Eksamen Analyse 1 18. Juni 2015

Comments

Transcription

Eksamen Analyse 1 18. Juni 2015
Københavns Universitet
Prøve ved Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultet
1
Eksamen Analyse 1
18. Juni 2015
Opgavesæt til besvarelse i 4 timer. Sættet består af 4 opgaver og er på 2
sider. Alle sædvanlige hjælpemidler, d.v.s. bøger, notater og computer (uden
tilgang til nettet), kan benyttes. Det er tilladt at skrive med blyant, når blot
skriften er tydeligt læsbar. Det er vigtigt at svarene begrundes.
Opgave 1
Lad p > −1, q ≥ 1, og r ≥ 0.
R1
(a) Vis at integralet 0 (− ln x)r xp dx konvergerer. [Vink: Sammenlign med
xs for passende valgt s.]
R1
R1
q
(− ln x)q−1 xp dx. [Vink: Anvend
(b) Bevis formlen 0 (− ln x)q xp dx = p+1
0
delvis integration, TL s. 430, med u(x) = (− ln x)q og v 0 (x) = xp .]
(c) Vis ved induktion at for alle n = 0, 1, 2, . . . er
Z 1
n!
(− ln x)n xp dx =
.
(p + 1)n+1
0
(1)
Opgave 2
Lad q > 0.
(a) Vis at rækken
P∞
n=0
1
er konvergent.
(qn + 1)n+1
(b) Lad
(
−xq ln x hvis 0 < x ≤ 1
h(x) =
0
hvis x = 0
Vis, at den følgende række er uniformt konvergent for x ∈ [0, 1]:
∞
X
1
(h(x))n .
n!
n=0
(c) Vis, under anvendelse af potensrækken for eksponentialfunktionen samt
ovenstående∗ formel (1), at der gælder:
Z 1
∞
X
1
h(x)
e
dx =
.
(qn + 1)n+1
0
n=0
(∗ Formel (1) kan frit anvendes uanset om man bevist den)
Opgave 3
Vis at der gælder
x2 =
∞
X
(−1)n
π2
+4
cos(nx)
2
3
n
n=1
for alle x ∈ [−π, π]. Er rækken uniformt konvergent?
Til beviset kan man benytte (uden bevis) at funktionen
x2 cos(ax) har stam
funktionen a−3 2ax cos(ax) + (a2 x2 − 2) sin(ax) for alle konstanter a 6= 0.
Opgave 4
(a) Lad k ∈ N og lad (c1 , . . . , ck ) være et sæt af positive tal cj > 0. For
enhver vektor z = (z1 , . . . , zk ) ∈ Ck defineres
kzk = c1 |z1 | + · · · + ck |zk |.
Vis at k · k er en norm på Ck , og bestem c > 0 og C > 0 således at
ckzk∞ ≤ kzk ≤ Ckzk∞
for alle z ∈ E, hvor kzk∞ betegner maksimumsnormen af z.
Lad E P
= B(N, C) være vektorrummet af begrænsede funktioner f : N → C,
og lad ∞
n=1 cn være en konvergent række af positive tal cn > 0. For f ∈ E
defineres
∞
X
kf k =
cn |f (n)|,
(2)
n=1
og med kf ku betegnes den uniforme norm af f .
(b) Vis at k · k er en norm på E, og at der findes en konstant C > 0 således
at
kf k ≤ Ckf ku
for alle f ∈ E.
(c) Vis at der ikke findes nogen konstant c > 0 således at
ckf ku ≤ kf k
for alle f ∈ E.
Lad (an )n∈N være en følge af komplekse tal an ∈ C. For hvert k ∈ N defineres
en funktion gk ∈ E ved
(
an hvis n ≤ k
gk (n) =
0 ellers.
(d) Vis at (gk )k∈NP
er en Cauchy følge i E med hensyn til k · k hvis og kun
hvis rækken ∞
n=1 cn an er absolut konvergent.
2