Lektionsplanering - Matematik 5 - Kap 1

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I
Inledning
Konkretisering av ämnesplan (länk)
http://www.ioprog.se/public_html/Ämnesplan_Matematik/Struktur_äm
nesplan_matematik/Struktur_ämnesplan_matematik.html
Inledande aktivitet
Introduktion
Kursen kan i princip delas upp i två nästan helt komplementära delar, nämligen
diskret matematik och differentialkalkyl. Det sistnämnda är en påbyggnad på
derivata- och integralköret i Ma4, och behandlas sist.
Första delen blir alltså diskret matematik. Det är inte fråga om något som är
hemligt eller särskilt stillsamt utan snarare ett samlingsnamn för all matematik
som inte inblandar kontinuitet (som t.ex. derivator och integraler gör). En
översikt över delarna inom den diskreta matematiken kan man hitta här.
För att få en känsla för de delar som vi ska behandla i denna kurs kan ni kika på
och lösa följande problem
Kombinatorik
- Hur många olika femkorts pokerhänder finns det?
- Fem personer ska ställa sig i en kö. Hur många olika köer kan dom bilda?
Mängdlära
(Från kursboken.) Vid en gymnasieskola kan eleverna på
naturvetenskapsprogrammet välja att läsa en eller flera av kurserna matematik
5, kemi 2 och fysik 2. 90 elever valde matematik, 82 kemi och 80 fysik. 30 elever
valde matematik och kemi, 36 matematik och fysik, 34 kemi och fysik och 14
valde alla tre kurserna.
a) Hur många valde bara matematik?
b) Hur många valde bara kemi?
c) Hur många valde bara fysik?
d) Hur många av de 200 eleverna valde inte någon kurs?
Grafteori
- Kan du arrangera en promenad över Königsbergs sju broar så att varje bro
passeras exakt en gång?
- Om du får lägga till en bro (var du vill), går det då?
1. Diskret matematik I
- Hur ser man snabbt på ett tal om det är jämnt delbart med 2, 4, 5, 6, 9?
1.1 Kombinatorik
Lådprincipen (sid 8-10)
På engelska heter denna princip Pigeonhole_principle, och i Wikipediaartikeln kan
man läsa mer om denna än vad boken presenterar.
Principen är enkel: Antag att du ska placera 5 (eller fler) föremål i 4 lådor. Då
säger lådprincipen att minst en låda måste innehålla minst två föremål (tänk
igenom denna formulering).
Mer allmänt, om du placerar n+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en
låda innehålla minst två föremål.
Ännu mer allmänt, om du placerar nŊk+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste
minst en låda innehålla minst k+1 föremål. Om inte så hade vi ju haft högst nŊk
föremål, vilket vi ju INTE hade.
Principen är enkel, men det som kan vara knepigt är att bestämma vad som ska
fungera som lådor och vad som ska fungera som föremål. Här krävs rutin/träning
och inte sällan en dos fantasi. Bokens uppgifter sätter inte detta på sin spets, så
om ni vill kan ni fundera på följande problem.
1) Du har n+1 olika heltal från 1 till 2n. Visa att man kan plocka ut två som inte
har någon gemensam faktor.
2) Du har n+1 olika heltal från 1 till 2n. Visa att man kan plocka ut två tal där det
ena delar det andra.
3) Albin spelar minst en tennismatch varje dag under en fyraveckorsperiod men
han spelar högst 40 matcher totalt under denna tid. Visa att det måste finnas en
följd av dagar under vilka Albin spelar exakt 15 matcher.
Lös samtliga uppgifter.
GeoGebra
Multiplikations- och additionsprincipen (sid 11-14)
Antag att en restaurang erbjuder p st förrätter och q stycken varmrätter.
Om du vill välja en förrätt och en varmrätt kan detta göras på pŊq olika sätt
(multiplikationsprincipen).
Om du vill välja en förrätt eller en varmrätt kan detta göras på p+q olika sätt
(additionsprincipen).
Tänk efter så ni är med på detta. Lite slarvigt kan man säga att och ger
multiplikation och eller ger addition.
Lös samtliga uppgifter utom 1130 (deluppgift c har fel i facit och d är barnslig)
och 1132, antingen är frågan felställd, eller är facit fel, eller både och. I 1125 är
rätt svar 260000 (facit har tappat en nolla).
