Matematik 5 - Kap 4 - Differentialekvationer

Matematik 5 Kap 4 Differerentialekvationer
Inledning
Konkretisering av ämnesplan (länk)
http://www.ioprog.se/public_html/Ämnesplan_Matematik/Struktur_äm
nesplan_matematik/Struktur_ämnesplan_matematik.html
Inledande aktivitet
4.1 Differentialekvationer/inledning
Grundläggande begrepp, differentialekvationer och primitiva funktioner
(sid 176-181)
En differentialekvationer kan sägas vara ett "samband" mellan en funktion och
dess derivator. Att lösa differentialekvationen innebär att finna samtliga
funktioner som uppfyller "sambandet". Ofta kan detta vara svårt att göra exakt,
men i vissa enkla fall (som behandlas i denna kurs) är det möjligt.
Den enklaste differentilaekvatione är av typen
y′(x)=f(x)
där vi alltså söker alla funktioner vars derivata är f(x). Som bekant är lösningen
samtliga primitiva funktioner till f(x). Om F(x) är en speciell primitiv funktion får
man samliga som
y(x)=F(x)+C
I detta avsnitt handlar det just om sådana enklare ekvationer, och det är därmed
i princip en repetition.
Lös 4105, 4106, 4107, 4110, 4111.
Historik
Verifiering av en lösning (sid 182-183)
Inte heller detta bör vålla några större problem, förutsatt att man kan sina
deriveringsregler. Man får förslag på lösningar till olika differentialekvationer och
ska visa om de duger eller i vissa fall bestämma konstanter så de stämmer. Detta
gör man genom att helt enklet derivera förslaget och sätta in i ekvationen.
Lös a-uppgifter efter behov, 4122, 4124, 4126 och eventuellt 4128 och 4130.
4.2 Differentialekvationer av första ordningen
Differentialekvationen y'+ay=0 (sid 184-187)
Dessa differentialekvationer har (efter eventuell omskrivning) utseendet
y′+ay=0.
Ekavtionen är homogen eftersom det står noll i högerledet när alla termer med y
och dess derivator flyttats till vänsterledet. Den är av första ordningen eftersom
det förekommer förstaderivator men inga högre derivator. (Den är dessutom
linjär och med konstanta koefficienter vilket boken underlåter att berätta.)
Genom derivering och insättning inser man att alla funktioner på formen
y = C 𝑒 !!"
löser differentialekvationen. Detta är också samtliga lösningar vilket boken reder
ut på sida 185.
En sak som möjligen kan vålla problem bland uppgifterna är beteckningarna. I
t.ex. uppgift 4207 minns man att
!"
!"
= P′(t) = P′
Sedan får man förstå att det inte är någon skillnad (matematiskt) om funktion
heter P(t) eller y(x).
Om man förutom själva differentialekvationen har ett "villkor", dvs man känner
till ett värde på y eller kanske y', så kan detta användas för att bestämma en
entydig lösningsfunktion till differentialekvationen. Notera lösningsgången, först
bestämmer man samtliga lösningar och sedan använder man villkoret för att
"välja ut" en av dessa.
Lös 4203ab, 4205bc, 4207, 4208, 4209, 4213 och eventuellt 4214.
GeoGebra
Den inhomogena ekvationen y'+ay=f(x) (sid 188-190)
Att differentialekvationen är inhomogen betyder att man kan ha vilken funktion
av x som helst, f(x), i högerledet. Utseendet är alltså, efter eventuell omskrivning
y′+ay=f(x).
En sådan differentialekvation löses i tre steg:
1) Bestäm samtliga lösningar
yh till motsvarande homogena ekvation
y′+ay=0.
Detta behandlades i föregående avsnitt.
2) Bestäm (på någon "vänster") en lösningen
yp till den inhomogena ekvationen
y′+ay=f(x).
Denna lösning kallas ofta partikulärlösning (till differentialekvationen), därför
subindexet p.
3) Samtliga lösningar till den inhomogena ekvationen
y′+ay=f(x)
fås nu genom y=yh+yp. Beviset för att detta verkligen är en lösning och att varje
lösning har denna form finns på sida 188.
Det som kan vara lite knepigt är att hitta en partikulärlösning. I princip ansätter
man något som ser ut som f(x) och ''fixar till''. Se boken och lektionen för
detaljer.
Lös 4218, 4219, 4221, 4222, 4224, 4226 och eventuellt 4227.
GeoGebra
Riktningsfält (sid 192-195)
Många (de flesta) differentialekvationer kan inte lösas exakt, dvs man kan inte
finna ett explicit uttryck för funktionen y. I sådana fall får man nöja sig med
approximativa/numeriska lösningar. Ett sätt att skaffa sig en kvalitativ bild av
differentialekvationen och dess lösningskurvor är att rita riktningsfält. Dessa
underlättar dessutom förståelsen av numeriska metoder, t.ex. Euler stegmetod
(nästa rubrik).
Riktningsfält kan konstrueras till differentialekvationer som kan skrivas
y′=F(x,y)
dvs. där derivatan kan "lösas ut". Det innebär att man i varje punkt i
koordinatplanet kan bestämma hur en lösningskurva ska luta. Ritar man in
sådana lutningar i ett antal punkter så har man alltså ett riktningsfält. Att göra
detta för hand är tråkigt och tidsödande. Använd dator!
Lös 4230c, 4231d, 4233 (visst är det tråkigt att rita riktningsfält för hand, men
en gång kanske man klarar …), 4234, 4237-4241 (men rita inte i boken), 4243
och eventuellt 4244.
GeoGebra
Euler stegmetod (sid 196-197)
Denna är tråkig att beskriva så ni får läsa själva i boken. I princip handlar det om
att stegvis följa riktningsfältet. Boken har inga uppgifter för lösning på detta
avsnitt, så man kan se det som kursivt.
GeoGebra
4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer
Enkla förändringsmodeller. Blandningsproblem. Avsvalning. Fritt fall
med luftmotstånd. Tillväxt med begransningar. (Tillämpningar utan
digitalt hjälpmedel.) (sid 198-205)
Här dyker det upp mer eller mindre realistiska situationer som modelleras med
differentialekvationer, ibland är ekvationen given men oftast ska den ställas upp
utifrån en text. Det finns ingen ny matematik och det är bättre att göra färre
uppgifter ordentligt, så därför glesar vi ut en del.
Lös 4303, 4306, 4309, 4312, 4314, 4316, 4319, 4321, 4324, 4326, 4328.
Lösning med digitala verktyg (sid 206-209)
GeoGebra
Använd GeoGebra för att rita riktningfält och lösningskurvor. Kommandot
"Riktningsfält" ritar just detta och "LösODE" löser differetialekvationer både exakt
och numeriskt.
Lös 4331, 4333 (utan hjälpmedel), 4334, 4336 (även exakt), 4338 (med digitalt
hjälpmedel) och eventuellt 4339 (a och b löses utan hjälpmedel, c med digitalt
hjälpmedel).