med. Deres udformning og hvordan vi bruger dem i analysen vil vi tage op i vores diskussion. Nu går vi videre til afsnittet med vores cases. 22 Vores cases Da vi nu har gennemgået den nødvendige teori og beskrevet hvilken metode vi vil anvende for at besvare vores problem formulering vil vi nu gå videre til vores case afsnit. Vi vil grundlæggende arbejde med vores tre cases på en nogenlunde ensartet måde, så det giver mening at sammenligne dem, på ens vilkår. Denne sammenligning vil vi bruge til at besvare vores problemformulering. Grundlæggende er hver af de tre case afsnit opbygget af tre dele: en historisk baggrund, en beskrivelse af det matematiske arbejde og en analyse samt diskussion. Den historiske baggrund er vigtig for at vi ikke kommer til at tænke vores nutidige matematik forståelse ind i de tekster vi beskæftiger os med, hvilket man hurtigt kan komme til når man kigger på ældre matematisk arbejde. Derfor vil vi også gøre opmærksom på forskelle på notationer og beskrive hvordan de forskellige elementer og udtryk bliver brugt i den givne tekst. Denne vil vi især gøre hvis der er store forskelle på hvordan man normalt ville gøre det i dag i forhold til i teksten. Når vi har sat vores kildetekst ind i en historiske sammenhæng, vil vi beskrive hvordan matematikeren bag kildeteksten kommer frem til sine resultater og hvordan han undervejs arbejder og argumentere. I dette afsnit prøver vi så vidt muligt at holde os neutrale og blot referer kildetekste og fremhæve de vigtigste elementer i forhold til besvarelse af vores problemformulering. Til sidst vil vi analyse det matematiske arbejde og diskutere om det giver mening at snakke om begrebsmæssige redskaber netop i den givne kildetekst og om vi opnår en dybere forståelse for hvordan matematikeren har arbejdet i den givne tekst, ud fra vores definerede begrebspar. Vi ender således med tre analyser af hver af vores tre cases og det er disse tre analyser, der danner grundlag for vores endelige diskussion, hvor vi vil besvare vores problem formulering, hvilket endelig vil udmønte sig i en konklusion. Cardanos komplekse tal Den første case vi vil beskæftige os med er en tekst af den italienske matematiker Girolamo Cardanos arbejde fra midten af 1500-tallet. Vi starter med at beskrive hvilket samtid han levede i og hvilken slags matematik man generelt beskæftige sig med på hans tid. Historisk baggrund Første gang man støtte på behovet for at kunne regne med komplekse eller imaginære tal var da de italienske matematikere Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolo Tartaglia (1499-1557), Girolamo Cardano 23 (1501-1576) og Ludovico Ferrari (1522-1565) begyndte at løse tredje og fjerde grads ligninger (Lindstrøm, 2006). Del Ferro var den første løste en general klasse af tredje grads ligninger. På grund af den måde universitetssystemet i Italien virkede i 1500 tallet gjorde at del Ferro ikke delte sin opdagelse (Katz, 2009). Stillingerne på universiteterne blev tildelt i en matematiks tvekamp mellem to ansøgere. Den som kunne løse flest af den andens opgaver ville få stillingen. Det gjorde at alle holdte på deres hemmelighed, da man også kunne udfordre en siddende professor. Inden del Ferro døde delte han sin hemmelighed med sin elev Antonio Maria Fior. Fior udfordrede Tarlaglia til en tvekamp om Tarlaglias stilling. Da Tarlaglia opdagede at alle Fiors opgaver omhandlede en bestemt type tredjegrads ligninger, tænkte han at del Ferro havde fundet en løsning og derfor arbejdede han på at finde en løsning selv. Tarlagia fandt frem til samme løsning som del Ferro og vandt tvekampen. Cardano hørte om tvekampen, og skrev til Tarlagia hvor han spurgte om han kunne få hans hemmelighed. Cardano fik overtalt Tarlagia til at dele sin hemmelighed, hvis Cardano lovede ikke at publicere det. Senere fandt Cardano ud af at det i virkeligheden var del Ferro der havde fundet ud af løsningen til den type tredjegrads ligninger, og følte sig derfor ikke bundet til sit løfte til Tarlagia mere. Cardano arbejdede videre med Del Ferros arbejde og kunne i 1545 vise hvordan man løste alle variationer af en tredje grads ligning. Cardano viste blandt andet i sit værk Ars Magna (den store kunst) at der til ligningen (2) Hvor p og q er positive, har netop en positiv løsning, og han udled følgende formel til at finde den (3) Denne ligning fungerer godt i de fleste tilfælde, men hvis man kigger på ligningen (4) Kommer man ud i nogen problemer med Cardanos formel. Hvis man sætter ind i formlem får man følgende udtryk (5) Hvor udtrykket opstår. Hvilket var en ”forbudt” kvadratrod på det tidspunkt. Selv om der indgår en ”forbudt” kvadratrod, kan man få Cardanos ligning til at give mening, hvis man lader som om det er et 24 reelt tal og bruger de gængse regne regler for kvadratrødder. Udtrykket for (5) kan skrives om til følgende udtryk (6) Som vi kan se giver (5) en reel løsning som er 4. I dette tilfælde giver det mening at regne videre med , da man får når man ganger parenteserne sammen. Dette var dog ikke Cardano men Rafael Bombelli (1526-1572), der gjorde det. Bombelli begyndte at arbejde med de imaginære tal, som viste sig for hverken at være positive eller negative. Bombelli angav forskellige love for multiplikation af imaginære tal, og samtidig viste at man kunne bruge de almindlige regler for addition og subtraktion til det vi vil opfatte som de imaginære tal. Ud over arbejdet med tredjegrads ligninger i Ars Magna havde Cardano også noget om de imaginære tal, dog ikke i forhold til hans tredjegrads ligninger, men i forhold til anden grads ligninger (som vi skal se på). I 1500 og 1600 tallet var det en accepteret praksis at man kunne bruge kvadratroden af negative tal til at løse matematiske problemer, men der har sikkert været nogen der har haft beting ligheder ved det da man ikke på det tidspunkt viste præcist hvad og hvordan kan man stole på en udregning, hvor man bruger ikke eksisterende størrelser (Lindstrøm, 2006) (Katz, 2009). Faktisk var de imaginære tal nærmest set om en nødløsning. Cardano selv kaldte de imaginære tal for fiktive og Bombelli anså dem ikke selv som noget der var rødder (Katz, 2009). Det var først i 1700 tallet de imaginære tal begyndte at vende indpas. Kildeteksten Første gang det vi ville kalde i imaginære tal dukkede op var i Cardanos bog Ars Magna fra 1545 (Katz, 2009). Det var ikke i forbindelse med løsning af tredjegrads ligninger, men der imod i forbindelse af løsninger af anden grads ligninger. På figuren herunder ser vi et billede af hans original tekst, som den er skrevet på latin. Vi har dog arbejdet med en engelsk oversættelse. 25 Figur 2 – Cardanos oprindelige latinske tekst fra Ars Magna som casen er bygge om omkring. (Lützen & Ramskov, 1999) Matematikken i 1500 tallet var bygget op omkring geometrien, og derfor var Euklids sætninger en stor del af matematikken. Af samme grund bliver vi nød til at have en forståelse for den matematik som Cardaon kendte til. Inden vi skal se på det eksempel hvor Cardano regner med imaginære tal, skal vi først have styr på et bestemt bevis fra Euklid, nemlig sætning 28 fra bog 6. Euklid bog VI. 28. (Lützen & Ramskov, 1999) 26 Ifølge Euklid kan man lægge en firkant danne et kvadrat langs en linje . Dog må arealet af figuren , på det resterende linjestykke vil man kunne må ikke være større end det areal af det kvadrat der fremkommer ved at kvadrere halvdelen af linjestykket . I dette eksempel kigger vi på det særtilfælde hvor vi arbejder med rektangler og figuren d er et kvadrat, frem for det tilfælde hvor figurerne kan være parallelogrammer. Euklid starter med at kigge på en ret linje , og en firkantet figur Figur 3 – Euklids udgangspunkt, med linjen Arealet på figuren af linjestykket , og en firkantet figur må ikke være større end areal af kvadrat der fremkommer ved at kvadrere halvdelen . Langs linjestykket stykke se Figur 3. ligger man figuren . Vi kan nu konstruere et kvadrat på det resterende linje . Linjestykket halverer man i punktet E. På linjestykket beliggende med tegnes kvadratet . Der tegnes nu et tilsvarende kvadrat på linjestykket se Figur 4 27 som er ligedan , dette kvadrat kaldes Figur 4 –linjestykket Hvis der er delt ind i to lige store kvadrater, samt firkanten figur så vil , da Men ellers hvis vi vil finde bliver dannet på det rasterende linjestykke har vi opfyldt betingelsen om at danne et kvadrat . Yderligere kan vi sige at kvadratet vi kender og . Derfor på det rasterende linjestykke, i tilfældet svarer til kvadratet fra Figur 4 har vi et andet tilfælde. og når de er ens må det gælde at Man kan nu konstruerer en firkant . så og er lige dannet med er ligedan med Lad linjestykket ligge på linjestykket I det at linjestykket og linjestykket må det betyde at og , da både på . , det må samtidig betyde at og er kvadrater og derfor må det også gælde at det mindste kvadrat har de korteste sider. Der fremkommer nu et nyt kvadrat på tegningen, der er lig med . Det kvadrat kaldes . 