Föreläsning 5
Transcription
Föreläsning 5
Endimensionell analys (FMAA05) Anders Källén Föreläsning 5 Innehåll: Trigonometriska funktioner Kapitel 8.4, T.3-T.4 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Definition av de trigonometriska funktionerna Satser om trianglar Additionsformlerna De viktiga formlerna för halv och dubbla vinkeln Hjälpvinkelsatsen Att stämma ett piano Epilog: komplex exponentialfunktion bc sin α 2 Bevis: beräkna höjden med hjälp av sinusfunktionen sin α sin β sin γ Sinussatsen: = = a b c Bevis: areasatsen! (alt: dra höjder) Cosinussatsen: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α Bevis: Pythagoras sats 2 gånger + lite algebra Areasatsen: Arean = Exempel Herons formel säger att triangelns area också kan beräknas genom formeln Efter dagens föreläsning måste du kunna - de trigonometriska funktionerna och deras grundläggande egenskaper - formulera och bevisa sinus- och cosinussatserna - additionsformlerna för de trigonometriska funktionerna - Kunna (!!) formlerna för dubbla och halva vinkeln Definition av de trigonometriska funktionerna A= q p( p − a)( p − b)( p − c), a+b+c . 2 Denna härleds ur areasatsen och cosinussatsen men det krävs lite räknande! Additionsformler för cosinus och sinus Betrakta triangeln nedan: a y x tan x sin x p= b 1 x cos x Areasatsen ger Anmärkning Tangens är inte definierad för ±π/2 och är π-periodisk istället för 2π-periodisk som sinus och cosinus är. Anmärkning Om en linje lutar α (radianer) relativt x-axlen, så är dess riktningskoefficient tan α. Anmärkning Röd triangel ≤ cirkelsektor ≤ Rätvinklig triangel (areor) ⇒ x 1 sin x 1 sin x ≤ ≤ tan x ⇔ cos x ≤ ≤ 1. 2 2 2 x Relevant då | x | är litet. Medför att ab sin( x + y) a sin x b sin y = + 2 2 2 ⇔ sin( x + y) = 1 1 sin x + sin y. b a Men a = 1/ cos x, b = 1/ cos y, varför det följer att sin( x + y) = sin x cos y + sin y cos x. Anmärkning Se beviset som en minnesregel! Förutsättningen för beviset (men inte formeln) är att 0 < x, y < π2 . Hur visar vi att sin( x − y) = sin x cos y − sin y cos x sin x → 0 då x → 0. x Samband mellan de trigonometriska funktionerna geometriskt om 0 < x < bevis finns i boken. Självklara samband direkt ur definitionen ovan (VV-fall för triangel) Byter vi x mot 1. cos2 x + sin2 x = 1, sin x 2. tan x = , cos x 1 3. 1 + tan2 x = , cos2 x 4. cos( π2 − x ) = sin x och sin( π2 − x ) = cos x 5. cos( π2 + x ) = − sin x men sin( π2 + x ) = cos x π 2 π 2 ,0 < y < x? (Jfr cosinussatsen.) Ett annat − x och y mot −y följer att cos( x + y) = cos x cos y − sin x sin y. Ur detta får vi sedan tan( x + y) = tan x + tan y . 1 − tan x tan y De viktiga formlerna för halva och dubbla vinkeln Satser om trianglar Sätter vi y = x får vi två mycket viktiga formler: c a β ( sin 2x = 2 cos x sin x cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x. γ α b Här har vi också använt den trigonometriska ettan i de två sista likheterna. Dessa formler måste sitta i ryggmärgen! Ur formeln för cosinus av dubbla vinkeln får man också 2 cos2 x = 1 + cos 2x, 2 sin2 x = 1 − cos 2x, och byter vi här x mot x/2 får vi de lika viktiga formlerna för halva vinkeln: cos2 x = 1 + cos x 2 2 1 − cos x sin2 x = . 2 2 Även de måste sitta i ryggmärgen! Exempel Beräkna sin (Figuren adderar 12 och 13 Hz.) Epilog: komplex exponentialfunktion Denna diskussion tillhör egentligen B2-kursen. Punkter i planet kan också uppfattas som komplexa tal. Komplexa tal innebär att man definierar ett sätt att multiplicera talpar ( x, y): ( x, y) ↔ z = x + iy. Multipliceras med räkneregeln i2 = −1. Man inför eiθ som det komplexa tal som uppkommer om man roterar 1 θ radianer moturs: π 8. Hjälpvinkelsatsen eiθ sin θ Adderar man två svängningar med samma frekvens får man en ny, fasförskjuten, sådan: θ cos θ a sin x + b cos x = A(cos φ sin x + sin φ cos x ) = A sin( x + φ), √ där A = a2 + b2 och vinkeln φ är vald så att (rita figur!) cos φ = a , A sin φ = b . A Klart att eiθ = cos θ + i sin θ. Exempel Hur stor är amplituden och försförskjutningen av cos x + √ 3 sin x? Att stämma ett piano Adderar vi formlerna En rotation θ följt av en annan rotation ω ger en total rotation på θ + ω, så ei(θ +ω ) = eiω eiθ Denna formel är ekvivalent med additionsformlerna ovan för sin x och cos x! Visa det!! sin( x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y. Om z = x + iy istället ligger på cirkeln med radien r kan vi skriva får vi att x + iy = reiθ . sin( x + y) + sin( x − y) = 2 sin x cos y. Skriv nu ( ( x+y = α ⇔ x−y = β x= y= Kallas polär form av komplexa tal, men används också annars på formen ( x, y) = (r cos θ, r sin θ ). α+ β 2 α− β 2 så får vi formeln Notera att r = sin α + sin β = 2 cos Ett mycket viktigare tillämpningsområde för de trigonometriska funktionerna än trianglar är att de beskriver rena svängningar, t.ex. ljud. Funktionen sin ωt beskriver en sådan svängning som får en frekvens f som ges av ω = 2π f (varför?). Exempel Slå ner tangenten för A (440 Hz) och för B (497 Hz) samtidigt på ett piano. Frekvensen f genererar en svängning cos(2π f t), och det vi hör är summan av dessa (sätt deras amplitud till ett): 57 937 t) sin(2π t ). 2 2 Andra faktorn ger tonen 468.5 Hz medan faktorn 2 cos(57πt) fungerar som en tidsbeorende amplitud (svävning). Detta fenomen används till att stämma stränginstrument (skruva tills svävningen försvinner). 2 y 1 t 0.5 −1 −2 1 1.5 2 2.5 x2 + y2 och x är vinkeln ovan. Det kan vara värt att repetera lite komplexa tal redan nu, även om det tillhör andra delkursen, eftersom “många reella upptäckter går genom det komplexa”. α−β α+β sin 2 2 sin(2π440t) + sin(2π497t) = 2 cos(2π p 3