Föreläsning 13

Endimensionell analys (FMAA005)
Anders Källén
Föreläsning 12
Innehåll: Deriverbarhet
Som exemplet antyder kan vi också formulera definitionen av deriverbarhet som att funktionen
Kapitel 10.1, 10.2 (till s 216), 10.7
1.
2.
3.
4.
5.
Definitioner
Kontinuerliga funktioner som inte går att derivera någonstans
De grundläggande reglerna för derivation
Implicit derivering
Bevis för räkneregler
k ( a, h) =
är kontinuerlig i h = 0 (a hålls fix).
Anmärkning Om vi kan skriva
f ( a + h) − f ( a) = k ( a, h)h
Efter dagens föreläsning måste du
- kunna de viktigaste derivationsreglerna
- kunna härleda derivatorna för de trigonometriska funktionerna utifrån additionsformlerna för dessa.
- Veta relationen mellan deriverbar och kontinuerlig
- Kunna derivera implicit
där funktionen k ( a, h) är kontinuerlig i h = 0, så säger vi att f är
differentierbar i a. Det är alltså två olika ord för samma sak i endim.
Blir olika flerdim!
Exempel Vi kan alternativt skriva definitionen av derivatansom
f ( x ) − f ( a)
→ f 0 ( a)
x−a
Definitioner
Löst uttryckt gäller att en funktion är kontinuerlig i en punkt om dess
graf “hänger ihop” i den punkten och en funktion är deriverbar i en
punkt om dess graf har en (entydigt bestämd) tangent i motsvarande
punkt.
Vad gäller deriverbarhet ska det alltså finnas en entydigt bestämd
tangent till grafen i punkten ( a, f ( a)). En sådan har ekvationen y −
f ( a) = k( x − a) för någon riktningskoefficient k. Kordan som går
genom ( a, f ( a)) och ( a + h, f ( a + h)) har samma sorts ekvation med
k = ( f ( a + h) − f ( a))/h. Tangentens riktningskoefficient får vi genom
att vi låter h → 0:
f 0 ( a) = lim
h →0
Vi vet från den geometriska summan (se F9) att
x n − an = ( x − a)q( x, a),
f ( a + h) − f ( a)
h
f ( a + h) − f ( a) =
√
a+h−
√
x deriverbar? Vi ser efter:
√
a= √
q( x, a) = x n−1 + ax n−2 + . . . + an−1 .
Men q( x, a) → nan−1 då x → a, så resultet följer nu ur definitionen.
Eftersom k ( a, 0) = f 0 ( a) har vi för små h att
f ( a + h) − f ( a) ≈ k ( a, 0)h = f 0 ( a)h.
existerar, och gränsvärdet kallas då derivatan av f i punkten a.
Exempel Är funktionen f ( x ) =
då x → a.
Låt oss använda den formuleringen för att se att f 0 ( a) = nan−1 om
f ( x ) = x n och n är ett positivt heltal.
Definition En funktion f är deriverbar i en punkt a om
där
f ( a + h) − f ( a)
h
h
√ = k( a, h)h,
a+h+ a
Man inför därför också differentialen d f ( a) som funktionen (av h)
d f ( a)[h] = f 0 ( a)h. Vi kan använda den till att approximera ändringar
i funktionen med.
√
Exempel Vi vill beräkna ett närmevärde till 2 och utgår ifrån x = 1.
√
√
Låt f ( x ) = x som har derivatan f 0 ( x ) = 1/2 x. Vi har då att
√
2 − 1 = f (2) − f (1) = f (1 + 1) − f (1) ≈ f 0 (1) · 1 =
vilket ger oss det nya närmevärdet
1
1
k ( a, h) = √
√ → √ då h → 0
2 a
a+h+ a
Men vi kan gå vidare:
√
förutsatt att a > 0. Men det betyder att f är deriverbar och f 0 ( a) =
1
√
.
2 a
Exempel Är funktionen f ( x ) = sin x deriverbar i en godtycklig
punkt a? Additionsformeln för sinus-funktionen ger
1.52
√
2 ≈ 1.5.
= 2.25, så
2 − 1.5 = f (2) − f (2.25) = f (2.25 − 0.25) − f (2.25)
≈ f 0 (2.25)(−0.25) = −
0.25
1
=− .
2 · 1.5
12
Så vi ser alltså att
√
1
= 1.416....
12
f ( a + h) − f ( a) = sin( a + h) − sin a = sin a cos h + cos a sin h − sin a
2 ≈ 1.5 −
= cos a sin h − sin a(1 − cos h).