28 Figur 5 - med de firkanter der fremkommer når firkanten er trukket fra. Her kan det ses at og Da kan det omskrives til , så har vi at . Hvis vi trækker firkanten tre firkanter og da vi ved at fra , og kan vi se på Figur 5 at vi vil have et gnomon der består af de . Et gnomon er en L formet figur. Det vil sige at da vi husker på at Man kan se at . da de er dannet omkring de samme kvadrater, det vil sige at de har samme længder på deres lange linjestykker dannet fra kvadratet linjestykker dannet fra kvadratet og samme længder på deres korte . Efter som at må det også gælde at da der kun bliver lagt Da på begge sider. , som vi kan se fra Figur 5, må det også gælde at . Hvis vi lægger til på begge sider får vi . Da vi husker at fra tidligere og vi kan se ud fra Figur 5 at får man at lige præcis er et kvadrat resterende linjestykke for . Man kan se at der på det resterende linjestykke og det kvadrat svare til , da vi kaldte det kvadrat på det . Matematikken i det 1500-århundrede var bygget op omkring en geometrisk tilgang og derfor også på mange af Euklids sætninger. I det specielle tilfælde, hvor vi har taget ligningssystemet af og , x svare til længden af som et kvadrat, vil nogen mene at det kan forståes som med vores dags notation, hvor linjestykket side og y svare til højden af 29 , c er arealet eller sidernes længde af kvadratet som vi kan se på Figur 6. Det er rigtigt man kan oversætte Euklids bevis til et sådan udsagn, men om Euklid selv tænke på det sådan, er ikke så sikkert. Dette er en stadig i gangværende diskussion inden for matematik historie, altså hvordan man kan og skal læse ældre matematiske tekster. Denne diskussion ligger uden for målet med dette projekt, men vil blot her gøre opmærksom på at en sådan diskussion eksistere. Figur 6 – Linjestykket er delt ind i to dele i punktet S. Linjestykket lignings system svarer til x og linjestykket svarer til y, i vores og Cardano kom med forskellige løsningsteknikker for ligninger. Disse løsningsteknikker opstillede han som regler. En af de regler for ligningsløsning er den vi skal se nærmere på og er den hvor Cardano støder på de imaginære tal. Den regel vi skal se på er regel 2 fra kapitel 37 I Cardanos eget værk Ars Magna. Reglen er løst oversat fra engelsk fra bogen (Lützen & Ramskov, 1999, s. 53), den latinske tekst kan ses i Figur 2. Regel 2: Den anden regel omkring negative løsninger involverer kvadratroden af negative tal. Jeg vil give et eksempel: hvis det skulle blive sagt, del 10 ind i to dele hvor produktet 30 eller 40, det er klart at dette tilfælde er umuligt. Ikke desto mindre vil vi arbejde videre med det. Vi deler 10 ind i to lige store dele, hvilket gør hver del 5. så tager vi kvadratet af det, hvilket giver 25. Træk 40, hvis du vil, fra produktet hvilket giver, som jeg viste jer i kapitlet om operationer i kapitel 6, en rest på -15, kvadratroden af det lagt til eller trukket fra 5 giver delene hvor produktet giver 40. Det vil være 30 og . Vi skal her lige tilføje at Cardano ikke brugte denne notation, men skrev (7) hvilket også kan ses i den oprindelige kildetekst midt på siden ude til højre, Figur 2. Vi har vi vores gennemgang valgt at bruge vores moderne notationer for overskuelighedens skyld, men man skal altså forestille sig han regnede med ovenstående notationer. Hvilke implikationer det kan have for vores forståelse af hans arbejde, kommer vi tilbage til når vi analysere casen. Cardano laver en demonstration af hans regel som vi vil gennemgå her. Cardano bruger sin viden fra Euklids 6 bog sætning 28, det man bare skal være opmærksom på mens man gennemgår Cardanos demonstration af reglen er at han bryder en af de regler der er i Euklids sætning. Euklids sætning siger at produktet af de to dele linjen bliver delt op i, ikke må overstige produktet af det kvadrat der opstår når man halvere linjestykket. Cardano er godt klar over at han bryder den regel i Euklids sætning, men ser hvad der sker hvis man regner videre med det. Forestil jer at vi har en linje med en længde 10. Vi vil nu dele linjen op i to dele, hvor vi gerne vil have dette produktet af de to giver 40. Her skal vi være opmærksomme på at det selvfølgelig ikke kan lade sig gøre, da det kun er muligt at dele en linje på 10, så det højst kan give en produkt der er 25 eller lavere. Cardano starter med at tegne opstillingen, men da han ikke kan tegne et firkant med et areal på 40 stopper han med at tegne, se Figur 7. Selvom Cardano kan se at det ikke kan lade sig gøre, regner han videre med det alligevel. Figur 7 – Tegningen som Cardano prøvede at tegne til at starte med, da han ville finde firkanten med arealet 40, ved at dele linjestykket med længden 10 ind i to dele. Dette kunne ikke lade sig gøre, og han kunne ikke færdigøre tegningen. Den oprindelige tegning kan ses i kildeteksten Figur 2 40 er det samme som 4 gange 10 eller det samme som 4 gange fremkommer hvis man deler . Vi kan lave kvadratet i midten i punktet E, og kvadrere linjestykket at finde ud af hvad siderne i vores rektangel på 40 skal være. 31 som . Vi vil nu gerne prøve Hvis vi kigger på Euklids sætning vi lige har vist, kan man se at man kan finde sidernes længde på følgende måde. hvor og . Hvis vi kigger på tegningen fra vores Euklid bevis kan vi se at længden af siderne af kvadratet præcis giver os hvor meget længere og kortere siderne af lige skal være for at vi får . Husk at . Figur 8 – et forsøg på at tegne linjestykkerne og ind, som der fortæller hvor længere eller kortere linjestykket skal være. Da længederne af og er imaginære kan de i princippet ikke tegnes ind. I det her eksempel ønsker Cardano at arealet af sidelængderne er 40 og ud fra det ønsker han at finde og I tilfældet med Cardano vil formlen se således ud (8) Hvor Cardano siger at da begge ting giver 40 hvis . Hvis vi sætter de samme tal, som Cardano brugte som eksempel, ind i formlen får vi at siderne af vores rektangel skal være eller . Cardano støder nu ind i problemet med , men arbejder videre med det. Cardano er nu kommet frem til at siderne i rektangelet med arealet på 40 skal have siderne med længden og . Et forsøg på at tegne linjestykkerne kan ses i Figur 8. Man kan nu undersøge om kravene fra starten stadig er opfyldt, nemlig at siderne lagt sammen stadig skal give 10 og produktet af de to sider skal give 40, som var start betingelserne. Hvis vi starter med at lægge siderne sammen får vi følgende . Som vi kan se får vi stadig 10 hvis vi lægger siderne sammen. Hvis vi tager produktet af de to sider får vi 32 . Som før kan vi se at den overholder vores betingelser og vi kan se at produktet af siderne stadig giver 40 som vi ønskede. Som Cardano selv skriver ” Yet the nature of AD is not the same as that of 40 or AB, since a surface is far from the nature of a number and from that of a line, though somewhat closer to the latter. This truly is sophisticated, since with it one cannot carry out the operations one can in the case of a pure negative and other [numbers].” (Lützen & Ramskov, 1999, s. 54) hvor det Cardano omtaler som AD er den firkant der svare til c i Euklids eksempel, eller det der svare til firkanten i Figur 8, det eneste der er forskel er en anden notation af punkter i den tegning som Cardano selv tegnede (se kildetekst i starten af kapitlet Figur 2). Så det Cardano er kommet frem til er at hverken er en linje eller et almindligt tal, men må være noget andet. Yderligere siger Cardano, at kan man sige at da betyde at både kan være 4 og -4, må det hverken kan være 4 eller -4, men endnu engang være noget helt tredje og derfor ikke være et tal som vi kender det (Lützen & Ramskov, 1999). Cardano selv beskrev de imaginære tal som fiktive, som nævnt tidligere. Han kunne se at hans udregninger var rigtige, men han var ikke glad for løsningen, som han selv skrev ”So progresses arithmetic subtlety the end of which, as is said, is as refined as it is useless” (Katz, 2009, p. 404)de er raffinerede men nytteløse. Analyse af Cardano Når man i dag som matematiker læser Cardanos arbejde, kan det være svært at sætte sig ud over sin egen viden og forstå hvilken tid Cardano lavede dette arbejde i, derfor kan vi i dag fejlagtigt, tro at Cardano indførte de komplekse tal, når han arbejder med . Men som vi har beskrevet i vores historiske baggrund for Cardano, var det først i 1700-tallet at de komplekse tal rigtigt blev defineret og en del af den almindelige matematiske praksis. Så da vi kender den matematiske baggrund for Cardanos arbejde, ved vi at han ikke så disse tal, som komplekse tal. Det er slet ikke en gang sikkert han så dem som egentlige tal, da man på dette tidspunkt slet ikke havde udviklet en generel og systematisk måde at arbejde med dem på. Vi kan faktisk ikke udtale os om hvordan Cardano i virkeligheden så disse størrelser, da vi kun har hans tekst at gå ud fra, så vi kan kun forholde os til hvordan disse tal virker og bliver brugt i teksten. Disse tanker har Heersmink formuleret mere specifikt ud fra Pierces arbejde. Heersmink beskriver at man i stedet for at se på de tre dele som Pierce beskriver et tegn består af, ser på to relationer der udspringer af disse tre dele. De tre dele er objektet der bliver repræsenteret, selve repræsentationen og en persons 33 fortolkning af repræsentationen. Ud fra disse tre dele beskriver Heersmink to relationer, hvor den først er mellem objektet og repræsentationen af dette objekt og den anden relation er så mellem repræsentationen og en persons fortolkning (Heersmink, 2013, s. 473). Vi kan som sagt ikke udtale os om hvordan Cardano forstod , da den tekst vi arbejder med ikke tillader os at drage den slags konklusioner, derfor kan vi ikke beskæftige os med den anden relation. Men vi kan udtale os om den første relation, altså mellem selve objektet og hvordan dette objekt bliver repræsenteret og brugt i teksten. Her skal vi igen pointere at Cardano ikke skrev , men hvilket vi mener, har den store indflydelse på hvordan vi skal analysere det matematiske arbejde, da det er brugen af notationen, der er vigtigt i denne sammenhæng, og ikke notationens egentlige udformning. En anden vigtig detalje vi her vil fremhæve er Heersminks kommentar om at det den funktion et givent objekt spiller i en konkret kontekst der er afgørende for at dette objekt kan kategoriseres som et kognitivt artefakt, hvilket i vores analyse vil