här

Formelsamling till
Geodetisk och
fotogrammetrisk mätningsoch beräkningsteknik
Version 2015-03-04
Geodetisk och fotogrammetrisk mätnings- och beräkningsteknik
by Lantmäteriet m.fl. is licensed under a
Creative Commons Erkännande-Ickekommersiell-IngaBearbetningar 3.0 Unported License.
1. Jordmodeller
En ellips beskrivs med hjälp av de två axlarna a och b enligt:
X 2 Z2

1
a2 b2
(1.1)
där a är halva storaxeln och b är halva lillaxeln (se Figur 1.1).
Rotataionsellipsoiden beskrivs då enligt:
X 2 Y2 Z2
 2 1
a2
b
(1.2)
där X, Y och Z är givna i ett koordinatsystem med origo i rotataionsellipsoidens (ellipsoidisk
jordmodell) mittpunkt (dvs. ett geocentriskt kartesiskt koordinatsystem, se Figur 1.1).
Figur 1.1. Rotationselliposid med axlarna a och b. X, Y och Z utgör ett geocentriskt kartesiskt
koordinatsystem.
Avplattningen (f) på rotationsellipsoiden är definierat som:
f 
a b
a
(1.3)
Samband för att transformera mellan ett sfäriskt koordinatsystem och ett geocentriskt kartesiskt
koordinatsystem:
X  ( R  hs ) cos  s cos  s
Y  ( R  hs ) cos  s sin  s
(1.4)
Z  ( R  hs ) sin  s
där R är jordradien (kan approximeras till 6 370 000 m), φs är sfärisk latitud, λs är sfärisk
longitud och hs är höjd över sfären.
Omvänt samband defineras enligt:
tan  s 
Y
X
Z
tan  s 
hs 
(1.5)
X 2 Y 2
X 2 Y 2  Z2  R
Sambandet för att transformera mellan ett geografiskt koordinatsystem (latitud (φ) longitud (λ)
och höjd över ellipsoiden (h)) och ett geocentriskt kartesiskt koordinatsystem är:
X  ( N  h) cos  cos 
Y  ( N  h) cos  sin 
(1.6)
Z  ( N (1  e 2 )  h) sin 
där N är tvärkrökningsradien och e är den första excentriciteten. Dessa båda parametrar bestäms
av ellipsoidens form och definieras som:
e2  2 f  f
N
2
a
1  e (sin  )
2
(1.7)
2
Det inversa sambandet mellan kartesiska koordinater och geografiska koordinater ges av
följande formelsamband:
tan  
Y
X
 ae 2 
sin  3
Z  
2 
 1 e 
tan  
3
p   ae 2 cos  
p
h
N
cos 
(1.8)
där
p 
X 2  Y 2 , och
Z
tan  
p 1  e 2
1.1. Avståndsberäkningar
Euklidiskt avstånd:
d E  ( X A  X B ) 2  (YA  YB ) 2  (Z A  Z B ) 2
(1.9)
Sfäriskt avstånd (se beteckningar i Figur 1.2):
d s  R
(1.10)
cos  sin  s , A sin  s , B  cos  s , A cos  s , B cos(s , A  s , B )
(1.11)
där R är jordradien (kan approximeras till 6 370 000 m) och ψ är bågavståndet.
Figur 1.2. Sfäriskt avstånd (ds).
2. Kartprojektioner
Omräkning av sfäriska koordinater till koordinater i Mercator projektionen (N, E):
  
N  R ln  tan  s
 4 2

 

