Cosinussatsen - Iceclimbers.net

5.2 Triangelsatserna
Cossinussatsen
Sinussatsen
𝐴
𝑏
𝑐
ℎ
𝐵
𝑎
𝑎𝑐 × sin 𝐵 𝑎𝑏 × sin 𝐶 𝑏𝑐 × sin 𝐴
=
=
2
2
2
×2
𝑎𝑐 × sin 𝐵 = 𝑎𝑏 × sin 𝐶 = 𝑏𝑐 × sin 𝐴
×
1
𝑎𝑏𝑐
sin 𝐵 sin 𝐶 sin 𝐴
𝑏
𝑐
𝑎
=
=
↔
=
=
𝑏
𝑐
𝑎
sin 𝐵 sin 𝐶 sin 𝐴
𝐶
Exempel
Martin ska bestämma vinkeln 𝐵 i en triangel ABC där
𝐴 = 103°, 𝐴𝐶 = 32 𝑐𝑚 och 𝐵𝐶 = 27 𝑐𝑚.
Martin slår följande uträkning på räknaren
𝐵 = sin−1
32 × sin 103°
27
Räknaren svarar med error, vari ligger problemet?
B
27
103°
A
32
C
En käpp i hjulet
Bestäm längden av sidan c i den gröna triangeln.
3,2
𝑐
42°
4
(𝑐𝑚)
𝐴
Bestäm storleken av vinklarna A, B och C.
𝐵
sin 𝐵 sin 𝐶 sin 𝐴
𝑏
𝑐
𝑎
=
=
↔
=
=
𝑏
𝑐
𝑎
sin 𝐵 sin 𝐶 sin 𝐴
6,3
2,7
6,8
𝐶
Cossinussatsen
△ 𝐴𝐵𝐷
𝐵
Pythagoras sats ger
𝑐 2 = ℎ2 + 𝑏 − 𝑥
2
𝑎
𝑐
ℎ
𝑐 2 = ℎ2 + 𝑏2 − 2𝑏𝑥 + 𝑥 2
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑥 2 + 𝑏2 − 2𝑏𝑥 + 𝑥 2
𝐶
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑏𝑥
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑏 × 𝑎 × cos 𝐶
𝐷
𝑥
𝑏
△ 𝐵𝐶𝐷
Pythagoras sats ger
𝑎 2 = 𝑥 2 + ℎ2
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
𝑎 2 − 𝑥 2 = ℎ2
𝑥
cos 𝐶 = ↔ 𝑥 = 𝑎 × cos 𝐶
𝑎
𝐴
Exempel
Bestäm längden av sidan c i den gröna triangeln.
(𝑐𝑚)
3,2
𝑐
42°
4
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
Exempel
𝐴
Bestäm storleken av vinklarna A, B och C.
6,3
2,7
𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
(𝑐𝑚)
6,8
𝐶
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
Dagens uppgifter
3,9
41°
(𝑐𝑚)
𝑥
4,4
4. Vi har △ 𝐴𝐵𝐶 där 𝑐 = 5,4 𝑐𝑚, 𝑏 = 7,0 𝑐𝑚
och 𝐶 = 43°. Bestäm längden av sidan 𝑎.
5. Punkterna A, B och C ligger på ytan till en sfär.
1. Beräkna sidan markerad med 𝑥.
𝑎) Beräkna vinklarna i △ 𝐴𝐵𝐶 och dess area om
den gula vinkeln är 60°.
2. Bestäm vinklarna i triangeln.
𝑏) Beräkna vinklarna i △ 𝐴𝐵𝐶 och dess area om
den gula vinkeln är 30°.
𝐵
3,5
2,2
4,0
3. Bestäm vinklarna i den
röda triangeln. Det gråa
strecket delar kubens golv
i två lika stora delar.
Mer uppgifter på s.168-169
𝐴
𝐶