Inlämningsuppgifter till 21/2—2003
Transcription
Inlämningsuppgifter till 21/2—2003
Inlämningsuppgifter till 21/2—2003 Lena A. 14,29,40,74,83 Niklas E. 2,25,41,73,84 My E. 19,32,42,72,92 Sandra F. 18,33a,43,71,91 Helena F. 17,33b,44,70,90 Jenny G. 15,34,45,69,89 Zanna H. 14,30,46,68,88 Ninni H. 16,35,47,60,87 Hoda H. 13,25,35,59,86 Henrik K. 3,28,48,61,85 Fredrik L. 12,29,49,62,84 Emma M. 11,24,50,63,83 Miki M. 10,31,51,64,82 André N. 1,23,34,58,75 Jahangir S. 9,31,52,65,81 Helen S. 8,22,39,57,76 Christina S. 7,26,37,56,80 Kristopher S. 6,21,36,55,79 Borislav 5,27,53,66,78 Marinos 4,20,54,67,77 1. Förenkla µ ¶1/2 µ ¶1/4 1 1 − 2 4 2. Skriv om följande uttryck utan rottecken i nämnaren: x+ 1 √ x2 − 1 3. Skriv om utan rottecken i nämnaren och förenkla 1 1 1 1 √ √ +√ √ +√ √ + ... + √ √ n−1+ n 1+ 2 2+ 3 3+ 4 4. Lös 1 x − =1 x−1 x−2 5. Lös x 1 1 + + =1 x+1 x+2 x+3 6. Lös ut x r x−1 =y x+1 7. Lös ekvationen 5+x = √ 7+x 8. Lös √ √ x− x−2 =1 9. Lös ekvationen √ x− x−2 √ =2 x+ x−2 10. Lös ekvationen √ 2x + 7 = x − 4 11. Undersök om följande ekvation har några (reella) lösningar: Om någon uppgift verkar hopplös, tag någon ”närliggande” i stället... √ √ 3 = x−1 x−4− √ x−4 12. Lös ekvationen √ √ 1+x+ 1−x √ √ =2 1+x− 1−x 13. Lös ekvationen |||x + 1| − 2| + 3| = 4 1 Mängder 14. Ett av problemen på det årliga skolmästerskapet i matematik löd så här: I 15-26 avgör om resp. påstående är sant för godtyckliga mängder A,B, C, ... (Som alltid: motivera ditt svar!) ”Bestäm alla värden på a, för vilka ekvationen x2 − |x| + a = 0 har exakt en reell rot.” 15. A ∪ (A ∩ B) = A 16. (A ∪ B) ÂC = (AÂC) ∪ (BÂC) Ett lösningsförslag var följande: 2 2 Vi vet att x = |x| . Därför kan vi betrakta |x|2 − |x| + a = 0. En andragradsekvation med avseende på |x| ! Andragradsekvationer har exakt en rot då och endast då uttrycket under rottecknet i pq-formeln är = 0, i detta fall alltså när 17. A (B ∪ C) = (AÂB) ∪ (AÂC) 18. A (B ∪ C) = (AÂB) ÂC 19. A (B ∪ C) = (AÂB) ∩ (AÂC) 20. (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = B 21. (AÂB) ∪ (BÂA) = A ∪ B a = 1/4 22. (A ∪ B) ÂC ⊆ A Ett helt annat förslag var följande: 23. A ∪ C = B ∪ C =⇒ A = B Antag att x0 är en rot. Då är det klart att även −x0 är en rot. Skall ekvationen ha exakt en rot, så måste dessa två sammanfalla, d.v.s. x0 = 0. Men x = 0 är en rot då och endast då 24. A ∩ C = B ∩ C =⇒ A = B 25. ½ A∪C =B∪C =⇒ A = B A∩C =B∩C 26. Här låter vi P (A) beteckna mängden av alla delmängder till A, den s.k. potensmängden till A. a=0 Nå, hur skall det vara ? P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B) 27. Låt A och B vara två mängder. Vad säger nedanstående utsaga ? Hitta enkel formulering med ord! ∀x : (x ∈ A =⇒ x ∈ B) 28. För vilka mängder A och B gäller AÂB = BÂA ? 29. Ett av flera alternativa beteckningssätt för komplementet till en mängd A är A. Förenkla (A ∪ B) ∩ C ∪ B Tips: De Morgans lagar. 30. Alla barn i en skola spelar fotboll och/eller handboll. Var sjunde fotbollsspelare spelar också handboll och var nionde handbollsspelare spelar också fotboll. Vilka är flest: handbollsspelarna eller fotbollsspelarna? 31. Hur många av talen 1, 2, 3, ..., 1000 är (a) delbara med 5 ? (b) delbara med 7 ? (c) inte delbara med vare sig 5 eller 7 ? 