Permutationer (sid 15-18)
En permutation är en "uppräkning" av en mängd objekt i en viss ordning. Att
beräkna antalet permutationer av k element ur en mängd med n element/objekt
bygger på multiplikationsprincipen. Första elementet kan väljas på n sätt, andra
på n−1 sätt osv. till näst sista som kan väljas på n−k+2 sätt och det sista på
n−k+1 sätt (tänk efter varför det inte blir n−k). Därmed får vi antalet
permutationen av k bland n som
P(n,k) = nŊ(n−1)Ŋ…Ŋ(n−k+2)Ŋ(n−k+1) =
!!
!!! !
där n! = 1Ŋ2Ŋ…Ŋ(n−1)Ŋn
som utläses "n fakultet" (n factorial) är en praktisk beteckning.
Ett "klassiskt" problem är att räkna antalet olika sexbokstavsord som man kan
bilda av bokstäverna i ordet ANKFOT. Tydligen handlar det om P(6,6)=6!=720
stycken. Förresten, kan du ange ett riktigt ord som kan bildas förutom ANKFOT
självt?
Lös 1136, 1137b, 1139a, 1141, 1144 och b- och c-uppgifter allt efter behov.
Kombinationer (sid 19-22)
I förra avsnittet räknade vi antalet sätt att ordna k element bland n. En sådan
ordning kallades en permutation. Nu ska vi räkna antalet sätt att från n element
plocka ut k stycken utan ordning. Ett sådant utval kallas en kombination.
Tekniken är att man först räknar antalet permutationer
P(n,k) =
!!
!!! !
Sedan noterar man att det finns k! olika permutationer som ger upphov till samma oordnade utval (t.ex. ger ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) upphov till samma oordnade urval {A,B,C}. Alltså grupperar vi ihop dessa permutationer till samma kombination och får då antalet kombinationer av k element bland n som 𝑛
!(!,!)
!!
C(n,k) =
=
= !! !!! !
!!
𝑘
där
𝑛
utläses "n över k". Inför framtiden kan man också notera att uttrycket
𝑘
𝑛
dyker upp i samband med binomialsatsen och därför ibland kallas
𝑘
binomialkoefficient.
Utöver uppgifterna i boken kan ni fundera på
Hur många femkorts pokerhänder finns det som innehåller
a) ett par (men inget bättre)?
b) ett tvåpar (men inget bättre)?
Lös 1153, 1154, 1155, 1156, 1157. Iofs är dessa ganska triviala så kanske
kanske kan börja direkt med 1159, 1160, 1161 och 1162 som var för och en
kräver lite eftertanke (hur ska man räkna).
GeoGebra
Kommer du ihåg sannolikhetslära? (sid 23-25)
Kombinatorik är såklart nära förknippat med sannolikhetslära. Vill man har reda
på sannolikheten beräknar man ju
P(H) =
!"#!$%# !"##$%&&% !"#$%%
!"!#$# !"#!$%# !"#$%%
och talen i täljare och nämnare är ju kombinatoriska.
Lös samtliga uppgifter, eller i alla fall så pass många att du har kontroll.
Kombinatorik och sannolikhetslära (sid 26-27)
Finns inget att säga om detta mer än att det bygger på förra avsnittet.
Lös samtliga, eller så långt ambition räcker. Det är bra att göra ett antal så man
får vanan inne
Tema
Binomialsatsen (sid 30-34)
Hur man utvecklar (multiplcerar ihop) (x+y)2 är säkert bekant; nämligen enligt
kvadreringsregeln
(x+y)2 = x2+2xy+y2
Binomialsatsen är i princip en formel för att utveckla (x+y)n för ett godtyckligt
positivt heltal n. T.ex. kan man få en kuberingsregel
(x+y)3 =(x+y)(x+y)(x+y)=
3
0
x3 +
3
1
x2 y +
3
2
xy2 +
3
3
y3 .
3
genom att tänka efter på hur
2
många sätt man kan plocka ut två y (och därmed ett x) ur de tre parenteserna.
𝑛
Koefficienten
kallas binomialkoefficient.