svare til et begrebsmæssigt redskab. Der er således to ting vi vil have specielt fokus på i vores analyse: forholdet mellem det objekt der bliver repræsenteret og selve repræsentationen, som det første og det andet er den rolle som objektet spiller i teksten. Vi vil starte med at analysere casen ud fra Pierces begreber, for at se hvilken forståelse det giver af Cardanos arbejde. I Pierces sematik er det mest nærliggende at betragte som et symbol, da det er dannet af forskellige dele der beskriver bestemte størrelser eller operationer, der er defineret gennem regler og ikke igennem repræsentationernes udformning. Men hvis det er et symbol, hvad symbolisere det så? Her kommer vi ind på forholdet mellem selve objektet og repræsentationen af dette objekt, for som vi beskrev i vores afsnit om repræsentation, er en vigtigt forudsætning for at man i Pierces sematik overhovedet kan snakke om tegn, at et givent tegn også bliver tolket som et tegn. I dette tilfælde, hvis man ser som et symbol, er det i Cardanos tekst ikke klart, hvad det så reelt skal symbolisere, derfor er det også tvivlsomt om vi overhovedet kan betragte det som et tegn. Dette er en interessant detalje, da denne repræsentation er kommet til omvendt i forhold til hvordan repræsentationer normalt bliver dannet. Det normale er at en matematiker har en ide om en objekt og så udtænker vedkommende en repræsentation der vil være fordelagtig at bruge i vedkommendes arbejde ud fra bestemte kriterier. Men i Cardanos tilfælde bruger han almindelig tal og notationer, hvor efter han ender med at få en repræsentation af et objekt, han ikke helt ved hvordan han skal håndtere. Så forholdet mellem objektet og repræsentationen, er ikke klar i denne tekst. Men hvordan endte Cardano med at være i denne situation og hvordan kom han igennem med at bruge 34 ? Cardano tog udgangspunkt i en af Euklids sætninger og et problem, som Euklid opstillede og man kan da også se ligheder mellem Cardanos tegning og Euklids opsætning. Men Cardano ændre en betingelse som Euklids satte op, nemlig at man ikke måtte trække et areal fra et mindre areal, så man får et negativt areal, hvilket er præcis det Cardano gør. Hvis man ser på figur 2 af Cardanos original tekst, kan man se at han startede med at bruge geometrien sideløbende med at han regnede med sine tal og symboler. Men han støder ind i problemer da han skal til at tegne et negativt areal og tegne de sider hvor indgår. Men han kommer alligevel igennem fordi han går væk fra at betragte det som et geometrisk bevis, som Euklid fremstillede det, og i stedet for går han over og bruger symbolerne og de gængse regler for symbol manipulation. I det øjeblik han fjerne sig fra det geometriske perspektiv, er han ikke længere bundet op på at han skal kunne tegne det, for at kunne regne på det. Dette perspektiv skifte tillader ham at bruge sin viden om hvordan forskellige matematiske størrelser virker med hinanden, og så ender han faktisk med at komme igennem og få et svar, der løser det spørgsmål han stillede. Ser vi på hvordan Heersmink tænker på en kognitiv artefakt, må vi sige at det passer ret godt i vores case, da det er rollen i en bestemt kontekst, der er afgørende. Det er altså ikke nødvendigt om kan betegnes som et symbol eller ej, det er den rolle det spiller i Cardanos tekst, der er afgørende. Vi synes godt vi kan kategorisere den rolle som spiller i Cardanos tekst som et begrebsmæssigt redskab, da Cardano, idet han bruger det som en selvstændig størrelse, der ikke er bundet op på en geometrisk figur, kommer igennem hans problem. Hvis man forestiller sig Cardano kun havde forsøgt at løse hans problem ved hjælp af geometri, ville han tidligt være gået i stå da denne type repræsentationer ikke tillader ham at arbejde med negative arealer. Men han kan fjerne sig fra geometrien, fordi han har en anden type repræsentationer, der gør han kan arbejde videre med hans problem og dermed komme uden om det problem, han ellers havde ovre i geometrien. Så fordi i denne tekst bliver brugt til at flytte et problem fra en forståelses ramme over i anden, hvor det er muligt at løse det givne problem, mener vi at fungerer som et begrebsmæssigt redskab, da Cardano formentlig ikke ville have kunne løses dette problem, hvis han ikke havde lavet dette skift. Da vi nu har argumenteret for at fungere som et begrebsmæssigt redskab i tekste, vil vi benytte vores to begrebspar til at diskutere, hvilket rolle mere specielt har i teksten. I teksten beskæftiger Cardano sig med et problem, som mange matematikere i hans samtid beskæftigede sig med, og Cardano faktisk var i stand til at løse dette problem ved hjælp af hans brug af , hvilket var en af de ting, vi karakteriserede de forklarende artefakter som. Så ud fra dette synspunkt kunne man anse brugen af som forklarende. 35 Omvendt kunne man indvende at Cardano, for at kunne komme med en løsning til et givent problem, måtte anvende noget matematik der ikke var beskrevet entydigt på hans tid, hvilket er en af karakteristikkerne ved de fordybende artefakter. For Cardano bevægede jo sig ud i noget matematik, hvor han faktisk ikke vidste om de operationer han foretog sig havde nogen som helst gyldighed, selv om det sådan set passede til sidst, hvilket han ikke havde nogen garanti for. Vi kommer her til en spændende diskussion af vores analyse af Cardanos arbejde og vores egen forståelse af vores to begreber, forklarende og fordybende. For vi kan jo med vores nutidsøjne godt se at Cardano bevægede sig ud i det, vi senere ville kalde komplekse tal og som vi med vores historie viden ved, ikke var grundigt beskrevet og defineret i hans samtid. Så har han jo teknisk set bevæget sig uden for sine matematiske rammer og opdaget, at den etablerede matematik på nogle punkter, ikke var dækkende. Men spørgsmålet er om han selv havde den opfattelse af situationen? Fik han en oplevelse af at tæppet blev hevet væk under ham og at han pludselig havde fundet en måde at se nye matematiske objekter og strukturer eller var det bare en smart løsning til et problem han beskæftigede sig med. Noget tale for at det er det sidste, der er tilfældet, da man kan læse at Cardano til sidst siger at hans svar er raffineret, men ubrugeligt. Cardano skriver: ”… hucusque progreditur Arithmetica cuius hoc extremum ut dixi adeo est subtile ut fit inutile”, hvilket kan oversættes til noget i retning af: ”… thus far, as we said, this is an arithmetical progresses so subtle that it becomes unusable”. Dette tyder på at Cardano så hans resultat mere som en matematisk spidsfindighed end en egentlig opdagelse af et hidtil forholdsvis beskrevet matematisk objekt. Hvilket tyder på at Cardano ikke har følt at tæppet blev hevet væk under ham og at han var på helt nyt og ukendt land, hvilket gør vi ikke mener vi kan sige det er fordybende. Så spørgsmålet er man vi skal karakterisere begrebsmæssige artefakter efter vores forståelse af dem eller efter hvordan de blev forstået i deres samtid. Vi har valgt at gøre det sidste, da vi ikke mener vi med rette kan trække en flere hundrede års matematisk udvikling ind i vores analyse af en bestemt case. Så vi mener at Cardanos brug af i hans arbejde fungere som et forklarende begrebsmæssigt redskab, da det tillader ham at se bort fra en ellers umulig problemstilling og komme frem til et svar. Ser vi på vores sidste begrebspar, må vi sige at dette redskab virker terminerende både i Cardanos egen tekst og i tiden efter. Det mener vi fordi, Cardano som sagt ser hans resultat som en matematisk spidsfindighed og ikke som en egentlig opdagelse, og derfor har han tilsyneladende heller ikke gået videre i dybden med det. Som vi har beskrevet i vores historiske baggrund, var problemstillinger som dem Cardano beskæftigede sig med ikke ukendte på denne tid og flere matematikere ville de efterfølgende år beskæftige 36 sig med kvadratet af negative tal. Men som vi har læst litteraturen udsprang der ikke et væld af forsknings, fra Cardanos egen side, som respons på hans arbejde i dette specifikke (Katz, 2009). Så afrundende ville vi altså mene at Cardanos brug af fungerer som et forklarende terminerende begrebsmæssigt redskab, da det løser en problemstilling der ikke kunne løses før, uden at afføde yderligere spørgsmål. 37 Wallis Historisk baggrund I 16. hundredtallet var matematikken stadig bundet meget op på den græske matematik der byggede på den geometriske fremstilling, hvor det hele gerne skulle kunne tegnes. Det der gjorde det svært for forståelsen af de imaginære tal var, at det ikke var muligt at forklare dem med den geometriske fremstilling. Det var ikke muligt at tegne en fremstilling af kvadratroden af et negativt tal. Det gjorde at de imaginære tal var svære at acceptere. Leonhard Euler (1707-1783) skrev i hans værk Algebra ”All such expressions as , , etc., are consequently impossible or imaginary numbers, since they represent roots of negative quantities; and of such numbers we may truly assert that they are neither nothing, nor greater than nothing, nor less than nothing, which necessarily constitutes them imaginary or impossible.” (Nahin, 1998)Så de imaginære tal forblev svære at forstå i lang tid. Hvordan skal man forstå en størrelse som ikke er ingenting, men heller ikke er mindre eller større end ingenting. Det gør de imaginære tal til imaginære eller umulige. Det var ikke den del af ud trykket, der handlede om kvadratroden der var problemet, for kvadratroden af et positivt tal, var ikke besværlig at forstå på samme måde. Rent geometrisk kunne man få en forståelse for kvadratroden af positive tal. René Descartes (1596-1650) viste i sit værk La Geometrie fra 1637 hvordan man kunne se en generel fremvisning af en geometrisk fremstilling af kvadratroden af et positivt tal. I den geometriske fremstilling starter man med at kigge på den rette linje længde der svare til og man vil gerne finde den . Figur 9 – Linjestykket Man starter med at forlænge linjen hvor til man vil finde kvadratroden af længden til punktet F. Længden er en enhedslængde med længden 1. Linjestykket kan nu beregnes til at have længden Linjestykket deles nu i midtpunktet K. Man kan nu konstruerer en halvcirkel og med radius , se Figur 9. med centrum i K . I punktet G laver man en ret linje der er vinkelret på linjestykket i punktet I. Linjestykket . Linjestykket skærer halvcirklen vil også svare til radius i halvcirklen, se Figur 10. 