Dugga 2 i Algebra

Kurskod: 9GMA01
Provkod: STN2
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Matematik och tillämpad matematik
Dugga 2 i Algebra
2015-11-14 kl 8-12
Inga hjälpmedel är tillåtna.
Lösningarna skall vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna och avslutade med ett
svar. Svaren ska förstås ges på så enkel form som möjligt.
Uppgifterna bedöms med 0-3 poäng. För godkänt betyg räcker 9 poäng. Poängen på godkända
duggor summeras och avgör slutbetyget.
Svar m m finns att hämta på kurshemsidan efter tentamens slut. Resultat meddelas via e-brev.
Lycka till!
√
1. (a) Skriv z = 3 − i 3 på polär form.
2x − 5
2x − 1
(b) För vilka x gäller olikheten
≥
?
x−2
x+2
(1 p)
(2 p)
2. (a) Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt (−3, 2) och som går genom
punkten (2, −1).
(1 p)
(b) Lös ekvationen (2 − y)−1 = 2−1 + y −1 .
(c) Bestäm, med hjälp av kvadratkomplettering, det största värdet av
(1 p)
e8x
e4 ex2
π
π
3. (a) Finn alla reella lösningar till ekvationen cos 3x −
= cos
−x .
5
3
!!
6π
(b) Beräkna arccos cos
.
5
!!
2
.
(c) Beräkna tan arcsin
3
4. (a) Förenkla uttrycket
e2 ln 3 − e− ln 3
.
2 så långt som möjligt.
eln 32 + (e− ln 3 )
1
− ln (1 − x) = ln 2.
(b) Lös ekvationen 2 ln x +
2
√
√
5. Lös ekvationen 3 cos 5v = 3 − sin 5v.
r
x+1
6. Betrakta funktionen f (x) =
. Bestäm, om möjligt, inversen f −1 samt definitions2−x
och värdemängd för f och f −1 .
(1 p)
(1 p)
(1 p)
(1 p)
(1 p)
(2 p)
(3 p)
(3 p)
7. Visa att om a och z är komplexa tal och om |a| < 1 så är
z−a < 1.
|z| < 1 ⇐⇒ 1 − āz (3 p)