𝑘
Man inser att koefficienten framför t.ex. xy2 blir
Ett smidigt sätt att plocka fram binomialkoefficienterna är rekursivt via Pascals
triangel. För att förstå att detta fungerar måste tänka igenom likheten
𝑛
𝑘
=
𝑛−1
𝑛−1
+
𝑘
𝑘−1
vilket boken hjälper till med på sida 31-32. Det kombinatoriska argumentet på
sida 31 är att föredra framför det algebraiska på sida 32.
Lös 1186, 1187, 1188, 1192, 1193, 1194 och eventuellt 1197 (tänk gärna ut
ett kombinatoriskt argument).
1.2 Mängdlära
Mängder - Grundbegrepp (sid 35-38)
Här handlar det mest om att lära sig en del syntax (hur man skriver). Ganska
tråkigt (men nödvändigt) att lära sig. Som kuriosa kan nämnas att vad som
egentligen är en mängd och hur en sådan får defineras är mycket mer intrikat än
boken medger, se t.ex. Barber_paradox.
http://en.wikipedia.org/wiki/Barber_paradox
Lös samtliga uppgifter utom 1203c. c-uppgifterna kan väljas beroende på
ambition och intressse. I 1213 är n=11 det korrekta svaret!
Mängdoperationer (sid 39-40)
Här inför man en sorts "räknesätt" på mängder, nämligen union, snitt, differens
och komplement. Man noterar att för att komplementet ska ha mening måste
grundmängden vara klar, för de övriga är det inte nödvändigt.
Lös samtliga uppgifter, c-uppgiften är inte så svår. I 1227d ska den sista
parentesen sitta efter B:et inte efter C:et.
Venndiagram (sid 41-44)
Eftersom mängder kan ses som påsar med element i kan man tänka sig att
representera dem grafiskt som "plana påsar". Man ritar helt enkelt en mängd som
en cirkel (eller annan sluten kurva) och tänker sig att elementen ligger inuti
cirkel. Ett finare namn för dessa cirklar är Venndiagram (efter John Venn).
Ritar man lämpligt kan man illustrera snitt, unioner, komplement etc.
Lös samtliga uppgifter utom 1233, möjligen kan man göra a-uppgifterna i
huvudet. I 1232 anser boken att t.ex. parallellogrammer inte är parallelltrapetser,
vilket inte är korrekt.
GeoGebra
1.3 Grafteori
Inledning (46-49)
Ordet graf har två olika betydelser inom matematik. Det som ni är vana vid är en
"grafisk bild" kopplad till en funktion, t.ex. grafen till f(x)=x2. Här är det fråga om
något helt annat, en graf är något som byggs upp av noder sammankopplade
med kanter. Man kan se en graf som ett sorts nätverk.
Det klasssika problemet som anses ha givit upphov till grafteorin är Königsbergs
broar som beskrivs på sida 46. På sida 47 är det fråga om att lära sig en del
terminologi (som inte är standard).
Lös samtliga uppgifter. Facit i 1306a stämmer ej utan svaret är "Nej, går ej".
Några klassiska problem (sid 50-53)
Här handlar det om Hamiltoncykler, där det är fråga om att "åka" runt i en graf
så att alla noder passeras en gång innan man är tillbaka där man startade. I 1312
ska man försöka finna Hamiltoncykler. Att visa att sådan finns är enkelt, rita den,
men att visa att sådan inte finns kräver ett bättre argument än "jag kom inte på
någon".
I handelsresandes problem vill man, i en graf med viktade kanter, finna vägen
med minsta kantsumma. För detta finns ingen riktigt bra algoritm (i alla fall har
man inte kommit på någon) utan man nöjer sig med en s.k. girig algoritm där
man varje gång väljer den bästa kanten. Konstruera gärna en graf där denna
algoritm inte leder till optimal cykel.
Lös samtliga uppgifter.
GeoGebra
Träd (sid 54-55)
Detta är ett ganska marginellt avsnitt. Ni behöver känna till vad ett träd är och
Kruskals algoritm, som man kan använda för att koppla ihop noder "på billigaste
sätt". Varför algoritmen fungerar ingår inte i kursen.
Lös 1315, 1317 och eventuellt 1319. Notera att man inte behöver veta något om
kemi i 1319, det handlar egentligen om att konstruera samtilga möjliga träd på n
noder.