(2.1)
E  Rs
där sfärsik latitud (φs) och sfärisk longitud (λs) anges i radianer.
3. Höjdsystem
För konvertering mellan olika höjdsystem används:
H  hN
(3.1)
h = höjden över ellipsoiden,
H = höjden över geoiden, och
N = geoidhöjd.
Samband mellan höjden över ellipsoiden i SWEREF99, geoidhöjden i SWEN08_RH2000 och
höjden över havet i RH 2000 är:
H RH 2000  hSWEREF 99  N SWEN 08 _ RH 2000
(3.2)
4. Koordinattransformationer
Helmerttransformation (likformig transformation) i två dimensioner ges av (se beteckningar i
Figur 4.1):
 E P   E0 
 E P 
 N    N   mR 2  N  
 P  0
 P
(4.1)
där m är skalfaktorn och R2 är den tvådimensionella rotationsmatrisen.
Figur 4.1. Helmerttransformation.
Den tvådimensionella rotationsmatrisen R2 är en funktion av vridningen α och definieras som:
cos 
R2  
 sin 
 sin  
cos  
(4.2)
Om man använder uttrycket för rotationsmatrisen R2 i formel 4.1 erhålls följande samband för
Helmerttransformationen:
EP  E0  EP m cos   N P m sin 
N P  N0  EP m sin   N P m cos 
(4.3)
5. Mätutrustning
Samband mellan våglängd (λ), utbredningshastighet (c) och frekvens (f) för elektromagnetiska
vågor:

c
f
(5.1)
n
c0
c
(5.2)
Utbredningshastigheten, c, beräknas enligt:
där c0 är ljushastigheten i vacuum (2,99792458108 m/s) och n är brytningsindex.
Längdberäkning med impulsinstrument:
d
c0 t
2n
(5.3)
där t är gångtiden.
Längdberäkning med fasskillnadsmätning:
dN

2


2
(5.4)
där N är antalet hela våglängder och Δλ är den mot fasskillnaden svarande delen av en hel
våglängd.
Givet från fasräknaren är fasskillnaden,  , och den resterande delen av en våglängd som
svarar mot denna fasskillnad blir då:
 


2
(5.5)
Det andra momentet är att bestämma antalet hela våglängder (N). Om vi i ekvation (5.4) sätter
λ/2=U och Δλ/2=R, så får vi:
d  NU  R
(5.6)
U kallas också för enhetslängd och hela antalet hela våglängder kan beräknas om vi mäter
längden med olika frekvenser. Vi får då:
f1: d  N1U1  R1
f 2 : d  N 2 U 2  R2
(5.7)
f n : d  N n U n  Rn
Ekvationssystemet kan lösas genom att välja f1 så att U1 alltid är större än den mätta sträckan. Då
är N1=0 och den första ekvationen är d=R1, och vi har en entydig lösning av sträckan d.
Lösningen begränsas dock av upplösningen i fasmätningen.
6. Mätmetoder
Formeln för en orienterad riktning mellan punkterna A och B lyder:
 AB  arctan(
EB  E A
E
)  arctan(
)
NB  N A
N
(6.1)
där man måste hålla reda på i vilken kvadrant riktningen ligger.
Formeln för avstånd har utseendet:
d AB  ( N B  N A )2  ( EB  EA )2  N 2  E 2
(6.2)
Polär mätning
Koordinatberäkning vid polär mätning sker enligt följande (se Figur 6.1):
N P  N A  d cos(   )
(6.3)
EP  EA  d sin(   )
Bakåtobjekt
B
Inmätt/utsatt detalj
P


d
A
Stationspunkt
Figur 6.1. Polär mätning
Inbindning
Koordinatberäkning vid inbindning med följande förutsättningar (se Figur 6.2):
Givet: NA, EA = koordinater för punkten A
NB, EB = koordinater för punkten B
Mätt: dAP
dBP
= avståndet mellan A och P
= avståndet mellan B och P
Sökt: NP, EP = koordinater för punkten P
Figur 6.2. Inbindning
Beräknas med följande formelsamband:
cos BAP
  d
 d AP  d BP
2  d AB  d AP 
2
2
AB
2