38 Figur 10 – Geometrisk fremstilling af kvadratroden af linjestykket . svarer til linjestykket Man kan nu se at det må gælde at (9) Ud over det gælder der også følgende (10) Hvis vi nu bruger pytagoras sætning på den trekant, der opstår mellem punkerne I, K og G får man (11) 39 Det vil sige at linjestykket (IG) svarer til længden af , se Figur 10. Så ud fra det kan man se, at man kan rent geometrisk kan få en forståelse for, hvad kvadratroden af et positivt tal er. Descartes viste desuden, at han kunne tegne sig frem til en anden grads lignings løsninger, hvis den havde reelle løsninger. I Figur 11 kan man se Descartes geometriske konstruktion med begge positive løsninger til , hvor både a og b2 er positive. Figur 11 – Descartes geometriske konstruktion til at finde de positive rødder i en andengradsligning Descartes skrev til sin konstruktion ” And if the circle described about N and passing through L neither cuts nor touches the line MQR, the equation has no root [real root, is what Descartes should have said], and so we may say that the construction of the problem is impossible [my emphasis]” (Nahin, 1998). En løsning til ligningen diskriminanten findes altså kun, hvis En algebraisk løsning ville kræve, at Dette stemmer helt overens med John Wallis (1616-1703) troede på at man kunne lave en konstruktion der kunne lave en repræsentation af kvadratroden af et negativt tal. Lige som mange matematikere i det 1600-1700 tallet arbejdede Wallis med integrations regning og grænseværdier. Ud over det kom han med hans berømte produkt formel til at bestemme π. Han kom frem til at π kunne regnes på følgende måde (Katz, 2009) 40 (12) Ud over at finde en måde at beregne π på arbejdede han også med imaginære tal og hvordan man kunne lave en konstruktion der kunne repræsentere dem, som vi skal se. Kildeteksten Udnævnelsen som professor i geometri ved universitetet i Oxford i 1649, markerer starten på en intens matematisk aktivitet for Wallis, som munder ud i offentliggørelsen, af hans afhandling om algebra i 1685, en vigtig undersøgelse af ligninger, hvor han forudsiger de imaginære tal ( a + b√ (- 1), hvor a og b er reelle tal). (Encyclopædia Britannica, 2014) For at forstår Wallis konkrete matematiske praksis, betragtes de fire eksempler fra (Lützen & Ramskov, 1999, s. 76-80). Wallis betragter de reelle tal som linjestykker på et tallinje, og den positive eller negative fortegn forstårs som linjestykkets retning. Desuden betragter Wallis de negative tal, som tal som har en helt klar fysisk fortolkning i virkeligheden og han udnytter positive og negative tal og deres forhold til hinanden. Figur 12 - Skitse for eksempel 1 I sin første eksempel antag Wallis at en person rykker frem fem meter fra A til B og derefter han trækker sig to meter tilbage fra B til C. I alt er personen rykket tre meter i løbet at hele turen, set i forhold til punktet A, på grund at . Men hvis personen rykker 5 meter frem til B, og derefter trækker sig 8 meter tilbage til D, er personen rykket frem meter, i forhold til punktet A, endnu engang på grund af . Det vil sige at personen har rykkes sig 3 meter mindre frem end ingen ting. Wallis benytter tallinjen for at introducerer positive og negative tal, da han i det andet eksempel konkludere at personen er rykket 3 meter mindre frem end ingenting. Et begreb som denne gang var uforståeligt. 41 Dette give ikke rigtig mening på dette tidspunkt, fordi der ikke kan være noget, som er mindre end ingenting og Wallis antag at linjen forlænges bagud fra punkt A og punktet D markeres 3 meter bagud for A. På denne mod vil personen rykket sig -3 meter fremad, eller at i D er personen 3 meter bagud i forhold til der han var i A. Så +3 betyder 3 meter fremad og -3 betyder 3 meter bagud, langs den samme rette linje. Hvis man kun betragter den reale tallinje, hvor de reelle positive tal er placeret til højre for nul, og de negative tal er placeret til venstre for nul, er manden gået 3 meter mindre end nul! Wallis bruger tallinjen som et redskab, som giver mulighed for at forklare algebraisk det fysiske eksempel han betragter. I eksempel 1 (Figur 12) betragter Wallis først et positiv afstand (+3) på tallinjen, og bruger tallinjens negative retning, for at introducere og argumentere for et negative tal (-3) og dens algebraisk fortolkning i den reel eksempel fra den virkelige verden. I de næste to eksempler (eksempel 3 og 4) forsøger Wallis at give en geometrisk tolkning af de positive og negative tal, baseret på den Euklidisk geometri som var kendt på dette tidspunkt. Wallis antager at de ting der gælder for en linje også gælder for et plan. For at forstår Wallis ræsonnement, skal det nævnes at en engelsk acre er lig med et areal der længden 40 perches og 4 bredden perches, hvor 1 peach er en gammel engelsk måleenhed der varierer lidt i længde men er omkring 6 meter lang. Dermed vil 10 acres svarer til 1600 kvadrat perches. Hvis arealet skrives som et kvadrat, ville de 1600 perches have en sidelængde på +40 perches (eller -40 perches), fordi begge tal ganget med sig selv giver 1600. I eksempel 3 antag Wallis at hvis et sted man får 30 acres og et andet sted mister 20 acres, vil man kunne forklare at i alt har man fået: +10 acres (fordi ), altså et kvadrat der har sider med længden 40 perches (eller -40 perches). Denne længde kan man ment finde ved at side Men hvis vi et andet sted mistes 20 acres til, vil man i alt miste: mindre end ingenting. Hvis vi nu prøver at finde sidernes længde af det kvadrat får vi acres, 10 acres , som ikke kan løses. Men som Wallis skriver ”But now (supposing this Negative Plain, −1600 Perches, to be in the form of a Square;) must not this Supposed Square be supposed to have a Side? And if so, What shall this Side be? We cannot say it is 40, nor that it is −40. (Because either of these Multiplyed into itself, will make +1600; not −1600).” (Nahin, 1998). Skal et negativt areal ikke have en sidelængde. Hvis den skal kan den sidelængde ikke være +40 eller -40, da de begge giver 1600 hvis de bliver ganget med sig selv. Siderne vil i stedet være eller Tegnet . refererer i dette tilfælde til en geometrisk gennemsnit mellem en positiv og en negativ værdi. 42 Det geometriske gennemsnit kan forstås rent geometrisk. Det geometriske gennemsnit af to tal, b og c, er den længde siderne vil have i et kvadrat som har samme areal som rektanglet med sidelængde b og c. Det udregnes på følgende måde . refererer til et geometrisk gennemsnit mellem to positive værdier, henholdsvis +b og +c, eller to negative værdier, henholdsvis –b og –c (som via multiplikation giver en positiv værdi). Derfor må referere til et geometrisk gennemsnit mellem en positiv værdi og en negativ værdi (+b og –c, eller –b og +c, hvilket ganget med hinanden give –bc). Denne algebraiske tankegang er grundidéen for imaginære, negative kvadratrødder, og Wallis prøver at argumentere geometrisk for både de positive og de negative kvadratrødder. For at forstår Wallis argumentation, skal man betragte sætningen for et punkts potens, når punktet ligger uden for cirklen, (Rosenkilde, 2015). Dette er en version af Euklids sætninger om et punkts potens med hensyn til en cirkel. Figur 13 - Sætning om et punkts potens (Rosenkilde, 2015) Betragt et punkt P som er uden for cirklen, og en vilkårlig linje gennem P som skærer cirklen i punkterne A og B. Ved at tegne tangenten til cirklen gennem P og at notere rørringspunktet med Q, er P’s potens med hensyn til cirklen, se Figur 13. Vi betragter Wallis eksempel (Figur 14). Wallis benytter et trekant APC, et punkt B på grundlinjen AC, hvor AC er diameteren i et cirkel. Ved at benytte den samme metafor med bevægelse på tallinjen, betragter Wallis at hvis man rykker frem fra A til B, , og fra B rykker frem til C, , så har man i alt fra A til C rykket sig . Højden PB i det retvinklet trekant APC( P=90 ), findes ved hjælp af de to ligedannede trekanter . 43 Derfor er: . Wallis konkludere at geometrisk fortolkes PB som højden i trekanten APC og svarer algebraisk til . Figur 14 - Geometrisk fortolkning af √(+b∙c) I den næste eksempel (Figur 15), benytter Wallis den samme tankegang for at forklare geometrisk proportionaliteten mellem – b og . Wallis antag at man trækker sig tilbage fra A til B, I alt fra til , og derefter rykker frem fra har man rykket til , . . Ved at betragte sætningen for et punkt potens (Figur 13) giver: (13) Nu bliver stykket en af kateterne i den retvinklede trekant ( PO=90 ), hvor O er origo for cirklen med diameter AC. Lige som i sidste eksempel (Figur 14), forsøger man at beregne stykket PB, som i denne eksempel repræsenteres geometrisk som tangenten i punktet P , til cirklen med diameter AC, og dermed forklare algebraisk, tallet . 