2 Logik 36. En mängd M av reella tal kallas 32. Du ser en elev lösa en ekvation så här: • uppåt begränsad, omm det finns något tal b, ej nödvändigtvis tillhörande M, sådant att 2 (x − 1) = 15 (x − 1) x − 1 = 15 x = 16 x ≤ b för alla x ∈ M • nedåt begränsad, omm det finns något tal b, ej nödvändigtvis tillhörande M, sådant att Din kommentar? Om man skall sätta ut ekvivalens- / implikationspilar mellan ekvationerna, hur skall det se ut? x ≥ b för alla x ∈ M • begränsad, omm den är såväl uppåt som nedåt begränsad. 33. För var och en av följande utsagor, avgör om den är en tautologi (d.v.s. alltid sann, oavsett P och Q:s sanningsvärden), en motsägelse (d.v.s. alltid falsk, oavsett P och Q:s sanningsvärden) eller ingendera. Antag nu att för mängderna A och B gäller ∀x ∈ A : ∃y ∈ A : x < y ∃y ∈ R : ∀x ∈ B : x < y (a) ¬P ∧ ¬Q =⇒ ¬ (P ∧ Q) (b) ¬ (P ∧ Q) =⇒ ¬P ∧ ¬Q Säger detta att någon av dem är uppåt begränsad / nedåt begränsad / begränsad ? 34. Polisen har intervjuat fyra vittnen — vi kallar dem A, B, C, och D — och konstaterat att 1) 2) 3) 4) 37. En ändlig mängd av reella tal har alltid största och ett minsta element, t.ex. © ett ª i A = 12 , π, 7 är 7 största och 12 minsta element. A och B kan inte båda ha rätt, B och C motsäger varandra, om C talar sanning, så har A ljugit, om D talar sanning, så också A. En oändlig mängd behöver naturligtvis inte ha något största/minsta element: N = {0, 1, 2, 3, ...} har inget största element. Kan man ur detta avgöra vem som talat sanning resp. ljugit? Om inte för alla, kan man kanske avgöra det för vissa? Läs definitionen av (uppåt/nedåt) begränsad mängd ovan. Kan man sätta något av konnektiven ⇓, ⇑ eller m på frågetecknens plats nedan, så att man får en sann utsaga? Tips: Gör lämplig sanningstabell. 35. Här följer några påståenden om talen a, b, c, några uttryckta helt och hållet med symboler Mängden A är uppåt begränsad ??? Mängden A har ett största element. abc = 0 |a| + |b| + |c| > 0 (a − b) (a − c) (b − c) = 0 a2 + b2 + c2 > 0 a2 + b2 + c2 = 0 |a| (|b| + |c|) + |b| (|c| + |a|) + |c| (|a| + |b|) = 0 38. Är det sant att (δ är grekiskt litet ”d” och uttalas ”delta”.) ¯ ¯ ∃δ > 0 : ∀a, b ∈ R : |a − b| < δ =⇒ ¯a2 − b2 ¯ < 1 och några uttryckta mera på vardagsspråk: 39. Bevisa följande påstående med utnyttjande av kontraposition (d.v.s. att P ⇒ Q är ekvivalent med ¬Q ⇒ ¬P ): Alla tre talen a, b, c är = 0 Minst ett av talen a, b, c är = 0 Minst två av talen a, b, c är = 0 Minst ett av talen a, b, c är > 0 Minst ett av talen a, b, c är 6= 0 Minst två av talen a, b, c är lika. ∀ m, n ∈ Z : m + n är udda =⇒ precis ett av talen m och n är udda Vissa påståenden är ekvivalenta — vilka? 3 Olikheter 53. Det kvadratiska medelvärdet av två icke-negativa tal a och b definieras som: r a2 + b2 2 40. Vilket är det största värdet som nedanstående uttryck kan anta och för vilket x antas det? 8 x2 − 2x + 5 Visa att detta verkligen är ett medelvärde, d.v.s. r a2 + b2 ≤ max (a, b) min (a, b) ≤ 2 Tips: Kvadratkomplettera nämnaren. 41. Är det riktigt att för alla reella tal a, b, c, d ½ a>b =⇒ ac > bd ? c>d samt att det aldrig understiger det aritmetiska medelvärdet: r a+b a2 + b2 ≥ 2 2 42. Lös olikheten x≤ 1 x Kan man få likhet och i så fall när? 54. Bevisa att för alla a och b : 43. Lös olikheten x3 − 5x2 ≥ 25x − 125 a2 + b2 + 1 ≥ a + b + ab 44. Lös olikheten x6 − x4 + x2 − 1 > 0 Tips: a2 = 12 a2 + 12 a2 , 45. Lös olikheten x12 − x7 − x5 + 1 < 0 1 2 (a − b)2 = .... 