Fortsätter vi kan vi få hur bra approximationer som helst.
Anmärkning Detta kallas Newtons metod för ekvationslösning. Vi
√
ska lösa ekvationen f ( x ) = x − 2 = 0 och utgår ifrån ett starvärde (x = 1). Sedan använder vi tangenten för att hitta bättre värden.
Försök att rita upp grafiskt precis hur processen ovan görs med tangenter till grafen y = f ( x ) och övertyga dig om att processen konvergerar (dvs vi får verkligen ett bra närmevärde).
Men vi kan skriva (kontrollera!)
f ( a + h) − f ( a) = k ( a, h)h
där
k ( a, h) = (cos a − sin a
sin h
sin h
)
→ cos a
1 + cos h h
Detta visar att f 0 ( a) = cos a.
1
,
2
då
h → 0.
Vi skriver oftas differentialen som
d f ( a) = f 0 ( a)dx
och den blir då en skillnad i höjdled inte mellan två funktionsvärden
utan två tangentvärden – se figuren nedan där vi också använt beteckningen
∆ f ( a) = f ( a + dx ) − f ( a), a = 2.
3
y
2
dx
x
1
2
3
4
Anmärkning Kedjeregeln är väldigt naturlig vid differentialräkning.
Betrakta funktionen sin( x2 ) som är en sammansatt funktion. Skriv
y = x2 som å ena sidan är en funktion, å andra sidan kan ses som
en ny variabel. När vi differentierar gör vi såhär (en del steg utelämnas med lite vana):
d sin( x2 ) = d sin y = cos ydy = cos( x2 )d( x2 ) = cos( x2 )2xdx.
d f ( a)
∆ f ( a)
1
Anmärkning Formel (iii) i föregående sats bevisas lättast med kedjeregeln: med f (y) = 1/y, som har derivatan −1/y2 , är 1/g( x ) = f ( g( x ))
och alltså derivatan som satsen anger.
5
6
Vi ser att (sin x2 )0 = 2x cos( x2 ), vilket vi naturligtvis får ur kedjeregeln också. Men när vi räknar med differentialer blir det självklart
hur man ska göra - man ska inte kunna glömma den inre derivatan.
7
Exempel Eftersom cos x = sin( π2 − x ) får vi derivatan av cos x direkt
ur kedjeregeln: med y = π2 − x
−1
Anmärkning Om f ( x ) = x gäller att dx [h] = h. Vi kan därför skriva
d f ( a)[h] = f 0 ( a)dx [h] och tar vi bort h från beteckningen har vi på ett
annat sätt motiverat att d f ( a) = f 0 ( a)dx.
Exempel Derivatan f ( x ) = sin x är f 0 ( x ) = cos x, medan dess differential ges av d f ( x ) = cos x dx.
Exempel Bestäm tangent och normal till funktionen f ( x ) = x2 i
punkten (1, 1).
d cos x = d sin y = cos ydy = cos(
π
π
− x )d( − x ) = − sin x.
2
2
Sedan ser vi lätt att
(tan x )0 =


1
cos2 x
1 + tan2 x
.
Lär dig båda uttrycken och hur de hänger ihop!
x2 ,
Grafen till funktionen är y =
vilket betyder att tangenten i punkten är dy = f 0 (1)dx = 2dy, där dy = y − f (1) = y − 1 och dx = x − 1.
Ekvationen för tangenten är därför y − 1 = 2( x − 1), dvs y = 2x − 1.
Normalens ekvation är enligt enpunktsformeln y − 1 = k ( x − 1), där
vi vet att k = −1/ f 0 ( a) = −1/2. Normalens ekvation är därför
y = − x/2 + 3/2.
Kontinuerliga funktioner som inte går att derivera
någonstans
Följande sats är egentligen självklar (varför?):
Sats Om f är differentierbar i a så är den kontinuerlig där.
Formellt bevis: f ( a + h) − f ( a) = k ( a, h)h →
f 0 ( a) · 0
= 0 då h → 0.
Omvändningen gäller inte!!! Ett exempel är f ( x ) = | x | som är kontinuerlig i x = 0 men inte differentierbar där.
En funktion som är kontinuerlig kan vara hur “hackig” som helst och måste vara det om den inte ska vara deriverbar. Illustreras med
von Koch-kurvan (som inte är en funktion).
De grundläggande reglerna för derivation
Implicit derivation
Man kan bestämma ekvationen för tangenten till en kurva f ( x, y) = 0
utan att behöva lösa ut den ena variabel som funktion av den andra.