44 Figur 15 - Skitse for eksempel 4. Geometrisk fortolkning for √(-b∙c) Nu har vi Wallis forklaring til , Hvor den positive løsning vil give en geometrisk forklaring på højden PB, mens den negative forklaring vil give tangenten, til punktet P der hører til buestykket AP. Wallis var selv ikke helt glad for denne forklaring, men det en hjælp iforhold til at komme videre til en anden fremstilling af imaginære tal (Nahin, 1998). I de næste eksempler (eksempel 5) betragter Wallis linjen og en trekant som ligger på stykket AC. I eksempel 5 han antag at AP=20, PC=12 og PB=15 se Figur 16. Ved hjælp af Pythagora sætningen beregner stykket AB. Figur 16 - Skitse for eksempel 5 Ved at benytte Pythagoras sætning i de to retviklede trekanter : =90 , fås at : 45 =90 og (14) AC giver √256 = 16 eller -16, alt afhængigt af om vi tager den positive eller negativ rod og dermed giver Wallis en tvetydig længde af segmentet AB. Hvis : giver stykket AB , følgende værdier: Hvis : giver stykket AB , følgende værdier: Wallis konkluderer at i dette tilfælde , lige meget i hvilken retning man bevæger sig på tallinjen, dvs. man rykker frem på linjen , og vælges den affirmative løsning +16 eller man rykker tilbage på linjen og vælges den negative løsning -16, vil punktet B befinde sig på linjen Og med den samme regnemetode , fortsatter Wallis med eksempel 6, men ligger desværre ikke op til noget revolutionerende. Eksempel 6 Wallis Betragter linjen og en trekant som ligger på stykket AC. Antag at AP=15, PC=12 og PB=20 og stykket AB skal beregnes, se Figur 17. Figur 17 - Skitse for eksempel 6 Ved at benytte Pythagoras sætning i de to retviklede trekanter : =90 og =90 , fås at : (15) 46 På samme måde som i eksempel 4, fås at: Hvis : giver stykket AB , følgende værdier: Hvis : giver stykket AB , følgende værdier : Som kan ses i denne eksempel, giver stykket AB de samme værdier , men modsætte tegn. Også i eksempel 6, er punktet B fundet på linjen AC, enten som affirmativ(positiv) eller negativ løsning som svarer til at man er rykket frem eller tilbage på linjen AC. Og Wallis konkludere at alle kvadratiske ligninger af denne type, giver reelle løsninger (både positive, både negative, en positive og en negative, eller en negative og en positive). I eksempel 7 betragter Wallis en ”umulig” situation og forsøge ar give en mystisk forklaring for negative tal (imaginære tal) Han betragt en trekant som ligger på stykket AC (Figur 18 tv) og antag at AP=20, PC=15 og PB=12 og stykket AB skal beregnes. Figur 18 - Skitse for eksempel 7 Ved at benytte den same tankegang som i eksempel 5, beregnes stykket kvadraten af PC(225) udfra kvadraten af PB (144) , fås at . Når man subtrahere . Kvadraten af BC , lige som i eksempel 5, er differencen mellem kvadraten af PB og PC, dog med minus tegn. Dette minus tegn kan foklares , hvis man tage i betrægning at stykket PC antages i starten , at være 15 og trekanten PBC med retvinklen i C. Regnestykket viser at PC har en mindre værdi og at trekaten PBC har retvinklen i B. Stykket AB beregnes til at være : 47 (16) I forhold til eksempel 5, giver resultatet af beregningen af stykket AB kvadraten af en netativ tal, og dette løsning er algebraisk umulig idet kvadratiske ligninger giver relle løsninger (selvom man har positive og negative løsningen), når de ganges sammen, får ikke en negativ kvadrat. Man kan konkludere at dette umulig algebraisk løsning opnås på grund at man betragter forkert den geometriske løsning : derfor punktet B kan ikke betragtes at være på linjen AC, ved at rykke frem eller tilbage fra punkt A! Ved at betragte Figur 18 th, kan man se, at de to punkter A og B ikke befinder sig på samme linje, men i samme plan. I første eksempel lå punktet B på linjen AC,men i den sidste eksempel er linjen BB løftet over linjen og derfor kan punktet B kan ikke findes på linjen AC, og beregnes som i forregående eksempel. Dette er den geometriske forklaring af kvadratiske ligninger med ikke reelle (imaginære) løsninger. Wallis introducere de imaginære tal ved at betragte en imaginære situation som svarer til at punktet B ikke længere ligger på linjen AC , men i planen, dvs. den negative tal findes ikke på grundlinjen af trekanten, men ud i planen. Men han forklarer ikke rigtigt hvad forskellen mellem de to tegninger i Figur 18, dvs. hvad bliver trekanten til i Figur 18(tegningen til højre) I virkligheden tage det mere end 100 år før de komplekse tal blev forklaret ordenlidt geometrisk. Casper Wessel (1745-1818) betragtet de komplekse tal som punkter i planet, hvor de vandrette og lodrette retninger er den reele og imaginære retninger (Nahin, 1998). Men uden tvivl var Wallis meget tæt på at forklare geometrisk de imaginære tal og i dag , kun historikere husker Wallis arbejde med komplekse geometri numre (Nahin, 1998). Analyse af Wallis Vi skal huske på at lige som i vores case med Cardano var der stadig ikke samme forstårelse for imaginære tal som vi har i dag. De imaginære tal var stadig en svær størrelse at forstå, da man ikke havde en algebraisk og geometrisk forklaring af dem. Wallis prøvede at skabe en algebraisk og geometrisk forståelse af de imaginære tal. Da vi ikke kan vide, hvordan Wallis selv så på de imaginære tal, forholder vi os til det han skriver og hvordan han fremstiller dem i sin tekst. Det vi vil lægge vægt på i analysen er Wallis brug af den tal linjen, som han bevæge sig frem og tilbage på i starten af hans tekst Figur 1 . Det er tallinjen der gør det muligt for Wallis at komme med en nu forklaring på de imaginære tal. Og det er tallinjen, der lægger til grund for alle hans eksempler. Ved at lave tallinjen korrespondere til noget fysisk, nemlig det med at bevæge sig frem og tilbage på en tallinje, kan Wallis give 48 en fysisk forklaing på tal der er mindre end nul. Repræsentatioinen for tallinjen passer med et ikon. Tallinjen representerer et objekt der ikke eksisterende i geometrisk forstand. Det specielle er at den peger på noget vi ikke ved hvad er (Pierce C. S., 1998, s. 291). Ifølge Normans begrebsapparat er tallinjen et passivt artefakt, idet han bruger tallinjen for at bestemme et negativ eller positiv afstand, alt afhængig hvilken situation han betragter, og at Wallis skal selv afkode hvad de negative arealer betyder geometrisk og algebraisk. Tallinjen har også en systemisk vinkling, fordi Wallis forstår tallinjen og hvordan han skal benytte den, og er i stand til løse opgaven, som for Wallis var at give en fortolkning af negative tal. Og dette er mere Wallis eller selve tallinjen kunne forklare hver for sig. Ifølge overflade-indre begrebssættet, er tallinjen en overflade artefakt, fordi at for at afkode informationen, som fremkommer ved at benytte tallinjen, skal man bare aflæse tallene som står på den. Så tallinjen er en passiv oveflade artefakt. Vi vil nu undersøge om vi kan betragte Wallis tallinje, som et begrebsmessigt redskab. Vi mener godt at det kan betegnes som et begrebsmessigt redskab, da Wallis ikke ville kunne lave sine antagelser hvis han ikke begynder at gå frem og tilbage på tal linjen. Han bruger det på en ny måde der gør det muligt at komme med nogen nye antagelser, der ikke havde været muligt før. Da vi nu mener at tal linjen fungerer som et begrebsmessigt redskab, vil vi nu benytte vores to begrebspar til at se hvilken rolle tallinjen har haft i teksten. Da vi ser på teksten ud fra den samtid den er skrevet i, er det ikke vores nutidige forståelse af imaginære tal vi skal forhode os til, men derimod den samtid som Wallis skrev det i. Sammenlignet med med vores begrebpar, kan Wallis tallinje virke som et forklarende redskab, idet tallinjen hjælpe med at løse og forklare de imaginære tal og dets geometrisk fortolkning. Tal linjen kunne også godt fungerer som en fordybende redskab, da han ud fra tal linjen kan konstruerere de imaginære tal som tal i planen i stedet for på en linje. Denne konstruktion giver en ny indsigt i strukturen af forståelsen af tal og imaginære tals opbygning. Den giver der ved en dybere forståelse af noget matematik, som der ikke har været en god forståese af på det tidspunkt. Så ud fra det ville Wallis tallinje kunne fungerere som en fordybende kognitiv artefakt. Da vi lægger mest vægt på at det er en forbydende forståelse af strukturen af tal og imaginære tal der kommer ud af Wallis tallinje, mener vi at det er et fordybende redskab frem for et forklarende redskab. I forhold til vores anden del af vores begrebspar, vil tal linjen være en terminator. Tal linjen åbner ikke op for andere måder at løse imaginære problemer på, rent matematisk, man bruger stadig de samme regler som før tal linjen blev lavet. Det tal linjen gør er at den kommer med en ny fortolkning af de imaginære tal, 49 det vil sige at den løser en opgave bedre end før, men at forklare hvordan man skal forstå de imaginære tal. Hvilket er grunden til at den passer ned i en terminerende kategori. Så Wallis tal linje er bedste med vores begrebspar fordybende og terminator. 