55. Härled AM ≥ GM -olikheten ur följande figur 46. För vilka värden på a är olikheten (a + x)3 > (a − x)3 + 2x3 − 3a2 y Ζx sann för alla x > −1/3 ? 47. Visa att 0 < a, b, c < 1 =⇒ abc + 1 > a + bc 48. Visa att för fyra på varandra följande naturliga tal alltid gäller att produkten av de två ”yttertalen” är mindre än produkten av de två ”mittentalen” (t.ex. om talen är 6, 7, 8 och 9, så är 6 · 9 < 7 · 8). b a 49. Bevisa att för fyra på varandra följande naturliga tal alltid gäller att summan av de två yttertalens kuber är större än summan av de två mittentalens kuber (t.ex. för 6, 7, 8, 9 är 63 + 93 > 73 + 83 ). genom att jämföra rektangelns och trianglarnas areor. 56. Bestäm minsta möjliga värdet av 50. Antag att x och y är två olika positiva tal. Kan man säga vilket av följande kvoter är minst, x2 + y 2 x+y eller x2 − y 2 x−y a b + b a Tips: ? a b · b a då a, b > 0 = 1. 57. Visa att ¢¡ ¢ ¡ 51. Visa att ∀x, y ∈ R : (1 + xy)2 ≤ 1 + x2 1 + y 2 a1 + a2 + a3 = 3 =⇒ a1 a2 a3 ≤ 1 52. Visa att för alla tal a, b, c och d gäller genom att observera att, om inte alla aj = 1 (i vilket fall olikheten är klar), så måste minst ett av talen vara < 1 och minst ett > 1. Det är alltså ingen inskränkning att anta att a1 = 1 − h, a2 = 1 + k, a3 = 1 + h − k, där h, k > 0. 2 (a + b + c + d) − 2 (a + b) (c + d) ≥ ab + cd 4 När gäller likhet ? 4 Talteori 68. Visa att om p är primtal 6= 2, 5, så är p2 − 1 eller p2 + 1 delbart med 10. 58. Summan av tre heltal är = 0. Är deras produkt ett udda eller ett jämnt tal? 69. a) Vilket är det största heltalet som produkten av tre på varandra följande heltal säkert är delbar med? 59. Avgör utan maskin om talet 31000 − 113 är delbart med 10. b) Visa att (3n)! n är ett heltal för alla positiva heltal n (3!) 60. Vad behöver man lägga till på frågetecknens plats för att följande skall bli riktigt? 70. Vilket är det största heltalet som produkten av fem på varandra följande heltal säkert är delbar med? (a | c) ∧ (b | c) ∧ (???) =⇒ ab | c 71. En ton som ligger en oktav högre än en annan har dubbelt så hög frekvens. En ton som ligger en kvint högre än en annan har frekvens som är 3/2 av den lägre. Om man på ett piano förflyttar sig 7 oktaver, så skall man samtidigt ha förflyttat sig 12 kvinter. (Räkna 8 på varandra följande tangenter, inkl. de svarta. Tangenter 1 och 8 bildar en kvint.) Förklara nu hur man utan räkning kan inse att µ ¶12 3 6= 27 2 61. Visa att 1 + 8n − 3n − 6n är delbart med 10 för alla positiva heltal n. 62. Låt oss för ett ögonblick glömma alla andra tal förutom de jämna positiva talen 2, 4, 6, 8, ... Definiera j-primtal som de tal som inte kan skrivas som produkt av två mindre jämna tal. (a) Vilka är j-primtalen ? (b) Ge exempel på ett jämnt tal som kan faktoriseras i j-primtal på två olika sätt. och därmed att ett piano aldrig kan stämmas perfekt! 72. Vilka är de minsta positiva heltalen x och y som uppfyller 63. Förutsättningar som i föregående fråga. Dessutom: Med a | b menar vi nu att kvoten b/a blir ett jämnt heltal (de udda heltalen existerar som sagt inte för oss, för tillfället!) 