Lognormalfördelning och Gumbelfördelning

L UNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
M ATEMATIKCENTRUM
M ATEMATISK STATISTIK
L OGNORMALFÖRDELNINGEN OCH G UMBELFÖRDELNINGEN
M ATEMATISK STATISTIK FÖR EKOSYSTEMTEKNIK , HT-15
Lognormalfördelningen och Gumbelfördelningen är ganska vanligt förekommande då man modellerar
miljödata (se övningar och datorlaborationer) men nämns inte i läroboken.
Lognormalfördelningen
Definition
En s.v. ξ är lognormalfördelad om ln ξ är normalfördelad, dvs.
η = ln ξ ∈ N(μ, σ),
ξ = eη .
Moment
Man kan visa att för en lognormalfördelad variabel ξ med ln ξ ∈ N(μ, σ) så gäller
2
E(ξ) = eμ+σ /2
2
2
V(ξ) = e2μ · (e2σ − eσ )
p
p
2
D(ξ) = eμ e2σ2 − eσ2 = eμ+σ /2 · eσ2 − 1
Observera att parametrarna μ och σ inte är väntevärde respektive standardavvikelse.
Variationskoefficienten blir
D(ξ) p σ2
R(ξ) =
= e − 1,
E(ξ)
en ofta användbar relation vid problemlösning där lognormalfördelningen figurerar. Om R(ξ) är känd
följer nämligen direkt att
p
σ = ln(1 + (R(ξ))2 )
och
μ = ln
E(ξ)
p
1 + (R(ξ))2
!
.
Beräkning av sannolikheter
Sannolikheter kan beräknas genom att utnyttja att ln ξ ∈ N(μ, σ) Det följer då att
ln x − μ
P(ξ ≤ x) = P(ln ξ ≤ ln x) = Φ
σ
och tabell för N(0, 1)-fördelningen kan alltså användas.
Lognormal- och Gumbelfördelning, Matstat för W, HT-15
Beräkning av kvantiler
Tekniken ovan kan utnyttjas för att beräkna kvantiler. Speciellt gäller för medianen x0.50 , definierad av
P(ξ ≤ x0.50 ) = 0.5,
att Φ (ln x0.50 − μ)/σ = 0.5 varav följer att (ln x0.50 − μ)/σ = 0, dvs.
x0.50 = eμ .
På liknande sätt kan allmänna kvantiler beräknas.
Några frekvensfunktioner
Lognormalfordelningen
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Frekvensfunktion för lognormalfördelning med parametrarna μ = 0 samt σ = 0.45 (heldragen), σ = 0.8
(streckad), σ = 1.0 (streck-prickad).
Lognormal- och Gumbelfördelning, Matstat för W, HT-15
Gumbelfördelning
Fördelningen kallas ibland ”Extremvärdesfördelning av typ I” och används ofta för att modellera extrema
värden. Årsmaximum av flöden, priser och laster några exempel då Gumbelfördelning förekommer.
Fördelningsfunktion
Fördelningsfunktionen ges av
F (x) = e−e
−(x−b)/a
, ∞<x<∞
Den innehåller två parametrar, lägesparametern b och skalparametern a (a > 0).
Väntevärde och varians
Om ξ är Gumbelfördelad gäller
E(ξ) = b + γa med γ ≈ 0.57722 (Eulers konstant)
V(ξ) = a2 π2 /6
Några frekvensfunktioner
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Frekvensfunktion för gumbelfördelning med parametrarna a = 11 samt b = 35 (heldragen), a = 11 samt b = 25
(streckad), a = 5 samt b = 25 (streck-prickad).
Lognormal- och Gumbelfördelning, Matstat för W, HT-15
I Matlab
Följande specialskrivna Matlab-kommandon är användbara:
• wgumbcdf(x,a,b) ger fördelningsfunktionen i punkten x
• wgumbpdf(x,a,b) ger frekvensfunktionen i punkten x
• wgumbrnd(x,a,b) simulerar slumtal från en Gumbelfördelning
• wgumbplot(x) ritar de data som ligger i x i ett gumbelpapper
• wgumbfit(x) skattar, utifrån data i x, parametrarna i Gumbelfördelningen och ritar empirisk,
respektive skattad fördelningsfunktion
• wgumbinv(1-α,a,b) beräknar kvantilen xα i Gumbelfördelningen med parametrar a och b.