50 Minkowskis gitter Dette besøg i en matematikers værksted handler om, hvordan Hermann Minkowski arbejder med kvadratiske former og via indførelsen af et gitter gik fra talteori til talgeometri, og endte med at grundlægge konveksitetsbegrebet. Besøget i Minkowskis værksted afviger fra besøgene hos Wallis og Cardano på mange måder. Dels kigger vi på en større produktion hos Minkowski end hos de to andre. Dels er der flere værker fra andre matematikere, der er relevante af inddrage. Vores indgang til gitteret har være (Kjeldsen, 2009), der handler om, hvordan begrebet ”ægformer” blev til begrebet ”konvekse legemer”, og hvorfor det var Hermann Minkowski og ikke hans samtidige, Karl Hermann Brunn, der havde succes med at etablere et nyt matematisk begreb. En af artiklens pointer er, at hvor Brunn tog udgangspunkt i ægformen som noget fysisk, så var Minkowskis ægformer udsprunget af matematikken, nemlig hans arbejder med at forstå kvadratiske former. Vi starter med at præsenterere Minkowskis gitter og de tilhørende resultater i en moderniseret form, inden vi går til hans samtid og den matematik, hans resultater opstod i. En moderne version Minkowski arbejdede med positivt definitte kvadratiske former i n variable. De kvadratiske former har formen: (17) De positivt definitte er den delmænge af formerne, hvor der gælder, at (18) Minimumsproblemet for positivt definitte kvadratiske former går ud på at finde den mindste værdi af for heltallige værdier af Fjernes heltalsbindingen, så er minimumsværdien lig den mindste egenværdi for den kvadratiske matrix. Ved heltalsbindingen bliver man nødt til at afsøge nogle heltalsværdier. Denne søgeproces har et omfang af størrelsen Det todimensionelle tilfælde I to dimensioner udtrykkes kvadratiske former som følger: 51 (18) (Gauss, 1831) introducerer en geometriske tilgang til problemet ved at indføre polære koordinater. Minkowski tager udgangspunkt i Gauss’ metode, hvorved gitteret konstrueres som et polært koordinatsystem med en afstand på mellem gitterlinjerne på førsteaksen og afstanden mellem gitterlinjerne på andenaksen. Vinklen ϕ mellem de to akser er givet ved (19) Nedstående figur fra Kjeldsen (2009) illustrerer et sådant gitter, hvor de to fede streger angiver et gitterfelt for funktionen . Figur 19 - Et gitter, der svarer til den binære kvadratiske form Gitterpunkterne er der, hvor gitterlinjerne mødes. For denne kvadratiske form er minimumsværdien For heltallige og ud af anden-aksen. findes i gitret ved at gå (Kjeldsen, 2009, s. 97) gitter-linjer ud af første-aksen og gitter-linjer vil da være kvadratet på afstanden mellem origo og det fundne gitterpunkt, hvor afstanden skal måles i det underliggende retvinklede koordinatsystem. Niveaukurverne for den kvadratiske form vil være cirkler i det retvinklede koordinatsystem. Cirklen i figuren ovenfor repræsenter således =1. 52 Der er således tre gode grunde til at introducerer gitteret. 1) For heltallige værdier af og ville man alligevel lave afsøgningen i et gitter og afsøgt de 8 kantpunkter. 2) er nem at aflæse i gitteret, fordi den er kvadratet på afstanden i mellem punktet og origo. 3) De cirkulære niveaukurver gør, at man ikke behøver at beregne funktionsværdien for alle kantpunkterne, fordi niveauerne er meget tydelige. På figuren ovenfor er der således kun 4 af de otte kantpunkter, der er interessante, og man kan med det samme se, at de har samme funktionsværdi Inden vi går videre, laver vi to alternative beviser for påstanden om, at funktionsværdien er kvadratet på afstanden til origo. Pointen med de to beviser er at illustrere de mange valg og derfor mange veje, man nødvendigvis står over for, når man gøre matematik. Bevis 1 - koordinatsystemstilgang: I gitret afbildes de retvinklede koordinater over i det polære koordinater I det retvinklede koordinatsystem har det polære punkt koordinaterne . Kvadratafstanden til origo er (20) hvilket giver det ønskede resultat. Bevis 2 – ved hjælp af Synthetic Geometry, og derfor mere klassisk ren: Resultatet kan også findes ved at bruge cosinus-relationerne, idet kvadratet på afstanden til origo er givet ved (21) hvilket igen giver det ønskede resultat. 53 Jagten på minimumsværdien i to dimensioner Gitteret består af en masse enheds-parallelogrammer med sidelængder og vinkel som anført ovenfor. Parallelogrammets ene diagonal er givet via dens kvadrat: (22) Den anden diagonals kvadrat, her kaldet , findes ved cosinusrelationen: (23) Inspektion af gittertegningen viser, at vi også kunne have fundet (24) Det ses, at og I det todimensionelle tilfælde bliver minimumsværdien for således den mindste af de 4 værdier og det vil sige den mindste af og , Denne minimumsværdi vil vi kalde I eksemplet, som er afbildet i figuren ovenfor, har vi at , hvorfor (25) , , Hvorved mindsteværdien, Vi kan finde et øvre bånd på er 1. ved at bruge parallelogrammets areal som reference. Arealet er givet ved: (26) Hvis der i alle gitterpunkter placeres et kvadrat med midtpunkt i gitterpunktet og sidelængden , så vil disse kvadrater ikke kunne dække hele fladen, da jo er den mindste afstand mellem to gitterpunkter. Derfor må . , hvorfor I eksemplet knyttet til figuren ovenfor ville vi få 54 Det generelle tilfælde I den generelle form ser kvadratformen således ud: (27) hvor matricen i midten er en symmetrisk matrice. Man kan for øvrigt vise, at hvis matricen ikke var symmetrisk, så kunne man erstatte den med gennemsnittet af matricen og dens transponerede, og få samme resultat. Denne nye matrix ville være symmetrisk, så det giver ikke tab af generalitet at antage, at matricen er symmetrisk. I det todimensionelle tilfælde behandlet ovenfor bliver formen: (28) Lad nu betegne determinanten for matricen. Det giver: (29) hvorved arealet af det grundlæggende parallelogram i gitteret bliver Det todimensionelle tilfælde præsenterede Minkowski til sin Habilizationsforelæsning i marts 1887. Senere samme år valgte Minkowski ved sin prøveforelæsning at lave en endnu skarpere bestemmelse af minimumsværdien i 3 dimensioner ved at anvende kugler med centrum i gitterpunkterne til at bestemme minimumsværdierne. Volumen, , af en kugle med centrum i et gitterpunkt og radius = er givet ved (30) Udfordringen med kugler er, at forskriften for rumfanget er forskellig for lige og ulige dimensioner, og Minkowski bruger derfor også en approksimation (Minkowski, 1891, s. 292) via gammafunktionen for at tage hånd om det. Det har ingen betydning for fortællingen, men gør vurderingen af minimumsværdien lidt løsere end ved den eksakte metode. I det n-dimensionale tilfælde vender Minkowski tilbage til at gennemføre beviser ved hjælp af ndimensionale terninger med midtpunkt i gitterpunkterne. Han sætter sidelængden til . Med denne sidelængde bliver afstanden fra gitterpunktet ud til et hjørne i terningen terningerne ikke overlapper hinanden. Denne tilnærmelse giver kvadratiske forms determinant. Dette sidste udtryk kan omskrives til 55 hvorved hvor er den At hans resultat er en forbedring af det eksisterende ses ved sammenligne med Hermites resultat, nemlig at (31) Figur 20 viser de tre beregningsmåder i sammen graf. Til og med det strammeste bånd. For er det Hermites metode, der giver ses, at kuglerne strammer mere end kasserne, men begge metoder er stadig ringere end Hermites metode. Tabel 1 illustrerer også forskellen på de tre tilnærmelser. I tabellen er den bedste tilnærmelse fremhævet med en understregning. Hermites metode er bedre en Minkowskis kasser op til , hvor efter kasser tager over. Kasserne er dog intet steds bedre end Minkowskis sfærer. Sfærerne bliver dog slået af Hermites metode til og med . Hermites metode er bedst for lave dimensioner, hvor en inspektion af gunstige gitterpunkter er en overkommelig mulighed. Til gengæld er beregningsformen for sfærerne ganske uskøn. Faktor foran Minkowski Hermite Dimension Kasse Sfære 2 1.15 2 1.27 3 1.33 3 1.54 4 1.54 4 1.80 5 1.78 5 2.06 8 2.74 8 2.82 9 3.16 9 2.45 10 3.65 10 2.32 11 4.21 11 2.97 22 20.50 22 23 23.68 23 Tabel 1: Både Hermites og Minkowskis to beregningsmetoder er et produkt mellem en faktor og den n-te rod af den kvadratiske forms determinant. Tabellen angiver denne faktor som funktion af n. Den mindste værdi af faktoren er understreget (egen produktion). 56 Figur 20 - Grafen viser lidt af forløbet af de tre metoder (egen produktion) 57 I Minkowskis værksted Ifølge Schwermer (2007) blev Hermann Minkowski født i 1864 i en by i det vi i det kender som Lithauen. Hans familie flyttede til Königsberg i 1872. Minkowski tog i studentereksamen foråret 1880, men allerede inden havde universitetet i Königsberg allerede hørt om denne begavede elev, der havde stor interesse for talteori og af egen drift havde kastet sig over Dirichlets værker. Minkowski starter med at læse matematik på universitetet i Königsberg umiddelbart efter gymnasiet. Efter blot et år på universitet udskriver det franske videnskabernes akademi en prisopgave. Figur 21– (Charve, 1881, s. 622) Opgaven tog udgangspunkt i Eisensteins ”conjectures” fra 1847, der handlede om repræsentationer af et givet heltal som en sum af fem heltalskvadrater. Minkowskis besvarelse på prisopgaven, indleveret inden hans selv fyldte 18, vandt konkurrencen og Minkowski havde dermed slået sit navn som matematiker fast. En revideret udgave af prisopgaven publiceres i akademiets tidsskrift i 1884. Minkowski afsluttede universitetet i 1885 og gik i gang med at kvalificere sig til at blive universitetslærer. Hans forskning havde i den periode fokus på kvadratiske former. Et centralt tema er reducerede former. For at finde en reduceret form foretages en lineær transformation af de oprindelige variable på en sådan måde, at matricen for den transformerede form bliver en diagonalmatrix. Transformationen foretages således, at diagonalelementerne er sorteret fra mindst til størst når man bevæger sig ned gennem diagonalen. Derved bliver mindsteværdien for den kvadratiske form lig med elementet Det kræver en vis systematik, at finde den rette transformation. I (Minkowski, Zur Theorie der positive quadratischen Formen, 1887) gennemfører Minkowski øvelsen for n=6: 58 Figur 22 - (Minkowski, 1887, s. 202) Noget nedslående konstaterer han, at denne metode ikke kan bruges for højere dimensioner. Hans arbejde har tætte referencer til og udgangspunkt i Dirichlets og Hermites arbejder, hvorfor repræsentation og reduktion af kvadratiske former står centralt. Han ser i artiklen på 6-dimensionelle former. Her bliver der undersøgt determinanter og underdeterminanter. Der