UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Robert Algervik

UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Robert Algervik
Deltenta 1
Envariabelanalys
2013-03-16
Skrivtid: 9-14. Miniräknare är inte tillåten. På baksidan finns ett formelblad. Varje uppgift
ger maximalt 5 poäng och för godkänd deltenta krävs minst 18 poäng. Skriv dina lösningar
så att de blir lätta att följa, och redovisa tydligt hur du har resonerat.
1. Beräkna följande gränsvärden
(a)
x3 + cos x + e−2x
√
x→∞
x2 x2 + 1
lim
(b)
sin x2 − x arctan x
.
x→0
x2 (cos x − 1)
lim
2. Bestäm ekvationen för tangentlinjen i punkten (−2, 1) till kurvan
x ln y −
y2
= 1.
x+y
3. Bestäm de tre första termerna i Taylorutvecklingen till funktionen f (x) = arctan(ln x)
vid x = e.
4. Låt
f (x) =
1 + ln x
.
1 − ln x
Bestäm funktionens definitionsmängd Df och dess invers f −1 (tips: sätt y = f (x) och
lös ut x). Motivera att f är inverterbar.
5. Låt f (x) = 2x3 + ax2 + 1, för a ≥ 0. På vilka intervall är f strängt växande respektive
strängt avtagande? Bevisa att f är inverterbar på hela R om a = 0, men inte om a > 0.
Vad blir (f −1 )0 (3) om a = 0?
6. Undersök funktionen
ex
x
med avseende på asymptoter, lokala extrempunkter och konkavitet. Skissa funktionens
graf.
f (x) =
7. Låt

 sin x
,
f (x) =
x
kx + m,
x>0
x ≤ 0.
(a) Bestäm m så att f blir kontinuerlig i x = 0.
(b) Låt m ha det värde som bestämdes i (a). Beräkna höger- och vänsterderivatan till
f i x = 0. Bestäm k så att f blir deriverbar i x = 0.
8. En behållare består av en cylinder med cirkulär bottenplatta. Materialet som används
till bottenplattan kostar a kr/cm2 och materialet i cylindern b kr/cm2 . Bestäm den
minsta materialkostnaden för behållaren givet att dess volym ska vara V cm3 .
Lycka till!
Trigonometriska formler:
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1
sin2 x =
1
(1 − cos 2x),
2
cos2 x =
1
(1 + cos 2x)
2
Maclaurinutvecklingar:
ex = 1 + x +
sin x = x −
x3
xn
x2
+
+ ··· +
+ O(xn+1 )
2!
3!
n!
x3
x5
x2n+1
+
− · · · + (−1)n
+ O(x2n+3 )
3!
5!
(2n + 1)!
cos x = 1 −
x2
x4
x2n
+
− · · · + (−1)n
+ O(x2n+2 )
2!
4!
(2n)!
ln(1 + x) = x −
arctan x = x −
x2
x3
xn
+
− · · · + (−1)n−1
+ O(xn+1 )
2
3
n
x3
x5
x2n+1
+
− · · · + (−1)n
+ O(x2n+3 )
3
5
2n + 1
(1 + x)α = 1 + αx + α(α − 1)
α n
x3
x2
x + O(xn+1 )
+ α(α − 1)(α − 2) + · · · +
n
2!
3!