Cosinussatsen - Iceclimbers.net

Transcription

Cosinussatsen - Iceclimbers.net
5.2 Triangelsatserna
Cossinussatsen
Sinussatsen
𝐴
𝑏
𝑐
β„Ž
𝐡
π‘Ž
π‘Žπ‘ × sin 𝐡 π‘Žπ‘ × sin 𝐢 𝑏𝑐 × sin 𝐴
=
=
2
2
2
×2
π‘Žπ‘ × sin 𝐡 = π‘Žπ‘ × sin 𝐢 = 𝑏𝑐 × sin 𝐴
×
1
π‘Žπ‘π‘
sin 𝐡 sin 𝐢 sin 𝐴
𝑏
𝑐
π‘Ž
=
=
↔
=
=
𝑏
𝑐
π‘Ž
sin 𝐡 sin 𝐢 sin 𝐴
𝐢
Exempel
Martin ska bestämma vinkeln 𝐡 i en triangel ABC där
𝐴 = 103°, 𝐴𝐢 = 32 π‘π‘š och 𝐡𝐢 = 27 π‘π‘š.
Martin slår följande uträkning på räknaren
𝐡 = sinβˆ’1
32 × sin 103°
27
Räknaren svarar med error, vari ligger problemet?
B
27
103°
A
32
C
En käpp i hjulet
Bestäm längden av sidan c i den gröna triangeln.
3,2
𝑐
42°
4
(π‘π‘š)
𝐴
Bestäm storleken av vinklarna A, B och C.
𝐡
sin 𝐡 sin 𝐢 sin 𝐴
𝑏
𝑐
π‘Ž
=
=
↔
=
=
𝑏
𝑐
π‘Ž
sin 𝐡 sin 𝐢 sin 𝐴
6,3
2,7
6,8
𝐢
Cossinussatsen
β–³ 𝐴𝐡𝐷
𝐡
Pythagoras sats ger
𝑐 2 = β„Ž2 + 𝑏 βˆ’ π‘₯
2
π‘Ž
𝑐
β„Ž
𝑐 2 = β„Ž2 + 𝑏2 βˆ’ 2𝑏π‘₯ + π‘₯ 2
𝑐 2 = π‘Ž2 βˆ’ π‘₯ 2 + 𝑏2 βˆ’ 2𝑏π‘₯ + π‘₯ 2
𝐢
𝑐 2 = π‘Ž2 + 𝑏2 βˆ’ 2𝑏π‘₯
𝑐 2 = π‘Ž2 + 𝑏2 βˆ’ 2𝑏 × π‘Ž × cos 𝐢
𝐷
π‘₯
𝑏
β–³ 𝐡𝐢𝐷
Pythagoras sats ger
π‘Ž 2 = π‘₯ 2 + β„Ž2
𝑐 2 = π‘Ž2 + 𝑏2 βˆ’ 2π‘Žπ‘ cos 𝐢
π‘Ž 2 βˆ’ π‘₯ 2 = β„Ž2
π‘₯
cos 𝐢 = ↔ π‘₯ = π‘Ž × cos 𝐢
π‘Ž
𝐴
Exempel
Bestäm längden av sidan c i den gröna triangeln.
(π‘π‘š)
3,2
𝑐
42°
4
𝑐 2 = π‘Ž2 + 𝑏2 βˆ’ 2π‘Žπ‘ cos 𝐢
Exempel
𝐴
Bestäm storleken av vinklarna A, B och C.
6,3
2,7
𝐡
𝑐 2 = π‘Ž2 + 𝑏2 βˆ’ 2π‘Žπ‘ cos 𝐢
(π‘π‘š)
6,8
𝐢
𝑐 2 = π‘Ž2 + 𝑏2 βˆ’ 2π‘Žπ‘ cos 𝐢
Dagens uppgifter
3,9
41°
(π‘π‘š)
π‘₯
4,4
4. Vi har β–³ 𝐴𝐡𝐢 där 𝑐 = 5,4 π‘π‘š, 𝑏 = 7,0 π‘π‘š
och 𝐢 = 43°. Bestäm längden av sidan π‘Ž.
5. Punkterna A, B och C ligger på ytan till en sfär.
1. Beräkna sidan markerad med π‘₯.
π‘Ž) Beräkna vinklarna i β–³ 𝐴𝐡𝐢 och dess area om
den gula vinkeln är 60°.
2. Bestäm vinklarna i triangeln.
𝑏) Beräkna vinklarna i β–³ 𝐴𝐡𝐢 och dess area om
den gula vinkeln är 30°.
𝐡
3,5
2,2
4,0
3. Bestäm vinklarna i den
röda triangeln. Det gråa
strecket delar kubens golv
i två lika stora delar.
Mer uppgifter på s.168-169
𝐴
𝐢