arbejdes med diagonalisering af matricerne og numerisk ordning af elementerne i den diagonaliserede matrice. Vi vender derfor kort blikket mod tre af de hovednavne, han læner sig op ad. Gauss, Dirichlet og Hermite Allerede i 1831 havde Gauss (Gauss, 1831) vist, at man kan bruge et gitter til at analysere 3-dimensionelle (ternære) kvadratiske former: 59 Figur 23 - (Gauss, 1831, s. 1075) Dirichlet (Dirichlet, 1850) kombinerede dette med egenskaberne ved reducerede former til en analyse af det 2-dimensionelle tilfælde. Hans gitter fra artiklen er her: Figur 24 - (Dirichlet, 1850, s. 228) Hans reducerede kvadratisk form er givet ved der , og og , og . I gitteret er . På grund af, at han arbejder med en reduceret form, så ved han yderligere, at . Dirichlet bruger disse uligheder til at vise, at diagonalen er længere end hver af de to sider og han definerer begrebet ”Ein reducirtes Grundparallelogramm”. Med udgangspunkt i egenskaberne for et sådant parallelogram gennemfører Dirchlet en analyse af, hvordan minimumsværdierne bestemmes både i to og tre dimensioner. I hans analyse konstruerer hans først centre (græske bogstaver på figuren) for omskrevne cirkler til de 6 halvparallelogrammer nærmest origo. Dernæst finder han radius for den omskrevne cirkel til den derved dannede sekskant. Kvadratet på radius giver en nedre grænse for værdien af den kvadratiske form. Den udviklede algoritme kræver, at man med 60 udgangspunkt i egenskaberne for reducerede parallelogrammer inspicerer de seks halvparallelogrammer, hvilket givet et sæt af ligninger, der skal løses med hensyn til alle fortegns specialtilfældene. Hermite (Hermite, 1850) adresserer det samme minimumsproblem, men via differential- og integralbetragtninger. Det ses let, at der for kvadratiske former gælder, at (32) Hans påstand er, at man kan finde så , hvor er determinanten for den kvadratiske form: Figur 25 - (Hermite, 1850, s. 263) På trods af 9 siders tætskrevne beregninger, kommer han ikke helt i mål: Figur 26 - (Hermite, 1850, s. 277) Han siger, at han forventer hans metoder til at finde de heltallige værdier kan gøres mere præcis. Hans tilgang til beviset er vel i virkeligheden ikke velegnet til at se på heltal. 61 Minkowski og gitteret Minkowski havde ganske tidligt fokus på gitteret. I (Schwermer, 2007) er der en faksimile af en af Minkowskis håndskrevne noter fra 20. maj 1884, hvor gitteret er tegnet for det todimensionelle tilfælde: Figur 27 - (Schwermer, 2007, s. 498) Hans anvendelser af gitteret bliver dog først publiceret i 1891 (Minkowski, 1891), hvor Minkowski indfører en n-dimensionel mangfoldighed (Minkowski, 1891, s. 282).I Hilberts (Hilbert, 1911) samling af Minkowskis arbejder er denne artikel den første i anden del ”Zur Geometrie der Zahlen”. Den store revolution er ikke så meget gitteret, men mere, at netop ved indførelsen af det n-dimensionale rum, så giver det ikke længere mening af fastholde fokus på determinanter, underdeterminater eller størrelsen på diagonalelementerne. Det er da også i denne artikel, at Minkowski finder sine formler for minimumsværdien. Det første resultat præsenteres sådan her: Figur 28 - (Minkowski, 1891, s. 291) 62 Referencerne er således til Hermite, men han fortæller ikke, hvor stor n skal være, før Minkowskis tilnærmelse er bedre en Hermites. De to udtryk ligner hinanden, men Minkowskis har den styrke, at det tager udgangspunkt i heltallige betragtninger, nemlig gitterpunkterne. Måske har han alligevel været usikker på, om hans metode ville give ham anderkendelse, når nu hans approximation ikke var bedre for alle n. I alt fald fortsætter han: Figur 29 - (Minkowski, Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, 1891, s. 291) Dette er starten på beviset, hvor han bruger kugler i stedet for kasser. Da det som sagt er besværligt at ændre dimension i en kugleformel laver han det lidt råt, og stiller læsere i udsigt, at der vil komme en endnu bedre approximation fra hans hånd. Senere samme år, nemlig i årsberetningen fra Deutschen Mathematiker-Vereinung (Minkowski, 1891) beretter Minkowski, at hans forskning for tiden drejer sig om ikke-konkave legemer placeret i gitteret, og at der i det retvinklede gitter gælder, at den maksimale størrelse, et sådan legeme kan have uden at ramme andre gitterpunkter, er 23. I 1893 præsenterer han et papir i Chicago, hvor fokus nu er stråleafstand i gitteret. Det er disse stråler, der fører frem til hans konveksitetsbegreb. Her slutter vores fortælling om Minkowski og gitteret, for det har nemlig skiftet status hos Minkowski fra at være et redskab til at være forskningsobjekt. Analyse af Gitteret Det ser ud som om, at Gauss introducerede gitteret for at repræsentere de kvadratiske former. I Heersminks taksonomi er repræsentationen her et ikon, fordi det netop svarer til et landkort over en kvadratisk form. Det er også et ikon hos Pierce, men her i form at et billede, fordi korrespondancen til den kvadratiske form ikke er abstrakt. Repræsentationen hos Gauss har to helt centrale styrker: 1) Gitterpunkterne repræsenterer netop de heltallige værdi af variablene, og 2) Funktionsværdien i et gitterpunkt får en geometrisk fortolkning, nemlig som kvadratet på afstanden mellem origo og gitterpunktet. 63 I forhold til vores kategorier er rollen for gitteret forklarende, idet gitteret forklar den kvadratiske form. Dirichlet går videre end Gauss, idet han ikke længere blot taler om reducerede kvadratiske former, men nu også om reducerede parallelogrammer, hvor gitterbenene er sorteret i stigende længde, og ingen diagonaler er mindre end nogen af gitterbenene. Dirichlet bliver i stand til at erkende nyt i forhold til reducerede former. Denne indsigt giver ham en algoritme til at en reduktion, der fører frem til en vurdering af den kvadratiske forms middelværdi. Gitteret har hos Dirichlet ikke ændret status i forhold til Heersminks taksonomi. I forhold til Pierce er det sket i lille skift, idet gitteret nu tydeligt er et diagram, hvor man kan udtale sig om egenskaber ved kvadratiske former. I forhold til vores begrebsapparat er rollen nu fordybende, fordi han får større indsigt i reducerede former. Ydermere giver gitteret, eller rettere hans geometriske overvejelser over gitteret, ham en indsigt, så han kan lave en mere generel formulering af løsningen på minimumsproblemet, der på simpel vis anvender de oprindelige koefficienter fra den kvadratiske form. Gitteret vil her i vores forstand have rollen som genererende, idet det gav ham mulighed for at adressere minimumsproblemet uden at skulle afsøge alle minimumskandidaterne. Hos Minkowski virker det som om gitteret installeres som en nødvendighed. Han konstaterer, at den omstændelige metode med at reducere kvadratiske former virker ikke fra . Udover Minkowskis talteoretiske diskussioner, så løfter han sig fra diagrammerne, og går nærmest tilbage til billederne igen, fordi han ikke bruger gitteret til at udtale sig om den kvadratiske form, men alene om den kvadratiske forms mindsteværdi. Gitteret får hos ham først rollen som fordybende, fordi det giver ham mulighed for at analysere kvadratiske former i højere dimensioner. Men fordi han flytter fokus væk fra de reducerede former, får gitteret rollen som generator. Minkowski kigger på to geometriske former i gitteret, kasser og kugler. Kuglerne er de mest naturlige at se på, fordi deres overflade repræsenterer niveaukurver for de kvadratiske former. Kuglerne er også kernen i strålemålene, der senere dannede grundlaget for konveksitetsbegrebet. På den anden side, så var det kasserne, der gav gitterpunktsætningen, som var hans første resultat, hvor gitteret var forskningsobjektet. Heldigvis brugte han både kugler og kasser. Ingen af taksonomierne, hverken hos Pierce, Heersmink eller os, fanger Minkowskis frigørelse fra fokus på de reducerede former. Vores har dog en rem af huden, idet gitteret i sin rolle som generator, en status Dirichlet havde givet det 30-40 år før Minkowski, netop kom til at virke genererende. 64 Diskussion I Cardano casen installerer Cardano , eller rettere R2 m: 15. Denne repræsentation er ikke designet, men nærmere en beskrivelse af en mulig løsning til det analyserede problem. Løsningen her følger blot den sædvanlige syntaks for løsninger til problemer af den type. I Peirce’s taksonomi ligner det et symbol, fordi det via en lovmæssighed – her beregningsalgoritmen beskriver en løsning til problemet, men da det ingen mening giver, holder klassificeringen ikke. Det repræsenterer løsningen på et problem, så det kunne måske være et indeks, men her volder det ukendte også problemer. Vi må derfor bruge laveste kategori og karakterisere det som et ikon – et skribl. Men måske er det heller ikke engang det, for Peirce fordrer at tegn opleves som tegn for at kunne være tegn. Og det ved vi ikke, om Cardano gør. Det virker nærmest som om, , er noget, der falder ud af problem- løsningsprocessen. Og er skrevet på et sprog, Cardano ikke forstår. Med de kognitive artefakters perspektiv, idet løser opgaven med at huske, hvad konsekvensen var af at bruge løsningsalgoritmen på det oprindelige problem. På den måde kan de siges at have de egenskaber, som en løsning skal have. Det er lige før, man kan kalde det en effektiv artefakt. Ingen ved, hvad værdien er, men det er det bedste bud på en løsning til problemet. Problemet henstår derfor ikke længere uløst. De begrebsmæssige redskaber vil umiddelbart karakterisere som have en forklarende rolle, idet vi nu, da geometrien er kommet til kort, alligevel kan forklare løsningen. En ufattelige forklaring, men stadig en forklaring. Der er også en snert af den fordybende rolle i det, fordi Cardano nu kan pege på ny matematik uden for geometriens område. får ikke en genererende rolle, fordi Cardano selv betegner det som ganske raffineret, men ubrugeligt. Matematikkens binding til geometri bliver for stor. I Wallis’ tilfælde er præmissen, at de imaginære tal stadig er umulige. Med ved at lade tallinjen korrespondere til noget fysisk, nemlig bevægelse frem og tilbage, bliver det tydeligt, at det giver fysisk mening at tale om elementer til venstre for nul. Selvom tallinjen har denne tætte korrespondence til noget, så kan den næppe siges at være et indeks, fordi den ikke indekserer matematik, men fysik. Repræsentationen er derfor et ikon. Tallinjen fremstår som et passivt artefakt, idet Wallis bruger tallinjen til at give en fortolkning til negative arealer. Hos Wallis for tallinjen også en systemisk vinkel, fordi Wallis forstår tallinjen og hvordan han skal arbejde med den. I forhold til vores begrebsapparat er den lidt sværere at placere. Den er forklarende i den forstand at den viser, hvordan man trækker et større tal fra et mindre, og derved giver plads og berettigelse til de imaginære tal. Men den er sandelig også fordybende, netop fordi den giver muligheden for at trække et større tal fra et mindre. 