AP = AB + BAP
N P  N A  d AP  cos AP 
(6.4)
E P  E A  d AP  sin AP 
Avvägning
Grundprincipen vid avvägning formuleras som (se Figur 6.3):
B  F  h  h  B  F
(6.5)
Mätriktning
Avläsning
framåt = F
Avläsning
bakåt = B
Höjdskillnad h
Figur 6.3. Grundprincipen vid avvägning.
Trigonometrisk höjdmätning
Den kompletta formeln för trigonometrisk höjdmätning mellan punkterna A och B lyder (se
Figur 6.4):
l 2 sin 2 z  (1  0.14)
H AB  H B  H A  (hi  hs )  l cos z 
(6.6)
2R
där H är höjdskillnad och H i betecknar höjd. Den sista termen är korrektionen för jordkrökning och refraktion. R (jordens krökningsradie) varierar beroende på var man befinner sig på
jorden; i Sverige kan R sättas till 6 390 km.
Signal
hs
l
h  l *cos z
z
hi
B
Instrument
A
Figur 6.4. Trigonometrisk höjdmätning.
6.1 Areaformeln
Arean av en polygon (a) där koordinaterna är kända för begränsningspunkterna och där
begränsningslinjerna mellan punkterna är räta linjer beräknas enligt formeln:
a
1 n
 Ni ( Ei1  Ei1 )
2 i 1
(6.7)
där
Ni = N-koordinat för en brytpunkt på polygonen
Ei = E-koordinat för en brytpunkt på polygonen, och
n är antalet brytpunkter.
Observera att punkterna ska numreras i medsols (medurs) ordning (se Figur 6.5).
Figur 6.5. Punktnumrering vid areaformeln. Observera att sista punkten (här 4) också får
beteckningen noll och att första punkten också får beteckningen n+1 (här 5), där n är antalet
brytpunkter. Detta är ett krav för att indexen i formel 6.6 ska bli korrekta.
7 Mätosäkerhet och minsta kvadratberäknigar
7.1 Mätosäkerhet
Standardosäkerheten i en enskild mätning l i en mätserie är detsamma som standardavvikelsen:
n
n
1
1
2
(
l

l
)

 i
 vi 2
(n  1) i 1
(n  1) i 1
u (l )  uP 
(7.1)
där l är medeltalet
l 
1 n
 li
n i 1
(7.2)
n är antalet mätningar och n  1 antalet överbestämningar. vi benämns förbättring.
Ett viktat medeltal beräknas som:
lP 
n
n
p1l1  p2l2  .....  pnln
  pili /  pi
p1  p2  ....  pn
i 1
i 1
(7.3)
där pi betecknar respektive mätnings vikt. Motsvarigheten till standardavvikelsen benämns
viktsenhetens standardosäkerhet och beräknas enligt:
uP 
1 n
1 n
pi (lP  li )2 
pi vi 2


n  1 i 1
n  1 i 1
(7.4)
ur vilken den enskilda mätningens standardosäkerhet kan beräknas som:
u(li )  uP / pi
(7.5)
Sammanlagd standardosäkerhet är en tillämpning av lagen om fortplantning av mätosäkerhet på
formeln:
x  f (l1 , l2 , l3 ,.....)
(7.6)
uc2 ( xˆ )  c12u 2 (l1 )  c22u 2 (l2 )  c32u 2 (l3 )  .....
(7.7)
Denna ”lag” lyder:
De partiella derivatorna ci 
x
benämns känslighetsfaktorer. Indexet c står för combined.
 li
Tillämpning av fortplantningslagen ger följande formler för beräkning av (det enkla) medeltalets
standardosäkerhet:
u(l )  u(l ) / n  uP / n
(7.8)
och det viktade medeltalets standardosäkerhet:
n
p
(7.9)
U95 ( xˆ )  k95 u( xˆ )
(7.10)
u (lP )  uP /
i 1
i
Utvidgad mätosäkerhet beräknas som:
(för skattningen x̂ ). k95 är täckningsfaktorn och 95 täckningsgraden i %.
7.2
Minsta-kvadratutjämning med matriser
Inversen till en 2*2-matris B beräknas enligt:
1
 b11 b12 
 b22
1