Följande exempel illustrerar hur.
Exempel Enhetscirkeln ges av ekvationen x2 + y2 = 1, och vi har
sätt att runt en punkt ( a, b) som inte är någon av (±1, 0) kan vi lösa
ut y = φ( x ) (vi har t.o.m. en explicit formel för denna funktion, men
den ignorerar vi). Vi vill beräkna tangentens riktningskoefficient utan
att bestämma φ( x ) (vilket vi i.o.f.s. har gjort). Det kan vi göra genom
att vi vet att x2 + φ( x )2 = 1 för x nära a.
Deriverar vi relationen ovan får vi att 2x + 2φ( x )φ0 ( x ) = 0, vilket
betyder att φ0 ( x ) = − x/φ( x ) nära punkten x = a. I punkten ifråga får vi φ0 ( a) = − a/b (eftersom b = φ( a)) och eftersom detta är
riktningskoefficienten för tangenten ser vi att tangentens ekvation är
y − b = − ba ( x − a) (tangenten i punkten ( a, b), alltså).
Exempel En klotformad ballong blåses upp. Vid en viss tidpunkt
är ballongens radie 8cm och denna växer just då med hastigheten
3
2 cm/s. Med vilken hastighet förändras ballongens volym vid denna
tidpunkt?
(Svaret är 384π cm3 /s.)
... kan ni nog redan:
Sats Om f och g är deriverbara i a gäller att f + g, f g och 1/g är deriverbara i a. Det gäller att
g)0 ( a)
f 0 ( a) + g0 ( a)
(i) ( f +
=
(ii) ( f g)0 ( a) = f 0 ( a) g( a) + f ( a) g0 ( a)
(iii) (1/g)0 ( a) = − g0 ( a)/g( a)2 om g( a) 6= 0
Anmärkning Ur detta följer också en välkänd formel för derivatan av
en kvot. Man måste inte använda den.
Bevisen bygger på att man bildar differenser, vilka skrivs om, så att
man kan “bryta ut” h. Detsamma gäller
Sats (Kedjeregeln) Om g är deriverbar i a och f är deriverbar i b = g( a),
så gäller att ( f ◦ g)( x ) = f ( g( x )) är deriverbar i a med derivatan
( f ◦ g ) 0 ( a ) = f 0 ( b ) g ( a ).
Bevis för räkneregler
Låt oss börjar med att visa hur man visar att produkten är deriverbar
och får formeln för den.
Bevis. Enligt förutsättningarna kan vi skriva f ( a + h) − f ( a) =
k1 ( a, h)h och g( a + h) − g( a) = k2 ( a, h)h där k i ( a, h) är kontinuerlig i
h = 0 (a är ett givet tal). Då gäller att
f ( a + h) g( a + h) − f ( a) g( a) =
g( a + h)( f ( a + h) − f ( a)) + f ( a)( g( a + h) − g( a)) =
( g( a + h)k1 ( a, h) + f ( a)k2 ( a, h))h.
Om vi skriver k ( a, h) = g( a + h)k1 ( a, h) + f ( a)k2 ( a, h) så har vi alltså
att
( f g)( a + h) − ( f g)( a) = k( a, h)h,
där k ( a, h) → g( a)k1 ( a, 0) + f ( a)k2 ( a, 0) = g( a) f 0 ( a) + f ( a) g0 ( a) då
h → 0.
2
Som en ytterligare illustration, låt oss bevisa kedjeregeln.
Bevis. Med samma förutsättningar som i föregående bevis ser vi att
f ( g( a + h)) − f ( g( a)) = f ( g( a) + H ) − f ( g( a)) = k1 ( g( a), H ) H
där H = g( a + h) − g( a) = k2 ( a, h)h. Utskrivet blir högerledet
k1 ( g( a), k2 ( a, h)h)k2 ( a, h)h,
så om vi skriver k ( a, h) = k1 ( g( a), k2 ( a, h)h)k2 ( a, h) så har vi att
f ( g( a + h)) − f ( g( a)) = k( a, h)h.
Men k ( a, h) → k1 ( g( a), 0)k2 ( a, h) = f 0 ( g( a)) g0 ( a).
2
Att fundera på!
Visa att om f är deriverbar i punkten a så gäller att
f 0 ( a) = lim
h →0
f ( a + h) − f ( a − h)
2h.
Om vi istället tog som vår definition av derivata att detta gränsvärde
existerar, skulle då samma funktioner bli deriverbara? (Kan du ge ett
exempel på en funktion som är deriverbar med denna definition, men
inte med den riktiga?)