65 I casen om Minkowskis gitter er der tre, der bruger gitteret: Gauss, Dirichlet og Minkowski. Vi så, at Dirchlet arbejdede med at forstå, hvordan kvadratiske former og gitterbillede hang sammen. Gitteret bliver et indeks for den kvadratiske form. Minkowski ender egentlig med at træde et skridt tilbage i forhold ti Dirichlet, idet han nedtoner det indekserende og nøjes med diagrammet, der ligger i repræsentationskategorien ikoner. Som konceptuel artefakt betragtet, så er der den væsentlige afvigelse fra de to første cases, at både Gauss, Dirichlet og Minkowski må have været fuldt bevidste om, hvad gitteret repræsenterede. I gitteret kunne man gøre den kvadratiske form, hvilket gør gitteret til en repræsentationel artefakt, et index. Når først vinklen og benlængderne er bestemt, så er gitteret et målebånd for den underliggende kvadratiske form, og dermed passiv artefakt. Gitteret skal kalibreres i forhold til den kvadratiske form, det skal programmeres. Det betyder, at målebåndet er meget fleksibelt, hvorved det får karakter af at være en indre artefakt. I vores begrebsapparat starter gitteret som forklarende hos Gauss. Bliver fordybende hos Dirichlet. Og hos Minkowski bliver en generator for ny indsigt. I de to første cases med Cardono og Wallis udfordres repræsentationstankegangen af, at de næppe har været klar over, hvad der egentlig blev repræsenteret. I disse to cases bliver repræsentationen en pladsholder for en (imaginær) løsning på et problem. I gittercasen er situationen noget anderledes, fordi Gauss er helt skarp på, at gitteret repræsenterer en kvadratisk form, hvorfor repræsentationen bliver et index. Som konceptuelt artefakt er passivt. Det eneste, man kan gøre med det er at kigge på det eller kvadrere det. Tallinjen har mere at byde på, fordi den udover at være passiv, også er en overflade artefakt, og kan aflæses. Gitteret er også passivt, men har den styrke, at når først det er kalibreret, så kan man aflæse kvadratiske former på det. Vores begrebsapparat sigter mod at sige noget om forholdet mellem artefakt og matematiker gennem den rolle, artefaktet får lov at spille. Og det lykkes til dels. Vi ser at i de to første cases har artefakterne to mulige roller, nemlig som forklarende eller som fordybende, alt efter hvor meget det imaginære betyder. I gittercasen, ser vi artefaktet havende tre forskellige roller hos tre matematikere. 66 Konklusion Vi skal selvfølgelig være forsigtige med at overkonkludere, for vi var jo ikke til stede i matematikernes værksted. Vi ved ikke, hvad de vidste, hvad de tænkte, og hvad de gjorde. Vi har alene bygget vores forståelser på nedslag i deres publikationer. Og selv om vi havde læst hele deres produktion, så afspejler deres publikationer kun en del af det underliggende forskningsarbejde, og er ydermere er publikationerne underlagt diverse kodeks for matematisk faglig kommunikation. Vi har med projektet søgt at forstå, hvordan matematikere skaber ny matematisk viden. Til dette formål er det ikke nok at betragte matematikken som noget statisk eller invariant. Vores begrebsapparat giver os mulighed for at diskutere forholdet mellem matematikken og matematikeren, og vi har set, at dette forhold kan have mange former. Vi har i alt fald fundet tre af de fire roller i vores begrebsapparat i analysen af kildeteksterne. Samtidigt må vi erkende, at vores begrebsapparat næppe er fyldestgørende som forklaring på forholdet mellem matematik og matematiker. Vi kunne sikkert have vundet ved at have nærstuderet alle Peirces 66 kategorier. Omvendt har vores begrebsapparat givet mulighed for at diskutere nogle dynamikker, som ikke trådte så tydelige frem i de etablerede perspektiver. 67 Perspektivering Det er svært for os egentlig at fatte, hvor meget geometrien betød for forfatterne til vores kildetekster. Så måske har der været noget på spil, der rækker langt ud over, hvad vores begrebsapparat i analysen kan dække. Noget der handler om mod, om "civil ulydighed" og om mønsterbrydning. For både Cardano og Wallis dristede sig til at gå ud over Euklids geometri, selvom de selv var dybt forankrede i den. Og Minkowski lod talteori være talteori og kastede sig over gitteret. Det er ikke sikkert at et større antal kilder eller matematikere ville have ændret på vores konklusioner, men havde vi haft et fokus på en periode, hvor der var større skriftlig kommunikation mellem matematikerne, som i det 19. århundrede, ville vil kunne få større indsigt i de af deres tanker, der lå ud over det, som var publikationer værdigt. Havde vi haft mere tid kunne det have været interessant at besøge nogle af de værksteder, hvor de matematiske eksperimenter var uden succes. Der kunne vi sikkert have fundet masser af artefakter alligevel. Mere tid ville også have givet os mulighed for at raffinere vores perspektiv og besøge værkstederne en gang til. Det ville også have givet os mulighed for at se på fysiske artefakter, som vi helt har set bort fra i dette projekt. 68 Bibliografi (2015, januar 5). Retrieved januar 5, 2015, from Det kongelige Bibliotek: http://wayback01.kb.dk/wayback/20100504144806/http://www2.kb.dk/elib/mss/skatte/f3_bib/billeder/178_3_9 _b2.htm Carter, J. (2012, Oktober). The role of representations for understanding. NotaePhilosophicae Scientiae Formalis, pp. 135 - 147. Charve, M. (1881). Programme des Prix Annoncee pour l'annees 1881, 1882, 1883 et 1885. Comptes rendus. Dirichlet, J. P. (1850). Über die Reduction der positiven quadratischen Formen in drei unbestimmten ganzen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 40, pp. 209-227. Encyclopædia Britannica, T. E. (2014, 12 31). John Wallis | biography - English mathematician. Retrieved from Encyclopædia Britannica: http://global.britannica.com/EBchecked/topic/634927/John-Wallis Gauss, C. F. (1831). Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: Intersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen usw. Göttisches gelehrte Anziehen (2), pp. 1065-77. Heersmink, R. (2013, Maj 25). A Taxonomy of Cognitive Artifacts: Function,. Review of Philosophy and Psychology, pp. 465-481. Hermite, C. (1850). Extraits des lettres de M. Ch. Hermite á M. Jacobi sur différents objects de la théorie des nombrs. Journal für de reine und angewendte Mathematik 40, pp. 261-315. Hilbert, D. (1911). Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski, Erster Bind. Leipzig und Berlin: B. G. Teubner. Katz, V. J. (2009). A History of Mathematics - An Introduction (3. ed.). Addison-Wesley. Kjeldsen, T. H. (2009). Egg-Forms and Measure Bodies: Different Mathematical Practices in the Early History of the Modern Theory of Convexity. Science in Context 22(1), pp. 85-113. Kjeldsen, T. H. (2011). Hvad er matematik. Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus. Lützen, J., & Ramskov, K. (1999). Kilder til matematikkens historie. Minkowski, H. (1887). Probevorlesung: Über einige Anwendungen der Arithmetik in der Analysis. Gengivet i Schwermer (1991), 84-88. Minkowski, H. (1887). Zur Theorie der positive quadratischen Formen. Journal für de reine und angewendte Mathematik 101, pp. 449-58. Minkowski, H. (1891). Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 107, pp. 278-97. Minkowski, H. (1891). Über Geometrie der Zahlen. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Verein 1, pp. 64-5. 69 Nahin, P. J. (1998). An Imaginary Tale The Story of i the Square Root of Minus One. Norman, D. A. (1993). Things that makes us smart. Addison-Wesley Publishing Company. Pierce, C. S. (1868). On a new List of Categories. Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 7, pp. 287-98. Pierce, C. S. (1932). Collected Papers of Charles Sanders Peirce, bind 2, Elements of Logic. Cambridge, MA: Harvard University Press. Pierce, C. S. (1998). The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings, Bind 2. Indiana University Press. Rosenkilde, K. (2015, Januar). georgmohr.dk. Retrieved Januar 4, 2015, from http://www.georgmohr.dk/tr/tr09geom1u.pdf Schwermer, J. (1991). Räumliche Anschauung und Minima positive definiter quadratischer Forment. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 93, pp. 49–105. Schwermer, J. (2007). Reduction Theory of Quadratic Forms: Towards Räumliche Anschauung in Minkowski’s Early Work. In C. Goldstein, N. Schappacher, & J. Schwermer, The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae (pp. 483–504). Berlin, Heidelberg, New York: Springer. 70