 

b11b22  b21b12  b21
 b21 b22 
b12 

b11 
(7.11)
Observationsekvationerna vid elementutjämning formuleras som:
Axˆ  l  v

 A11


A
 n1
(7.12)
A1m   xˆ1   l1   v1 
     
       
    
Anm 
 xˆm   ln   vn 
där A (n*m) är koefficientmatrisen, som anger sambandet mellan n stycken mätningar l och m
stycken obekanta, som skattas av x̂ . Vektorn v innehåller förbättringarna.
Genom att lösa normalekvationerna:
AT PAxˆ  ATPl
(7.13)
där A T betecknar matrisen A : s transponat, erhålls minsta-kvadratskattningarna:
xˆ  (AT PA)-1 AT Pl
(7.14)
 P11

P

0
(7.15)
P betecknar viktsmatrisen:
0 


Pnn 
som, liksom enhetsmatrisen, är en diagonalmatris, där pi  Pii .
Viktsenhetens standardosäkerhet ges av (jfr 7.4):
uP 
v T Pv
nm
(7.16)
och skattningarnas varians-kovariansmatris av:
 u 2 ( xˆ1 )

Q xˆ  uP2 (A T PA)-1  
 u ( xˆm , xˆ1 )

u ( xˆ1 , xˆm ) 


2
u ( xˆm ) 
(7.17)
Skattningarnas korrelation kan mätas med (jfr 7.23):
ij 
u ( xˆi , xˆ j )
u 2 ( xˆi ) u 2 ( xˆ j )

u ( xˆi , xˆ j )
u ( xˆi ) u ( xˆ j )
(7.18)
och standardosäkerheten för en (linjär) funktion fxˆ av de obekanta ges av:
u 2 (fxˆ )  fQxˆ f T  uP2 f(AT PA)-1 f T
(7.19)
7.3
Regression och korrelation
Linjär regression går ut på att anpassa en rät linje (se Figur 7.1):
y  a  bx
(7.20)
till parvisa mätdata i två serier. Observera att vi här använder matematiska definitioner på x och
y.
y
y = a + bx
a
x
Figur 7.1. Linjär regression
Grundformeln (8.12) ger ekvationssystemet:
1 x1 
 y1   v1 

  aˆ     

  ˆ       
1 x   b   y   v 
n

 n  n
(7.21)
Utifrån detta kan man sedan beräkna skattningarna på parametrarna a och b, osäkerhetsmått etc.
på sedvanligt manér. Det finns dock ett bättre sätt, se nedan.
Kovariansen mellan två mätserier:
n
u ( x, y ) 
 ( x  x )( y  y )
i
i 1
i
(7.22)
n 1
mäter graden av samvariation. Korrelationskoefficienten är en normerad kovarians, ett tal mellan
-1 och +1, som beräknas som (jfr 7.18):
n
 xy 
 ( x  x )( y  y )
i 1
i
i
n
(7.23)
n
 (x  x )  ( y  y)
2
i 1
i
i 1
2
i
Med hjälp av denna storhet kan formeln för linjär regression skrivas om till:
u( y)
(7.24)
y  y   xy
(x  x )
u ( x)
som endast utnyttjar medeltalen ( x , y ), standardavvikelserna ( u( x), u( y) ) samt korrelationskoefficienten  xy . Linjeanpassningen är meningsfull bara om  xy  0, 7 (grov tumregel).
7.4
Jämförelse med terminologi i matematisk statistik
GUM-termer
lagen om fortplantning av mätosäkerhet
medeltalets standardosäkerhet
standardosäkerhet, u( )
standardosäkerhet i kvadrat, u2( )
överbestämningar
Motsvarande traditionella termer
är en tillämpning av Gauss
approximationsformler
medelvärdets standardavvikelse
standardavvikelse
varians
frihetsgrader