713x − 711y = 1 ? Ge ett motexempel till motsvarigheten till lemma 2.12 i Vretblad 73. (Kinesisk räkneuppgift från 500-talet.) Hur många gäss, ankor resp. hönor kan man få för 100 mynt, om man vill ha 100 st. totalt och en gås kostar 5 mynt, en anka 3 mynt och tre hönor tillsammans 1 mynt? j-primtalet p | ab =⇒ (p | a) eller (p | b) 64. a) Vilka rester är möjliga att få då ett kvadrattal divideras med 4 ? b) En heltalstrippel (a, b, c) , för vilken a2 + b2 = c2 , kallar man pythagoreisk. Exempel: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17) . 74. Ange alla par av heltal (x, y) sådana att (a) 350x − 147y = 7 (b) 350x − 147y = 35 Visa att det inte finns någon pythagoreisk taltrippel där a och b båda är udda heltal. (c) 350x − 147y = 2 65. a) Vilken rest ger talen 75. Har alla ekvationer av typen 11, 111, 1111, 11111, ... ax + by + cz = d där a, b, c, d är givna heltal vid division med 4 ? b) Visa att ingen av talen ovan kan vara rationellt. heltalslösningar? 66. Visa att differensen mellan kvadraterna på två udda heltal är alltid jämnt delbar med 8. 76. Bevisa att för alla heltal a, b och d gäller (d | a) ∧ (d | b) =⇒ d | SGD (a, b) 67. Visa att om p, q är primtal ≥ 5, så är p2 − q 2 delbart med 24. 5 Summor Induktion och rekursion 77. Förenkla 85. För formeln n X x · x2 · x3 · x4 · ... · x100 k = k=1 78. Förenkla 21 + 22 + 23 + ... + 2100 86. Skriv ner ett induktionsbevis för 1 1 1 1 1 + + 2 + 3 + ... + n 3 3 3 3 n X 80. Avgör om följande utsaga är sann : för alla positiva heltal n 87. Med tanke på hur föregående två formler ser ut, så är det väl inte helt otänkbart att n X 1 >m 2k n X k=1 1 n (n + 1) (n + 2) (n + 3) 4 k (k + 1) (k + 2) = k=1 81. Beräkna summan av alla tresiffriga tal som är delbara med 3. för alla positiva heltal n Skriv ner ett induktionsbevis! 82. Ställ upp en formel för följande summa, där n är ett positivt heltal: ¡ ¢ 1 + n + (2n − 1) + (3n − 2) + ... + n2 − (n − 1) 88. Titta på de tre formlerna närmast ovan, gissa och bevisa med induktion en formel för n X k (k + 1) (k + 2) (k + 3) k=1 83. De positiva udda talen kan ordnas på följande sätt 89. Ge ett induktionsbevis (det finns alternativ!) för att en mängd med n element har 2n olika delmängder (den tomma delmängden inräknad). 1 3 1 n (n + 1) (n + 2) 3 k (k + 1) = k=1 Vilket tal närmar sig summorna ovan, när man tar allt större n ? 7 för alla positiva heltal n har vi redan ett fullgott åskådligt bevis, men skriv nu ner (som övning) ett induktionsbevis. 79. Förenkla ∀m ∈ Z : ∃n ∈ N : 1 n (n + 1) 2 5 9 11 13 15 17 19 − − − − − − − − o.s.v. 90. Visa med induktion att 2n > n2 för alla heltal n > 4 (a) Ge en formel för sista talet på rad n 91. Visa med induktion att för alla positiva heltal n (b) Ge en formel för första talet på rad n. (c) Ge en formel för summan av talen på rad n. nn ≥ (n + 1)n−1 n−1 Tips: Såväl nn ≥ (n + 1) som (n + 1)n+1 ≥ (n + 2)n kan omformas till µ ¶n ??? n+1≥ ??? (d) Summera alla talen på raderna 1 till n på två olika sätt och härled den vägen formeln µ ¶2 n (n + 1) 13 + 23 + 33 ... + n3 = 2 92. Talföljden Cn , n = 0, 1, 2, 3, ... definieras genom 84. En bordtennisturnering med n spelare tillgår så att alla möter alla en gång. Ingen match kan sluta oavgjord. Säg att spelare nummer k vinner xk och förlorar yk matcher. Visa att Cn = (2n)! n! (n + 1)! Skriv ut de sex första talen samt ge en ekvivalent rekursiv definition (d.v.s. av den typ som förekommer i avsnitt 4.3) x21 + x22 + ... + x2n = y12 + y22 + ... + yn2 6